江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高二下学期5月调研考试数学试题含答案.pdf

12 0 2 2-2 0 2 3 学 年 第 二 学 期 5 月 六 校 联 合 调 研 考 试高 二 数 学 试 卷一、单项 选择 题：本大 题共 8 小题，每小 题 5 分，共 4 0 分在每 小题 给出四 个选项 中，只有 一项 是符合 题目 要求的，请把 答案 填涂在 答题 卡相应 位置上 1.直 线 0 4 2 y ax 与 直 线(1)2 0 x a y 平 行，则 a 的 值 为（）A 2 a B 0 a C 1 a D 1 a 或 2 a 2.近 期 多 所 学 校 发 布 了 2 0 2 3 年 强 基 计 划 招 生 简 章，现 有 甲、乙、丙、丁 四 位 同 学，要 报 考复 旦 大 学、南 京 大 学、东 南 大 学 三 所 学 校，每 位 同 学 只 能 报 考 其 中 的 一 所 学 校，且 每 所 学校 至 少 有 一 名 同 学 报 考，则 不 同 的 报 考 方 法 共 有 多 少 种（）A.1 8 B.3 6 C.7 2 D.1 23.函 数 1 3)(x x f，则 函 数)(x f 在 5 x 处 切 线 的 斜 率 为（）A.41B.43C.34D.834.nx)2 1(的 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 的 为6nC，则 n 不 可 能 为（）A.1 0 B.1 1 C.1 2 D.1 35.在 平 行 六 面 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，以 顶 点 A 为 端 点 的 三 条 棱 长 均 为 2，且 它 们 彼 此 的 夹 角都 是 6 0，直 线1B D与 直 线 A C 所 成 角 的 余 弦 值 为（）A.63B 22C.33D 666.数 列 na 满 足 21 a,)(1)1(1 N n a an n,则na 的 最 大 值 为（）A.3 B.23C.12D.317.已 知 椭 圆 2 22 2:1 0y xbC a ba 的 长 轴 长 为 2 6，且 与 x 轴 的 一 个 交 点 是(2,0)，过 点1,2 23P 的 直 线 与 椭 圆 C 交 于 A，B 两 点，且 满 足 0 P A P B，若 M 为 直 线 A B 上任 意 一 点，O 为 坐 标 原 点，则 O M 的 最 小 值 为（）A 1 B 2C 2 D 2 28.在 数 列 na 中，11 a,且 函 数 3)3 2(s i n)(15 x a x a x x fn n的 导 函 数 有 唯 一 零点，则9a 的 值 为（）A.1 0 2 1 B.1 0 2 2 C.1 0 2 3 D.1 0 2 42二、多项 选择 题：本大 题共 4 小题，每小 题 5 分，共 2 0 分在每 小题 给出的 四个选 项中，有多 项符 合题目 要求，请把 答案 填涂在 答题 卡相应 位置上 全部选对 得 5 分，部分 选对得 2 分，不选 或有错 选的 得 0 分9.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 随 机 变 量 X)41,10(B，则25)(X EB.若 随 机 变 量 X 的 方 差 4)(X D，则 37)1 3(X DC.若 6.0)(A P，4.0)(B P，4.0)(A B P，则 事 件 A 与 事 件 B 独 立D.若 随 机 变 量 X),2(2 N 且61)3(X P，则61)1(X P1 0.已 知 na 是 等 差 数 列，其 前 n 项 和 为nS，7 3 15 S a a，则 下 列 结 论 一 定 正 确 的 有（）A 012 a B 12S 最 小 C 15 8S S D 2023 S1 1.点 0 0 0,6 A x y x 是 抛 物 线26 y x 上 第 一 象 限 内 的 点，过 点 A 作 圆 C：2 2(3)9 x y 的两 条 切 线，切 点 为 M、N，分 别 交y轴 于 P，Q 两 点，则 下 列 选 项 正 确 的 是（）A 0A M A N x B 若08 x，则 直 线 M N 的 方 程 为 5 4 3 2 4 0 x y C 若08 x，则 A P Q 的 面 积 为 9 2D A P Q 的 面 积 最 小 值 为 7 21 2.如 图，点 M 是 棱 长 为 1 的 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中 的 侧 面1 1A D D A上 的 一 个 动 点（包 含边 界），则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A 不 存 在 点 M 满 足 C M 平 面 B D C1B 存 在 无 数 个 点 M 满 足1A D C M C 当 点 M 满 足 D A M A1 131 时，平 面 M B D1截 正 方 体 所 得 截 面 的 面 积 为26D 满 足12 M D M D 的 点 M 的 轨 迹 长 度 是92 三、填空 题：本大 题共 4 小题，每小 题 5 分，共 2 0 分 请把 答案 填写在 答题 卡相应 位置 上1 3.