2023年微积分曹定华课后题超详细解析超详细解析答案第二章习题详解.pdf

微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 第二章 习题 2-1 1、试利用本节定义 5 后面的注(3)证明:若limnxn=a,则对任何自然数 k,有limnxn+k=a、证:由limnnxa,知0,1N,当1nN时,有 nxa 取1NNk,有0,N,设nN时(此时1nkN)有 n kxa 由数列极限的定义得 limn kxxa、2、试利用不等式ABAB 说明:若limnxn=a,则limnxn=|a|、考察数列xn=(-1)n,说明上述结论反之不成立、证:lim0,.使当时，有nxnxaNnNxa Q 而 nnxaxa 于就是0,使当时，有NnN nnxaxa 即 nxa 由数列极限的定义得 limnnxa 考察数列 (1)nnx,知limnnx不存在,而1nx,lim1nnx,所以前面所证结论反之不成立。3、利用夹逼定理证明:(1)limn222111(1)(2)nnn L=0;(2)limn2!nn=0、证:(1)因为 222222111112(1)(2)nnnnnnnnnn L 而且 21lim0nn,2lim0nn,所以由夹逼定理,得 微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 222111lim0(1)(2)nnnn L、(2)因为22 2 22240!1 2 31nnnnng g gL gg,而且4lim0nn,所以,由夹逼定理得 2lim0!nnn 4、利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在、(1)xn=11ne,n=1,2,;(2)x1=2,xn+12nx,n=1,2,、证:(1)略。(2)因为122x,不妨设2kx,则 122 22kkxxg 故有对于任意正整数 n,有2nx,即数列nx有上界,又 1(2)nnnnxxxx,而0nx,2nx,所以 10nnxx 即 1nnxx,即数列就是单调递增数列。综上所述,数列nx就是单调递增有上界的数列,故其极限存在。习题 2-2 1、证明:0limxxf(x)=a 的充要条件就是 f(x)在 x0处的左、右极限均存在且都等于 a、证:先证充分性:即证若00lim()lim()xxxxf xf xa,则0lim()xxf xa、由0lim()xxf xa及0lim()xxf xa知:10,0 ,当010 xx 时,有()f xa,20 当020 xx 时,有()f xa。取12min,则当00 xx 或00 xx 时,有()f xa,而00 xx 或00 xx 就就是00 xx,就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 于就是0,0 ,当00 xx 时,有()f xa,所以 0lim()xxf xa、再证必要性:即若0lim()xxf xa,则00lim()lim()xxxxf xf xa,由0lim()xxf xa知,0,0 ,当00 xx 时,有()f xa,由00 xx 就 就 是 00 xx 或00 xx,于 就是0,0 ,当00 xx 或00 xx 时,有()f xa、所以 00lim()lim()xxxxf xf xa 综上所述,0limxxf(x)=a 的充要条件就是 f(x)在 x0处的左、右极限均存在且都等于 a、2、(1)利用极限的几何意义确定0limx(x2+a),与0limx1ex;(2)设 f(x)=12e,0,0,x xxa x,问常数 a 为何值时,0limxf(x)存在、解:(1)因为 x 无限接近于 0 时,2xa的值无限接近于 a,故20lim()xxaa、当 x 从小于 0 的方向无限接近于 0 时,1ex的值无限接近于 0,故10lim e0 xx、(2)若0lim()xf x存在,则00lim()lim()xxf xf x,由(1)知 22000lim()lim()lim()xxxf xxaxaa,100lim()lim e0 xxxf x 所以,当0a 时,0lim()xf x存在。3、利用极限的几何意义说明limxsinx 不存在、解:因为当x 时,sin x的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x不无限接近某一定直线yA,亦即()yf x不以直线yA为渐近线,所以lim sinxx不存在。习题 2-3 1、举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定就是无穷小量,也不一定就是无穷大量、解:例 1:当0 x 时,tan,sinxx都就是无穷小量,但由sincostanxxx(当0 x 时,cos1x)不就是无穷大量,也不就是无穷小量。