2023年第十九章特殊平行四边形.pdf

学习必备 欢迎下载 19.2.1 矩形(一)一、教学目标：1掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系 2会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题 3 渗透运动联系、从量变到质变的观点 二、重点、难点 1重点：矩形的性质 2难点：矩形的性质的灵活应用 3难点的突破方法：1矩形是在平行四边形的前提下定义的从定义出发，首先应该肯定，矩形是平行四边形，但它是特殊的平行四边形特殊之处就是有一个角是直角 因此在教学在我们采用运动方式探索矩形的概念及性质，如用多媒体或教具演示，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系 2通过教学还要使学生明确：（1）矩形是特殊的平行四边形，（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形；（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）3从边、角、对角线方面（可继续演示教具），让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质 （1）边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质 1 等价）；（2）角：四个角是直角（性质 1）；（3）对角钱：相等且互相平分（性质 2）4引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识，规范证明两条性质及推论并指出：推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系，是直角三角形很重要的一条性质，在求线段长或求线段倍分关系时，常用到这个结论 5矩形 ABCD 的两条对角线 AC，BD把矩形分成四个等腰三角形，即AOB，BOC，COD 和DOA让学生证明后熟记这个结论，以便在复杂图形中尽快找到解题的思路 三、例题的意图分析 例 1 是教材 P104 的例 1，它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用例 2 与例 3 都是补充的题目，其中通过例 2 的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式并能通过例 2、例 3 的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法 四、课堂引入 1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变学习必备 欢迎下载 平行四边形的形状 随着的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？当是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质 矩形性质 1 矩形的四个角都是直角 矩形性质 2 矩形的对角线相等 如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 五、例习题分析 例 1（教材 P104 例 1）已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求 解：四边形 ABCD 是矩形，AC 与 BD 相等且互相平分 OA=OB 又 AOB=60，OAB 是等边三角形 矩 形 的 对 角 线 长 AC=BD=2OA=2 4=8（cm）例 2（补充）已知：如图，矩形 ABCD，AB 长 8 cm，对角线比 AD 边长 4 cm求AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长 分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法 略解：设 AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在 RtABD中，由勾股定理：222)4(8xx，解得x=6 则 AD=6cm （2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE DB AD AB，解得 AE 4.8cm 例3（补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DFAE 于 F，若 AE=BC 求证：CEEF 分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AFBE，则问题解决，而证明 AFBE，只要证明ABEDFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形 证 明：四边形 ABCD是矩形，B=90 ，且 AD BC 1=2 DF AE，AFD=90 B=AFD又 AD=AE，ABEDFA（AAS）AF=BE EF=EC 此题还可以连接 DE，证明DEFDEC，得到 EFEC 六、随堂练习 1（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、（3）已知矩形的一条对角线长为 10cm，两条对角线的一个交角为 120，则矩形的边长分别为 cm，cm，cm，cm 2（选择）（1）下列说法错误的是（）（A）矩 形 的 对 角 线 互 相 平 分 （B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）（A）2 对 （B）4 对 （C）6 对 （D）8 对 3已知：如图，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，AE 平分BAD，AOD=120，求AEO 的度数 七、课后练习 1（选择）矩形的两条对角线的夹角为 60，对角线长为 15cm，较短边的长为（）(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 2在直角三角形 ABC 中，C=90，AB=2AC，求A、B 的度数 3已知：矩形 ABCD 中，BC=2AB，E 是BC 的中点，求证：EAED 4如图，矩形 ABCD 中，AB=2BC，且AB=AE，求证：CBE 的度数 19.2.1 矩形(二)一、教学目标：1理解并掌握矩形的判定方法 2使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力 二、重点、难点 1重点：矩形的判定 2难点：矩形的判定及性质的综合应用 3难点的突破方法：矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）而其它判定都是以“定义”为基础推导出来的因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法 对于判定方法 1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等对于判定 2，只要求是四边形即可，因为由有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是 平 行 四 边形 为了加深印象，我们安排了例 1，在教学中可以适当地再增加一些判断的题目 要让学生知道（1）矩形的判定方法有以下三种：一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直 角 的 四 边形（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件（3）特别地：如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论 在教学中，除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值 和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 三、例题的意图分析 本节课的三个例题都是补充题，例 1 在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例 2 是利用矩形知识进行计算；例 3 是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的 四、课堂引入 1什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2矩形有哪些性质？3矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法 矩形判定方法 1：对角钱相等的平行四边形是矩形 矩形判定方法 2：有三个角是直角的四边形是矩形（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角）五、例习题分析 例 1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形 ()指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论 例 2（补充）已知 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积 分析：首先根据AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出 ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值 解：四边形 ABCD 是平行四边形，AO=21AC，BO=21BD AO=BO，AC=BD ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）在 RtABC 中，AB=4cm，AC=2AO=8cm，BC=344822（cm）例3（补充）已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H求证：四边形 EFGH是矩形 分析：要证四边形 EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 来证明 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC DABABC=180 又 AE 平分DAB，BG 平分ABC，EABABG=21180=90 AFB=90 同 理 可 证 AED=BGC=CHD=90 四边形 EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）六、随堂练习 1（选择）下列说法正确的是（）（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形 2 已知：如图，在ABC 中，C90，CD为中线，延长 CD 到点 E，使得 DECD 连结 AE，BE，则四边形 ACBE 为矩形 七、课后练习 1工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使 ABCD，EFGH；摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是：；将直角尺靠紧窗框的一个角（如图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是：；2在 RtABC 中，C=90，AB=2AC，求A、B 的度数 19.2.2 菱形（一）一、教学目的：1掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系 2 理解并掌握菱形的定义及性质 1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积 3通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力 4根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想 二、重点、难点 1 教学重点：菱形的性质 1、2 2 教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用 3难点的突破方法：（1）课堂上演示由平行四边形改变成菱形 使学生对平行四边形与菱形的关系形成深刻的印象；（2）讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：强调菱形是平行四边形；一组邻边相等另外还需指出定义既是判定又是性质（3）菱形的性质，可以让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳 方法一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折(如教材 P107 的探究)，然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片；方法二：如图 1，两张等宽的纸条交叉和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 重叠在一起，重叠的部分 ABCD 就是菱形；图 1 图 2 方法三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形(如图 2)（3）要让学生知道性质 1 的已知：如图，菱形 ABCD，和结论：AB=BC=CD=DA 性质 2 的已知：如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，和结论：ACBD，AC 平分BAD 和BCD；BD平分ABC 和ADC并能灵活运用（4）指出：菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直（5）让学生知道：菱形 ABCD 被对角线 AC、BD 分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用这个结论（6）菱形的面积公式是 abAOBDAOBDSSABD21)21(22（其中 a、b 是菱形的两条对角线分别的长）即：“菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半”还要指出：当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积 S=底高 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，例 1 是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例 2 是教材P108 中的例 2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识 四、课堂引入 1（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子 五、例习题分析 例 1（补充）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC于 E 求证：AFD=CBE 证明：四边形 ABCD 是菱形，和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 CB=CD，CA 平分BCD BCE=DCE又 CE=CE，BCECOB（SAS）CBE=CDE 在菱形 ABCD 中，ABCD，AFD=FDC AFD=CBE 例 2（教材 P108 例 2）略 六、随堂练习 1若菱形的边长等于一条对角线的长，则它 的 一 组 邻 角 的 度 数 分 别为 2已知菱形的两条对角线分别是 6cm 和8cm，求菱形的周长和面积 3已知菱形 ABCD 的周长为 20cm，且相邻两内角之比是 12，求菱形的对角线的长和面积 4已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点，且 BE=DF求证：AEF=AFE 七、课后练习 1菱形 ABCD 中，DA=31，菱形的周长为 8cm，求菱形的高 2如图，四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形，其中对角线 BD 长 10cm，求（1）对角线 AC 的长度；（2）菱形 ABCD 的面积 19.2.2 菱形（二）一、教学目的：1理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力 二、重点、难点 1教学重点：菱形的两个判定方法 2教学难点：判定方法的证明方法及运用 3难点的突破方法：引入时，可以通过教材 P109 的探究、教材 P109 下面菱形的作图，及利用折纸、剪切的方法，让学生动起来，师生共同探究并归纳出菱形的几种判定方法 在判定一个图形是菱形时，用它的“定义”判定是最基本、最重要的方法，另外两个判定方法都是以定义为基础推导出来的 应用判定方法 1 时，要注意其性质包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直为了加深印象，也可以举一些反例提问学生，如对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？