2023年勾股定理练习含超详细解析答案.pdf

初二下 1 勾股定理练习 一、单选题（共 12 题；共 24 分）1.如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A和 B，然后把中点 C向上拉升 3cm 至 D点，则橡皮筋被拉长了（）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 2.如图，在 RtABC中，C=90，如果 AB=5，BC=3，那么 AC等于（）A.B.3 C.4 D.5 3.在下列的线段中，能组成直角三角形的是()A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 4.如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A.12 米 B.13 米 C.14 米 D.15 米 5.一直角三角形两边分别为 3 和 5，则第三边为（）A.4 B.C.4 或 D.2 6.在ABC中，C=90，若 AC=3，BC=4，则 AB=（）A.B.5 C.D.7 7.如图，一个梯子 AB长 2.5 米，顶端 A靠在墙 AC上，这时梯子下端 B与墙角 C距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得 BD长为 0.9 米，则梯子顶端 A下落了（）A.0.9米 B.1.3 米 C.1.5 米 D.2 米 8.若直角三角形的三边长分别为 2、4、x，则 x 的可能值有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 初二下 2 9.如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（）A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.50 海里 10.一个圆桶底面直径为 24cm，高 32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A.20cm B.50cm C.40cm D.45cm 11.如图所示：某商场有一段楼梯，高 BC=6m，斜边 AC是 10 米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A.8m B.10m C.14m D.24m 12.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面 1 米处折断，树尖 B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A.米 B.米 C.(米 D.3 米 二、填空题（共 8 题；共 8 分）13.在ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为 12cm，则ABC的面积为_cm2 14.若直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则它的斜边长为_ 15.直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为_ 初二下 3 16.如图，作一个长方形，以数轴的原点为中心，长方形对角线为半径，交数轴于点A，则点A表示的数是_ 17.如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8m 处，此时绳子末端距离地面 2m，则绳子的总长度为_ m 18.已知一个直角三角形的两条直角边的差为 2，两条直角边的平方和为 8，则这个直角三角形的面积是_ 19.已知 RtABC中，C=90，a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积等于_ cm2 20.学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_步（假设 1 米=2 步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！三、作图题（共 1 题；共 5 分）21.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，在图1中画出边长分别为：3，2，的三角形（不写画法）；在图2中画出边长分别为，4，4 的平行四边形（不写画法）初二下 4 四、计算题（共 1 题；共 5 分）22.已知，在ABC中，ACB=90，CDAB垂足为 D，BC=6，AC=8，求 AB与 CD的长 23.有两棵树，一棵高 10 米，另一棵高 4 米，两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多什么米？24.如图，梯形 ABCD是由三个直角三角形拼成的，各直角边的长度如图所示。(1)请你运用两种方法计算梯形 ABCD的面积；(2)根据（1）的计算，探索 a,b,c 三者之间的关系，并用式子表示出来。25.如图，为了测量旗杆 AB的高度，可以利用从旗杆顶端垂下的绳子，当绳子垂直地面时，量得绳子比旗杆多 1m，将绳子拉直到地面的 C点，测得 CB的长为 5m，求旗杆 AB的高度 初二下 5 26.如图，已知某学校 A与直线公路 BD相距 3000 米，且与该公路上一个车站 D相距 5000 米，现要在公路边建一个超市 C，使之与学校 A及车站 D的距离相等，那么该超市与车站 D的距离是多少米？27.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发，甲轮船以 20 海里/时的速度向南偏东 45 方向航行，乙轮船向南偏西45 方向航行已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？28.如图，在一棵树的 10 米高 B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 米的池塘 C，而另一只爬到树顶 D后直扑池塘 C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？29.小红同学要测量 A、C两地的距离，但 A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在 A、C同一水平面上选取了一点 B，点 B可直接到达 A、C两地她测量得到 AB=80米，BC=20米，ABC=120请你帮助小红同学求出 A、C两点之间的距离（参考数据 4.6）30.已知：如图 RtABC中，C=90，AC=+1，BC=1求：初二下 6 （1）RtABC的面积；（2）斜边 AB的长 31.如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，（1）判断ABC的形状，说明理由 （2）求 A到 BC的距离 32.一架方梯 AB长 25 米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙 7 米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？