2023年[精品]人教中职数学精品讲义第八章直线和圆的方程[份精品讲义].pdf

8.1.1 数轴上的距离公式与中点公式【教学目标】1.理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标 2.掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题 3.培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质【教学重点】数轴上的距离公式、中点公式【教学难点】距离公式与中点公式的应用【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法 先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此根底上进一步学习数轴上距离公式及中点公式本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜测，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣【教学过程】环节 教学内容 师生互动 设计意图 引 入 1数轴 2 数轴上的点与实数是 对应的 师：人类早期用石子来记数，但是石子记数不能移动，无法携带，于是人们又想到了用结绳等方法记数 我国古书?易经?上记载有“结绳记数的历史，即在一根长绳上打上结表示数 随着社会的进步，记数的方法也越来越准确、科学到了17 世纪，法国数学家笛卡儿创造了用直线和直线上的点来表示数的方法，这就是我们现在仍在沿用的数轴表示数的方法 师：数轴的三要素是什么？学生答复，教师展示数轴 通过引入激发学生学习的兴趣 新 课 1.数轴上点的坐标 在数轴上，如果点 P 与 x 对应，那么称点 P 的坐标为 x，记作 P(x)师：平面上我们用一对有序实数来表示一个点的位置，在数轴上，我们应当怎么表示一个点的位置呢？学生思考问题教师投影，给出数轴上点的坐标的定义及记法 学生理解概念，教师强调记法 由二维坐标到一维坐标，似乎违反了人的认知规律，但在以往的学习中，学生对两维坐标是熟悉的通过类比平面坐标得到轴上坐标，学生容易理解 x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 P 新 课 练习一 观察数轴，完成以下题目：1点 P 与3.5 对应，那么点P 的坐标是 ，记作 ；2 点 A的坐标是，记作 ；3 点 B 的坐标是，记作 ；4 点O 的坐标是，记作 2.数轴上的距离公式 探究一 如图，填空：1图中点 A的坐标是，B 的坐标是，C 的坐标是，点 D 的坐标是 ；2点 A 与 B 之间的距离|AB|=，点 C 与 A 之间的距离|CA|=，点 B 与 C 之间的距离|BC|=；3 你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？一般地，如果 A(x1)，B(x2)，那么这两点的距离公式为|AB|=|x2x1|探究二 在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如以下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？试求两个图中点 A与 B 之间的距 请同学们结合定义抢答以下问题 学生答复，教师点评 教师投影提出问题，学生分组讨论探究 教师巡视 第(2)题主要是引导学生从图象上直观地求距离 学生在尝试解决问题(3)的过程中，使认知得到升华 在探究的根底上，教师给出数轴上两点的距离公式 教师提出问题，学生观察并尝试解决 师：不管数轴在平面上怎么放置，两点间的距离公式是不变的 强化新知识的记忆与应用，以形成学生内在的素质 让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳出数轴上两点间的距离公式，形成知识的主动认知 使学生由感性认知算法上升到理性认知公式 探究二使学生认识到非水平放置的数轴上的两点间的距离公式是不改变的，特别是竖直放置的数轴上的距离问题，为下节解决平面直角坐标系中两点间的距离公式打下根底 x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 P B A O x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 C A D B y 0 1 2 3 4 1 2 3 4 A B x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 新 课 离 3.数轴上的中点公式 探究三 根据以下图答复以下问题：1点 A(1)，C(3)的中点坐标是多少？中点坐标与 A，C 两点的坐标有怎样的关系？2点 A(1)，D(1)的中点坐标是多少？中点坐标与 A，D 两点的坐标有怎样的关系？一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)的中点坐标 x 满足关系式 x x1x22 4.