若21 231 221 x xC A，则 x=.31 4.现 有 两 批 产 品，第 一 批 产 品 的 次 品 率 为 5%，第 二 批 产 品 的 次 品 率 为 1 5%，两 批 产 品以 3:2 的 比 例 混 合 在 一 起，从 中 任 取 1 件，该 产 品 合 格 的 概 率 为.1 5.若 直 线:m 2 l x y m m R 与 圆2 2:6 4 7 0 C x y x y 交 于,A B 两 点，则 A B C 面积 的 最 大 值 为.1 6.已 知 函 数 x t t x x x f)1 2(l n)(2 在 1 x 处 取 得 极 值，且 在,0(e 上 的 最 大 值 为 1，则 t 的 值 为.四、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 0 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 必 要的 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7.（本 小 题 满 分 1 0 分）已 知nx)3 1(的 展 开 式 的 所 有 项 的 二 项 式 系 数 和 为 5 1 2.（1）若nnnx a x a x a a x 22 1 03 1）（，求:nna a a a a)1(4 3 2 1（2）求nx x)3 1)(1(中 的2x 项.1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，在 三 棱 柱1 1 1A B C A B C-中，1,A B B C A C A A，点 D 为 棱 A C 的 中 点，1 1A B C A A C C 平 面 平 面，且160 A A C（1）求 证：1A D 平 面 A B C；（2）若 A B B C，求 二 面 角1D B C B 的 正 弦 值 1 9.（本 小 题 满 分 1 2 分）为 了 迎 接 4 月 2 3 日“世 界 图 书 日”，我 市 将 组 织 中 学 生 进 行 一次 文 化 知 识 有 奖 竞 赛，竞 赛 奖 励 规 则 如 下，得 分 在 7 0,8 0 内的 学 生 获 三 等 奖，得 分 在 8 0,9 0）内 的 学 生 获 二 等 奖，得 分 在 9 0,1 0 0 内 的 学 生 获 一 等 奖，其 他 学 生 不 得 奖.为 了 解 学 生 对 相关 知 识 的 掌 握 情 况，随 机 抽 取 1 0 0 名 学 生 的 竞 赛 成 绩，统 计 如 下成 绩（分）3 0，4 0）4 0，5 0）5 0，6 0）6 0，7 0）7 0，8 0）8 0，9 0）9 0，1 0 0）频 数 6 1 2 1 8 3 4 1 6 8 6（1）若 现 从 该 样 本 中 随 机 抽 取 两 名 学 生 的 竞 赛 成 绩，求 这 两 名 学 生 中 恰 有 一 名 学 生 获 奖的 概 率；（2）若 我 市 所 有 参 赛 学 生 的 成 绩 X 近 似 服 从 正 态 分 布 X)15,64(2N，利 用 所 得 正 态 分4布 模 型 解 决 以 下 问 题：（i）若 我 市 共 有 1 0 0 0 0 名 学 生 参 加 了 竞 赛，试 估 计 参 赛 学 生 中 成 绩 超 过 7 9 分 的 学 生 数（结果 四 舍 五 入 到 整 数）；（i i）若 从 所 有 参 赛 学 生 中（参 赛 学 生 数 大 于 1 0 0 0 0 0）随 机 抽 取 3 名 学 生 进 行 访 谈，设 其中 竞 赛 成 绩 在 6 4 分 以 上 的 学 生 数 为 Y，求 随 机 变 量 Y 的 分 布 列 均 值.附 参 考 数 据：若 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 2,N，则 0.6 8 2 7,2 2 0.9 5 4 5 P X P X，3 3 0.9 9 7 3 P X.2 0.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，满 足 11 a,)1()1(1 n n S n nSn n(1)求 na 的 通 项 公 式；(2)若n Sabnn nn 1 1)1(，求 数 列 nb 的 前 2 0 项 和20T.2 1.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数)1 l n()(x x e x fx.(1)求 函 数)(x f 的 单 调 区 间；(2)设)()()(R m m x e x f x gx,若 0)(x g 恒 成 立，求 m 的 取 值 范 围.2 2.（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 双 曲 线 E:2 21(0)m x y m 的 左、右 焦 点 分 别 为1F，2F，离 心 率 为33 2，A 是 直线 l：2 3 0 x y 上 不 同 于 原 点 O 的 一 个 动 点，斜 率 为1k 的 直 线1A F 与 双 曲 线 E 交 于 M，N两 点，斜 率 为2k 的 直 线2A F 与 双 曲 线 E 交 于 P，Q 两 点.