就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 例 2:当x 时,2x与x都就是无穷大量,但22xx不就是无穷大量,也不就是无穷小量。例 3:当0 x时,tan x就是无穷小量,而cot x就是无穷大量,但tancot1xx g不就是无穷大量,也不就是无穷小量。2、判断下列命题就是否正确:(1)无穷小量与无穷小量的商一定就是无穷小量;(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量;(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量;(4)有限个无穷小量之与为无穷小量;(5)有限个无穷大量之与为无穷大量;(6)y=xsinx 在(-,+)内无界,但limxxsinx;(7)无穷大量的倒数都就是无穷小量;(8)无穷小量的倒数都就是无穷大量、解:(1)错误,如第 1 题例 1;(2)正确,见教材 2、3 定理 3;(3)错误,例当0 x 时,cot x为无穷大量,sin x就是有界函数,cotsincosxxxg不就是无穷大量;(4)正确,见教材 2、3 定理 2;(5)错误,例如当0 x 时,1x与1x都就是无穷大量,但它们之与11()0 xx不就是无穷大量;(6)正 确,因 为0M,正 整 数k,使2 +2kM,从 而(2 +)(2 +)sin(2 +)2 +2222fkkkkM,即sinyxx在(,)内无界,又0M,无论X多么大,总存在正整数 k,使 kX,使(2 )sin()0fkkkM,即x 时,sinxx不无限增大,即limsinxxx;(7)正确,见教材 2、3 定理 5;(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才就是无穷大量。零就是无穷小量,但其倒数无意义。3、指出下列函数哪些就是该极限过程中的无穷小量,哪些就是该极限过程中的无穷大量、(1)f(x)=234x,x2;(2)f(x)=lnx,x0+,x1,x+;(3)f(x)=1ex,x0+,x0-;(4)f(x)=2-arctanx,x+;(5)f(x)=1xsinx,x;(6)f(x)=21x211x,x、就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 解:(1)22lim(4)0 xx 因为,即2x 时,24x 就是无穷小量,所以214x 就是无穷小量,因而234x 也就是无穷大量。(2)从()lnf xx的图像可以瞧出,10lim ln,limln0,lim lnxxxxxx ,所以,当0 x时,x 时,()lnf xx就是无穷大量;当1x 时,()lnf xx就是无穷小量。(3)从1()exf x 的图可以瞧出,1100lim e,lim e0 xxxx,所以,当0 x时,1()exf x 就是无穷大量;当0 x时,1()exf x 就是无穷小量。(4)lim(arctan)02xxQ,当x 时,()arctan2f xx 就是无穷小量。(5)Q当x 时,1x就是无穷小量,sin x就是有界函数,1sin xx就是无穷小量。(6)Q当x 时,21x就是无穷小量,211x就是有界变量,22111xx就是无穷小量。习题 2-4 1、若0limxxf(x)存在,0limxxg(x)不存在,问0limxxf(x)g(x),0limxxf(x)g(x)就是否存在,为什么?解:若0limxxf(x)存在,0limxxg(x)不存在,则(1)0limxx f(x)g(x)不 存 在。因 为 若0limxx f(x)g(x)存 在,则 由()()()()g xf xf xg x或()()()()g xf xg xf x以及极限的运算法则可得0limxxg(x),与题设矛盾。(2)0limxx f(x)g(x)可 能 存 在,也 可 能 不 存 在,如:()sinf xx,1()g xx,则就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 0limsin0 xx,01limxx不存在,但0limxxf(x)g(x)=01limsin0 xxx存在。又 如:()sinf xx,1()cosg xx,则2limsin1xx,21limcosxx不 存 在,而 0limxxf(x)g(x)2lim tanxx不存在。2、若0limxxf(x)与0limxxg(x)均存在,且 f(x)g(x),证明0limxxf(x)0limxxg(x)、证:设0limxxf(x)=A,0limxxg(x)=B,则0,分别存在10,20,使得当010 xx 时,有()Af x,当020 xx 时,有()g xB 令12min,则当00 xx 时,有()()Af xg xB 从而2AB,由的任意性推出AB即 00lim()lim()xxxxf xg x、3、利用夹逼定理证明:若 a1,a2,am为 m 个正常数,则 limn12nnnnmaaa L=A,其中 A=max a1,a2,am、证:因为12nnnnnnnnmAaaam A Lg,即 112nnnnnmAaaamA Lg 而limnAA,1limnnmAAg,由夹逼定理得 12limnnnnmnaaaA L、4、利 用 单 调 有 界 数 列 必 存 在 极 限 这 一 收 敛 准 则 证 明:若x12,x2=22,xn+1=2nx(n=1,2,),则limnxn存在,并求该极限、证:因为122,2 2,xx有21xx 今设1kkxx,则1122kkkkxxxx,由数学归纳法知,对于任意正整数 n 有1nnxx,即数列nx单调递增。