2023年初三数学二次函数专题训练含标准超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

1/22 二次函数专题训练（含答案）一、填空题 1.把抛物线221xy向左平移 2 个单位得抛物线，接着再向下平移 3 个 单位，得抛物线.2.函数xxy22图象的对称轴是，最大值是.3.正方形边长为 3，如果边长增加 x 面积就增加 y，那么 y 与 x 之间的函数关系是.4.二次函数6822xxy，通过配方化为khxay2)(的形为.5.二次函数caxy2（c 不为零），当 x 取 x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则 x1与 x2的关系是.6.抛物线cbxaxy2当 b=0时，对称轴是，当 a，b 同号时，对称轴在 y 轴侧，当 a，b 异号时，对称轴在 y 轴侧.7.抛物线3)1(22xy开口，对称轴是，顶点坐标是.如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是.8.若 a 0，则函数522axxy图象的顶点在第象限；当 x4a时，函数值随 x 的增大而.9.二次函数cbxaxy2（a0）当 a 0 时，图象的开口 a 0 时，图象的开口，顶点坐标是.10.抛物线2)(21hxy，开口，顶点坐标是，对称轴是.11.二次函数)()(32xy的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312xy，当 x 时，函数值随 x 的增大而减小.13.已知直线12 xy与抛物线kxy25交点的横坐标为 2，则 k=，交点坐标为.14.用配方法将二次函数xxy322化成khxay2)(的形式是.15.如果二次函数mxxy62的最小值是 1，那么 m的值是.二、选择题：16.在抛物线1322xxy上的点是（）A.（0，-1）B.0,21 C.（-1，5）D.（3，4）2/22 17.直线225 xy与抛物线xxy212的交点个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个 18.关于抛物线cbxaxy2（a0），下面几点结论中，正确的有（）当 a 0 时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小，对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，当 a 0 时，情况相反.抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.只要解读式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.一元二次方程02cbxax（a0）的根，就是抛物线cbxaxy2与 x 轴交点的横坐标.A.B.C.D.19.二次函数 y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（）A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3 20.如果一次函数baxy的图象如图代 13-3-12中 A所示，那么二次函2axy bx-3 的大致图象是（）图代 13-2-12 21.若抛物线cbxaxy2的对称轴是,2x则ba（）A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xay 的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2axaaxy的性 质说得全对的是（）A.开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与正半 y 轴相交 B.开口向下，对称轴在 y 轴左侧，图象与正半 y 轴相交 C.开口向上，对称轴在 y 轴左侧，图象与负半 y 轴相交 D.开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与负半 y 轴相交 23.二次函数cbxxy2中，如果 b+c=0，则那时图象经过的点是（）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2axy 与xay（a 0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）3/22 图代 13-3-13 25.如图代 13-3-14，抛物线cbxxy2与 y 轴交于 A点，与 x 轴正半轴交于 B，C两点，且 BC=3，SABC=6，则 b 的值是（）A.b=5 B.b=-5 C.b=5 D.b=4 图代 13-3-14 26.二次函数2axy（a 0），若要使函数值永远小于零，则自变量 x 的取值范围是（）A X取任何实数 B.x 0 C.x 0 D.x 0 或 x 0 27.抛物线4)3(22 xy向左平移 1 个单位，向下平移两个单位后的解读式为（）A.6)4(22 xy B.2)4(22 xy C.2)2(22 xy D.2)3(32 xy 28.二次函数229kykxxy（k 0）图象的顶点在（）A.y轴的负半轴上 B.y轴的正半轴上 C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上 29.四个函数：xyxyxy1,1,（x 0），2xy（x 0），其中图象经过原 点的函数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 30.