2023年导数复习知识点总结归纳全面汇总归纳.pdf

学习必备 欢迎下载 高考数学复习详细资料导数概念与运算知识清单 1导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x0+x）f（x0），比值xy叫做函数 y=f（x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x0处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x0处的导数，记作 f（x0）或 y|0 xx。即 f（x0）=0lim xxy=0lim xxxfxxf)()(00。说明：（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点 x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量 x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f（x0+x）f（x0）；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数 f(x0)=xyx0lim。2导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x0，f（x0）处的切线的斜率是 f（x0）。相应地，切线方程为yy0=f/（x0）（xx0）。3几种常见函数的导数:0;C 1;nnxnx (sin)cosxx;(cos)sinxx ;();xxee()lnxxaaa;1ln xx;1l glogaaoxex.4两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(.)vuvu 学习必备 欢迎下载 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv 若 C 为常数,则0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vuvvu（v0）。形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|X=y|U u|X 2010 高考数学复习详细资料导数应用 知识清单 单调区间：一般地，设函数)(xfy 在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f)(x在a，b上必有最大值与最小值。求函数)(x在(a，b)内的极值；求函数)(x在区间端点的值(a)、(b)；将函数 )(x的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi 1xixnb 把区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点 i（i1，2，n）作和式 Innif1(i)x（其中x 为小区间长度），把 n即x0 时，和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作：badxxf)(，即badxxf)(ninf1lim(i)x。这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载 dx0C；dxxm111mxmC（mQ，m 1）；x1dxlnxC；dxexxeC；dxaxaaxlnC；xdxcossinxC；xdxsincosxC（表中 C 均为常数）。（2）定积分的性质 babadxxfkdxxkf)()(（k 为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中 acb)。（3）定积分求曲边梯形面积 由三条直线 xa，xb（ab），x 轴及一条曲线 yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线 y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设 f1(x)f2(x)0），及直线 xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积 SS 曲边梯形 AMNB S 曲边 梯 形DMNC babadxxfdxxf)()(21。课前预习 1求下列函数导数（1）)11(32xxxxy （2）)11)(1(xxy （3）2cos2sinxxxy（4）y=xxsin2 （5）yxxxxx9532 2若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy 垂直，则l的方程为（）A430 xy B450 xy C430 xy D430 xy 3过点（1，0）作抛物线21yxx 的切线，则其中一条切线为（）（A）220 xy （B）330 xy （C）10 xy （D）10 xy 4半径为 r 的圆的面积 S(r)r2,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(0，)上的变量，则(r2)2r 1，在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载 1 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，)上的变量，请你写出类似于 1 的式子：；2 式可以用语言叙述为：。5 曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 。6对于 R 上可导的任意函数 f（x），若满足（x1）fx（）0，则必有（）Af（0）f（2）2f（1）B.f（0）f（2）2f（1）Cf（0）f（2）2f（1）D.f（0）f（2）2f（1）7函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf 在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个 8 已知函数 11axxfxex。（）设0a，讨论 yf x的单调性；（）若对任意 0,1x恒有 1f x，求a的取值范围。932()32f xxx在区间 1,1上的最大值是（）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4 10设函数 f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中（）求 f(x)的单调区间；（）讨论 f(x)的极值。11设函数3()32f xxx 分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()x f x（,）、22()xf x（,），该平面上动点P满足4PA PB,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点.