2023年北师大八年级数学上册第二章实数知识点归纳总结及习题.pdf

北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题 2 作者：日期：3 实数 知识点一、【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当)0(2 aax时，我们称 x 是 a 的平方根，记做：)0(aax。因此：1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；2、当 a0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：ax。3、当 a0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。例 1.（1）的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2）的平方根是它本身。（3）若x的平方根是2，则 x=；16的平方根是 （4）当 x 时，x23有意义。（5）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数 x 的平方等于 a，即ax2，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号 a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为 0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0 aa。3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例 2.（1）下列说法正确的是 （）A1的立方根是1；B24；（C）、81的平方根是3；（D）、0 没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、981 B、14.314.3 C、3927 D、235（3）2)3(的算术平方根是 。（4）若xx有意义，则 1x_。（5）已知ABC 的三边分别是,cba且ba,满足0)4(32ba，求 c 的取值范围。（7）如果 x、y 分别是 43 的整数部分和小数部分。求 x y 的值.（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64；12149；0.0004；(25)2；11.4 1.44，0，8，49100，441，196，104（9）(64)2等于多少？(12149)2等于多少？（10）(2.7)2等于多少？（11）对于正数a，(a)2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1)94=_，94=_；(2)(2)916=_，916=_；(3)94=_，94=_；(4)(4)2516_，2516=_.知识点四、【立方根】：1、如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3.（1）64 的立方根是 （2）若9.28,89.233aba，则 b 等于（）A.1000000 B.1000 C.10 D.10000（3）下列说法中：3都是 27 的立方根，yy33，64的立方根是 2，4832。其中正确的有 （）A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。应 5 当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：2、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下列各数：3.141、0.33333、75、252.、32、0.3030003000003（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,-,4,32其中无理数有()个 A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1，最小的正整数是 1.2、实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是a1（a0）；实数 a 的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例 5.（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和 2 之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、ba B、ab C、ba D、ab （3）如右图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数是3和-1，则点 C 所对应的实数是（）A.1+3 B.2+3 C.23-1 D.23+1 a 0 b 6 （4）实数a、b在轴上的位置如图所示，且ba，则化简baa2的结果为（）Aba 2 B.ba 2 C.b D.ba 2（5）比较大小(填“”或“”).3 10，3 320，76_67，215 21，（6）将下列各数：51,3,8,23，用“”连接起来；_。（7）若2,3ba，且0ab，则：ba=。（8）计算：32278115.041 323811613125.0 （9）已知：064.01,121732yx，求代数式3245102yyxx的值。基础练习一 a o b 7 一、选择题 1.下列数中是无理数的是（）A.0.1232 B.2 C.0 D.722 2.下列说法中正确的是（）A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 3.下列语句正确的是（）A.3.78788788878888 是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数 4.在直角ABC中，C=90，AC=23，BC=2，则AB为（）A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 5.面积为 6 的长方形，长是宽的 2 倍，则宽为（）A.小数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 6.2)2(的化简结果是（）A.2 B.2 C.2或2 D.4 7.9的算术平方根是（）A.3 B.3 C.3 D.3 8.(11)2的平方根是 A.121 B.11 C.11 D.没有平方根 9.下列式子中，正确的是（）A.55 B.6.3=0.6 C.2)13(=13 D.36=6 10.72的算术平方根是（）A.71 B.7 C.41 D.4 11.16 的平方根是（）A.4 B.24 C.2 D.2 12.一个数的算术平方根为a，比这个数大 2 的数是（）A.a+2 B.a2 C.a+2 D.a2+2 13.下列说法正确的是（）A.2 是4 的平方根 B.2是(2)2的算术平方根 C.(2)2的平方根是 2 D.8的平方根是 4 14.16的平方根是（）A.4 B.4 C.4 D.2 15.169 的值是（）A.7 B.1 C.1 D.7 16.下列各数中没有平方根的数是（）A.(2)3 B.33 C.a0 D.（a2+1）17.2a等于（）A.a B.a C.a D.以上答案都不对 18.如果a(a0)的平方根是m，那么（）A.a2=m B.a=m2 C.a=m D.a=m 19.若正方形的边长是a,面积为S，那么（）A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a=S D.S=a 二、填空题 1.在0.351，32，4.969696,6.751755175551,0,5.2333,5.411010010001 中，无理 数的个数有_.8 2._ 小数或_小数是有理数，_小数是无理数.3.x2=8,则x_分数，_整数，_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为 3 的正方形的边长_有理数；面积为 4 的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”)5.1214的平方根是_；6.