不论 x 为值何，函数cbxaxy2（a0）的值永远小于 0 的条件是（）A.a 0，0 B.a 0,0 C a 0,0 D.a 0,0 三、解答题 4/22 31.已知二次函数1222baxxy和1)3(22bxaxy的图象都经过 x 轴上两上不同的点 M，N，求 a，b 的值.32.已知二次函数cbxaxy2的图象经过点 A（2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与 x 轴交于两点 B（x1，0），C（x2，0），与 y 轴交于点 D，且132221xx，试问：y 轴上是否存在点 P，使得POB与DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过 P，B两点直线的解读式，若不存在，请说明理由.33.如图代 13-3-15，抛物线与直线 y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上 A，B两点，该 抛物线的对称轴 x=-21 与 x 轴相交于点 C，且ABC=90，求：（1）直线 AB的解读式；（2）抛物线的解读式.图代 13-3-15 图代 13-3-16 34.中图代 13-3-16，抛物线cxaxy32交 x 轴正方向于 A，B两点，交 y 轴正方 向于 C点，过 A，B，C三点做D，若D与 y 轴相切.（1）求 a，c 满足的关系；（2）设ACB=，求 tg；（3）设抛物线顶点为 P，判断直线 PA与O的位置关系并证明.35.如图代 13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为 x 轴，横断面的对称轴为 y 轴，桥拱的 DGD 部分为一段抛物线，顶点 C的高度为 8M，AD和 AD是两侧高为 5.5M 的支柱，OA和 OA 为两个方向的汽车通行区，宽都为 15M，线段 CD和 CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为 14.求（1）桥拱 DGD 所在抛物线的解读式及 CC 的长；（2）BE和 BE为支撑斜坡的立柱，其高都为 4M，相应的 AB和 AB为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求 AB和 AB的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于 0.4M，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为 7M，它能否从 OA（或 OA ）区域安全通过？请说明理由.5/22 图代 13-3-17 36.已知：抛物线2)4(2mxmxy与 x 轴交于两点)0,(),0,(bBaA（a b）.O 为坐标原点，分别以 OA，OB为直径作O1和O2在 y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22mxmxy与 x 轴都交于 A，B两点，且 A点在 x 轴 的正半轴上，B点在 x 同的负半轴上，OA的长是 a，OB的长是 b.（1）求 m的取值范围；（2）若 ab=31，求 m的值，并写出此时抛物线的解读式；（3）设（2）中的抛物线与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点是 M，问：抛物线上是否存在点 P，使PAB的面积等于BCM 面积的 8 倍？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，请说明理由.38.已知：如图代 13-3-18，EB是O的直径，且 EB=6，在 BE的延长线上取点 P，使 EP=EB.A 是 EP上一点，过 A作O的切线 AD，切点为 D，过 D作 DFAB于 F，过 B作 AD的垂线BH，交 AD的延长线于 H，连结 ED和 FH.图代 13-3-18（1）若 AE=2，求 AD的长.（2）当点 A在 EP上移动（点 A不与点 E重合）时，是否总有FHEDAHAD？试证明你的结论；设 ED=x，BH=y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222mmxmmxy的图象与 x 轴的交点为 A，B（点 A在点 B右边），与 y 轴的交点为 C.（1）若ABC为 Rt，求 m的值；（2）在ABC中，若 AC=BC，求ACB的正弦值；（3）设ABC的面积为 S，求当 m为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代 13-3-19，在直角坐标系中，以 AB为直径的C交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，满足 OA OB=4 3，以 OC为直径作D，设D的半径为 2.6/22 图代 13-3-19（1）求C的圆心坐标.（2）过 C作D的切线 EF交 x 轴于 E，交 y 轴于 F，求直线 EF的解读式.（3）抛物线cbxaxy2（a0）的对称轴过 C点，顶点在C上，与 y 轴交点为 B，求抛物线的解读式.41.已知直线xy21和mxy，二次函数qpxxy2图象的顶点为 M.（1）若 M恰在直线xy21与mxy的交点处，试证明：无论 m取何实数值，二次函数qpxxy2的图象与直线mxy总有两个不同的交点.（2）在（1）的条件下，若直线mxy过点 D（0，-3），求二次函数 qpxxy2的表达式，并作出其大致图象.图代 13-3-20（3）在（2）的条件下，若二次函数qpxxy2的图象与 y 轴交于点 C，与 x同 的左交点为 A，试在直线xy21上求异于 M点 P，使 P在CMA 的外接圆上.42.