求(I)求点AB、的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.12请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？13计算下列定积分的值（1）312)4(dxxx（2）215)1(dxx；（3）dxxx20)sin(；在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载（4）dxx222cos；14（1）一物体按规律 xbt3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由 x0 运动到 xa 时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2bx 在第一象限内与直线 xy=4 相切 此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S 求使 S 达到最大值的 a、b 值，并求 Smax 典型例题 一 导数的概念与运算 EG：如果质点 A 按规律 s=2t3 运动，则在 t=3 s 时的瞬时速度为（）A.6m/s B.18m/s C.54m/s D.81m/s 变式：定义在 D 上的函数)(xf，如果满足：xD，常数0M，都有|()|f xM成立，则称)(xf是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界.【文】（1）若已知质点的运动方程为atttS11)(，要使在0,)t 上的每一时刻的瞬时速度是以M=1 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围.【理】（2）若已知质点的运动方程为atttS12)(，要使在0,)t 上的每一时刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围.EG：已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是（）A.41 B.2 C.41 D.2 变式 1：为则设hfhffh233lim,430（）A 2 C3 D1 变式 2：00003,limxf xxf xxf xxx 设在 可导 则等于 （）A02xf B0 xf C03xf D04xf 根据所给的函数图像比较012(),h tt t t曲线在附近得变化情况。变式：函数)(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）A.)2()3()3()2(0/ffff y B.)2()2()3()3(0/ffff C.)2()3()2()3(0/ffff D.)3()2()2()3(0/ffff O 1 2 3 4 x 在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载 EG：求所给函数的导数：332991log;sin(1);2;2 sin 25nxxxyxx yx eyxyxyeyxx （文科）理科）。变式：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时,()()()()fx g xf x g x0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 A(3,0)(3,+)B(3,0)(0,3)C(,3)(3,+)D(,3)(0,3)EG：已知函数lnyxx.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x 处的切线的方程.变式 1：已知函数xey.（1）求这个函数在点ex 处的切线的方程；（2）过原点作曲线 yex 的切线，求切线的方程.变式 2：函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a()A.18 B.41 C.21 D.1 EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：3232(1)()3;(2)()23;(3)()sin,(0,);(4)()23241.f xxxf xxxf xxx xf xxxx 变式 1：函数xexxf)(的一个单调递增区间是 A.0,1 B.8,2 C.2,1 D.2,0 变式 2：已知函数53123axxxy(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a的是 .(2)若函数在),1 上是单调增函数，则a的取值范围是 .变式 3：设0t，点 P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用t表示 a，b，c；（）若函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，求t的取值范围.EG：求函数31()443f xxx的极值.求函数31()443f xxx在0,3上的最大值与最小值.变式 1：函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf 在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载 区间),(ba内有极小值点（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 变式 2：已知函数32()f xaxbxcx在点0 x处取得极大值5，其导函数()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（）0 x的值；（）,a b c的值.变式 3：若函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf极值34，（1）求函数的解析式；（2）若函数kxf)(有 3 个解，求实数k的取值范围 变式 4：已知函数321()22fxxxxc，对 x 1，2，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。EG：利用函数的单调性，证明：ln,0 xxxex 变式 1：证明：xxx1ln111，1x 变式 2：（理科）设函数 f(x)=(1+x)2ln(1+x)2.若关于 x 的方程 f(x)=x2+x+a 在0，2上恰好有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围.EG：函数,3)(3Rxxxxf若 012mxfmxf恒成立,求实数m的取值范围 变式 1:设函数,3)(3Rxxxxf若 2001sinmfmf恒成立，求实数m的取值范围.变式2:如图,曲线段OMB 是函数2()(06)f xxx 的图象,BAx轴于点 A,曲线段OMB 上一点M2(,)t t处的切线 PQ 交 x 轴于点 P,交线段 AB 于点 Q，(1)若 t 已知,求切线 PQ 的方程 (2)求QAP的面积的最大值 变式 3:用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折 900 角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式 4:某厂生产某种产品x件的总成本37521200)(xxc（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产 100 件这样的产品单价为 50 万元，产量定为多少时总利润最大？EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）x abxy)(fy O 在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载 23211022011(1)x;(2)(2)x;(3)sin dx;(4)sin dx;(5)sindxdxxxxxdx 变式 1：计算：；（1）dxxxx20sincos2cos；（2）dxx2024 变式 2：求将抛物线xy 2和直线1x围成的图形绕x轴旋转一周得到的几何体的体积.变式 3：在曲线02xxy上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为121，试求：（1）切点 A 的坐标；（2）在切点A 的切线方程.实战训练 1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数 y=f (x)的图象可能为()2.已知曲线 S:y=3x x3 及点(2,2)P,则过点 P 可向 S 引切线的条数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.C 设 S 上的切点00(,)xy求导数得斜率，过点 P 可求得:200(1)(2)0 xx.4.函数cossinyxxx在下面哪个区间内是增函数（）.3()(,)22A ()(,2)B 35()(,)22C ()(2,3)D 5.y=2x33x2+a 的极大值为 6，那么 a 等于()(A)6 (B)0 (C)5 (D)1 6.函数 f(x)x33x+1 在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是()(A)1，1 (B)3，-17 (C)1，17 (D)9，19 7.设 l1 为曲线 y1=sinx 在点(0，0)处的切线，l2 为曲线 y2=cosx 在点(2,0)处的切线，则 l1 与 l2 的夹角为_.8.设函数 f(x)=x3+ax2+bx 1，若当 x=1 时，有极值为 1，则函数 g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .9（07 湖北）已知函数()yf x的图象在点(1(1)Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff 10（07 湖南）函数3()12f xxx在区间 33，上的最小值是 11 （07 浙 江）曲 线32242yxxx在 点(13)，处 的 切 线 方 程 是 9 .已 知 函 数在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载 32()(,)f xxaxb a bR （）若函数)(xf图像上任意一点处的切线的斜率小于 1，求证：33a；（）若0,1x，函数()yf x图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1k 的充要条件。12(07 安徽)设函数 f（x）=-cos2x-4tsin2xcos2x+4t2+t2-3t+4,xR,其中t1，将 f(x)的最小值记为 g(t).()求 g(t)的表达式；()诗论 g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.实战训练 B 1（07 福建）已知对任意实数x，有()()()()fxf xgxg x ，且0 x 时，()0()0fxg x，则0 x 时（）A()0()0fxg x，B()0()0fxg x，C()0()0fxg x，D()0()0fxg x，2（07 海南）曲线12exy 在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）29e2 24e 22e 2e 3（07 海南）曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）294e 22e 2e 22e 4（07 江苏）已知二次函数2()f xaxbxc的导数为()fx，(0)0f，对于任意实数x都有()0f x，则(1)(0)ff的最小值为（）A3 B52 C2 D32 5（07 江西）5若02x，则下列命题中正确的是（）A3sinxx B3sinxx C224sinxx D224sinxx 6（07 江西）若02x，则下列命题正确的是（）A2sinxx B2sinxx C3sinxx D3sinxx 7（07 辽宁）已知()f x与()g x是定义在R上的连续函数，如果()f x与()g x仅当0 x 时的函数值为 0，在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的学习必备 欢迎下载 且()()f xg x，那么下列情形不可能出现的是（）A0 是()f x的极大值，也是()g x的极大值 B0 是()f x的极小值，也是()g x的极小值 C0 是()f x的极大值，但不是()g x的极值 D0 是()f x的极小值，但不是()g x的极值 8（07 全国一）曲线313yxx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A19 B29 C13 D23 9（07 全国二）已知曲线24xy 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A1 B2 C3 D4 10（07 浙江）设()fx是函数()f x的导函数，将()yf x和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）11(07 北京)()fx是31()213f xxx的导函数，则(1)f 的值是 12（07 广东）函数()ln(0)f xxx x的单调递增区间是 13（07 江苏）已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm 14（07 福建）设函数22()21(0)f xtxt xtxt R，（）求()f x的最小值()h t；（）若()2h ttm 对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围 15(07 广东)已知a是实数，函数2()223f xaxxa 如果函数()yf x在区间 1,1上有零点，求a的取值范围 在点处的导数记作或即说明函数在点处可导是指时有极限如果不存在极数的增量求平均变化率取极限得导数导数的几何意义函数在点处的导数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差即法则两个函数的积的