(41)2的算术平方根是_；7.一个正数的平方根是2a1 与a+2，则a=_，这个正数是_；8.25的算术平方根是 _；9.92的算术平方根是 _；10.4的值等于_，4的平方根为 _；11.(4)2的平方根是 _，算术平方根是 _.三.判断题 1.0.01 是 0.1 的平方根.()2.52的平方根为 5.（）3.0和负数没有平方根.（）4.因为161的平方根是41,所以161=41.（）5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（）四、解答题 1.已知：在数43，24.1,3.1416,32,0,42,(1)2n,1.424224222 中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；2.要切一块面积为 36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？3.已知某数有两个平方根分别是a+3 与 2a15,求这个数.分母有理化 1分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。9 2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba 与ba 等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axb yaxb y与分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式 3分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化 3131 2(2)35 3 55 3(4)5 33 5 例题：把下列各式分母有理化：（1）abab (2)abab （3）122aa （4）2222babbab 【练习】1找出下列各式的有理化因式 (3)aa b (4)23 5a 2把下列各式分母有理化 2151 5272 3计算(5)ab(1)12(2)52(3)710(4)32622(6)()axaxa2(3)5 237 57(4)5 752(5)2xyxy(1)52 26326(2)238 11 10 233212323 1322322553 2211(3)2323 2(4)xyxyxyxyxy 4比较大小175与153 5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面：(1)62；(2)75；(3)214；(4)ba2；(5)332；6.计算：(1)499；(2)81342；(3)0225.016.0；(4)32436.06401.0；(5)10027；(6)6412125xy；1.计算(1)553155；(2)534(3；(3)53()5614(；(4)211321214621；专题讲解：类型一有关概念的识别 1、实数的有关概念 11 无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如：12,2 等，开方开不尽的数，如32,6等；特定结构的数，例 0.010 010 001 等；某些三角函数，如 sin60，cos45 等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16是有理数，而不是无理数。例 1下面几个数：0.23，1.010010001，3，其中，无理数的个数有（）A、1 B、2 C、3 D、4 例 2.（2010 年浙江省东阳县）73是 A无理数 B 有理数 C整数 D负数 举一反三：1.在实数中23，0，3，3.14，4中无理数有（）A 1 个 B2 个 C 3 个 D 4 个 2、平方根、算术平方根、立方根的概念 若 a0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；若 a0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是3a。【例 1】16的平方根是_【例 2】327 的平方根是_【例 3】下列各式属于最简二次根式的是（）A 225x+1 B.x y C.12 D.0.5【例 4】（2010 山东德州）下列计算正确的是（A）020 （B）331 （C）93 （D）235 【例 5】（2010 年四川省眉山市）计算2(3)的结果是 A3 B3 C3 D 9 举一反三：1.下列说法中正确的是（）A、的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数 2.1.25 的算术平方根是_；平方根是_.-27立方根是_._，12 _，_.类型二计算类型题 1.估算、比较大小 正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟 020 之间整数的平方和 010 之间整数的立方 例 1设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.解析：例 2.(2010 年浙江省金华)在-3，3，1，0 这四个实数中，最大的是（）A.-3 B.3 C.1 D.0 2.二次根式的运算 二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来解决这类问题应明确各种运算的含义(011(0),(0,)ppaaaapa是整数，运算时注意各项的符号，灵活运用运算法则，细心计算。例 1、计算321a+aa所得结果是_ 例 2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+21-2a+a其中 a=9 时”，得出了不同的答案，小明的解答：原式=a+21-2a+a=a+(1 a)=1，小芳的解答：原式=a+(a 1)=2a 1=291=17 _是错误的；错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：_ 例 3、计算：（1）（3222 3)(3 2+23)（2）20012002(2-3)(2+3)例 4、二次根式1a中，字母 a 的取值范围是（）A1a Ba1 C a1 D1a 举一反三：1.求下列各式中的 （1）（2）（3）13 类型三数形结合 例 1.点 A在数轴上表示的数为，点 B 在数轴上表示的数为，则 A，B 两点的距离为_ 举一反三：1.如图，数轴上表示 1，的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数是（）A1 B1 C2 D2 2。已知实数、在数轴上的位置如图所示：化简 3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A 表示的数是（）A、1 B、1.4 C、D、类型四实数绝对值的应用 例 4化简下列各式：(1)|-1.4|(2)|-3.142|(3)|-|(4)|x-|x-3|(x3)(5)|x2+6x+10|举一反三：【变式 1】化简：类型五实数非负性的应用 若a为实数，则2,|,(0)aaa a 均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于 0，则每个非负数都等于 0。例 5已知：=0，求实数 a,b 的值。举一反三：1.已知(x-2)2+|y-4|+6z=0，求 xyz 的值 14 2、已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。3、已知那么 a+b-c的值为_ 类型六实数应用题 例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。基础训练二 一、选择题 1下列各式中正确的是（）A B.C.D.2.的平方根是()A4 B.C.2 D.3.下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数-2是 4 的平方根 带根号的数都是 无理数。