又因为122x,今设2kx,则12222kkxx,由数学归纳法知,对于任意的正整数 n 有2nx,即数列nx有上界,由极限收敛准则知limnnx存在。就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 设limnnxb,对等式12nnxx两边取极限得2bb,即22bb,解得2b,1b (由极限的保号性,舍去),所以lim2nnx、5、求下列极限:(1)limn33232451nnnnn;(2)limn11cos2nn;(3)limn 2nnn;(4)limn11(2)3(2)3nnnn;(5)limn1112211133nn LL、解:(1)原式=23232433lim11155nnnnnn;(2)因为1lim(1)02nn,即当n 时,112n就是无穷小量,而cos n就是有界变量,由无穷小量与有界变量的乘积就是无穷小量得:1lim(1)cos02nnn;(3)222lim()limnnnnnnnnn Q 而22332111limlim01nnnnnnnnn,222lim()limnnnnnnnnn ;(4)1111121(1)()(2)313 33limlim2(2)33(1)()13nnnnnnnnnng gg;就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解(5)111111()211111141()42222limlimlim1111311()31()3333113nnnnnnnnn LL、6、求下列极限:(1)3limx239xx;(2)1limx22354xxx;(3)limx3426423xxx;(4)2limxsincoscos 2xxx;(5)0limh33()xhxh;(6)3limx23312xx ;(7)1limx21nxxxnx L;(8)limxsinsinxxxx;(9)limx22xxxx;(10)1limx313()11xx;(11)0limx21(sin)xx、解:23333311(1)limlimlim9(3)(3)36xxxxxxxxx(2)211lim(54)0,lim(23)1xxxxx Q 22115423lim0,lim2354xxxxxxxx 即 (3)344226464limlim03232xxxxxxxx;(4)2sincossincos22lim1cos 2cos xxxx;(5)223300()()()()limlimhhxhxxhxh xxxhxhh 就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 2220lim()()3hxhxh xxx;(6)33(23)9(12)233limlim12(1)4(233)xxxxxxxx 332(3)(12)2(12)4limlim3(3)(233)233xxxxxxxx ;(7)2211(1)(1)(1)limlim11nnxxxxxnxxxxx LL 2121lim 1(1)(1)(1)nnxxxxxxx LL 1123(1)2nn n L;(8)sinlim0 xxxQ(无穷小量1x与有界函数sin x之积为无穷小量)sin1sinlimlim1sinsin1xxxxxxxxxx;(9)222222()()lim()limxxxxxxxxxxxxxx 2222limlim11111xxxxxxxxx ;(10)1limx313()11xx231(1)3lim1xxxx 232112(2)(1)limlim1(1)(1)xxxxxxxxxx 21(2)lim11xxxx (11)Q当0 x 时,2x就是无穷小量,1sinx就是有界函数,它们之积21sinxx就是无穷小量,即201limsin0 xxx。