2023年补课讲义：平面向量doc.pdf

学习好资料 欢迎下载 平面向量 一、平面向量的概念及线性运算 基础梳理 1向量的有关概念(1)向量：既有 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 (2)零向量：长度等于 的向量，其方向 (3)单位向量：长度等于 的向量(4)平行向量：方向 的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：的向量 (6)相反向量：向量 2向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法 求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0.(2)运算律：设 ，是两个实数，则(a)()a；()a a a；(ab)a b.4共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 b a.方法与要点 1、一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 2、两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合 学习好资料 欢迎下载 C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)D 是ABC 的边 AB上的中点，则向量CD等于()ABC12BA BBC12BA C.BC12BA D.BC12BA 2判断下列四个命题：若 ab，则 ab；若|a|b|，则 ab；若|a|b|，则 ab；若 ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D4 3若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EFOFOE B.EFOFOE C.EFOFOE D.EFOFOE 4(2011 四川)如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF()A0 B.BE C.AD D.CF 5设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a b 与 2ab 共线，则 _.D.考点解析 考点一 平面向量的概念【例 1】下列命题中正确的是()Aa 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D有相同起点的两个非零向量不平行【训练 1】给出下列命题：若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；若 a 与 b 均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等 其中正确命题的序号是_ 考点二 平面向量的线性运算【例 2】如图，D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则()A.ADBECF0 B.BDCFDF0【训练 2】在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足BD2DC，则AD()A.23b13c B.53c23b C.23b13c D.13b23c 考向三 共线向量定理及其应用【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证：A，B，D 三点共线；与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载【训练 3】(2011 兰州模拟)已知 a，b 是不共线的向量，AB ab，ACa b(，R)，那么 A，B，C三点共线的充要条件是()A 2 B 1 C1 D1 二、平面向量基本定理及其坐标表示 A.基础梳理 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中不共线的向量 e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12 y2y12.3平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b 共线 B.方法与要点 1、一个区别 向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变，即O1A1OA(x，y)，但O1A1的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了变化 2、两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)已知 a1a2an0，且 an(3,4)，则 a1a2an1的坐标为()A(4,3)B(4，3)C(3，4)D(3,4)解析 a1a2an1an(3，4)答案 C 2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c()A3ab B3ab Ca3b Da3b 解析 设 cxayb，则 xy4，xy2，x3，y1.c3ab.答案 B 3(2012 郑州月考)设向量 a(m,1)，b(1，m)，如果 a 与 b 共线且方向相反，则 m 的值为()A1 B1 C2 D2 解析 设 a b(0)，即 m 且 1m.解得 m 1，由于 0，m1.答案 A 4设向量 a(1，3)，b(2,4)，若表示向量 4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c()A(4,6)B(4，6)C(4，6)D(4,6)解析 设 c(x，y)，则 4a(3b2a)c0，462x0，12126y0，x4，y6.答案 C 5已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_.解析 ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案 1 D.考点解析 考点一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图所示，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为 AH的中点，若AM AB AC，则 _.审题视点 由 B，H，C 三点共线可用向量AB，AC来表示AH.解析 由 B，H，C 三点共线，可令AHxAB(1x)AC，又 M 是 AH 的中点，所以AM12AH12xAB12(1x)AC，又AM AB AC.所以 12x12(1x)12.