2023年电大《高等数学基础》考试复习最全面精品资料.pdf

1 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（C）中的两个函数相等 C.3ln)(xxf，xxgln3)(1-设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（C ）对称C.y轴 设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（D）对称 D.坐标原点.函数2eexxy的图形关于（A）对称(A)坐标原点 1-下列函数中为奇函数是（B）B.xxycos 下列函数中为奇函数是（A）A.xxy3 下列函数中为偶函数的是（D ）D)1ln(2xy 2-1 下列极限存计算不正确的是（D ）D.01sinlimxxx 2-2 当0 x时，变量（C ）是无穷小量 C.xx1sin 当0 x时，变量（C）是无穷小量 C 1e x .当0 x时，变量（D ）是无穷小量 D )1ln(x 下列变量中，是无穷小量的为（B ）B ln10 xx 3-1 设)(xf在点 x=1 处可导，则hfhfh)1()21(lim0（D）D.)1(2 f 设)(xf在0 x可导，则hxfhxfh)()2(lim000（D ）D)(20 xf 设)(xf在0 x可导，则hxfhxfh2)()2(lim000（D）D.)(0 xf 设xxfe)(，则xfxfx)1()1(lim0（A）A e 3-2.下列等式不成立的是（D）D.)1(lnxdxdx 下列等式中正确的是（B）B.2)1(xdxxd 4-1 函数14)(2xxxf的单调增加区间是（D）D.),2(函数542xxy在区间)6,6(内满足（A）A.先单调下降再单调上升 .函数62xxy在区间（5，5）内满足（A ）A 先单调下降再单调上升 .函数622xxy在区间)5,2(内满足（D）D.单调上升 5-1 若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（D ）D.32x.若)(xF是)(xf 的一个原函数，则下列等式成立的是（A）。A)()()(aFxFdxxfxa 5-2 若xxfcos)(，则xxfd)(（B ）B.cxcos 下列等式成立的是（D ）D.)(d)(ddxfxxfx xxfxxd)(dd32（B ）B.)(32xfx xxxfxd)(dd2（D）D xxxfd)(2-3若cxFxxf)(d)(，则xxfxd)(1（B ）B.cxF)(2 补充：xefexxd)(ceFx)(,无穷积分收敛的是 dxx121 函数xxxf1010)(的图形关于 y 轴 对称。二、填空题 函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是 （3，+）函数xxxy4)2ln(的定义域是 （2，3）（3，4 函数xxxf21)5ln()(的定义域是 （5，2）若函数0,20,1)(2xxxxfx，则)0(f 1 2 若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0 x处连续，则k e .函数002sin)(xkxxxxf在0 x处连续，则k 2 函数0,sin0,1xxxxy的间断点是 x=0 函数3322xxxy的间断点是 x=3 。函数xey11的间断点是 x=0 3-曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是 1/2 曲线2)(xxf在)2,2(处的切线斜率是 1/4 曲线1)(xexf在（0，2）处的切线斜率是 1 .曲线1)(3xxf在)2,1(处的切线斜率是 3 3-2 曲线xxfsin)(在)1,2(处的切线方程是 y=1 切线斜率是 0 曲线 y=sinx 在点(0,0)处的切线方程为 y=x 切线斜率是 1 4 .函数)1ln(2xy的单调减少区间是（，0）函数2e)(xxf的单调增加区间是 （0，+）.函数1)1(2xy的单调减少区间是 （，1）.函数1)(2xxf的单调增加区间是 （0，+）函数2xey的单调减少区间是 （0，+）2 5-1 xxded2 dxex2 .xxdxddsin2 2si nx xx d)(tan tan x+C 若cxxxf3sind)(，则)(xf 9 sin 3x 5-2 335d)21(sinxx 3 11231dxxx 0 edxxdxd1)1ln(0 下列积分计算正确的是（B）A 0d)(11xeexx B0d)(11xeexx C0d112xx D 0d|11xx 三、计算题（一）、计算极限（1 小题，11 分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质：)(0 xf有定义，则极限)()(lim00 xfxfxx 类型 1：利用重要极限 1sinlim0 xxx，kxkxxsinlim0，kxkxxtanlim0 计算 1-1 求xxx5sin6sinlim0 解：565sin6sinlim5sin6sinlim00 xxxxxxxx 1-2 求 0tanlim3xxx 解：xxx3tanlim031131tanlim310 xxx 1-3 求xxx3tanlim0 解：xxx3tanlim0=3313.33tanlim0 xxx 类型 2：因式分解并利用重要极限 1)()sin(limaxaxax，1)sin(limaxaxax 化简计算。