同时可用图来证实，虽然对角线ACBD，但它们都不是菱形 菱形常用的判定方法归纳为（让学生讨论归纳后，由教师小结并板书）：注意：（2）与（4）的题设也是从四边形出发，和矩形一样它们的题设条件都包含有平行四边形的判定条件如方法（4）、根据对角线互相平分，就可以首先判定四边形是平行四边形，这样，判定方法（4）就和判定方法（3）等同了 和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，其中例 1 是教材 P109 的例 3，例 2 是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成程度好一些的班级，可以选讲例 3 四、课堂引入 1复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质 1 菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2 个条件）2【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3【探究】（教材 P109 的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直 通过教材 P109 下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法 2 四边都相等的四边形是菱形 五、例习题分析 例 1（教材 P109 的例 3）略 例 2（补充）已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC分别交于 E、F 求证：四边形 AFCE 是菱形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AEFC 1=2 又 AOE=COF，AO=CO，AOECOF EO=FO 四边形 AFCE 是平行四边形 又 EFAC，AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)例 3（选讲）已知：如图，ABC中，ACB=90，BE 平分ABC，CDAB 与 D，EHAB 于 H，CD 交 BE 于 F 求证：四边形 CEHF 为菱形 略证：易证 CFEH，CE=EH，在RtBCE中，CBE+CEB=90，在RtBDF 中，DBF+DFB=90，因为CBE=DBF，CFE=DFB，所 以CEB=CFE，所以 CE=CF 所以，CF=CE=EH，CFEH，所以四边形CEHF 为菱形 六、随堂练习 1填空：（1）对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形是 ；（2）对角线互相垂直平分的四边形是_；（3）对角线相等且互相平分的四边形是_；（4）两 组 对 边 分 别 平 行，且 对 角 线 和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 的四边形是菱形 2画一个菱形，使它的两条对角线长分别为 6cm、8cm 3 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，DEAC，CEBD，DE 和 CE 相交于 E，求证：四边形 OCED 是菱形。七、课后练习 1下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （）（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分 2已知：如图，M 是等腰三角形 ABC 底边BC 上的中点，DMAB，EFAB，MEAC，DGAC求证：四边形 MEND 是菱形 3做一做：设计一个由菱形组成的花边图案花边的长为 15 cm，宽为 4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点画出花边图形 19.2.3 正方形 一、教学目的 1掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算 2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力 二、重点、难点 1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 2教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 3难点的突破方法：本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法重点是正方形定义 正方形学生在小学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定 学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知识 在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力另外，通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法（1）掌握正方形定义是学好本节的关键正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 是特殊的矩形，又是特殊的菱形教学时要结合教科书中 P110 中的图 19.214，具体说明正方形与矩形、菱形的关系这些关系是教学的一个难点，也是教学内容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚这些概念重叠交错，不易搞清楚，在教学这些内容时进度可稍放慢些 （2）因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结可以将正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 还要让学生注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质要使学生熟悉这些最基本的内容（3）对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定（4）正方形的性质和判定是本大节讲的平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综合可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容还可以通过本节的教学，澄清学生存在的一些模糊概念 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题，例 1 是教材P111 的例 4，例 2 与例 3 都是补充的题目 其中例 1 与例 2 是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质 例 3 是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形 随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习 1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入 1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系 问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2【问题】正方形有什么性质？