答案 12 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【训练 1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若ADxAByAC，则 x_，y_.与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 解析 以 AB所在直线为 x 轴，以 A为原点建立平面直角坐标系如图，令 AB2，则AB(2,0)，AC(0,2)，过 D 作 DF AB 交 AB 的延长线于 F，由已知得 DFBF 3，则AD(2 3，3)ADxAByAC，(2 3，3)(2x,2y)即有 2 32x，32y，解得 x132，y32.另解：ADAFFD132AB32AC，所以 x132，y32.答案 132 32 考点二 平面向量的坐标运算【例 2】已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且CM3CA，CN2CB.求 M，N 的坐标和MN.审题视点 求CA，CB的坐标，根据已知条件列方程组求 M，N.解 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，CA(1,8)，CB(6,3)CM3CA3(1,8)(3,24)，CN2CB2(6,3)(12,6)设 M(x，y)，则CM(x3，y4)x33，y424，得 x0，y20.M(0,20)同理可得 N(9,2)，MN(90,220)(9，18)利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练 2】在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD()A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)解析 由题意得BDADABBCAB(ACAB)ABAC2AB(1,3)2(2,4)(3，5)答案 B 考点三 平面向量共线的坐标运算【例 3】已知 a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数 k，使得 kab 与 a3b 共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求 k，然后判断方向 解 若存在实数 k，则 kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100.解得 k13.这时 kab103，43，所以 kab13(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数 k存在 与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练 3】(2011 西安质检)已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.79，73 B.73，79 C.73，79 D.79，73 解析 设 c(m，n)，则 ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又 c(ab)，3mn0，解得 m79，n73.答案 D 三、平面向量的数量积 A.基础梳理 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OAa，OBb，则AOB(0 180)叫做向量 a 与 b 的夹角，当 0 时，a 与 b 同向；当 180 时，a 与 b 反向；如果 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.2两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a0.3向量数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的数量积 4向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角则(1)e aa e|a|cos ；(2)aba b0；(3)当 a 与 b 同向时，a b|a|b|；当 a 与 b 反向时，a b|a|b|，特别的，a a|a|2或者|a|a a；(4)cos a b|a|b|；(5)|a b|a|b|.5向量数量积的运算律(1)a bb a；(2)a b(a b)a(b)；(3)(ab)ca cb c.6平面向量数量积的坐标运算 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为 ，则(1)a bx1x2y1y2；(2)|a|x21y21；(3)cosa，bx1x2y1y2x21y21 x22y22；(4)aba b0 x1x2y1y20.7若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，ABa，则|a|x1x22 y1y22(平面内两点间的距离公式)B.方法与要点 1、一个条件 两个向量垂直的充要条件：a bx1x2y1y20.与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 2、两个探究(1)若 a b0，能否说明 a 和 b 的夹角为锐角？(2)若 a b0，能否说明 a 和 b 的夹角为钝角？3、三个防范(1)若 a，b，c 是实数，则 abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量 a，b，c 若满足 a ba c(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为 120，而不是 60.C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若 a b3，则 a 与 b 的夹角为()A.3 B.4 C.23 D.34 解析 设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos a b|a|b|33212.又 0 ，23.答案 C 2若 a，b，c 为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc)B(ab)ca cb c Cm(ab)mamb D(a b)ca(b c)答案 D 3(2011 广东)若向量 a，b，c 满足 ab，且 ac，则 c(a2b)()A4 B3 C2 D0 解析 由 a b 及 a c，得 b c，则 c(a2b)c a2c b0.答案 D 4已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数 x 等于()A9 B4 C0 D4 解析 ab(1x,4)由 a(ab)，得 1x80.x9.