2-1 求)1sin(1lim21xxx 解：)1sin(1lim21xxx=2)11(1)1.()1sin()1(lim1xxxx 2-2 21sin1lim1xxx 解：211111)1(1.)1()1sin(lim1)1sin(lim121xxxxxxx 2-3 )3sin(34lim23xxxx 解：2)1(lim)3sin()1)(3(lim)3sin(34lim3323xxxxxxxxxx 类型 3：因式分解并消去零因子，再计算极限 3-1 4586lim224xxxxx 解：4586lim224xxxxx=)1)(4()2)(4(lim4xxxxx3212lim4xxx 3-2 2236lim12xxxxx 2233332625limlimlim123447xxxxxxxxxxxxx 3-3 423lim222xxxx 解 4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222xxxxxxxxxxxx 其他：0sin21l imsin11l im2020 xxxxxx，221sinlim11sinlim00 xxxxx 5456lim22xxxxx1lim22xxx，54362l i m22xxxxx3232lim22xxx（0807 考题）计算xxx4sin8tanlim0 解：xxx4sin8tanlim0=248.4sin8tanlim0 xxxxx（0801 考题.）计算xxx2sinlim0 解 xxx2sinlim021sinlim210 xxx（0707 考题.）)1sin(32lim21xxxx=4)31(1)1sin()3).(1(lim1xxxx （二）求函数的导数和微分（1 小题，11分）（1）利用导数的四则运算法则 vuvu)(vuvuuv)(（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式 xx1)(ln 1)(aaaxx xxee)(ueeuu.)(xxxxxxxx22csc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin xexeexexeexexeexxxxxxxxxsin).(cos)(cos).(sin)(2).()(coscoscossinsinsin2222 xxxxxeeeeexxxxxuuucos).(cos)(sincos2).(cos)(sin.cos)(sin2222 xxxxeeeeexxxxxuuusin).(sin)(cossin2)(sin)(cos.sin)(cos2222 3 类型 1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1 xxxye)3(解：y 332233xxxexe1322332xxx exe1322332xxxe 1-2 xxxylncot2 解：xxxxxxxxxxxxyln2csc)(lnln)(csc)ln()(cot22222 1-3 设xxeyxlntan，求y 解：xxexexxexexxeyxxxxx1sectan1)(tantan)()(ln)tan(2 类型 2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 xxylnsin2，求y 解：xxxxxy1cos2)(ln)(sin22 2-2 2sinecosxyx，求y 解：2222cos2esine).(cos).(sin)(sin)(cosxxxxeexeyxxxxx 2-3 xexy55ln，求y，解：xxxxexy5455e5ln5).()(ln 类型3：乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 xeyxcos2，求y。解：xexxexexeyxxxxsincos2)(coscos)(2222 其他：xxyxcos2，求y。解：2).(cos.)(cos2ln2)cos()2(xxxxxxxyxx2cossin2ln2xxxxx 0807.设2sinsin xeyx，求y 解：2sin2sincos2cos)(sin)(xxxexeyxx 0801.设2xxey，求y 解：222222)()(xxxxexeexexy 0707.设2sinxeyx，求y 解：xxexxeyxx2cos)().(sinsin2sin 0701.设xxyecosln，求y 解：xxxxxeexyesine1).(sin)(ln（三）积分计算：（2 小题，共 22 分）凑微分类型 1：)1(d12xdxx 计算xxxd1cos2 解：cxxdxxxx1sin)1(1cosd1cos2 0707.计算xxdx1sin2 解：cxxxxx1cos)1(dx1sind1sin2 0701 计算xxxde21 解：)1(dede121xxxxxcx1e 凑微分类型 2：xdx2dx1.计算xxxdcos 解：cxxdxxxxsin2cos2dcos 0807.计算xxdxsin 解：cxxdxxxcos2sin2dxsin 0801.计算xexdx 解：cexdexexxx22dx 凑微分类型 3：xdxlndx1，)ln(dx1xadx 计算xdxlnx1 解：xduuxxdx|ln|ln1lnlndxlnx1.