2023年导数知识点总结归纳各种题型全面汇总归纳方法全面汇总归纳浦仕国.pdf

学习必备 精品知识点 导数知识点和各种题型归纳方法总结 一导数的定义：0000000()()()()|lim()()()()limx xxxf xxf xyf xxxfxyxf xxf xyf xfxyx 1.(1).函数在处的导数:(2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：()()yf xxf x ；求平均变化率：()()yf xxf xxx ；取极限得导数：00()()()limlimxxyf xxf xfxxx （下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：0()CC为常数；1()nnxnx；11()()nnnxnxx ；1()()mmnnnmmxxxn(sin)cosxx；(cos)sinxx ()xxee ()ln(0,1)xxaaa aa且；1(ln)xx；1(log)(0,1)lnaxaaxa且 法则 1：()()()()f xg xfxg x；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则 2：()()()()()()f xg xfxg xf xg x(口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘)法则 3：2()()()()()()0)()()f xfxg xf xg xg xg xg x(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数()yf g x的导数求法：换元，令()ug x，则()yf u分别求导再相乘 ()()yg xf u回代()ug x 题型一、导数定义的理解 1.已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是（）A.41 B.2 C.41 D.2 变式 1：为则设hfhffh233lim,430（）A 2 C3 D1 变式 2：00003,limxf xxf xxf xxx 设在 可导 则等于 （）A02xf B0 xf C03xf D04xf 题型二：导数运算 1、已知 22sinf xxx，则 0f 2、若 sinxf xex，则 fx 3.)(xf=ax3+3x2+2，4)1(f，则 a=（）319.316.313.310.DCBA 三导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻0t时的瞬时速度0V就是物体运动规律 Sf t在0tt 时的导数0ft，即有00Vft。2.Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。（了解）四导数的几何意义：函数 f x在0 x处导数的几何意义，曲线 yf x在点00,P xf x处切线的斜率是0kfx。于是相应的切线方程是：000yyfxxx。题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况：（1）曲 线 yfx在 点00,P xf x处 切 线：性 质：0kfx切线。相 应 的 切 线 方 程 是：000yyfxxx（2）曲线 yf x过点00,P xy处切线：先设切点，切点为(,)Q a b,则斜率 k=()fa，切点(,)Q a b 在曲线 yf x上，切点(,)Q a b在切线 00yyfaxx上，切点(,)Q a b坐标代入方程得关于 a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k=()fa，确定切线方程。学习必备 精品知识点 例：在曲线 y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）3)1x(36x62x3|yk2000 xx0当 x0=-1时，k 有最小值 3，此时 P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为 3x-y-11=0 五函数的单调性：设函数()yf x在某个区间内可导，（1）()0fx ()f x该区间内为增函数；（2）()0fx()f x该区间内为减函数；注意：当()fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）()f x在该区间内单调递增()0fx 在该区间内恒成立；（4）()f x在该区间内单调递减()0fx 在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数 f(x)在某一区间上单调性：解题模板：（1）求导数)(xfy(2)判断导函数)(xfy在区间上的符号(3)下结论()0fx ()f x该区间内为增函数；()0fx()f x该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间 求函数)(xfy 单调区间的步骤为：（1）分析)(xfy 的定义域；（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一：（1）()f x在该区间内单调递增()0fx 在该区间内恒成立；（2）()f x在该区间内单调递减()0fx 在该区间内恒成立；思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数 f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则 x=c 两侧使函数f（x）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以()0fc 例题若函数xxxfln)(，若)5(),4(),3(fcfbfa则()A.a b c B.c b a C.c a b D.b a 0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范围就把谁作为主元）；例题欣赏 1：设函数()yf x在区间 D 上的导数为()fx，()fx在区间 D 上的导数为()g x，若在区间 D上，()0g x 恒 成 立，则 称 函 数()yf x在 区 间 D 上 为“凸 函 数”，已 知 实 数 m 是 常 数，4323()1262xmxxf x （1）若()yf x在区间0,3上为“凸函数”，求 m 的取值范围；（2）若对满足2m 的任何一个实数m，函数()f x在区间,a b上都为“凸函数”，求ba的最大值.