答案 A 5(2011 江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则 a 与 b 的夹角为_ 解析 由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得 a b2，cosa，ba b|a|b|22212，又a，b 0，所以a，b3.答案 3 D.考点解析 考点一 求两平面向量的数量积【例 1】在ABC 中，M 是 BC 的中点，|AM|1，AP2PM，则PA(PBPC)_.审题视点 由 M 是 BC 的中点，得PBPC2PM.解析 如图，因为 M 是 BC 的中点，所以PBPC2PM，又AP2PM，|AM|1，与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 所以PA(PBPC)PA 2PM4|PM|249|AM|249，故填49.答案 49 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识【训练 1】如图，在菱形 ABCD 中，若 AC4，则CA AB_.解析 ABAOOB，故CA ABCA(AOOB)CA AOCA OB.而AO12CA，CA OB.所以CA AB12CA28.答案 8 考点二 利用平面向量数量积求夹角与模【例 2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求|ab|和|ab|.审题视点 由平面向量数量积的运算法则得 a b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角 解(1)(2a3b)(2ab)61，解得 a b6.cos a b|a|b|64312，又 0 ，23.(2)|ab|2a22a bb213，|ab|13.|ab|2a22a bb237.|ab|37.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|a a要引起足够重视，是求距离常用的公式【训练 2】已知 a 与 b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角 解 设 a 与 ab 的夹角为 ，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22a b|b|2.a b12|a|2，而|ab|2|a|22a b|b|23|a|2，|ab|3|a|.cos a ab|a|ab|a|212|a|2|a|3|a|32.0 180，30，即 a 与 ab 的夹角为 30.考点三 平面向量的数量积与垂直问题【例 3】已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求|ab|.审题视点 利用 a bx1x2y1y20 及 a bx1y2x2y10，求解 解(1)若 ab，则 a b(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理，得 x22x30，解得 x1 或 x3.(2)若 ab，则有 1(x)x(2x3)0，即 x(2x4)0，解得 x0 或 x2.当 x0 时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|22022.与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2 5.综上，可知|ab|2 或 2 5.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算【训练 3】已知平面内 A，B，C 三点在同一条直线上，OA(2，m)，OB(n,1)，OC(5，1)，且OAOB，求实数 m，n 的值 解 由于 A，B，C 三点在同一条直线上，则ACAB，ACOCOA(7，1m)，ABOBOA(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即 mnn5m90，又OAOB，2nm0.联立，解得 m6，n3或 m3，n32.四、平面向量的应用 A.基础梳理 1向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：aba b(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 aba b0 x1x2y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式 cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22(为 a 与 b 的夹角)2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量积即 WF s|F|s|cos (为 F 与 s 的夹角)B.方法与要点 1、一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 2、两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题 与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 C.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)某人先位移向量 a：“向东走 3 km”，接着再位移向量 b：“向北走 3 km”，则ab 表示()A向东南走 3 2 km B向东北走 3 2 km C向东南走 3 3 km D向东北走 3 3 km 解析 要求 ab，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作OAa“向东走 3 km”，ABb“向北走 3 km”，则OBOAABab.|OB|32323 2(km)，又OA与OB的夹角是 45，所以 ab 表示向东北走 3 2 km.答案 B 2平面上有四个互异点 A、B、C、D，已知(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC 的形状是()A直角三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D无法确定 解：由(DBDC2DA)(ABAC)0，得(DBDA)(DCDA(ABAC)0，(ABAC)(ABAC)0.