应用 例 点 A(3)，B(5)，求：1|AB|；2A，B 两点的中点坐标 解 1|AB|5(3)|8；2设点 M(x)是 A，B 两点的中点，那么 x 3521 即 A，B 的中点坐标为 1 练习二 点 A(6)，B(1)，C(2)，D(4.5)，E(7)，求：1|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；2A，B 的中点坐标，B，E 的中点坐标 教师投影提出问题，学生分组讨论探究 教师巡视 学生在尝试解决问题的过程中，探究中点公式 在探究的根底上，教师引导学生归纳出数轴上两点的中点公式 教师投影，先让学生思考，小组内合作尝试解答 教师在学生思考的根底上，找个别学生答复，并给予点评 小组合作完成，并采用抢答形式，提高课堂学习气氛 教师针对学生的解答给予点评 让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳得出数轴上两点间的中点公式 在实践中应用本节知识解决有关数轴上的距离和中点问题 检验并强化本节知识的应用 小 结 1数轴上点的坐标 2数轴上两点间的距离公式 3数轴上两点的中点公式 回忆本节主要内容，强化一个定义及两个公式 简洁明了地概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆 作 业 学生标记作业 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置 x 0 1 2 1 2 3 C A D 8.1.2 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式【教学目标】1.了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程 2.掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题 3.培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质【教学重点】平面直角坐标系中的距离公式、中点公式【教学难点】距离公式与中点公式的应用【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法本节教学中，将平面二维的数量关系转化为轴一维上的数量关系是关键先从复习上节内容入手，通过构建直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边长，从而利用勾股定理求出两点间的距离 最后讨论了平面直角坐标系中的中点公式 教学过程中，通过分组抢答的形式，充分调动学生的积极性 【教学过程】环节 教学内容 师生互动 设计意图 引 入 1一般地，如果 A(x1)，B(x2)，那么这两点的距离为|AB|x2x1|2一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)的中点坐标 x 满足关系式 xx1x22 师：上节我们学习了数轴上两点的距离公式与中点公式那么在平面直角坐标系内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求这两点的距离？如何计算这两点的对称中心的坐标？提 出 问题，激发学生的学生兴趣 新 课 1.距离公式 探究一 如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)过 A，B 分别向 x 轴、y 轴作垂线 AA1，AA2和 BB1，BB2，垂足分别为 A1，A2，B1，B2，其中直线 BB1和 AA2相交于点 C 两点的距离公式|AB|(x2x1)2(y2y1)2 探究二 求两点之间的距离的计算步骤：教师提出探究问题，学生根据已有的知识探究问题的解：1以上四个垂足的坐标分别是多少？2|AC|与|A1B1|关系如何？如何求|A1B1|？3|BC|等于多少？4在直角三角形ABC 中，如何求|AB|？5你能表示出|AB|吗？教师在学生探究的根底上，投影距离公式，并让学生记忆 师：你能说出求平面上 将探究问题细化为 5个小问题，层层递进，降低了问题的难度，从而有利于学生解答 为了学生便于理解，课件中将过A，B 两点向 x轴和y轴做垂线的过程，分解为分别向 x轴做垂线和向y轴做垂线x y B A C A1 A2 B2 B1 O 新 课 S1 给两点的坐标赋值 x1？，y1？，x2？，y2？S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 dxx2x1，dyy2y1；S3 计算 dd2xd2y；S4 给出两点的距离 d 例 1 A(2，4)，B(2，3)，求|AB|解 因为 x12，x22，y14，y23，所以 dxx2x1224，dyy2y13(4)7 因此|AB|d2xd2y (4)272 65 练习一 求两点之间的距离：1A(6，2)，B(2，5)；2C(2，4)，D(7，2)2.中点公式 探究三 如下图，假设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？