33.如图，在ABC中，ADBC，垂足为 D，B=60，C=45 （1）求BAC的度数 （2）若 AC=2，求 AB的长 初二下 7 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】A 【解析】【解答】根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据RtBCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了（5+5）8=2cm 故答案为：A【分析】由勾股定理得出 BD的长，根据题意 AD=BD，从而计算出橡皮筋被拉长了的米数。2.【答案】C 【解析】【解答】在 RtABC中，C=90，AB=5，BC=3，AC=4 故答案为：C【分析】依据勾股定理可得到 AC=，然后将 AB、BC的值代入计算即可.3.【答案】C 【解析】【解答】解：A、12+2232 ，B、22+3242 ，D、42+5262 ，故错误；C、32+42=52 ，本选项正确 故选 C.【分析】要组成直角三角形，三条线段满足较小的平方和等于较大的平方即可.4.【答案】A 【解析】【解答】解：如图，梯子的底端离建筑物 5 米，梯子长为 13 米，AC=12（米）故选 A 【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可 5.【答案】C 【解析】【解答】解：当 5 是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是 4；当 5 是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 =故选 C【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论 6.【答案】B 初二下 8 【解析】【解答】解：在直角ABC中，C=90，AB为斜边，则 BC2+AC2=AB2 ，又AC=3，BC=4，则 AB=5 故选 B【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即BC2+AC2=AB2 ，结合 AC=3，BC=4，可求出斜边 AB的长度 7.【答案】B 【解析】【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得 AC和 CE的长即可【解答】在 RtACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，AC=2，BD=0.9，CD=2.4 在 RtECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，EC=0.7，AE=AC-EC=2-0.7=1.3 故选 B【点评】考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的熟练运用勾股定理是解答题目的关键 8.【答案】B 【解析】【分析】x 可为斜边也可为直角边，因此解本题时要对 x 的取值进行讨论【解答】当 x 为斜边时，x2=22+42=20，所以 x=2；当 4 为斜边时，x2=16-4=12，x=2 故选 B 【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意要分两种情况讨论 9.【答案】C 【解析】【解答】解：连接 BC，由题意得：AC=162=32（海里），AB=122=24（海里），初二下 9 CB=40（海里），故选：C【分析】首先根据路程=速度 时间可得 AC、AB的长，然后连接 BC，再利用勾股定理计算出 BC长即可 10.【答案】C 【解析】【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，线段 AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，AB=40cm 故桶内所能容下的最长木棒的长度为 40cm 故选 C 【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以 AC=24cm，CB=32cm，那么线段 AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形 ABC中利用勾股定理可以求出 AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度 11.【答案】C 【解析】【解答】解：ABC是直角三角形，BC=6m，AC=10m AB=8（m），如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为 AB+BC=8+6=14（米）故选：C【分析】先根据直角三角形的性质求出 AB的长，再根据楼梯高为 BC的高=6m，楼梯的宽的和即为 AB的长，再把 AB、BC的长相加即可 12.【答案】C 【解析】【分析】先根据勾股定理求得 BC的长，再根据题中树木的特征即可求得结果。由图可得.BC=所以树高为米.故选 C.【点评】勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。二、填空题 初二下 10 13.【答案】126 或 66 【解析】【解答】解：当B为锐角时（如图 1），在 RtABD中，BD=5cm，在 RtADC中，CD=16cm，BC=21，SABC=2112=126cm2；当B为钝角时（如图 2），在 RtABD中，BD=5cm，在 RtADC中，CD=16cm，BC=CD BD=165=11cm，SABC=1112=66cm2 ，故答案为：126 或 66【分析】分两种情况：当B为锐角时，当B为钝角时，根据勾股定理得出 BD,CD的长，从而得出 BC的长，利用面积法求出答案；14.【答案】10 【解析】【解答】解：因为直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，所以由勾股定理可得：斜边=15.【答案】【解析】【解答】解：由勾股定理得 （）2+（）2=斜边2 斜边=，故答案为 初二下 11 【分析】已知直角三角形的两条直角边，由勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即可求得斜边的长度 16.【答案】【解析】【解答】长方形的对角线长=，又点 A在数轴的负半轴，点 A表示的数是.故答案为：.【分析】先根据勾股定理求出长方形的对角线长，再根据点 A在数轴的负半轴，由此得出点 A所表示的数即可.17.【答案】17 【解析】【解答】解：如图所示：设绳子的总长度为 x，则 AC=AD=x，AB=（x2）m，BC=8m，在 RtABC中，AB2+BC2=AC2 ，即（x2）2+82=x2 ，解得：x=17，即绳子的总长度为 17m 故答案为：17 【分析】根据题意画出示意图，设绳子的总长度为 xm，可得 AC=AD=x，AB=（x2）m，BC=8m，在 RtABC中利用勾股定理可求出 x 即可 18.