所以|AB|2|AC|20，|AB|AC|，故 ABC 是等腰三角形 答案 C 3(2012 银川模拟)已知向量 a(cos ，sin )，b(3，1)，则|2ab|的最大值，最小值分别是()A4,0 B16,0 C2,0 D16,4 解析 设 a 与 b 夹角为 ，|2ab|24a24a bb284|a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16，即|2ab|2 0,16，|2ab|0,4 答案 A 4在ABC 中，已知向量AB与AC满足AB|AB|AC|AC|BC0 且AB|AB|AC|AC|12，则ABC 为()A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 解析 由AB|AB|AC|AC|BC0 知 ABC 为等腰三角形，ABAC.由AB|AB|AC|AC|12知，AB，AC60，所以 ABC 为等边三角形，故选 A.答案 A 5平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足OP OA4，则点 P 的轨迹方程是_ 解析 由OP OA4，得(x，y)(1,2)4，即 x2y4.答案 x2y40 D.考点解析 考点一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】(2010 辽宁)平面上 O，A，B 三点不共线，设OAa，OBb，则OAB 的面积等于()A.|a|2|b|2 a b2 B.|a|2|b|2 a b2 C.12|a|2|b|2 a b2 D.12|a|2|b|2 a b2 与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 审题视点 由数量积公式求出 OA 与 OB 夹角的余弦，进而得正弦，再由公式 S12absin ，求面积 解析 cos BOAa b|a|b|，则 sin BOA 1 a b2|a|2|b|2，S OAB12|a|b|1 a b2|a|2|b|212|a|2|b|2 a b2.答案 C 平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具：利用|a|可以求线段的长度，利用 cos a b|a|b|(为 a 与 b 的夹角)可以求角，利用 a b0 可以证明垂直，利用 a b(b0)可以判定平行【训练 1】设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，ac，|a|c|，则|b c|的值一定等于()A以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 B以 b，c 为邻边的平行四边形的面积 C以 a，b 为两边的三角形的面积 D以 b，c 为两边的三角形的面积 解析|b c|b|c|cos|，如图，a c，|b|cos|就是以 a，b 为邻边的平行四边形的高 h，而|a|c|，|b c|a|(|b|cos|)，|b c|表示以 a，b 为邻边的平行四边形的面积 答案 A 考点二 平面向量与三角函数的交汇【例 2】已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，2，32.(1)若|AC|BC|，求角 的值；(2)若AC BC1，求2sin2 sin 21tan 的值 审题视点 首先求出向量AC、BC的坐标，第(1)问利用两个向量的模相等建立角 的三角方程进行求解；第(2)问利用向量AC与BC数量积的坐标运算化简已知条件，得到角 的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式子之间的关系 解(1)AC(cos 3，sin )，BC(cos ，sin 3)，AC2(cos a3)2sin2 106cos ，BC2cos2(sin 3)2106sin ，由|AC|BC|，可得AC2BC2，即 106cos 106sin ，得 sin cos .又 2，32，54.(2)由AC BC1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos 23.与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 又2sin2 sin 21tan 2sin2 2sin cos 1sin cos 2sin cos .由式两边分别平方，得 12sin cos 49，2sin cos 59.2sin2 sin 21tan 59.解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决【训练 2】已知向量 a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a|b|,0 ，求 的值 解(1)因为 ab，所以 2sin cos 2sin ，于是 4sin cos ，故 tan 14.(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25，所以 12sin 2 4sin2 5.从而2sin 2 2(1cos 2)4，即 sin 2 cos 2 1，于是 sin2 422.又由 0 知，42 494，所以 2 454或 2 474.因此 2或 34.自我检测题 1、(2010 北京)若 a，b 是非零向量，且 ab，|a|b|，则函数 f(x)(xab)(xba)是()A一次函数且是奇函数 B一次函数但不是奇函数 C二次函数且是偶函数 D二次函数但不是偶函数【解析】：baaxbxbaxabxbaxxf222)()(，由0baba xabxf)()(22，|a|b|，)(xf是一次函数且是奇函数。【答案】：A 2、(2012 年高考浙江卷理科 5)设 a，b 是两个非零向量,下列命题正确的是()A若|ab|a|b|，则 ab B若 ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数 ，使得 a b D若存在实数 ，使得 a b，则|a b|a|b|3.