2023年完整七年级一元一次方程知识点归纳总结.pdf

一元一次方程 一、目录 1、从问题到方程 2、一元一次方程的解法 3、用一元一次方程解决实际问题 教学目标：（a）了解一元一次方程的定义 （b）运用一元一次方程的解法 （c）掌握用一元一次方程解决实际问题 二、知识点结构梳理及例题 一元一次方程 1.方程：含有未知数的等式叫做方程。2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。3.只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程可以化为 ax+b=0（a0）的形式，分母中不能含有未知数。4.求方程的解叫做解方程 定义类：1、如果 x3n-2-6=0是一元一次方程，则 n=_.2、下面的等式中，是一元一次方程的为（）A3x2y0 B3m 10 C2x1x Da216 3、如果（n-3）xn-2+5=0是关于 x 的一元一次方程，求 n 的值.4、如果关于 x 的方程（2m+5）x-3=2x，当 a 满足什么条件时，该方程 是一元一次方程？5、若 2x-17的绝对值与 18-3x的绝对值相等，则得到关于 x 的方程为 6、一个两位数，两个数位上的数字之和是 7，把两个数位上的数字对调后得到新的两位数，比原来的两位数大 25，求原来的两位数。（设出未知数，列出方程）练习：等式的性质（解方程的依据）1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果 a=b，那么 ac=bc。2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果 a=b，那么 ac=bc，ca=cb（c0）拓展：对称性：如果 a=b，那么 b=a，即等式的左右互换位置，所得的结果仍是等式；传递性：如果 a=b，b=c，那么 a=c（等量代换）练习：1等式的两边都加上（或减去）或 ，结果仍相等 2等式的两边都乘以 ，或除以 的数，结果仍相等 3下列说法错误的是（）A若则 B若，则 C若则 D若则 4.下列等式变形错误的是()A.由 a=b 得 a+5=b+5;B.由 a=b 得99ab;C.由 x+2=y+2 得 x=y;D.由-3x=-3y 得 x=-y 5.运用等式性质进行的变形,正确的是()A.如果 a=b,那么 a+c=b-c;B.如果abcc,那么 a=b;C.如果 a=b,那么abcc;D.如果 a2=3a,那么 a=3 6.如果方程 2x+a=x-1 的解是 x=-4,求 3a-2 的值是_.7已知 2x=3y（x0），则下列比例式成立的是（）A B C D 4在下列式子中变形正确的是（）A 如果 a=b，那么 a+c=bc B 如果 a=b，那么 C 如果，那么 a=2 D 如果 ab+c=0，那么 a=b+c 8下列说法正确的是（）A 如果 ab=ac，那么 b=c B 如果 2x=2ab，那么 x=ab C 如果 a=b，那么 D 等式两边同时除以 a，可得 b=c 9下列叙述错误的是（）A等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 B等式两边乘以（或除以）同一个数（或式子），结果仍相等 C锐角的补角一定是钝角 D如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等 10下列各式中，变形正确的是（）A若 a=b，则 ac=bc B若 2x=a，则 x=a2 C若 6a=2b，则 a=3b D若 a=b+2，则 3a=3b+2 9如果 a=b，则下列等式不一定成立的是（）A ac=bc B a+c=b+c C cbca D ac=bc 11下列等式变形错误的是（）A若 a+3=b1，则 a+9=3b3 B 若 2x6=4y2，则 x3=2y1 C若 x25=y2+1，则 x2y2=6 D若，则 2x=3y 12下列方程变形正确的是（）A由方程，得 3x2x2=6 B由方程，得 3（x1）+2x=1 C由方程，得 2x1=36x+3 D由方程，得 4xx+1=4 13已知等式 a=b 成立，则下列等式不一定成立的是（）A a+m=b+m B a=b C a+1=b1 D 14下列说法正确的是（）A在等式 ax=bx 两边都除以 x，可得 a=bB在等式两边都乘以 x，可得 a=b C在等式 3a=9b 两边都除以 3，可得 a=3 D在等式两边都乘以 2，可得 x=y1 15（2013东阳市模拟）如图 a 和图 b 分别表示两架处于平衡状态的简易天平，对 a，b，c三种物体的质量判断正确的是（）A acb B abc C cba D bac 16已知 mx=my，下列结论错误的是（）A x=y B a+mx=a+my C mxy=myy D amx=amy 17下列变形正确的是（）A若 x2=y2，则 x=y B若 axy=a，则 xy=1 C若 x=8，则 x=12 D若=，则 x=y 18如果，那么=_ 19已知 2y=5x，则 x：y=_ 20已知 3a=2b（b0），那么=_ 三、解答题：21.利用等式的性质解下列方程并检验:(1)x+3=2 (2)-12x-2=3 (3)9x=8x-6 (4)8y=4y+1 (5)7x-6=-5x (6)-35x-1=4;一元一次方程的解法 1.移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。