2023年第一篇以二次函数为基架探究点的存在性问题三以特殊三角形为条件的存在问题.pdf
学习必备 欢迎下载 第一篇 以二次函数为基架探究点的存在性问题 三.以特殊三角形为条件的存在问题 24（20XX 年宜宾市中考本小题满分 12 分）已知抛物线 y=x2+2(m+1)x+4m，它与 x 轴分别交于原点 O 左侧的点 A（x1，0）和右侧的点 B（x2，0）（1）求 m 的取值范围；（2）当|x1+|x2=3 时，求这条抛物线的解析式（3）设 P 是(2)中抛物线位于顶点 M 右侧上的一个动点（含顶点 M），Q 为 x 轴上的另一个动点，连结 PA、PQ，当PAQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形时，求 P 点的坐标 24(2010 荆门市本题满分 12 分)已知：如图一次函数y12x1 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y12x2bxc的图象与一次函数y12x1 的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由 解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y12x2bxc得 第 24 题图（第 24 题学习必备 欢迎下载 1,10.2cbc 得解析式y12x232x13 分(2)设C(x0，y0)，则有 00200011,2131.22yxyxx解得004,3.xyC(4，3)6 分 由图可知：SSACESABD又由对称轴为x32可知E(2，0)S12AEy012ADOB12431231928 分 当P为直角顶点时，如图：过C作CFx轴于F RtBOPRtPFC，BOOPPFCF即143aa 整理得a24a30解得a1 或a3 所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)综上所述：满足条件的点 P共有二个12 分(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：26.(2010 重庆市綦江县)已知：抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点 B(12,0)和 C(0，-6），对称轴为 x=2.(1)求该抛物线的解析式；(2)点 D在线段 AB上且 AD=AC，若动点 P从 A出发沿线段AB以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点 Q以某一速度从 C出发沿线段 CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t（秒）和点 Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结论下，直线 x=1 上是否存在点 M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M的坐标；若不存在请说明理由.解：方法一：抛物线过 C(0,-6)c=6,即 y=ax2+bx6 第 24 题图 抛物线位于顶点右侧上的一个动点含顶点为轴上的另一个动点连结当是标为求二次函数的解析式求四边形的面积在轴上是否存在点使得是以为图可知又由对称轴为可知分第题图当为直角顶点时如图过作轴于即整理学习必备 欢迎下载 由061214422baab 解得：a=161,b=41 该抛物线的解析式为 y=161x241x6-3 分 方法二：A、B关于 x=2 对称 A（8，0）设 y=a(x 8)(x 12)C 在抛物线上 6=a8(12)即 a=161 该抛物线的解析式为：y=161x241x6-3分 （2）存在，设直线 CD垂直平分 PQ,在 RtAOC中，AC=2268=10=AD 点 D在对称轴上，连结 DQ 显然PDC=QDC，-4 分 由已知PDC=ACD QDC=ACD DQ AC-5分 DB=AB AD=20-10=10 DQ为ABC的中位线 DQ=21AC=5-6 分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 t=51=5(秒)存在 t=5(秒)时，线段 PQ被直线 CD垂直平分-7 分 在 RtBOC中,BC=22126=65 CQ=35 点 Q的运动速度为每秒553单位长度.-8 分（3）存在 过点 Q作 QH x 轴于 H，则 QH=3，PH=9 在 RtPQH中，PQ=2239=310-9 分 当 MP=MQ，即 M为顶点，抛物线位于顶点右侧上的一个动点含顶点为轴上的另一个动点连结当是标为求二次函数的解析式求四边形的面积在轴上是否存在点使得是以为图可知又由对称轴为可知分第题图当为直角顶点时如图过作轴于即整理学习必备 欢迎下载 图9BCOyxA设直线 CD的直线方程为：y=kx+b(k 0),则：bkb206 解得：36kb y=3x-6 当 x=1 时，y=3 M1(1,3)-10 分 当 PQ为等腰MPQ 的腰时，且 P为顶点.设直线 x=1 上存在点 M(1,y),由勾股定理得：42+y2=90 即 y=74 M2（1，74）M3（1，74）-11 分 当 PQ为等腰MPQ 的腰时，且 Q为顶点.过点 Q作 QE y 轴于 E，交直线 x=1 于 F，则 F(1,3)设直线 x=1 存在点 M(1,y),由勾股定理得：(y 3)2+52=90 即 y=365 M4(1,365)M5(1,365)-12 分 综上所述：存在这样的五点：M1(1,3),M2（1，74）,M3（1，74）,M4(1,365),M5(1,365).3（2006深圳市）如图 9，抛物线 y=ax2+8ax+12a 与x轴交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足 ACB为直角,且恰使OCA OBC.(1)求线段 OC的长.(2)求该抛物线的函数关系式(3)在x轴上是否存在点 P，使BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）32；（2）34338332xxy；（3）4 个点：)0,4(),0,0(),0,326)(0,326(20XX年龙岩市 25（14 分）如图，抛物线254yaxax经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A BC，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形若存抛物线位于顶点右侧上的一个动点含顶点为轴上的另一个动点连结当是标为求二次函数的解析式求四边形的面积在轴上是否存在点使得是以为图可知又由对称轴为可知分第题图当为直角顶点时如图过作轴于即整理学习必备 欢迎下载 在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由 A C B y x 0 1 1 抛物线位于顶点右侧上的一个动点含顶点为轴上的另一个动点连结当是标为求二次函数的解析式求四边形的面积在轴上是否存在点使得是以为图可知又由对称轴为可知分第题图当为直角顶点时如图过作轴于即整理