(1)求1 22 1k kk k的 值；(2)若 直 线 O M，O N，O P，O Q 的 斜 率 分 别 为O Mk，O Nk，O Pk，O Qk，问 是 否 存 在 点 A，满足O Mk+O Nk=O Pk O Qk，若 存 在，求 出 A 点 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由.请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2 0 2 2-2 0 2 3 学 年 第 二 学 期 5 月 六 校 联 合 调 研 考 试高 二 数 学 答 题 卡请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！1 8.（1 2 分）1 9.（1 2 分）一、单选 题（共 4 0 分）二、多选 题（共 2 0 分）1 5 9 2 6 1 0 3 7 1 1 4 8 1 2 三、填空 题（每 小题 5 分，共 2 0 分）1 3.1 4.1 5.1 6.四、解 答 题（共 7 0 分，解 答 题 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 及 演 算 步 骤）1 7、（1 0 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！姓 名：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _准 考 证 号：贴条形码区考 生 禁 填：缺 考 标 记以 上 标 志 由 监 考 人 员 用 2B 铅 笔填 涂选 择 题 填 涂 样 例：正 确 填 涂错 误 填 涂 1 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。2 选择题必须用 2 B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5 m m 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。注 意 事 项请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2 0.（1 2 分）2 1.（1 2 分）2 2.（1 2 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！1参 考 答 案 及 评 分 标 准一、单 选 题：1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.B 7.B 8.A二、多 选 题：9.A C D 1 0.A C 1 1.A B D 1 2.B C D三、填 空 题：1 3.3 1 4.0.9 1 1 5.3 51 6.2 或 21 e四、解 答 题：1 7.解：9512 223 2 1 0 nC C C C Cnn nn n n n n即.2513;512,11,0;)3 1(9 8 3 2 19 8 3 2 1 009922 1 09 a a a a aa a a a a a xa xx a x a x a a x令令.6中的9)3 1)(1)(2(x x 项为2x2 2 2919297)3(1 3 x x C x x C.1 01 8.解：（1）如 图，连 接1A C 因 为 侧 面1 1A A C C为 菱 形，且160 A A C，所 以1A A C 为 等 边 三 角 形，所 以1A D A C.2又 因 为1 1A B C A A C C 平 面 平 面，C C A A D A1 1 1平面，A C A B C C C A A 平面 平面 1 1所 以1A D 平 面 A B C.6（2）由（1）的 过 程 可 知，可 以 点 D 为 坐 标 原 点，分 别 以 D B，D C，1D A所 在 直 线 为 x，y，z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D-x y z 不 妨 设 2 A C，由 题 可 知 0,0,0 D，1,0,0 B，0,1,0 C，0,1,0 A，10,0,3 A由1 1A B A B，可 得 11,1,3 B2设 平 面1D C B的 法 向 量 为 1 1 1,x n y z，而 11,0,3 C B，0,1,0 D C，则 有1 1 113 00n C B x zn D C y 取13 z，得 3,0,3 n.8设 平 面1B B C的 法 向 量 为 2 2 2,m x y z，而 1,1,0 C B，11,0,3 C B，则 有1 2 22 203 0m C B x ym C B x z，取23 z，得 3,3,3 m.1 0设 平 面1D B C与 平 面1B B C夹 角 为，则9 3 2 7c o s c o s,7 2 3 2 1n mn mn m，所 以721s i n 即 平 面1D B C与 平 面1B B C夹 角 的 正 弦 值 为721.1 21 9.