移项要变号。2.解形如 mx+p=nx+q的一元一次方程（1）移项：根据等式性质，将含未知数的项移到方程的一边（通常是等号左边），常数项移到方程的另一边（通常是等号右边）mx-nx=q-p（2）合并同类项：化方程为 ax=b（a，b 为已知数，a0）的形式（m-n）x=q-p（3）未知数系数化为 1：根据等式性质，将方程从 ax=b 的形式化为 x=ab的形式nmpqx（4）算出n-mp-q的值，即为方程的解 2.解含有括号的方程：（1）根据去括号法则去括号；（2）移项；（3）化成标准形式 ax=b；（4）系数化为 1.注意：（1）去括号时要看清括号前面的符号，用去括号法则去括号；（2）括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘，不能漏乘任何一项。3.去分母解一元一次方程（1）去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数。（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为 1 练习：1、若2x是关于x的方程0132 mx的解，则m的值为（A ）A 1 B 0 C 1 D 31 2、已知3x是方程 k(x+4)2kx=5 的解，则 k 的值是 （A）3、若方程42xm与1213xx的解相同，则m的值是（B ）A 1 B 1 C 2 D 2 4、若78 x与x26的值互为相反数，则x的值为（D ）A 1013 B 61 C 1013 D 61 5、下列各题中正确的是（D ）A.由347 xx移项得347 xx B.由231312xx去分母得)3(31)12(2xx C.由1)3(3)12(2xx去括号得19324xx D.由7)1(2xx移项、合并同类项得x=5 6、已知(m3)x2m=18 是关于的一元一次方程,则(B )A m=2 B m=3 C m=3 D m=1 7、下列变形中，正确的是(B )A、若 ac=bc，那么 a=b。B、若cbca，那么 a=b C、ab，那么a=b。D、若 a2=b2那么 a=b 8、方程114xx 去分母正确的是（C ）.A 11xx B 414xx C 414xx D 411xx 9、关于 x 的方程 ax+3=4x+1 的解为正整数,则整数 a 的值为(D )A 2 B 3 C 1或 2 D 2 或 3 10、把方程17.012.04.01xx中分母化整数，其结果应为（B ）A 17124110 xx B 1710241010 xx C 17124110 xx D 1710241010 xx 二、填空题：1、若关于x的方程372xxa 的解与方程437x 的解相同，则a的值为 -6 2、方程2x3=1 1x6 去分母后得_4x=6-1+x 3、方程kxxx2416的解是 x=3，那么kk12的值等于 6535 4、已知三个数的比是5:7:9，若这三个数的和是 252，则这三个数依次是 60、84、108 5、.已知3y5x2，用含 x 的代数式表示 y，则 y 523x.6、有一个两位数，十位数字为 x，个位数字比十位数字大 1，且个位数字与十位数字之和是这个两位数的51，由题意列出的方程为_45_ 7、关于x的方程(k2)x24kx5k0 是一元一次方程，则k_-2_ 8、关于 x 的方程729kxx的解是自然数，则整数k的值为 8、6、0 9、若方程 33 2nx10 是关于x的一元一次方程，则n_-1_ 10、如果 x=-2 是方程 132a xax 的解，则212aa =_19_ 三、解答题：1、解下列方程 （1）3y181y961y5 （2）12223xxx 解：53y 解：1x （3）)2x(512)1x(21 （4）4.0 x5.013.0 x2.01.0 解：3x 解：2223x 2、若方程328)1(3xx与方程325xkx的解相同，求 k 的值。解：326k 一元一次方程模型的应用（难点）1.一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。解方程模型应用的几种类型 一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。找等量关系：从题目中的关键语句入手寻找等量关系；利用某些基本公式寻找等量关系；从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。主要的应用模型有以下几类：不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。（一）行程问题 行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。等量关系为：路程=速度时间；速度=路程/时间；时间=路程/速度 1.航行问题 顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；逆水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度水流速度（风速）逆水（风）速度+水流速度（风速）静水（无风）速度。2.相遇问题 A走的路程+B走的路程=两地之间的距离 3.追击问题 同时不同地出发：A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离）4.