解:由函数4323()1262xmxxf x 得32()332xmxfxx 2()3g xxmx（1）()yf x在区间0,3上为“凸函数”，则 2()30g xxmx 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max()0gx (0)0302(3)09330gmgm 解法二：分离变量法：当0 x 时,2()330g xxmx 恒成立,当03x 时,2()30g xxmx 恒成立 等价于233xmxxx 的最大值（03x）恒成立，而3()h xxx（03x）是增函数，则max()(3)2hxh 2m(2)当2m 时()f x在区间,a b上都为“凸函数”则等价于当2m 时2()30g xxmx 恒成立 解法三：变更主元法 2()30g xxmx 在区间0,3上恒成立 2()30F mmxx 在2m 恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230FxxxFxx 2ba 例题欣赏 2：（二次函数区间最值的例子）设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf （）求函数 f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的,2,1aax不等式()fxa 恒成立，求 a 的取值范围.解：（）22()433fxxaxaxaxa 01a -2 2 3a a()f x a 3a 运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程学习必备 精品知识点 令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（3a，+）当 x=a 时，)(xf极小值=;433ba 当 x=3a 时，)(xf极大值=b.（）由|)(xf|a，得：对任意的,2,1aax2243axaxaa 恒成立 则等价于()g x这个二次函数maxmin()()gxagxa 22()43g xxaxa的对称轴2xa 01,a 12aaaa （放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。22()431,2g xxaxaaa在上是增函数.（9 分）maxmin()(2)21.()(1)44.g xg aag xg aa 于是，对任意 2,1aax，不等式恒成立，等价于(2)44,41.(1)215g aaaag aaa 解得 又,10a.154a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型 例题欣赏 3 已知函数32()f xxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tg xxxtxt （）求,a b的值；（）当 1,4x时，求()f x的值域；（）当1,4x时，不等式()()f xg x恒成立，求实数 t 的取值范围。解：（）/2()32fxxax/(1)31fba ，解得32ab （）由（）知，()f x在 1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff ()f x的值域是 4,16（）令2()()()(1)31,42th xf xg xxtxx 思路 1：要使()()f xg x恒成立，只需()0h x，即2(2)26t xxx（分离变量）思路 2：二次函数区间最值 题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围（逆向考查，正向思考）解法 1：转化为0)(0)(xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型；解法 2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例题欣赏 4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23（）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；（）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围 解：)14()1(41)(2axaxxf.（）()fx是偶函数，1a.此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，令0)(xf，解得：32x.列表如下：x(,23)23(23,23)23(23,+)(xf +0 0+)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知：()f x的极大值为34)32(f，()f x的极小值为34)32(f.（）函数)(xf是),(上的单调函数，2xa 1,2aa 运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程学习必备 精品知识点 21()(1)(41)04fxxaxa ，在给定区间 R上恒成立（判别式法）则221(1)4(41)204aaaa ，解得：02a.综上，a的取值范围是 20 aa.例题欣赏 5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f xxa xa x a （I）求()f x的单调区间；（II）若()f x在0，1上单调递增，求 a 的取值范围。（子集思想）解析：（I）2()(2)1(1)(1).fxxa xaxxa 1、20,()(1)0,afxx当时恒成立 当且仅当1x 时取“=”号，()(,)f x 在单调递增。2、12120,()0,1,1,afxxxaxx 当时 由得且 单调增区间：(,1),(1,)a 单调增区间：(1,1)a（II）当()0,1,f x 在上单调递增 则0,1是上述增区间的子集：1、0a 时，()(,)f x 在单调递增 符合题意 2、0,11,a，10a 1a 综上，a 的取值范围是0，1。题型三：根的个数问题 类型一：函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点方程的根函数的零点 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例题欣赏 6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数 （1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围 解：（1）由题意xkxxf)1()(2)(xf在区间),2(上为增函数，0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）即xk 1恒成立，又2x，21k，故1kk的取值范围为1k （2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，)1)()1()(2xkxkxkxxh 令0)(xh得kx 或1x由（1）知1k，当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在 R上递增，显然不合题意 当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：x),(k k)1,(k 1),1()(xh 0 0 )(xh 极大值312623kk 极小值 21k 由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk 02212kkk，解得31k 综上，所求k的取值范围为31k 类型二：根的个数知道，部分根可求或已知。