【答案】1 【解析】【解答】解：设较小的直角边为 x，则另一条直角边为 x+2，两条直角边的平方和为 8，x2+（x+2）2=8，解得 x=1 或 x=1（舍去），x+2=+1，这个直角三角形的面积=（1）（+1）=1 故答案为：1【分析】设较小的直角边为 x，则另一条直角边为 x+2，再由勾股定理求出 x 的值，得出其面积即可 19.【答案】24 【解析】【解答】解：RtABC中，C=90，a+b=14cm，c=10cm，由勾股定理得：a2+b2=c2 ，即（a+b）22ab=c2=100，1962ab=100，即 ab=48，初二下 12 则 RtABC的面积为ab=24（cm2）故答案为：24cm2 【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将 a+b 与 c 的值代入求出 ab 的值，即可确定出直角三角形的面积 20.【答案】4 【解析】【解答】解：在 RtABC中，AB2=BC2+AC2 ，则 AB=5（m），少走了 2（3+45）=4（步）故答案为：4【分析】根据勾股定理求得 AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即（AC+BC）AB 三、作图题 21.【答案】解：如图 1 所示：如图 2 所示：【解析】【分析】本题中 2 实际上是直角边长为 2 和 2 的三角形的斜边长，实际上是直角边长为 2 和 1 的矩形的三角形的斜边长，据此可找出所求的三角形；本题中 实际上是直角边长为 3 和2 的三角形的斜边长，然后据此画出平行四边形 四、计算题 22.【答案】解：在ABC中，ACB=90，CDAB垂足为 D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=10，初二下 13 SABC=ABCD=ACBC，CD=4.8 【解析】【分析】在直角三角形 ABC中，利用勾股定理求出 AB的长，再利用面积法求出 CD的长即可 五、解答题 23.【答案】解：如图，设大树高为 AB=10m，小树高为 CD=4m，过 C点作 CEAB于 E，则四边形 EBDC是矩形，连接 AC，EB=4m，EC=8m，AE=AB EB=10 4=6m，在 RtAEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行 10m 【解析】【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出 24.【答案】解：（1）此图可以这样理解，有三个 Rt其面积分别为ab，ab 和c2 因此：ab+ab+c2 还有一个直角梯形，其面积为（a+b）（a+b）（2）由图形可知：（a+b）（a+b）=ab+ab+c2 整理得（a+b）2=2ab+c2 ，a2+b2+2ab=2ab+c2 ，a2+b2=c2 【解析】【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系 25.【答案】解：设旗杆 AB的高度为 xm，在 RtABC中，由勾股定理得 AC2=AB2+BC2 ，则（x+1）2=52+x2 ，初二下 14 解得 x=12 答：旗杆 AB的高度为 12m 【解析】【分析】设旗杆 AB的高度为 xm，在 RtABC中，由 AC2=AB2+BC2 ，推出（x+1）2=52+x2 ，可得 x=12，由此即可解决问题 26.【答案】解：根据题意得：AC=CD，ABD=90 在直角三角形 ABD中，AB=3000，AD=5000，BD=4000（m），设 CD=AC=x米，BC=4000 x（米），在 RtABC中，AC2=AB2+BC2 ，即 x2=30002+（4000 x）2 解得：x=3125，答：该超市与车站 D的距离是 3125 米 【解析】【分析】根据题意，AC=CD，ABD=90，由 AB、AD的长易求 BD，设 CD=x米，则 AC=x，BC=BDx在直角三角形 ABC中运用勾股定理得关系式求解 27.【答案】解：甲轮船以 20 海里/时的速度向南偏东 45 方向航行，乙轮船向南偏西 45 方向航行，AOBO，甲以 20 海里/时的速度向南偏东 45 方向航行，OB=202=40（海里），AB=50海里，在 RtAOB中，AO=30，乙轮船平均每小时航行 302=15 海里 【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角然后根据路程=速度 时间，根据勾股定理解答即可 28.【答案】解：设 BD=x米，则 AD=（10+x）米，CD=（30 x）米，根据题意，得：（30 x）2（x+10）2=202 ，解得 x=5 即树的高度是 10+5=15 米 【解析】【分析】首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算 29.【答案】解：过 C作 CDAB交 AB延长线于点 D，ABC=120，CBD=60，在 RtBCD中，BCD=90CBD=30，BD=BC=20=10（米），CD=10（米），初二下 15 AD=AB+BD=80+10=90 米，在 RtACD中，AC=92（米），答：A、C两点之间的距离约为 92 米 【解析】【分析】首先过 C作 CDAB交 AB延长线于点 D，然后可得BCD=30，再根据直角三角形的性质可得 BD=10米，然后利用勾股定理计算出 CD长，再次利用勾股定理计算出 AC长即可 六、综合题 30.【答案】（1）解：S=ACBC=（+1）（1）=3（2）解：由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=（+1）2+（1）2=16，即 AB=4 【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式直接计算即可；（2）根据勾股定理来求 AB的长度即可 31.【答案】（1）解：ABC是直角三角形理由如下：在ABC中，AC=BC=AB=AC2+AB2=BC2 ，A=90，ABC是直角三角形；（2）解：设 BC边上的高为 h SABC=BCh=ABAC，h=【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出 AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；（2）设BC边上的高为h根据ABC的面积不变列出方程BCh=ABAC，得出h=，代入数值计算即可 初二下 16 32.【答案】（1）解：在 RtAOB中，AB=25米，OB=7米，OA=24（米）答：梯子的顶端距地面 24 米（2）解：在 RtAOB中，AO=244=20 米，OB=15（米），BB=157=8 米 答：梯子的底端在水平方向滑动了 8 米 【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得 OA=，再计算即可；（2）在直角三角形 AOB中计算出 OB的长度，再计算 BB即可 33.【答案】（1）解：BAC=18060 45=75 （2）解：AC=2，AD=ACsinC=2sin45=；AB=【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和是 180，用 180 减去B、C的度数，求出BAC的度数是多少即可（2）首先根据 AC=2，AD=ACsinC，求出 AD的长度是多少；然后在 RtABD中，求出 AB的长是多少即可