习题 2-5 求下列极限(其中 a0,a1为常数):就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 1、0limxsin53xx;2、0limxtan2sin5xx;3、0limxxcotx;4、0limx1 cos xx;5、0limx2cos5cos 2xxx;6、limx1xxx;7、0limxcot1 3sinxx;8、0limx1xax;9、0limxxxaax;10、limxln(1)lnxxx;11、limx3222xxx;12、limx211xx;13、0limxarcsin xx;14、0limxarctan xx;、解:1、000sin55 sin55sin55limlimlim335353xxxxxxxxxg;2、000tan 2sin221sin25limlimlimsin5cos 2 sin55 cos 22sin5xxxxxxxxxxxxxggg 0205021sin252limlimlim5cos 22sin55xxxxxxxxgg;3、0000limcotlimcoslimlimcos1 cos01sinsinxxxxxxxxxxxxg;4、200002 sin2sinsin1 cos2222limlimlimlim22xxxxxxxxxxxxg 0sin2222lim12222xxxg;5、2200073732sinsinsinsincos5cos 27 32222limlimlim(2)732 222xxxxxxxxxxxxx 0073sinsin212122limlim732222xxxxxx ;6、111limlimlim111e(1)xxxxxxxxxxx;就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 7、3coscos1cotsin3sin000lim(13sin)lim(13sin)lim(13sin)xxxxxxxxxxx 13sin00lim(13sin)e,lim3cos3xxxxxQ cot30lim(13sin)exxx 8、令1xua,则log(1)axu,当0 x 时,0u,00011limlimlim1log(1)log(1)xxuuaaauxuuu 1011lnlog elimlog(1)auauau、9、000(1)(1)11limlimlimxxxxxxxxxaaaaaaxxxx 0011limlimlnln2lnxxxxaaaaaxx (利用了第 8 题结论01limlnxxaax);10、ln(1)ln11limlimlnxxxxxxxx 1111limln(1)limlim ln(1)0 xxxxxxx;11、2 22 23211limlim 1lim1222222xxxxxxxxxxxx 2 211lim 1e,lim22222xxxxxx Q 1232lime22xxxx;12、1221222111ln(1)limln(1)2211lim(1)lim(1)lim eexxxxxxxxxxxxxxx 2121limlim ln(1)0 lne0eee1xxxxx;就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 13、令arcsin xu,则sinxu,当0 x,0u,000arcsin1limlim1sinsinlimxuuxuuxuu;14、令arctan xu,则tanxu,当0 x,0u,00000arctan1limlimlimcoslimlimcos1sintansinxuuuuxuuuuuxuuugg、习题 2-6 1、证明:若当 xx0时,(x)0,(x)0,且(x)0,则当 xx时,(x)(x)的充要条件就是0limxx()()()xxx、证:先证充分性、若0limxx()()()xxx,则0limxx()(1)()xx0,即0()1lim0()xxxx,即0()lim1()xxxx、也即0()lim1()xxxx,所以当0 xx时,()()xx:、再证必要性:若当0 xx时,()()xx:,则0()lim1()xxxx,所以0limxx()()()xxx0limxx()(1)()xx0()1lim()xxxx0111 10()lim()xxxx 、综上所述,当 xx0时,(x)(x)的充要条件就是 0limxx()()()xxx、2、若 (x)0,0limxx(x)=0 且0limxx()()xx存在,证明0limxx(x)=0、证:0000()()lim()lim()limlim()()()xxxxxxxxxxxxxxxgg0()lim00()xxxxg 即 0lim()0 xxx、3、证明:若当 x0 时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb),则 f(x)g(x)o(a bx),其中 a,b 都大于 0,并由就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 此判断当 x0 时,tanxsinx 就是 x 的几阶无穷小量、证:当 x0 时,f(x)=o(xa),g(x)=o(xb)00()()lim(0),lim(0)abxxf xg xA AB Bxx 于就是:0000()()()()()()limlimlimlim0a bababxxxxf xg xf xg xf xg xABxxxxx 当 x0 时,()()()a bf xg xO x,tansintan(1cos)xxxx 而当 x0 时,2tan(),1cos()xO xxO