(2012 年高考辽宁卷理科 3)已知两个非零向量 a，b 满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是()与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 (A)ab (B)ab (C)0,1,3 (D)a+b=ab 4、(2012年高考 天津卷理科 7)已知ABC 为等边三角形，=2AB，设点 P，Q 满足=APAB，=(1)AQAC，R，若3=2BQ CP，则=()（A）12 （）122 （）1102 （）32 22 5、(2012 年高考湖南卷理科 7)在ABC 中，AB=2，AC=3，1 BCAB 则 BC=()A.3 B.7 C.2 2 D.23 【答案】A【解析】由下图知AB BC=cos()2(cos)1AB BCBBCB.1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC，解得3BC.6、(2012 年全国卷理科 6)ABC中，AB边上的高为CD，若,0,|1,|2CBa CAb a bab，则AD()A1133ab B2233ab C3355ab D4455ab 【答案】D【解析】由0a b可得90ACB，故5AB，用等面积法求得2 55CD，所以4 55AD，故4444()5555ADABCBCAab，故选答案 D 7、(2012 年高考重庆卷理科 6)设,x yR，向量 4,2,1,1,cybxa，且cbca/,，则|ab ABC与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载（A）5 （B）10 （C）2 5 （D）10 8、设向量,a b c满足1|1,602aba bac bc ，则|c的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段 AC为直径时，|c最大.【解析】【解析】如图，构造AB a,AD b,AC c,120,60BADBCD，所以,A B C D四点共圆，可知当线段AC为直径时，c最大，最大值为 2.9、如图，在四边形 ABCD 中，|4,0,ABBDDCAB BDBD DC 4|DCBDBDAB，则ACDCAB)(的值为（）A.2 B.22 C.4 D.24【答案】：C【解析】：22)()()(DCBDDCABDCDCABBDABABDCBDABDCABACDCAB0DCBDBDAB,上式222DCDCABAB 又由0DCBDBDAB知：ABDC,DCABDCABDCAB0cos 2()()()(|).AB DCACAB DCABBDDCABDC|4,|2.|(|)4,ABBDDCABDCBDABDC ()4.AB DCAC 10、(2011 山东)设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4 A1A2(R)，且112，则称 A3，A4调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下列说法正确D C A B ABDC与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 的是()AC 可能是线段 AB 的中点 BD 可能是线段 AB 的中点 CC、D 可能同时在线段 AB上 DC、D 不可能同时在线段 AB的延长线上【解析】由1312AAAA(R)，1412AAAA(R)知:四点1A，2A，3A，4A在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112cd,若A成立，则0,2121.不可能；同理 B 也不可能。若 C 成立，则21111,1110,10，不成立；若 C、D 同时在 AB 的演唱线上，则2111,1 故选 D.【答案】D 二、填空题 1、(2011 湖南)在边长为 1 的正三角形ABC中，设2,3BCBD CACE，则_AD BE。错选 12(填错的结论多种)错因 搞错向量的夹角或计算错 正解 解法一、由题12ADCDCACBCA，13BECECBCACB，所以111171()()232364AD BECBCACACBCB CA 。解法二、由题意画出图形如图所示，取一组基底AB，AC，结合图形可得AD12(ABAC)，BEAEAB23ACAB，AD BE12(ABAC)23ACAB13AC212AB216AB AC131216cos 60 14.2、(2011 天津)已知直角梯形ABCD中，AD/BC,090ADC,2,1ADBC,P是腰DC上的动点，则3PAPB的最小值为_.解析 建立如图所示的坐标系，设hDC，则(2,0),(1,)ABh，设(0,),(0)Pyyh 则(2,),(1,)PAyPBhy，2325(34)255PAPBhy.答案 5 3、(2012 年高考安徽卷理科 14)若平面向量,a b满足：23ab；则a b的最小值是_ 4.(2012 年高考新课标全国卷理科 13)已知向量,a b夹角为45，且1,210aab；则_b 【解析】22210(2)1044cos 45103 2ababbbb 【答案】3 2 与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 5、在平行四边形ABCD中，3 A，边AB、AD的长分别为 2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|CDCNBCBM，则ANAM 的取值范围是 .【答案】5,2【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2 ADAB，所以 51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22ABCD 设 15155 15151(,1)(),-,-,(2,()sin).22224 284423N xxBMCNCNxBMxMxx 则根 据题意，有)83235,4821(),1,(xxAMxAN.所以83235)4821(xxxANAM2521x，所以25.AMAN 三、解答题 1、(本题满分 12 分)(2010 安徽)ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，cos A1213.(1)求AB AC；(2)若 cb1，求 a 的值 先求 sin A，再利用面积公式求 bc，最后利用数量积及余弦定理可解决 解答 由 cos A1213，得 sin A 112132513.(2 分)又12bcsin A30，bc156.(4 分)(1)AB ACbccos A1561213144(8 分)(2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A)121561121325，又 a0(10 分)a5.(12 分)三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用 2246510ADCBMN 与任一向量共线相等向量的向量相反向量向量向量的线性运算向量运算乘运算及其几何意义定义实数与向量的积是一个向量这种运算叫向量的得方法与要点一条规律一般地首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一学习好资料 欢迎下载 2、已知ABC 的面积 S 满足 3S3，且AB BC6，设AB与BC的夹角为 .(1)求 的取值范围；(2)求函数 f()sin2 2sin cos 3cos2 的最小值 解答(1)AB BC6，|AB|BC|cos 6.|AB|BC|6cos.又S12|AB|BC|sin()3tan ，33tan 3，即33tan 1.又(0，)，6 4.