设 M(x，y)是 A，B 的对称中心，即线段 AB的中点过 A，B，M 分别向 x 轴，y 轴作垂线，AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别是A1，A2，B1，B2，M1，M2 在平面直角坐标系内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点 M(x，y)的坐标满足 两点间距离的步骤吗？教师引导学生探究依据公式求两点距离的步骤 教师引导学生结合求平面上两点间的距离的步骤解答 学生练习，教师巡视指导 教师提出要探究的问题，学生解答以下问题：1 你能说出垂足 A1，A2，B1，B2，M1，M2的坐标吗？2点 M 是 AB 中点吗？M1是 A1，B1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？3M2是 A2，B2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？4你能写出点 M 的坐标吗？教师投影结论，学生理两步 在探究过程中，进一步深化对公式的理解与掌握 通过例题的解答，使学生明确求两点间距离的步骤 检验学生对公式掌握情况 将问题细化为 4 问，降低难度，学生容易在解答过程中得到公式 x y B A A1 A2 B2 B1 O M1 M2 M 新 课 xx1+x22，yy1+y22 例 2 求证：任意一点 P(x，y)与点 P(x，y)关于坐标原点成中心对称 证明 设 P 与 P 的对称中心为(x0，y0)，那么 x0 x+(x)2 0，y0y+(y)2 0 所以坐标原点为 P 与 P 的对称中心 练习二 求以下各点关于坐标原点的对称点：A(2，3)，B(3，5)，C(2，4)，D(3，5)例 3 坐标平面内的任意一点 P(a，b)，分别求它关于 x 轴的对称点 P，关于 y 轴的对称点 P的坐标 练习三 求以下点关于 x 轴和 y 轴的对称点坐标：A(2，3)，B(3，5)，C(2，4)，D(3，5)例 4 平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标 解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同设点 D 的坐标为(x，y)，那么 x+22 3+52 1 y22 022 1 解掌握 师：例 2 中，点 P 与 P的对称中心是P与P 的中点吗？坐标怎么求？是多少？教师强调本例题的结论 学生抢答，教师点评 师：1如果点 P 与P 关于 x 轴对称，PP 与 x 轴垂直吗？P 的横坐标是多少？2PP 与 x 轴的交点M 是线段 PP 的中点吗？M点的纵坐标是多少？3你能求出 P 的纵坐标吗？怎么求的？4 由以上分析，点 P的坐标是多少？5你能求出 P的坐标吗？教师在学生探究的根底上进行总结 学生抢答，教师点评 教师引导学生解答，强调 AC 的中点与 BD 的中点相同 教师标准解题步骤 将问题化归为求点 P与 P 的中点坐标 检验对例2所得结论的掌握 检验例 3的掌握情况 利用中点公式解决实际问题，进一步强化对公式的理解和掌握 x y P(a，b)O P P M 新 课 解得x0y4 所以顶点 D 的坐标为(0，4)练习四 平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，4)，C(6，2)，求顶点 D 的坐标 学生练习，教师巡视 强化训练 小 结 1直角坐标系中两点间的距离公式 2直角坐标系中两点的中点公式 3点的对称 教师引导学生回忆总结本节所学内容 简洁明了地概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆 作 业 标记作业 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置 8.2.1 直线与方程【教学目标】1.理解直线的方程的概念，会判断一个点是否在一条直线上 2.培养学生勇于发现、勇于探索的精神，培养学生合作交流等良好品质【教学重点】直线的特征性质，直线的方程的概念【教学难点】直线的方程的概念【教学方法】这节课主要采用分组探究教学法 本节首先利用一次函数的解析式与图象的关系，揭示代数方程与图形之间的关系，然后用集合表示的性质描述法阐述直线与方程的对应关系，进而给出直线的方程的概念本节教学中，要突出用集合的观点完成由形到数、由数到形的转化【教学过程】环节 教学内容 师生互动 设计意图 引 入 1用性质描述法表示大于 0 的偶数构成的集合，并判断1 和 6 在不在这个集合中 2 作函数 yx3 的图象，并判断点0，1和2，1在不在函数的图象上 教师提出问题，学生解答 教师点评 复习本节相关内容 新 课 1.函数与图象 一次函数的图象是一条直线，如yx+3 的图象是直线 AB，如下图 2.直线的特征性质 问题：平面直角坐标系中的任意一条直线，都是由点组成的集合但是，任意一点的坐标，到底怎样才能判断它是不是在给定直线上呢？例如，通过点2，0且垂直于x 轴的直线 l 师：yx+3 是一个代数方程，而直线AB是一个几何图形，也就是说，代数方程可以用几何图形表示，几何图形也可以用代数方程来表示 学生在教师引导下理解代数方程与几何图形的对应关系 师：既然直线是点的集合，那么我们就可以利用集合的特征性质来解决这一问题 师：如图，在直线 l 上的点的横坐标有什么特点？横坐标是2的点也一定在直线l上吗？