解：从 该 样 本 中 随 机 抽 取 两 名 学 生 的 竞 赛 成 绩，基 本 事 件 总 数 为21 0 0C，设“抽 取 的 两 名 学 生中 恰 有 一 名 学 生 获 奖”为 事 件 A，则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 为1 17 0 3 0C C，因 为 每 个 基 本 事 件 出 现 的 可 能 性 都 相 等，所 以 P A1 170 30210014,33C CC 即 抽 取 的 两 名 学 生 中 恰 有 一 名 学 生 获 奖 的 概 率 为1 43 3.3（i）因 为 7 9，所 以1 0.6 8 2 7(7 9)0.1 5 8 6 52P X，故 参 赛 学 生 中 成 绩 超 过 7 9 分 的 学 生 数 约 为 0.1 5 8 6 5 1 0 0 0 0 1 5 8 7.6（i i）由 6 4，得1(6 4)2P X，即 从 所 有 参 赛 学 生 中 堕 机 抽 取 1 名 学 生，该 生 竞 赛 成绩 在 6 4 分 以 上 的 概 率 为12，所 以 随 机 变 量 Y 服 从 二 项 分 布13,2B，所 以381)21()3(83)21()2(83)21()1(81)21()0(p3 333 233 133 03 C Y PC Y PC Y PC Y所 以 随 机 变 量 Y 的 分 布 列 为：Y 0 1 2 3P18383818.1 023)(23813832831810)(E np Y EY.1 22 0.解：(1)由 得 2设,则 b1=1,是 以 1 为 首 项 1 为 公 差 的 等 差 数 列，所 以,4当 n 2 时,因 为 也 满 足 上 式，所 以 6(2)94所 以 1 22 1.解：(1)f(x)定 义 域 为）+，0（，)1l n()11()1 l n()(xx x exe x x e x fx x x 2令xx x x g1l n)(，则 043)21(1 1 11)(22222 xxxx xx xx g所 以)(x g 在），（0 上 单 调 递 增，且 0 g(1)4令,0)(x f 得 1 x，令,0)(x f 得 1 0 x，所 以 f(x)的 单 调 增 区 间 为）+，1（，f(x)的 单 调 减 区 间 为）1，0（6(2)解 法 1:g(x)f(x)ex m x=ex(x l n x 1)+ex m x=ex(x l n x）m x 0 恒 成 立所 以xx x emx)(l n 恒 成 立设xx x eh(x)x)(l n=则 8设,则当 时，递 增，当 时，递 减，所 以所 以 当 时，恒 成 立，1 0当 时，递 增，当 时，递 减，所 以由xx x emx)(l n 恒 成 立 得 1 2解 法 2:5因 为 g(x)f(x)ex m x=ex(x l n x 1)+ex m x=ex(x l n x）m x 0 恒 成 立所 以 g(1)0,得 e+m 0,所 以 8又 当 时，g(x)ex(x l n x）e x ex e x设 h(x)=ex e x 1 0h(x)=ex e=0,x=1当 时，递 减，当 时，递 增，所 以 h(x)h(1)=0,所 以 g(x)0 恒 成 立综 上，1 22 2.（1）解：由 题 意 得 双 曲 线 E：2213xy 所 以 曲 线 E 的 左、右 焦 点 分 别 为 12,0 F，22,0 F，设 2,03A t t t，120232 3 2ttkt t，同 理 可 得 223 2tkt.2 1 21 2 1 23 2 3 21 1 632 2 2t tk k tk k k k t t t.4（2）设 2 4 1 1 2 3 3 4,M x y N x y P x y Q x y，直 线1A F方 程 为 12 y k x，代 入 双 曲 线 方 程 可 得：2 2 2 21 1 11 3 12 12 3 0 k x k x k，所 以211 2 211 21 3kx xk，则211 2 2112 31 3kx xk，.5则1 2 1 2 2 11 2 1 2N O O My y y x y xk kx x x x，1 1 2 1 2 11 22 2 k x x k x xx x，1 1 2 1 2 11 22 2 k x x k x xx x，6221 2121112 41 321 2 31 3kkkkk，12124 1kk.8同 理22224 1O P O Qkk kk，即1 22 21 22 204 1 4 1k kk k，即 1 2 1 24 1 0 k k k k，1 20 k k 或1 214k k，又1 21 13k k，若1 20 k k.无 解，舍 去.1 214k k，解 得114k，21 k，或11 k，214k，.1 0若114k，21 k，由 A 在 直 线1A F上 可 得，2 123 4t t，65t.此 时6 4,5 5A，.1 1若11 k，214k，由 A 在 直 线1A F上 可 得，223t t，65t 此 时6 4,5 5A 存 在 点6 4,5 5A，或6 4,5 5A，满 足0O M O N O P O Qk k k k.1 2