计算e1dln2xxx 解：e1e1)ln2()dln2(dln2xxxxx25)ln2(2112ex 5 定积分计算题，分部积分法 类型 1：xxaxdxaxdxxaaa11ln11ln11ln 计算e1lnxdxx 解：1a，xxxxdxxdxx22241ln21ln21ln ln2(ln21lnxd212e1xxxdxxxe()(1)ln(dlne1eeexxxxx 计算e12dlnxxx 解：2a，cxxxxxddxxx1ln1)1(lnln2 exxxxxxxx1)1ln()1(dlndlne1e12 计算dxxxe1ln 解：21a，xxxxxddxxx4ln2ln2ln 4 dxxxe1ln=421)4ln2(ln21eexxxxxde 0807 e1lnxdxx94921)94ln32(xlnxd32232323e123eexxx 0707 e13e12nxd31dlnxlxxx91921)91lnx31(333eexx 类型 2 ceaxeaexdadxxeaxaxaxax211)(1 xxdexdxxe21010221414101)4121(222eexexx xxdexdxxe10101201)(1eexexx xxdexdxxe21010221414301)4121(222eexexx（0801 考题）10 xdxex101)xe(xde10 xxxe 类型 3：caxaaxxaaxdxaaxxaaxdxxsin1cos1cos1cos1sin2 caxaaxxaaxdxaaxxaaxdxxcos1sin1sin1sin1cos2 20sinxdxx10102)sincos(cos20 xxxxxd 20cosxdxx1202)cossin(sin20 xxxxxd cxxxxdxxxxxx2sin412cos212cos212cos21d2sin 202sinxdxx40402)2sin412cos21(2cos2120 xxxxxd 222200001111cos 2sin 2|sin 2cos 2|2242xxdxxxxdxx 四、应用题（1 题，16 分）类型 1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 222lrh 圆柱体的体积公式为 hhlhrV)(222 求导并令 0)3(22hlV 得lh33，并由此解出lr36 即当底半径lr36，高lh33时，圆柱体的体积最大 类型 2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1（0801 考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积22.,.rVhhrV 表面积为rVrrhrS222222 224rVrS，由0S得32Vr，此时342Vrh。由实际问题可知，当底半径32Vr 与高rh2 时可使用料最省。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：本题的解法和结果与 2-1 完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则无盖圆柱形容器表面积为 rVrrhrS2222，令 0222rVrS，得 rhVr,3，由实际问题可知，当底半径3Vr 与高rh 时可使用料最省。2-2 欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707 考题）解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知322 Vhx，2xVh，表面积 xVxxhxy4422，令0422xVxy，得6423 Vx，此时,4x2xVh=2 由实际问题可知，4x是函数的极小值点，所以当4x，2h时用料最省。欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：本题的解法与 2-2 同，只需把V=62.5 代入即可。类型 3 求求曲线kxy 2上的点，使其到点)0,(aA的距离最短 曲线kxy 2上的点到点)0,(aA的距离平方为l 5 kxaxyaxL222)()(0)(2kaxL，kax22 3-1在抛物线xy42上求一点，使其与x轴上的点)0,3(A的距离最短 解：设所求点 P（x，y），则满足 xy42，点 P 到点 A 的距离之平方为 xxyxL4)3()3(222 令04)3(2xL，解得1x是唯一驻点，易知1x是函数的极小值点，当1x时，2y或2y，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，2）3-2 求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短 解：曲线xy22上的点到点 A（2，0）的距离之平方为xxyxL2)2()2(222 令02)2(2xL，得1x，由此222 xy，2y 即曲线xy22上的点（1，2）和（1，2）到点 A（2，0）的距离最短。08074 求曲线2xy 上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。解：曲线2xy 上的点到点 A（0，2）的距离公式为 222)2()2(yyyxd d与2d在同一点取到最大值，为计算方便求2d的最大值点，22)2(yyd 32)2(21)(2yyd 令 0)(2d得23y，并由此解出26x，即曲线2xy 上的点（23,26）和点（23,26）到点 A（0，2）的距离最短