2023年等差数列及其前n项和知识点总结归纳全面汇总归纳、经典高考题解析.pdf

学习必备 欢迎下载 等差数列及其前 n 项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本部分在高考中占 5-10 分左右.【趣味链接】高斯 7 岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把 1 到 100 的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是 101，第二个数加倒数第二个数的和也是 101，共有 50对这样的数，用 101 乘以 50 得到 5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。【知识梳理】一、等差数列的相关概念 1、等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差通常用字母 d 表示。2、等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2 推广：-11122(2)2nnnnnnaaanaaa 3、等差数列通项公式 若等差数列 na的首项是1a，公差是d，则 11naand 推广：dmnaamn)(，从而mnaadmn。4、等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和的公式：12nnn aaS；112nn nSnad 学习必备 欢迎下载 5、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa ).二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差0d 时，(1)等差数列的通项公式11(1)naanddn ad 是关于n的一次函数,斜率为d；(2)前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0。2、等差数列的增减性 若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。3、通项的关系 当m np q 时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp 时，则有2mnpaaa.注：12132nnnaaaaaa 4、常见的等差数列 （1）若na、nb为等差数列，则 12nnnabab，都为等差数列。（2）若na是等差数列，则232,nnnnnSSSSS，也成等差数列。（3）数列na为等差数列,每隔*()k kN项取出一项23(,)mm kmkmkaaaa仍为等差数列。5、前 n 项和的性质 设数列na是等差数列，d为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和.当项数为偶数n2时，则 121135212nnnn aaSaaaana 奇 22246212nnnn aaSaaaana 偶 11nnnnSSnanan aa偶奇 11nnnnSnaaSnaa奇偶 当项数为奇数12 n时，则 21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为21n的等差数列的中间项）6、求nS的最值（或求na中正负分界项）（1）因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN.（2）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才学习必备 欢迎下载 即当100ad，由001nnaa可得nS达到最大值时的n值.“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和.即当100ad，由001nnaa可得nS达到最小值时的n值.三、等差数列的判定与证明 1、等差数列的判定方法：（1）定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列；（2）等差中项：数列na是等差数列-11122(2)2nnnnnnaaanaaa；（3）数列na是等差数列naknb（其中bk,是常数）；（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）.2、等差数列的证明方法：定义法：若daann 1或daann 1(常数Nn)na是等差数列【经典例题】【例1】（2006全国）设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a315，a1a2a380，则a11+a12+a13等于（）A.120 B.105 C.90 D.75【解析】B【例 2】(2008 重庆)已知an为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）A.4 B.5 C.6 D.7【解析】C【例 3】（2006 全国）设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A8 B7 C6 D5【解析】D【例 4】（2012 四川）设函数3()(3)1f xxx，数列na是公差不为 0 的等差数列，127()()()14f af af a，则127aaa （）A.0 B.7 C.14 D.21【解析】D【例 5】（2009 湖南）设nS是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于()A13 B35 C49 D 63 【解析】C【例 6】（2009 全国理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=.进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才学习必备 欢迎下载【解析】24【例 7】（2009 辽 宁 理）等 差 数 列na的 前n项 和 为nS，且53655,SS则4a .【解析】31 【例 8】（2011 福建）已知等差数列an中，a1=1，a3=-3.（I）求数列an的通项公式；（II）若数列an的前 k 项和 Sk=-35，求 k 的值.【解析】（I）设等差数列an 的公差为 d，则 an=a1+（n-1）d 由 a1=1，a3=-3，可得 1+2d=-3，解得 d=-2，从而，an=1+（n-1）（-2）=3-2n；（II）由（I）可知 an=3-2n，所以 Sn=n1+(3 2n)2=2n-n2，进而由 Sk=-35，可得 2k-k2=-35，即 k2-2k-35=0，解得 k=7 或 k=-5，又 kN+，故 k=7 为所求【例 9】（2010 山东）已知等差数列na满足：73a，2675 aa，na的前n项和为nS.（）求na及nS；（）令112nnab（*Nn），求数列nb的前n项和为nT.【解析】（）12 nan，)2(nnSn（）)1(4nnTn【例 10】（2010 浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数an的前n项和Sn，满足S2S6150.（）若S5S.求Sn及a1;（）求 d 的取值范围.【解析】因为 SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以 d28.故 d 的取值范围为 d-2 或 d2.进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才学习必备 欢迎下载【课堂练习】1、（2011 江西卷）设na为等差数列，公差 d=-2，nS为其前 n 项和.