环形问题（1）同向行驶，如果 A速度较快，则 A走的路程-B走的路程=n 环/圈（n 表示第 n 次相遇）（2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n 环/圈（n 表示第 n 次相遇）（二）工程问题 1.工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率工作时间；工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。2.工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体 1，如果完成全部工作的时间为 t，则工作效率为 1/t。3.常见的相等关系有两种：如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量=总工作量。如果以时间作相等关系，对于同一工作：A工作时间-B工作时间=时间差 一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率（三）销售计费问题 销售类问题主要体现为三大类：销售利润问题、存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。（1）价格费用问题 费用问题中的基本量：费用（总价）、单价、数量 基本关系式有 费用（总价）=单价数量 分段计费：总费用=第一阶段单价数量+第二阶段单价数量+（2）销售利润问题 利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。基本关系式有：利润销售价（收入）-成本（进价）；成本（进价）销售价（收入）-利润；利润率；利润成本（进价）利润率。在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。打折：n 折即表示标价的 n/10，如 7 折为 70%（3）存贷问题（利息、利润问题）存贷问题中有本金、利息、利率、本息等基本量。其关系式有：利息本金利率期数；本息和（本利）本金+利息（四）溶液配比问题 溶液配比问题中有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。其关系式为：溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；浓度=100%100%；纯度（含量）=100%100%。由可得到：溶质=浓度溶液=浓度（溶质+溶剂）。（五）数字问题 一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：任何数=（数位上的数字位权）（54=510+4）如两位数 ab=10a+b；三位数 abc=100a+10b+c 练习：行程问题：1、甲、乙两人分别同时从相距 300 米的 A、B两地相向而行，甲每分钟走 15 米，乙每分钟走 13 米，问几分钟后，两个相距 20 米？2、矿山爆破为了确保安全，点燃引火线后人要在爆破前转移到 3000 米以外的安全地带，引火线燃烧的速度是 0.8 厘米/秒，人离开的速度是 5 米/秒，问引火线至少需要多少厘米？3、一列车车身长 200 米，它经过一个隧道时，车速为每小时 60 千米，从车头进入隧道到车尾离开隧道共 2 分钟，求隧道长。4、一艘轮船从甲地顺流而行 9 小时到达乙地，原路返回需要 11 小时才能到达甲地，已知水流速度为 2 千米/时，求轮船在静水中的速度。5、一艘船在两个码头之间航行，水流速度是 3 千米每小时，顺水航行需要 2 小时，逆水航行需要 3 小时，求两码头的之间的距离？配套问题：1.某车间 100 个工人，每人平均每天可加工甲零件 18 个或乙零件 24 个，要使每天加工的甲、乙零件配套（4 个甲零件配 3 个乙零件），应如何分配工人加工甲零件和乙零件？2、机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？3、某厂生产一批西装，每 2 米布可以裁上衣 3 件，或裁裤子 4 条，现有花呢 240 米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？数字问题：1、三个连续奇数的和是 387，求这三个奇数。2、三个连续偶数的和是 18，求它们的积 3、在日历上任意画一个含有 9 个数字的方框（33），然后把方框中的 9 个数字加起来，结果等于 90，试求出这 9 个数字正中间的那个数。4、有一个两位数，十位数字比个位数字的 2 倍多 1，将两个数字对调后，所得的数比原数小 36，求原数。5、有一个三位数，个位数字为百位数字的 2 倍，十位数字比百位数字大 1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的 2 倍少 49，求原数。打折问题：1、某商店从某公司批发部购 100 件 A钟商品，80 件 B种商品，共花去 2800 元，在商店零售时，每件 A种商品加价 15%，每件 B种商品加价 10%，这样全部售出后共收入 3140 元，问 A、B两种商品的买入价各为多少元？2、一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？3、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔 25 元，而按定价的九折出售，将赚 20 元，这种商品的定价为多少元？