如图代 13-3-20，已知抛物线baxxy2与 x 轴从左至右交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，且BAC=，ABC=，tg-tg=2,ACB=90.（1）求点 C的坐标；（2）求抛物线的解读式；（3）若抛物线的顶点为 P，求四边形 ABPC的面积.参 考 答 案 动脑动手 1.设每件提高 x 元（0 x10），即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10 x）件，设每天所获利润为 y 元，依题意，得 7/22)10100)(2(xxy.360)4(10200801022xxx 当 x=4 时（0 x10）所获利润最大，即售出价为 14 元，每天所赚得最大利润 360 元.2.43432xmmxy，当 x=0 时，y=4.当0,043432mxmmx时mmm34,321.即抛物线与 y 轴的交点为（0，4），与 x 轴的交点为 A（3，0），0,34mB.（1）当 AC=BC 时，94,334mm.4942xy（2）当 AC=AB 时，5,4,3ACOCAO.5343m.32,6121mm.当61m时，4611612xxy；当32m时，432322xxy.（3）当 AB=BC 时，22344343mm，78m.42144782xxy.可 求 抛 物 线 解 读 式 为：43232,461161,494222xxyxxyxy或8/22 42144782xxy.3.（1）)62(4)5(222mm 0)1(122222mmm 图代 13-3-21 不论 m取何值，抛物线与 x 轴必有两个交点.令 y=0，得062)5(222mxmx 0)3)(2(2mxx，3,2221mxx.两交点中必有一个交点是 A（2，0）.（2）由（1）得另一个交点 B的坐标是（m2+3,0）.12322mmd，m2+10 0，d=m2+1.（3）当 d=10 时，得 m2=9.A（2，0），B（12，0）.25)7(241422xxxy.该抛物线的对称轴是直线 x=7，顶点为（7，-25），AB的中点 E（7，0）.过点 P作 PM AB于点 M，连结 PE，则2222)7(,521aMEbPMABPE，2225)7(ba.点 PD在抛物线上，25)7(2ab.解联合方程组，得0,121bb.9/22 当 b=0 时，点 P在 x 轴上，ABP不存在，b=0，舍去.b=-1.注：求 b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.ABP为锐角三角形时，则-25b-1；ABP为钝角三角形时，则 b-1，且 b0.同步题库 一、填空题 1.3)2(21,)2(2122xyxy；2.81,41x；3.9)3(2 xy；4.2)2(22xy；5.互为相反数；6.y轴，左，右；7.下，x=-1,(-1,-3)，x-1；8.四，增大；9.向上，向下，abxabacab2,44,22；10.向下，（h,0），x=h；11.-1，-2；12.x-1；13.-17，（2，3）；14.91312 xy；15.10.二、选择题 16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D 三、解答题 31.解法一：依题意，设 M（x1，0），N（x2，0），且 x1x2，则 x1，x2为方程 x2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，axx221，1x122bx.x1，x2又是方程01)3(22bxax的两个实数根，x1+x2=a-3，x1x2=1-b2.112,322bbaa 解得 ;0,1ba或.2,1ba 当 a=1,b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，a=1，b=0 舍去.当 a=1；b=2 时，二次函数322xxy和322xxy符合题意.a=1，b=2.解法二：二次函数1222baxxy的图象对称轴为ax，二次函数1)3(22bxaxy的图象的对称轴为23ax，又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M，N，两个二次函数图象的对称轴为同一直线.10/22 23aa.解得 1a.两个二次函数分别为1222bxxy和1222bxxy.依题意，令 y=0，得 01222bxx，01222bxx.+得 022 bb.解得 2,021 bb.;0,1ba或.2,1ba 当 a=1，b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，a=1，b=0 舍去.当 a=1，b=2 时，二次函数为322xxy和322xxy符合题意.a=1，b=2.32.解：cbxaxy2的图象与 x 轴交于点 B（x1，0），C（x2，0），acxxabxx2121,.又132221xx即132)(21221xxxx，132)(2acab.又由 y 的图象过点 A（2，4），顶点横坐标为21，则有 4a+2b+c=4，212ab.解由组成的方程组得 a=-1,b=1,c=6.y=-x2+x+6.与 x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与 y 轴交点 D坐标为（0，6）.设 y 轴上存在点 P，使得POB DOC，则有（1）当 B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，有 11/22 6,3,2,ODOCOBODOPOCOB.OP=4，即点 P坐标为（0，4）或（0，-4）.