和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质 五、例习题分析 例 1（教材 P111 的例 4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图）求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形 证明：四边形 ABCD 是正方形，AC=BD，ACBD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形，并且 ABO BCOCDODAO 例 2（补充）已知：如图，正方形 ABCD中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F 求证：OE=OF 分析：要证明 OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据 ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得 证明：四边形 ABCD 是正方形，AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE，EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF 例 3（补充）已知：如图，四边形 ABCD是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1l2，作 BMl1于 M，DNl1于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点 求证：四边形 PQMN是正方形 分析：由已知可以证出四边形PQMN 是矩形，再证ABM DAN，证出 AM=DN，用同样的方法证 AN=DP 即可证出 MN=NP 从而得出结论 证明：PNl1，QMl1，PNQM，PNM=90 PQNM，四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）1+2=90 又 3+2=90，1=3 ABM DAN和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP 即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）六、随堂练习 1正方形的四条边_ _，四个角_ _，两条对角线_ _ 2下列说法是否正确，并说明理由 对角线相等的菱形是正方形；（）对角线互相垂直的矩形是正方形；（）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）四 个 角 相 等 的 四 边 形 是 正 方形（）1 已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，E、F 分别 为 CD、CB 延长线上的点，且 DEBF 求证：AFEAEF 4如图，E 为正方形 ABCD 内一点，且EBC 是等边三角形，求EAD 与ECD 的度数 七、课后练习 1已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点 F 是 CB 的延长线上一点，且 DE=BF 求证：EAAF 2 已知：如图，ABC 中，C=90，CD 平分ACB，DEBC 于 E，DFAC 于 F 求证：四边形 CFDE是正方形 3已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分DAE 交 CD 于 F，求证：AE=BE+DF 193 梯形（一）一、教学目标：1 探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质 2 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算能力 3 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想 二、重点、难点 1重点：等腰梯形的性质及其应用 2难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用 3难点的突破方法：对于梯形的概念 要 注 意 以 下 几点：（1）梯形和平行四边形的共同点：都是凸四边形；（2）它们的区别：平行四边形是有两组对边平行；梯形 A B C D E F 和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边是相等的，而梯形平行的边是不能相等的；（3）对于上、下底（这是习惯叫法，不是定义）是以长短来区分的，而不是指位置关系 在研究梯形时，常用的辅助线是平行移动梯形的一腰或一条对角线，或者从梯形上底的两个端点作梯形的高，把梯形的问题转化为关于平行四边形或三角形的问题，应用三角形或平行四边形的知识来解决梯形问题 所以学好本大节内容的关键是引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，教学中要使学生熟悉本大节中常用的辅助线，并明确这些辅助线对于问题转化的作用 教学中要提醒学生，当证得新命题之后，要注意直接引用它们，不要再添加辅助线重复命题的证明过程 解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图 1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图 2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图 3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图 4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图 5）图1 图2 图 3 图 4 图 5 综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决 在教学时让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助 要注意的是：本教材为了降低难度，所有需要的辅助线在题目中都给出来了，因此我们在教学中要适当地选讲有关辅助线添加的题目，没必要让学生去做一些比较复杂的题 等腰梯形的性质与等腰三角形相仿，因此在推导其性质或需要添加辅助线时，可以借助等腰三角形来研究 尤其是根据等腰三角形是轴对称图形，可得到等腰梯形是轴对称图形这条性质，在总结等腰梯形的性质时，不要漏掉 教学中要注意引导学生证明等腰梯形的性质，尤其在证明“等腰梯形同一底上的两个角相等”这条性质时，“平移腰”和“作高”这两种常见的辅助线，在教学中头一次出现，可以借此机会，给学生介绍这两种辅助线的添加方法 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题，例 1 是教材P118 中的例 1 它是等腰梯形性质的直接运用题目比较简单，在教学中，最好让学生分析、讲解、解答 同时也要注意引导学生，在证明EAD 是等腰三角形时，要用到梯形的定义“上下底互相平行（ADBC）”这一点 例 2 与例 3 都是补充的题目，例 2 是一道计算题，例 3 是一道证明题，其用意一是为了巩固其概念，二是辅助线添加方法的练习，这两个题目的辅助线均是“平移一腰”，老师们在教学或练习中也可以再补充一些其它辅助线添加方法的题目，让学生多了解多见识（但由于本教材在梯形这一部分知识中，并没有添加辅助线的要求，因此所选的题目不要太难）通过题目的练习与讲解和性质理解矩形与平行四边形的区别与联系会初步运用矩形的概念和性的从定义出发首先应该肯定矩形是平行四边形但它是特殊的平行四边形理解矩形与平行四边形的关系通过教学还要使学生明确矩形是特殊的平学习必备 欢迎下载 应让学生知道：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决 在教学时应让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助 四、课堂引入 1创设问题情境引出梯形概念【观察】（教材 P117 中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？2画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（强调：梯形与平行四边形的区别和联系；上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的）（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高 （2）等