工程问题：1、一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？.2、某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需 16 天，乙队单独完成需 12 天。如先由甲队做 4 天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？3、已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作 15 小时可以将空水池放满，出水管工作24 小时可以将满池的水放完；（1）如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的几分之几？（2）如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的几分之几？（3）如果将两管同时打开，每小时的效果如何？如何列式？（4）对于空的水池，如果进水管先打开 2 小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？4.有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2 小时 30 分注满水池，如果单开 乙管，5 小时注满水池。如果甲、乙两管先同时注水 20 分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把 水池注满？假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管 3 小时可以把一满池水放完。如果三 管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？年龄问题：1、某中学初一学生小刚今年 13 岁，属羊，非常巧合的是，小刚的爷爷也是属羊的，而且两个人的年龄的和是 86，你能算出小刚爷爷的年龄吗？2、甲比乙大 15 岁，5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是_.3、小华的爸爸现在的年龄比小华大 25 岁，8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁，求小华现在的年龄 等积变形问题：1、用一根长 40 cm 的铁丝围成一个平面图形，(1)若围成一个正方形，则边长为_，面积为_，此时长、宽之差为_ (2)若围成一个长方形，长为 12 cm，则宽为_，面积为_，此时长、宽之差为_(3)若围成一个长方形，宽为 5 cm，则长为_，面积为_，此时长、宽之差为_ (4)若围成一个圆，则圆的半径为_，面积为_(取 314，结果保留一位小数)(5)猜想：在周长不变时，如果围成的图形是长方形，那么当长宽之差越来越小时，长方形的面积越来越_(填“大”或“小”)，在周长不变时，所围成的各种平面图形中，_的面积最大 2、将棱长为 20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为 12cm2，问量筒中水面升高了多少 cm？古典数学：1.100 个和尚 100 个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。2.有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？溶液问题：1、现有浓度为 20的盐水 300 克和浓度为 30的盐水 200 克，需配制成浓度为 60的盐水，问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？2、要把浓度为 90的酒精溶液 500 克，稀释成浓度为 75的酒精溶液，需加水多少克 方案问题：1、某学校组织学生春游，如果租用若干辆 45 座的客车，则有 15 个人没有座位，如果租用同数量的 60 座的客车，则多出 1 辆，其余车恰好坐满，已知租用 45 座的客车日租金为每辆车 250 元，60 座的客车日租金为 300 元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？2、某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台 1500 元，乙种电视机每台 2100 元，丙种电视机每台 2500元（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案，（2）若商场销售一台甲种电视机可获利 150 元，销售一台乙种电视机可获利 200 元，销售一台丙种电视机可获利 250 元 在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售进获利最多，你会选择哪种进货方案？（3）若商场准备用 9 万元同时购进三种不同型号的电视机 50 台，请你设计进货方案 其它：1、一批宿舍，若每间住 1 人，有 10 人无处住，若每间住 3 人，则有 10 间无人住，那么这批宿舍有多少间，人有多少个？2、一运输队运输一批货物，每辆车装 8 吨，最后一辆车只装 6 吨，如果每辆车装 7.5 吨，则有 3 吨装不完。运输队共有多少辆车？这批货物共有多少吨？