当 P点坐标为（0，4）时，可设过 P，B两点直线的解读式为 y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.y=-2x-4.或 3,6,2,OCODOBOCOPODOB.OP=1，这时 P点坐标为（0，1）或（0，-1）.当 P点坐标为（0，1）时，可设过 P，B两点直线的解读式为 y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21k.121xy.当 P点坐标为（0，-1）时，可设过 P，B两点直线的解读式为 y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21k.121xy.（2）当 B（3，0），C（-2，0），D（0，6）时，同理可得 y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131xy，或 131 xy.33.解：（1）在直线 y=k(x-4)中，令 y=0，得 x=4.A点坐标为（4，0）.ABC=90.CBD BAO，OBOAOCOB，即 OB2=OA OC.又 CO=1，OA=4，OB2=14=4.OB=2（OB=-2舍去）B点坐标为（0，2）.12/22 将点 B（0，2）的坐标代入 y=k(x-4)中，得21k.直线的解读式为：221xy.（2）解法一：设抛物线的解读式为hxay2)1(，函数图象过 A（4，0），B（0，2），得.2,025haha 解得 .1225,121ha 抛物线的解读式为：1225)1(1212xy.解法二：设抛物线的解读式为：cbxaxy2，又设点 A（4，0）关于 x=-1 的对 称是 D.CA=1+4=5，CD=5.OD=6.D点坐标为（-6，0）.将点 A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入抛物线方程，得.0636,2,0416cbaccba 解得 2,61,121cba.抛物线的解读式为：2611212xxy.34.解：（1）A，B的横坐标是方程032cxax的两根，设为 x1,x2（x2 x1），C的 纵坐标是 C.又y 轴与O相切，OAOB=OC2.x1x2=c2.又由方程032cxax知 acxx21，acc 2，即 ac=1.（2）连结 PD，交 x 轴于 E，直线 PD必为抛物线的对称轴，连结 AD、BD，13/22 图代 13-3-22 ABAE21.ADEADBACB21.a 0,x2 x1，aaacxxAB54912.aAE25.又 ED=OC=c，25DEAEtg.（3）设PAB=，P点的坐标为aa45,23，又a 0，在 RtPAE中，aPE45.25AEPEtg.tg=tg.=.PAE=ADE.ADE+DAE=90 PA和D相切.35.解：（1）设 DGD 所在的抛物线的解读式为 caxy2，由题意得 G（0，8），D（15，5.5）.255.5,8cac解得.8,901ca 14/22 DGD 所在的抛物线的解读式为89012xy.41ACAD且 AD=5.5,AC=5.54=22(M).2215(2)(22ACOAOCcc）=74（M）.答：cc的长为 74M.（2）4,41BEBCEB，BC=16.AB=AC-BC=22-16=6（M）.答：AB和 AB的宽都是 6M.（3）在89012xy中，当 x=4 时，45377816901y.4519)4.07(45377 0.该大型货车可以从 OA（OA ）区域安全通过.36.解:（1）O1与O2外切于原点 O，A，B两点分别位于原点两旁，即 a 0，b 0.方程02)4(2mxmx的两个根 a，b 异号.ab=m+2 0，m -2.（2）当 m -2，且 m-4 时，四边形 PO1O2Q是直角梯形.根据题意，计算得22121bSQOPO四边形（或221a或 1）.m=-4时，四边形 PO1O2Q是矩形.根据题意，计算得22121bSQOPO四边形（或221a或 1）.（3）4)2()2(4)4(22mmm 0 方程02)4(2mxmx有两个不相等的实数根.m -2，.02,04mabmba a 0，b 0.O1与O2都在 y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设 A，B两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），A，B两点在原点的两侧，15/22 x1x2 0，即-（m+1）0，解得 m-1.)1()1(4)1(22mm 7)21(484422mmm 当 m -1 时，0，m的取值范围是 m -1.（2）ab=31，设 a=3k，b=k（k 0），则 x1=3k，x2=-k，).1()(3),1(23mkkmkk 解得 31,221 mm.31m时，3421xx（不合题意，舍去），m=2 抛物线的解读式是32xxy.（3）易求抛物线322xxy与 x 轴的两个交点坐标是 A（3，0），B（-1，0）与 y 轴交点坐标是 C（0，3），顶点坐标是 M（1，4）.设直线 BM的解读式为qpxy，则 .)1(0,14qpqp 解得 .2,2qp 直线 BM的解读式是 y=2x+2.设直线 BM与 y 轴交于 N，则 N点坐标是（0，2），MNCBCNBCMSSS.111211121 设 P点坐标是（x,y），BCMABPSS 8，1821yAB.16/22 即 8421y.4y.4y.当 y=4 时，P点与 M点重合，即 P（1，4），当 y=-4 时，-4=-x2+2x+3，解得 221x.满足条件的 P点存在.P点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(.38.（1）解：AD切O于 D，AE=2，EB=6，AD2=AE AB=2（2+6）=16.AD=4.