例题欣赏 7、已知函数321()22f xaxxxc（1）若1x 是()f x的极值点且()f x的图像过原点，求()f x的极值；（2）若21()2g xbxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数()g x的图像与函数()f x的图像恒有含1x 的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由；解：（1）()f x的图像过原点，则(0)00fc 2()32fxa xx ，又1x 是()f x的极值点，则(1)31201faa a-1-1()f x 运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程学习必备 精品知识点 2()32(32)(1)0fxxxxx 3()(1)2fxf 极大值 22 2()()37fxf 极小值（2）设函数()g x的图像与函数()f x的图像恒存在含1x 的三个不同交点，等价于()()f xg x有含1x 的三个根，即：1(1)(1)(1)2fgdb 3221112(1)222xxxbxxb 整理得：即：3211(1)(1)022xbxxb 恒有含1x 的三个不等实根（计算难点来了：）3211()(1)(1)022h xxbxxb 有含1x 的根，则()h x必可分解为(1)()0 x二次式，故用添项配凑法因式分解，3x22xx 211(1)(1)022bxxb 2211(1)(1)(1)022xxbxxb 221(1)(1)2(1)02xxbxxb 十字相乘法分解：21(1)(1)(1)102xxbxbx 211(1)(1)(1)022xxbxb 3211(1)(1)022xbxxb 恒有含1x 的三个不等实根 等价于211(1)(1)022xbxb 有两个不等于-1的不等实根。2211(1)4(1)04211(1)(1)(1)022bbbb (,1)(1,3)(3,)b 类型三：切线的条数问题以切点0 x为未知数的方程的根的个数 例题欣赏 8例 8、已知函数32()f xaxbxcx在点0 x处取得极小值4，使其导数()0fx 的x的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x的解析式；（2）若过点(1,)Pm可作曲线()yf x的三条切线，求实数m的取值范围 解析：（1）由题意得：2()323(1)(3),(0)fxaxbxca xxa 在(,1)上()0fx；在(1,3)上()0fx；在(3,)上()0fx 因此()f x在01x 处取得极小值4 4abc ，(1)320fabc ，(3)2760fabc 由联立得：169abc ，32()69f xxxx （2）设切点 Q(,()t f t，,()()()yf tftxt 232(3129)()(69)yttxtttt 222(3129)(3129)(69)ttxtttt tt 22(3129)(26)ttxttt过(1,)m 232(3129)(1)26mtttt 32()221290g ttttm 令22()66126(2)0g ttttt ，求得：1,2tt，方程()0g t 有三个根。需：(1)0(2)0gg 23 129016 122490mm 1611mm 故：1116m ；因此所求实数m的范围为：(11,16)类型四已知()f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数 解法：根分布或判别式法 例题欣赏 9 例 9、解：函数的定义域为R（）当 m4 时，f(x)13x372x210 x，()fxx27x10，令()0fx ，解得5,x 或2x.23-1()f x 运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程学习必备 精品知识点 令()0fx ，解得25x 可知函数 f(x)的单调递增区间为(,2)和（5，），单调递减区间为 2,5（）()fxx2(m3)xm6,要使函数 yf(x)在（1，）有两个极值点,()fxx2(m3)xm6=0 的根在（1，）根分布问题：则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;31.2mmfmmm ，解得 m3 例题欣赏 10 例 10、已知函数23213)(xxaxf，)0,(aRa（1）求)(xf的单调区间；（2）令()g x14x4f（x）（xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围 解：（1）)1()(2axxxaxxf 当0a时，令0)(xf解得01xax或，令0)(xf解得01xa，所以)(xf的递增区间为),0()1,(a，递减区间为)0,1(a.当0a时，同理可得)(xf的递增区间为)10(a，递减区间为),1()0,(a.（2）432113)42(gaxxxx有且仅有3 个极值点 223(1()axxxxxxagx=0 有 3 个根，则0 x 或210 xax，2a 方程210 xax 有两个非零实根，所以240,a 2a 或2a 而当2a 或2a 时可证函数()yg x有且仅有 3 个极值点 请你欣赏典型题解析 1、（最值问题与主元变更法的典例）已知定义在R上的函数32()2f xaxaxb）（0a在区间 2,1上的最大值是 5，最小值是11.（）求函数()f x的解析式；（）若 1,1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围.解：（）322()2,()34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx 令()fx=0,得 1240,2,13xx 因为0a，所以可得下表：x 2,0 0 0,1()fx+0-()f x 极大 因此)0(f必为最大值,50）（f因此5b，(2)165,(1)5,(1)(2)fafaff ，即11516)2(af，1a，.52(23xxxf）（）xxxf43)(2，0(txxf）等价于0432txxx，令xxxttg43)(2，则问题就是0)(gt在 1,1t上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需0)10)1(（gg，即005322xxxx，解得10 x，所以所求实数x的取值范围是0，1.2、（根分布与线性规划例子）已知函数322()3f xxaxbxc()若函数()f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30 xy 平行,求)(xf的解析式；()当()f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时,设点(2,1)M ba所在平面区域为 S,经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分,求直线 L 的方程.