若1011SS，则1a=（）A.18 B.20 C.22 D.24 2、（2006 重庆）在等差数列na中，若 a4+a6=12，Sn是数列na的前 n 项和，则 S9的值为（）A.48 B.54 C.60 D.66 3、（2009 福建）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若95a35a，则59SS（）A1 B-1 C2 D21 4、（2011 上海）设数列na的首项)Nn(2aa,7an1n1且满足，则1721aaa_.5、(2008 海南)已知an为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则 a5=_.6、（2012 北京）已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和，若211a，S2=a3，则 a2=_，Sn=_.7、（2012 浙江）已知数列an的前n项和为Sn，Sn=22nn，nN，数列bn满足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn.8、（2012 北京理）已知na是等差数列，21a，183a；nb也是等差数列，4a22 b，3214321aaabbbb.（1）求数列nb的通项公式及前n项和nS的公式；（2）数列na与nb是否有相同的项？若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，请说明理由.9、（2006 北京）设等差数列an的首项 a1及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.()若 a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若 a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.【课后作业】1、(2007 安徽)等差数列na的前n项和为nS，若则432,3,1Saa（）A12 B10 C.8 D6 2、(2008 广东)记等差数列na的前 n 项和为nS，若42S，204S，则该数列的公 差 d=（）进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才学习必备 欢迎下载 A7 B.6 C.3 D.2 3、（2009 全国）等差数列na中，已知31a1，4aa52，33an，则 n 为（）A48 B49 C.50 D51 4、（2007 四川）等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（）A9 B10 C.11 D12 5、（2008 福建）设 Sn是等差数列na的前 n 项和，若5935,95SSaa则（）A1 B1 C2 D21 6、（2010 北京）已知等差数列an满足 1231010 则有()A11010 B21000 C3990 D5151 7、（2010 全国 II 理）如果1a，2a，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则()A1a8a45a a B8a1a45a a C.1a+8a4a+5a D1a8a=45a a 8、（2012 北京理）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）A13 项 B12 项 C.11 项 D10 项 9、（2007全国）已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和为Sn=.10、（2006 山东）设nS为等差数列na的前 n 项和，4S14，30SS710，则9S .11、（2011 全国）等差数列na的前 n 项和记为 Sn.已知.50,302010aa（）求通项na；（）若 Sn=242，求 n.12、(2008 宁夏理)已知数列na是一个等差数列，且21a，55a .（1）求na的通项na；（2）求na前 n 项和nS的最大值.13、（2010 全国）设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT.进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才学习必备 欢迎下载 【参考答案】【课堂练习】1、B 2、B 3、A 4、153 5、15 6、12a，nnSn41412 7、（1）由 Sn=22nn，得：当 n=1 时，113aS；当 n2 时，1nnnaSS2222(1)(1)41nnnnn ，nN.由 an=4log2bn3，得21nbn，nN.（2）由（1）知1(41)2nnna bn，nN 所以2137 2 11 2.41 2nnTn ，2323 27 211 2.41 2nnTn ，21241 234(22.2)nnnnTTn (45)25nn(45)25nnTn，nN.8、解：（1）设an的公差为d1，bn的公差为d2 由a3=a1+2d1得 82ad131a 进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才学习必备 欢迎下载 所以68n)1n(82an，所以 a2=10,a1+a2+a3=30 依题意，得30d2344b6db2121解得3d3b21，所以 bn=3+3(n-1)=3n.23232)(21nnbbnSnn（2）设 an=bm,则 8n-6=3m,既8)2m(3n，要是式对非零自然数 m、n 成立，只需 m+2=8k,Nk,所以 m=8k-2，Nk 代入得，n=3k,Nk,所以 a3k=b8k-2=24k-6,对一切Nk都成立。所以，数列na与nb有无数个相同的项。令 24k-6100,得,1253k 又Nk，所以 k=1,2,3,4.即 100 以内有 4个相同项。9.解：（）由S14=98 得 2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3 （）由6,0,7711114aaS 得6,010,11132111adada 即122,0202,11132111adada 由+得7d11。即d711.由+得 13d1 即d131于是711d131 又dZ,故d=1 将代入得 10a112.又a1Z,故a1=11 或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,【课后作业】1、C 2、C 3、C 4、B 5、A 6、C 7、B 8、A 9、2n5n2 10、54 11、解：（）由,50,30,)1(20101aadnaan得方程组 .5019,30911dada 4 分 解得.2,121da 所以 .102 nan （）由242,2)1(1nnSdnnnaS得方程 .24222)1(12nnn 10 分 解得).(2211舍去或nn 12、解：（）设na的公差为d，由已知条件，得11145adad ，解出13a，2d 进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才学习必备 欢迎下载 所以1(1)25naandn （）21(1)42nn nSnadnn 24(2)n 所以2n 时，nS取到最大值4 13、解：设等差数列na的公差为d，则 dnnnaSn1211 77S，7515S，,7510515,721711dada 即,57,1311dada 解得 21a，1d.12121211ndnanSn，2111nSnSnn，数列nSn是等差数列，其首项为2，公差为21，nnTn49412.进了耶卡捷林宁国民小学读书不久高斯在数学上就显露出了常人难以比石板交了上去彪特耐尔起初并不在意这一举动心想这个小家伙又在捣乱的数用乘以得到这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法高斯的才