图代 13-2-23（2）无论点 A在 EP上怎么移动（点 A不与点 E重合），总有FHEDAHAD.证法一：连结 DB，交 FH于 G，AH是O的切线，HDB=DEB.又BH AH，BE为直径，BDE=90 有 DBE=90-DEB =90-HDB =DBH.在DFB和DHB 中，DF AB，DFB=DHB=90，DB=DB，DBE=DBH，DFB DHB.BH=BF，BHF是等腰三角形.BG FH，即 BD FH.ED FH，FHEDAHAD.17/22 图代 13-3-24 证法二：连结 DB，AH是O的切线，HDB=DEF.又DF AB，BH DH，EDF=DBH.以 BD为直径作一个圆，则此圆必过 F，H两点，DBH=DFH，EDF=DFH.EDFH.FHEDAHAD.ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，EF=6y.又DF是 RtBDE斜边上的高，DFE BDE，EBEDEDEF，即EBEFED2.)6(62yx，即6612xy.点 A不与点 E重合，ED=x 0.A从 E向左移动，ED逐渐增大，当 A和 P重合时，ED最大，这时连结 OD，则 OD PH.ODBH.又 12,936PBEOPEPO，4,POPBODBHPBPOBHOD，246,4BFEBEFBHBF，由 ED2=EF EB得 12622x，x 0，32x.0 x32.（或由 BH=4=y，代入6612xy中，得32x）故所求函数关系式为6612xy（0 x32）.18/22 39.解：294)2(2942254222mmxxmmxmmxy,可得2942,0,0,294),0,2(22mmCmmBA.（1）ABC为直角三角形，OBAOOC2，即2942294422mmmm，化得0)2(2m.m=2.（2）AC=BC，CO AB，AO=BO，即22942 mm.429422mmOC.25BCAC.过 A作 AD BC，垂足为 D，ABOC=BC AD.58AD.545258sinACADACB.图代 13-3-25（3）COABSABC21.1)1()2(2942229421222uuummmm 212942mmu，当21u，即2m时，S 有最小值，最小值为45.19/22 40.解：（1）OA OB，OA OB=4 3，D的半径为 2，C过原点，OC=4，AB=8.A点坐标为0,532，B点坐标为524,0.C的圆心 C的坐标为512,516.（2）由 EF是D切线，OC EF.CO=CA=CB，COA=CAO，COB=CBO.RtAOB RtOCE RtFCO.OBOCABOFOAOCABOE,.320,5 OFOE.E点坐标为（5，0），F点坐标为320,0，切线 EF解读式为32034xy.（3）当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为 4512,516，可得.524,1,325.52453244,51622cbacabacab 5243252xxy.当抛物线开口向上时,顶点坐标为 4512,516，得.524,4,85.524,5844,51622cbacabacab 20/22 5244852xxy.综合上述，抛物线解读式为5243252xxy或5244852xxy.41.（1）证明：由,21mxyxy 有 mxx21，mymxmx31,32,23.交点)31,32(mmM.此时二次函数为mmxy31322 mmmxx31943422.由联立，消去 y，有 0329413422mmxmx.mmm3294413422.013891613891622mmmm 无论 m为何实数值，二次函数qpxxy2的图象与直线mxy总有两个 不同的交点.图代 13-3-26（2）解：直线 y=-x+m过点 D（0，-3），-3=0+m，21/22 m=-3.M（-2，-1）.二次函数为)1)(3(341)2(22xxxxxy.图象如图代 13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知CMA 为 Rt，且CMA=Rt，MC为CMA 外接圆直径.P在xy21上，可设nnP21,，由 MC为CMA 外接圆的直径，P在这个圆上，CPM=Rt.过 P分别作 PN y，轴于 N，PQ x 轴于 R，过 M作 MS y 轴于 S，MS的延长线与 PR的 延长线交于点 Q.由勾股定理，有 222QPMQMP，即222121)2(nnMP.22222213nnNPNCCP.202CM.而 222CMCPMP，20213121)2(2222nnnn，即 062252 nn，012452 nn，0)2)(65(nn.2,5621nn.而 n2=-2即是 M点的横坐标，与题意不合，应舍去.56n，此时 5321n.P点坐标为53,56.22/22 42.解：（1）根据题意，设点 A（x1，0）、点（x2，0），且 C（0，b），x1 0，x2 0，b 0，x1，x2是方程02baxx的两根，bxxaxx2121,.在 RtABC中，OC AB，OC2=OA OB.OA=-x1,OB=x2，b2=-x1x2=b.b 0,b=1，C（0，1）.（2）在 RtAOC的 RtBOC中，211212121baxxxxxxOBOCOAOCtgtg.2a.抛物线解读式为122xxy.图代 13-3-27（3）122xxy，顶点 P的坐标为（1，2），当0122xx时，21x.)0,21(),0,21(BA.延长 PC交 x 轴于点 D，过 C，P的直线为 y=x+1，点 D坐标为（-1，0）.DCADPBABPCSSS四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位ycADyDBp