直线 l 的特征性质能用 x2 来表述吗？学生答复教师提出的问题 由特殊到一般，为引入直线的方程提供根底 提出解决问题的方法 引导学生分析直线 l 的坐标特点，为概念的引入打下根底 x y B A O 3 3 1 新 课 3.直线的方程 一般地，在平面直角坐标系中，给定一条直线，如果直线上点的坐标都满足某个方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在直线上，那么这个方程叫做直线的方程 例 分别给出以下直线的方程：1直线 m 平行于 x 轴，且通过点(2，2)；2y 轴所在的直线 练习 1 写出垂直于 x 轴且过点 5，1的直线方程 2点a，3在方程为 yx+1的直线上，求 a 的值 师：对于平面直角坐标系中的任意一点，只要看它的坐标是否满足 x2，就能判断出点是否在直线 l 上 点 A(2，1)的坐标满足方程x2 吗？点 A在直线 l 上吗？点 B(2.3，2)满足方程 x2吗？点 B 在直线 l 上吗？教师强调要从两方面来说明某个方程是不是给定直线的方程 师：由上面分析，通过点(2，0)且垂直于 x 轴的直线 l 的方程是什么？学生答复 教师引导学生解答引导过程中进一步强调直线上的点的坐标都满足方程，而且满足这个方程的坐标所表示的点都在直线上 学生小组合作完成练习，教师巡视了解学生掌握情况 通过具体的例子来说明判断某点是否在给定直线上的方法 通过例题进一步加强学生对概念的理解 小 结 1直线的方程的概念 2判断一个点是否在直线上的方法 师生共同回忆本节内容，进一步深化对概念的理解 总结本节内容 作 业 学生标记作业 针 对 学 生 实际，对课后书面作业实施分层设置 x y B A O 3 2 1 1 2 8.2.2 直线的倾斜角与斜率【教学目标】1.掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围 2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系 3.让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力【教学重点】直线的倾斜角和斜率【教学难点】直线的斜率【教学方法】这节课主要采用讲练结合的教学法 本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上两个不同点坐标之间的关系直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念 【教学过程】环节 教学内容 师生互动 设计意图 引 入 1由一点能确定一条直线吗？2观察并答复以下问题：在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？教师提出问题，学生讨论答复 师：从图中可以看出，直线AC 比直线 AB更陡一些在数学中，我们用倾斜角和斜率来衡量直线相对于 x 轴的倾斜程度 引 入 本 节 课题 由直观图形引入问题，激发学生学习兴趣 新 课 1直线倾斜角的定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角 特别地，当直线与 y 轴垂直时，规定这条直线的倾斜角为 0 教师对定义进行三方面的诠释：1直线向上的方向；2x 轴的正方向；3最小的正角 学生结合图形理解倾斜角的概念 教师强调与 y 轴垂直的直线包括 x 轴的倾斜角 明确直线倾斜角的定义 x y B A O 1 1 1 C x y l O 新 课 2倾斜角的范围 0 0 时，方程表示以(D2，E2)为圆心，且半径为 12D2E24F的圆；2当 D2E24F0 时，方程表示点(D2，E2)；3当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 叫做圆的一般方程 练习一 求出以下圆的圆心及半径：1x2y26x0；2x2y24x6y120.例 1 求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标 解：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，其中 D，E，F 待定 学生思考教师提出的问题 师：将方程 x2y22x2y 80 配方，你能得到怎样的方程？学生根据教师提示分组解答，配方前方程分别为(x1)2(y1)26，(x1)2(y1)20，(x1)2(y1)22 学生猜测 教师强调配方法的应用，引导学生解答 师：将方程同圆的标准方程比拟，如果方程表示圆，必须满足怎样的条件？此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？学生答复，教师点评 师：由以上探究可知，只有当D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 才表示一个圆 师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程说明了圆的方程形式是二元二次方程 学生练习，教师巡视时应当引导学生用配方法求解 师：确定一个圆的标准方程需要知道哪几个值？要确定圆的一般方程呢？