解：().由2()22fxxaxb,函数()f x在1x时有极值,220ab 1 运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程学习必备 精品知识点 (0)1f 1c 又()f x在(0,1)处的切线与直线30 xy 平行,(0)3fb 故 12a 3221()3132f xxxx .7 分 ()解法一:由2()22fxxaxb 及()f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值,(0)0(1)0(2)0fff 即 0220480babab 令(,)Mxy,则 21xbya 12aybx 20220460 xyxyx 故点M所在平面区域S 为如图ABC,易得(2,0)A,(2,1)B,(2,2)C,(0,1)D,3(0,)2E,2ABCS 同时 DE 为ABC 的中位线,13DECABEDSS四边形 所求一条直线 L 的方程为:0 x 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分,设直线 L 方程为ykx,它与AC,BC 分别交于 F、G,则 0k,1S四边形DEGF 由 220ykxyx 得点 F 的横坐标为:221Fxk 由 460ykxyx 得点 G 的横坐标为:641Gxk OGEOFDSSS四边形DEGF 61311222214121kk 即 216250kk 解得:12k 或 58k (舍去)故这时直线方程为:12yx 综上,所求直线方程为:0 x 或12yx .12 分()解法二:由2()22fxxaxb 及()f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值,(0)0(1)0(2)0fff 即 0220480babab 令(,)Mxy,则 21xbya 12aybx 20220460 xyxyx 故点M所在平面区域S 为如图ABC,易得(2,0)A,(2,1)B,(2,2)C,(0,1)D,3(0,)2E,2ABCS 同时 DE 为ABC 的中位线,13DECABEDSS四边形 所求一条直线 L 的方程为:0 x 另一种情况由于直线 BO 方程为:12yx,设直线 BO 与 AC 交于 H,由 12220yxyx 得直线 L 与 AC 交点为:1(1,)2H 2ABCS,1112222DECS ,11222211122HABOAOHSSS AB 所求直线方程为:0 x 或12yx 3、（根的个数问题）已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。（）求cd、的值；（）若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110，求函数 f(x)的解析式；（）若0 x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。解：由题知：2f(x)3ax2bx+c-3a-2b （）由图可知 函数 f(x)的图像过点(0,3)，且 1f=0 得332c320dabab 03cd 运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程学习必备 精品知识点（）依题意 2f=3 且 f(2)=5 124323846435abababab 解得 a=1,b=6 所以 f(x)=x3 6x2+9x+3 （）依题意 f(x)=ax3+bx2 (3a+2b)x+3(a0)xf=3ax2+2bx 3a 2b 由 5f=0b=9a 若方程 f(x)=8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f(5)8af(1)由 得 25a+38a7a+3111a3 所以 当111a3 时，方程f(x)=8a 有三个不同的根。12 分 4、（根的个数问题）已知函数321()1()3f xxaxxaR （1）若函数()f x在12,xx xx处取得极值，且122xx，求a的值及()f x的单调区间；（2）若12a，讨论曲线()f x与215()(21)(21)26g xxaxx 的交点个数 解：（1）2()21f xxax 12122,1xxa xx 22121212()4442xxxxx xa 0a 2 分 22()211fxxaxx 令()0fx 得1,1xx或 令()0fx 得11x ()f x的单调递增区间为(,1)，(1,)，单调递减区间为(1,1)5 分（2）由题()()f xg x得3221151(21)326xaxxxax 即32111()20326xaxax 令32111()()2(21)326xxaxaxx 6 分 2()(21)2(2)(1)xxaxaxax 令()0 x 得2xa或1x 7 分 12a 当22a 即1a 时 此时，9802a ，0a，有一个交点；9 分 当22a 即112a 时，x 2(2,2)a 2a(2,1)a 1()x 0 ()x 982a 221(32)36aa a 221(32)036aa,当9802a 即9116a 时,有一个交点；当98002aa ，且即9016a 时，有两个交点；当102a 时，9802a ，有一个交点13 分 综上可知，当916a 或102a 时，有一个交点；当9016a 时，有两个交点14 分 5、（简单切线问题）已知函数23)(axxf图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bxg xf xa（）若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；（）若函数)(xg在区间 1,1上为增函数，且)(42xgmbb在区间 1,1上都成立，求实数m的取值范围 考试寄语：先易后难,先熟后生；一慢一快：审题要慢,做题要快；不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；我易人易我不大意,我难人难我不畏难；考试不怕题不会,就怕会题做不对；基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；x 2(2,1)1()x ()x 982a a 运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程学习必备 精品知识点 对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.运算公式为常数且且法则口诀和与差的导数等于导数的和与差法则口诀导数定义的理解已知则的值是变式为则设变式在可导则设等于题型二导函数在处导数的几何意义曲线在点处切线的斜率是于是相应的切线方程