x,由前面所证的结论知,3tan(1cos)()xxO x,所以,当 x0 时,tansinxx就是 x 的 3 阶无穷小量、4、利用等价无穷小量求下列极限:(1)0limxsintanaxbx(b0);(2)0limx21 cos kxx;(3)0limxln(1)11xx;(4)0limx221 cos11xx;(5)0limxarctanarcsinxx;(6)0limxsinsineeaxbxaxbx(a b);(7)0limxlncos 2lncos3xx;(8)设0limx2()3f xx100,求0limxf(x)、解 00sin(1)limlim.tanxxaxaxabxbxb 222200002222220001()1 cos12(2)limlim.2ln(1)(3)limlim2.11211121cos(1cos)112(4)limlimlim21cos21cos11xxxxxxxkxkxkxxxxxxxxxxxxxxxx 20112lim.2421cosxxx 00arctan(5)limlim1.arcsinxxxxxx 就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 000000001)(1)(6)limlimsinsin2cossin2211limlim2cossin2cossin2222limlim2cos2cos2222limlim()cos2ee(eeeeaxbxaxbxxxaxbxxxxxxxababaxbxxxababababxxxxaxbxababababxxxxabababx()cos21.ababxababababab 0002220002ln 1(cos 21)lncos 2cos 21(7)limlimlimlncos3lncos311(cos31)1(2)1 cos 2442limlimlim.11 cos399(3)2xxxxxxxxxxxxxxxxxx(8)由20()3lim100 xf xx,及20lim0 xx知必有0lim()30 xf x,即 00lim()3lim()30 xxf xf x ,所以 0lim()3xf x、习题 2-7、研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)f(x)=31,01,3,12;xxxx (2)f(x),111,11.xxxx ，或 解:(1)300lim()lim(1)1(0)xxf xxf Q f(x)在 x=0 处右连续,又11lim()lim(3)2xxf xx Q 31111lim()lim(1)2lim()lim()2(1)xxxxf xxf xf xf f(x)在 x=1 处连续、又 22lim()lim(3)1(2)xxf xxf 就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 f(x)在 x=2 处连续、又 f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述,f(x)在0,2上连续、图形如下:图 2-1(2)11lim()lim1xxf xxQ 1111lim()lim11lim()lim()1(1)xxxxf xf xf xf f(x)在 x=1 处连续、又11lim()lim 11xxf x 11lim()lim1xxf xx 故11lim()lim()xxf xf x f(x)在 x=-1处间断,x=-1就是跳跃间断点、又 f(x)在(,1),(1,1),(1,)显然连续、综上所述函数 f(x)在 x=-1处间断,在(,1),(1,)上连续、图形如下:图 2-2 2、说明函数 f(x)在点 x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?略、3、函数在其第二类间断点处的左、右极限就是否一定均不存在?试举例说明、解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在、就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 例如0(),010 xxf xxxx就是其的一个第二类间断点,但00lim()lim0 xxf xx即在0 x 处左极限存在,而001lim()limxxf xx,即在0 x 处右极限不存在、4、求下列函数的间断点,并说明间断点的类型:(1)f(x)=22132xxx;(2)f(x)sinsinxxx;(3)f(x)=11xx;(4)f(x)=224xx;(5)f(x)=1sinxx、解:(1)由2320 xx 得 x=-1,x=-2 22111121(1)(1)1lim()limlimlim232(1)(2)2lim()xxxxxxxxxf xxxxxxf x x=-1就是可去间断点,x=-2就是无穷间断点、(2)由 sinx=0 