学生答复 师：先设所求方程为 般方程形式的认识 学生通过举例验证引出问题 2 让学生主动猜测 强调配方法在解决二次问题中的应用 类比圆的标准方程，探究方程二元二次方程表示圆的条件 强调圆的标准方程和一般方程的特点 新 课 由题意得 F0DEF204D2EF200 解得 D8，E6，F0 于是所求圆的方程为 x2y28x6y0 将这个方程配方，得(x4)2(y3)225 所以所求圆的圆心坐标是(4，3)，半径为 5 练习二 求经过三点(0，0)，(3，2)，(4，0)的圆的方程 例 2 一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)距离比为12的点轨迹，求这个曲线的方程 解 在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲线上的任意一点，点 M 在曲线上的充要条件是|OM|AM|12 由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为 x2y2(x3)2y2 12，两边平方并化简，得曲线方程 x2y22x30 将方程配方，得(x1)2y24.所以所求曲线是以 C(1，0)为圆心，半径为 2 的圆 练习三 求与两定点 A(1，2)，B(3，2)的距离比为 2 的点的轨迹方程 x2y2DxEyF0 师：根据圆经过三个点，这三个点的坐标应满足方程，所以我们会得到一个三元一次方程组 教师引导学生解方程组 师：求出 D，E，F 的值，所求圆的方程也就确定了 师：像这种求圆的一般方程的方法叫待定系数法 师：类似前面的讨论，我们可以用配方法表示出圆的标准方程，然后写出圆心坐标及半径 学生练习，教师巡视 师：请同学们回忆一下推导圆的标准方程时的过程 学生看书回忆，教师指明推导标准方程的主要步骤 师：设动点，写出动点 M 满足的条件 师：用点的坐标表示 M 满足的几何条件 师：化简方程 教师演示所得图形曲线 学生练习，教师巡视 让学生了解待定系法求圆的方程的一般步骤 类比推导圆的标准方程的步骤，让学生初步感悟求曲线方程的一般步骤和方法 强化训练 小 结 1圆的一般方程是 x2y2DxEyF0，其中 D2E24F0 2待定系数法求圆的一般方程 学生在教师的引导下回忆本节主要内容 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆 作 业 学生标记作业 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置 8.4 直线与圆的位置关系【教学目标】1.依据直线与圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标 2.能通过比拟圆心到直线的距离和半径之间的大小关系来判断直线和圆的位置关系 3.理解直线和圆的三种位置关系相离、相切、相交与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组解无解、有惟一解、有两组解的对应关系【教学重点】直线与圆的位置关系【教学难点】直线与圆的位置关系的判断及应用【教学方法】这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法本节之前，学生已学习了如何利用方程来研究两直线的位置关系 根据初中所学知识，可以利用圆心到直线的距离与半径的大小关系研究直线与圆的位置关系教材在处理直线与圆的位置关系时，从“形和“数两个方面进行了分析【教学过程】环节 教学内容 师生互动 设计意图 引 入 1点到直线的距离公式是？2怎样利用直线的方程来判断两条直线的位置关系？3直线和圆的位置关系有哪几种？每种关系中直线同圆的交点个数各是多少？提问学生答复，教师点评 师生共同回忆 学生答复，教师点评 复习本节相关知识，为学习新知识做准备 新 课 例 1 判断直线 l：y=x+2 和圆O：x2+y2=2 的位置关系 解 将直线和圆的方程联立，得 y=x+2 x2+y2=2 将式代入式，整理得 x2+2x+1=0，解得 x1 将 x1 代入式得 y1 所以直线l和圆O有且只有一个公共点1，1，即直线 l 和圆 O相切 探究 如果圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d：1 当 dr 时，直线与圆有几个交点？直线与圆的位置关系是怎样的？2 当 dr 时，直线与圆有几师：如果直线 l 和圆 O 有公共点，由于公共点同时在直线 l和圆 O 上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是 l 和圆O 的公共点 教师引导学生共同解答 教师利用投影显示直线与圆的三种位置关系，学生结合图形思考、讨论 由解方程的思想来解决直线与圆的位置关系，表达了代数与几何的统一 直线与圆的交点坐标就是它们联立的方程组的解 通过圆心到直线的距离与半径的关系来研究直线与圆的位置关系，在探究过程中，要注意数形结合 新 课 个交点？直线与圆的位置关系是怎样的？3 当 dr 时，直线与圆有几个交点？直线与圆的位置关系是怎样的？例 2 直线 l：x+y+C=0 和圆 M：(x1)2+(y+1)2=4，问 C 为何值时，直线 l 与圆 M 相交、相切、相离？