2023年完整一元二次方程根的分布情况全面汇总归纳2.pdf

1 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02cbxax根的分布情况 设方程 200axbxca 的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为 20f xaxbxc ，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于 0 120,0 xx 两个正根即两根都大于 0 120,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0120 xx 大致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f 大致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f 综合结论（不讨论a）00200baa f 00200baa f 00 fa 2 表二：（两根与k的大小比较）分布情况 两根都小于k即 kxkx21,两根都大于k即 kxkx21,一个根小于k，一个大于k即 21xkx 大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf 大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf 综合结论（不讨论a）020bkaa f k 020bkaa f k 0 kfa kkk 3 表三：（根在区间上的分布）分布情况 两根都在 nm,内 两根有且仅有一根在 nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在 nm,内，另一根在 qp,内，qpnm 大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 综合结论（不讨论a）0 nfmf 00qfpfnfmf 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 nm,外，即在区间两侧12,xm xn，（图形分别如下）需满足的条件是 4 （1）0a 时，00f mf n；（2）0a 时，00f mf n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在 nm,内有以下特殊情况：若0f m 或 0f n，则此时 0f mf n g不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx 在区间1,3上有一根，因为 10f，所以 22212mxmxxmx ，另一根为2m，由213m得223m 即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间 nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260 xmxm 有且一根在区间 3,0内，求m的取值范围。分析：由 300ffg即141530mm 得出15314m ；由0即2164 260mm 得出1m 或32m，当1m 时，根 23,0 x ，即1m 满足题意；当32m 时，根 33,0 x ，故32m 不满足题意；综上分析，得出15314m 或1m 根的分布练习题 例 1、已知二次方程 221210mxmxm 有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由 2100mfg 即 2110mm，从而得112m 即为所求的范围。例 2、已知方程 2210 xmxm 有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由 0102 200mfg 218010mmmm 32 232 20mmm 或 5 032 2m 或32 2m 即为所求的范围。例 3、已知二次函数 222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数m的取值范围。解：由 210mfg 即 2210mm g 122m 即为所求的范围。例 4、已知二次方程22340mxmx 只有一个正根且这个根小于 1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则 010ffg 4 310m g 13m 即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例 1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程2270 xaxa 的两个根一个大于 2，另一个小于 2；（2）方程227(13)20 xaxaa 的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（3）方程022 axx的两根都小于 0；变题：方程022 axx的两根都小于 1（4）方程22(4)2530 xaxaa 的两根都在区间 1,3上；（5）方程042 axx在区间（1，1）上有且只有一解；例 2、已知方程042 mxx在区间 1，1上有解，求实数 m 的取值范围 例 3、已知函数 f(x)1)3(2xmmx的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数 m 的取值范围 检测反馈：1若二次函数2()(1)5f xxax 在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f的取值范围是_ 2若、是关于 x 的方程06kkx2x2的两个实根,则22)1()1(的最小值为 3若关于x的方程2(2)210 xmxm 只有一根在(0,1)内，则m_ _ 4对于关于 x 的方程 x2+(2m 1)x+4 2m=0 求满足下列条件的 m 的取值范围：（1）有两个负根 （2）两个根都小于 1 （3）一个根大于 2，一个根小于 2 （4）两个根都在（0，2）内（5）一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于 2，一个根大于 4（7）在（0，2）内 有根 （8）一个正根，一个负根且正根绝对值较大 5已知函数1)(2xmxxf的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数 m 的取值范围。6 2、二次函数在闭区间 nm,上的最大、最小值问题探讨 设 002acbxaxxf，则二次函数在闭区间 nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2 nabm2即 nmab,2 nmab2 图象 最大、最小值 nfxfmfxfminmax abfxfmfnfxf2,maxminmax mfxfnfxfminmax 对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若 nmab,2，则 nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（2）若 nmab,2，则 nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数 2220f xaxaxb a 在 2,3上有最大值 5 和最小值 2，求,a b的值。解：对称轴 012,3x，故函数 f x在区间 2,3上单调。（1）当0a 时，函数 f x在区间 2,3上是增函数，故 maxmin32fxffxf 32522abb 10ab；（2）当0a 时，函数 f x在区间 2,3上是减函数，故 maxmin23fxffxf 25322bab 13ab 例 2、求函数 221,1,3f xxaxx的最小值。解：对称轴0 xa（1）当1a 时，min122yfa（2）当13a 时，2min1yf aa；（3）当3a 时，min3106yfa 7 改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：（1）当2a 时，max3106f xfa；（2）当2a 时，max122f xfa。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1）当1a 时，max3106f xfa，min122f xfa；（2）当12a 时，max3106f xfa，2min1f xf aa；（3）当23a 时，max122f xfa，2min1f xf aa；（4）当3a 时，max122f xfa，min3106f xfa。例 3、求函数243yxx在区间,1t t 上的最小值。解：对称轴02x （1）当2t即2t 时，2min43yf ttt ；（2）当21tt 即12t 时，min21yf；（3）当21t 即1t 时，2min12yf ttt 例 4、讨论函数 21f xxxa 的最小值。解：2221,11,xaxxaf xxxaxaxxa ，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x ，12x，当12a ，1122a ，12a 时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）因此，（1）当12a 时，min1324fxfa；（2）当1122a 时，2min1f xf aa；（3）当12a 时，min1324fxfa