得xk,k为整数、000(0)sinlim()limlim(1)2sinsinlim(),xxxxkkxxxf xxxf x 111001111000(1)0(3)()(1)0lim()lim(1)lim()lim(1)lim(1()e,exxxxxxxxxxxxf xxxf xxf xxxQ x=0 就是跳跃间断点、(4)由 x2-4=0得 x=2,x=-2、222221lim()limlim42,xxxxf xxx 2211lim()lim,24xxf xx x=2 就是无穷间断点,x=-2就是可去间断点、(5)001lim()limsin0,()xxf xxf xxQ在 x=0 无定义 就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 故 x=0 就是 f(x)的可去间断点、5、适当选择 a 值,使函数 f(x)=,0,0 xexax x在点 x=0 处连续、解:f(0)=a,0000lim()lim(),lim()lim1,exxxxxf xaxaf x 要 f(x)在 x=0 处连续,必须00lim()lim()(0)xxf xf xf、即 a=1、6、设 f(x)=limxxxxxaaaa,讨论 f(x)的连续性、解:22101()limlimsgn()10100 xxxxxxaaxaaaf xxxaaax 所以,f(x)在(,0)(0,)U上连续,x=0 为跳跃间断点、7、求下列极限:(1)2limx222xxx;(2)0limx232xx;(3)2limxln(x-1);(4)12limxarcsin21x;(5)limxe(lnx)x、解:22222 2(1)lim1;2222xxxx 2202212(2)lim3232 003;(3)lim ln(1)ln(21)ln10;13(4)lim arcsin 1arcsin 1arcsin;423(5)lim(ln)(ln)11.eeeexxxxxxxxxx 习题 2-8 1、证明方程 x5-x4-x2-3 x=1 至少有一个介于 1 与 2 之间的根、证:令542()31f xxxxx,则()f x在1,2上连续,且 (1)50f ,(2)50f 就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x 使得0()0f x、即 542000031xxxx,即方程54231xxxx至少有一个介于 1 与 2 之间的根、2、证明方程 ln(ex)-2x=0 至少有一个小于 1 的正根、证:令()ln(1)2exf xx,则()f x在(,)上连续,因而在0,1上连续,且 0(0)ln(1)2 0ln20ef (1)ln(1)20ef 由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x 使得0()0f x、即方程ln(1)20exx至少有一个小于 1 的正根、3、设 f(x)C(-,+),且limxf(x)=A,limxf(x)=B,A B0,试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点 x0(,),使得 f(x0)、证:由 A B0,B0 由lim()0,lim()0 xxf xAf xB ,及 函数 极 限的 保号性 知,10X,使 当1xX,有()0,f x 20X,使当2xX时,有()0f x、现取1xaX ,则()0f a,2xbX,则()0f b,且ab,由题设知()f x在,a b上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)xa b使0()0f x,即至少存在一点0(,)x 使0()0f x、4、设多项式 Pn(x)xn+a11nx+an、,利用第 3 题证明:当 n 为奇数时,方程 Pn(x)=0 至少有一实根、证:122()1nnnnaaaP xxxxx QL()lim10nnxP xx,由极限的保号性知、就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就微积分曹定华课后题答案第二章习题详解 0X,使当Xx时有()0nnP xx,此时()nP x与nx同号,因为 n 为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于就是(2)nPX与(2)nPX异号,以()nP x在 2,2XX上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(2,2)XXX,使0()0nP x,即()0nP x 至少有一实根、就是使当时有即由数列极限的定义得考察数列知不存在而所以前面所证结论反之不成立利用夹逼定理证明证因为而且则证明下列数列的极限存在证略因为不妨设则故有对于任意正整数有即数列有上界又而所以即即数列就是单调递增数于证先证充分性即证若则由及知当时有当时有取则当或时有而或就就是微积分曹定华课后题答案第二章习题详解于就