解 显然，圆 M 的圆心为 M 1，1，半径 r2圆心 M 到直线 l的距离 d 为 d=|1+(1)+C|12+12|C|2 当 dr 时，即|C|22，C2 2或C2 2时，直线 l 和圆 M 相离；当 dr 时，即|C|22，C2 2或C2 2时，直线 l 和圆 M 相切；当 dr 时，即|C|22，2 2C2 2时，直线 l 和圆 M 相交 练习一 圆x2+y2-2 x+4y=0与 直 线y=kx+4，问 k 为何值时，直线与圆相交、相切、相离？例 3 写出过圆 O：x2+y2=10 上一点 M2，6，且与圆相切的直线 l 的方程 解 显然，直线 l 与直线 OM 是垂直的，而直线 OM 的斜率为 602062 由此可知直线 l 的斜率为(1)6263 由直线的点斜式方程可知直线 l 的方程为 y 663(x2)，即 6x3y5 60 结合探究所得结论，引导学生解答 师：例 2 中，圆心坐标是什么？半径呢？圆心到直线 l 的距离是多少？直线与圆有什么位置关系？注意解绝对值不等式容易发生错误 学生练习，教师巡视并个别指导 教师借助多媒体分析题意，利用圆的切线的几何性质，找出直线 l 与直线 OM 的斜率关系 教师引导学生解答 本例也可以设切线斜率为 k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解教师可以根据学生情况进行补充 讲解时要注意结合图形 强化训练 练习二 求过圆 x2+y2=4 上一点1，3的切线方程 学生练习，教师巡视指导 强化训练 小 结 1直线与圆的位置关系的代数解法解方程组 2直线与圆的位置关系的几何解法比拟 d 与 r 的关系 师生共同回忆本节所学内容 总 结 本 节 内容 作 业 学生标记作业 针 对 学 生 实际，对课后书面作业实施分层设置 8.5 直线与圆的方程的应用【教学目标】1.能根据实际问题中的数形关系，运用直线和圆的方程解决问题 2.通过本节例题教学，让学生认识数学与人类生活的密切联系，培养学生应用所学的数学知识解决实际问题的意识【教学重点】直线和圆的方程在解决实际问题中的应用【教学难点】根据实际问题中的数量关系列出直线和圆的方程【教学方法】这节课主要采用讲练结合的教学法 本节课紧密联系学生熟悉的生产和生活背景，有针对性地选择了可以利用直线方程和圆的方程解决的实际问题，通过师生共同研究，不仅可以稳固直线与圆的有关内容，并且提高了学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力 【教学过程】环节 教学内容 师生互动 设计意图 引 入 1点到直线的距离公式是什么？2圆上不共线的三点，如何来求圆的方程？学生答复，教师点评 师：前面我们学习了直线与圆的方程，下面学习直线与圆的方程的应用的例子 复 习 所 学 知识，为本节学习做准备 引入课题 新 课 例 1 在一次设计电路板的实验中，张明设计的电路板如图 教材图 8-23 所示单位：cm，现在张明要从 P 点连一条线到线段 AB，他想知道这条线的最短长度，你能替他计算出来吗？精确到 0.01 cm 解：不难看出，P 到直线 AB 的距离就是张明想知道的最短距离，所以可以利用直线的有关知识来解 以这块电路板的左下角为原点，建立平面直角坐标系，由图中尺寸可知 A(2，6)，B(16，8)，P(4，10)因此直线 AB的斜率 k8616217，所以直线 AB的方程为 y617(x2)，即 x7y400 从而可知P 到直线AB的距离为|47 10+40|12+(-7)226503.68，所以张明想知道的最短距离约为 教师引导学生建立直角坐标系 师：在所建立的直角坐标系中，A，B，P 三点的坐标各是什么？师：直线 AB的斜率怎么求？师：求出直线 AB的斜率后，怎么求直线 AB 的方程？师：你能求出 P 到直线的距离吗？直线方程的应用 解题过程中注意引导学生建立直角坐标系 新 课 3.68 cm 练习一 教材 P103 习题第 1 题 例 2 某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图 教材图8-24 所示的一局部现在陈阳所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈阳在零件上画了一条线段 AB，并作出了 AB 的垂直平分线 MN，而且测得AB8 cm，MN2 cm根据已有数据，试帮陈阳求出这个零件的半径 解 以 AB 中点 M 为原点，建立平面直角坐标系，由有 A(4，0)，B(4，0)，N(0，2)设过 A，B，N 的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入 A，B，N 的坐标，可得 164DF0164DF042EF0 解得D0E6F16 因此所求圆的方程为 x2+y2+6y16=0，化为标准方程是 x2+(y+3)2=52.所以这个零件的半径为 5 cm 练习二 教材 P103 习题第 2 题 师：建立坐标系后，点 A，B，N 三点的坐标各是多少？师：你会解这个方程组吗？师：怎么求半径？学生练习，教师巡视指导 圆的方程的应用 解题过程中注意引导学生建立直角坐标系 小 结 1直线方程的应用 2圆的方程的应用 师生共同回忆本节所学内容 总 结 本 节 内容 作 业 学生标记作业 第 2 题难度较大，需要帮助学生分析