其中正确的说法有（）A3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 4和数轴上的点一一对应的是（）A整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 5对于来说（）A有平方根 B只有算术平方根 C.没有平方根 D.不能确定 6在（两个“1”之间依次多 1 个“0”）中，无理数 的个数有（）A3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 7面积为 11 的正方形边长为 x，则 x 的范围是（）A B.C.D.8下列各组数中，互为相反数的是（）A-2与 B.-与 C.与 D.与 9-8的立方根与 4 的平方根之和是（）15 A0 B.4 C.0 或-4 D.0 或 4 10已知一个自然数的算术平方根是 a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A B.C.D.二、填空题 11的相反数是_，绝对值等于的数是_，=_。12的算术平方根是_，=_。13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算术平方根等于它本身。14已知x的算术平方根是 8，那么 x 的立方根是_。15填入两个和为 6 的无理数，使等式成立：_+_=6。16大于，小于的整数有_个。17若2a-5 与互为相反数，则 a=_，b=_。18若a=6，=3，且 ab0，则 a-b=_。19数轴上点 A，点 B 分别表示实数则 A、B 两点间的距离为_。20一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a=_，x=_。三、解答题 21计算 +4 9+2（）（结果保留 3 个有效数字）22在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：参考答案：一:1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D 二：11、，-3 12、3，13、0；0，；0，1 14、15、答案 16 不唯一 如：16、5 17、18、-15 19、2 20、1，9 三：21、-17 -9 2-36 37.9 22、基础练习三 一、选择题 1.大于25，且不大于 32的整数的个数是（）A.9 B.8 C.7 D.5 2.下列几种说法：（1）无理数都是无限小数；（2）带根号的数是无理数；（3）实数分为正实数和负实数；（4）无理数 17 包括正无理数、零和负无理数。其中正确的有（）A.（1）（2）（3）（4）B.（2）（3）C.（1）（4）D.只有（1）3.要使33)3(x=3x，则 x 的取值范围()A.x 3 B.x3 C.0 x3 D.任意数 4.下列四个命题中，正确的是（）A.数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数 B.数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数 C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两个点之间还有无数个点 5.若 a 为正数，则有()A.a a B.a=a C.aa D.a与a的关系不确定 6.22不是()A.分数 B.小数 C.无理数 D.实数 7.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数 B.无理小数是无限小数 C.无理数的平方是无理数 D.无理数的平方不是整数 8.下列等式正确的是（）A43169 B 311971 C 393 D31312 9.实数 a 在数轴上的位置如图 2-6-2，则 a，-a，1a，2a的大小关系是（）.A.21aaaa-B.21aaaa-C.21aaaa-D.21aaaa0，则 ab=1；（）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，213，1234，227,0，9,318,2,8,(2 3)0，3 2，1.2121121112 中 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知 1x2，则|x 3|+(1-x)2 等于（）（A）2x（B）2（C）2x （D）2 4下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3,2 1，3，0 3，31，1+2，313 20 互为相反数：；互为倒数：互为负倒数：*5已知、是实数，且（X 2）2和2互为相反数，求，y 的值 6.若,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m的绝对值是 2，则|a+b|2m2+1+4m-3cd=。*7已知（3）224a+2 0，则=。三、解题指导：1下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数 4.如果 a 是实数，下列四种说法：（1）2和都是正数；（2），那么一定是负数，（3）的倒数是1a；（4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3*5比较下列各组数的大小：（1）34 45 (2)32 3 12 (3)ab0时,1a 1b 6若 a,b 满足|4-a2|+a+ba+2=0,则2a+3ba 的值是 *7实数 a,b,c在数轴上的对应点如图，其中 O是原点，且|a|=|c|(5)判定 a+b,a+c,c-b的符号(6)化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点 A表示数1，若 AB 3，则点 B所表示的数为 9已知 x0，且 y|x|，用连结 x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11（2011 广东茂名，9，3 分）对于实数a、b，给出以下三个判断：若ba，则 ba 若ba，则 ba 若ba，则 22)(ba其中正确的判断的个数是（）A3 B2 C1 D0 12若5的值在两个整数 a 与 a+1 之间，则 a=21 *13.数轴上作出表示 2，3，5 的点。四独立训练：10 的相反数是 ，3 的相反数是 ，38 的相反数是 ；的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，2 3 的倒数是 2数轴上表示32 的点它离开原点的距离是 。A表示的数是12，且 AB 13，则点 B表示的数是 。3 33,(12),227,0 1313,2cos60,31,1 101001000 (两 1 之间依次多一个 0),中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4.若 a 的相反数是 27，则a|；5若|a|2，则 a=5若实数 x，y 满足等式（x3）24y0，则 xy 的值是 6实数可分为（）（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零（D）正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于（）（A）1 （B）1 （C）12 （D）13 8当 a 为实数时，a2=a 在数轴上对应的点在（）(A)原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧*9代数式 的所有可能的值有（）（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）无数个 10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小 （2）化简|b a|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中 试化简：2 22 *12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920。求它的周长。13若 3，5 为三角形三边，化简：（2）2 （8）2