新课标高中数学教案《第四章三角函数》分教时教案全集（共42教时）.pdf

.一 教 时 性 义 角 的 概 念，并 进 而 理 解“正 角”“负 角”的 含 义。攵”1函 数”它 是 利 用 直 角 三 角 形 中 两 边 的 比 值 述 研 究 的 三 角 函 数 是“任 意 角 的 三 角 函 数”，展 都 起 着 十 分 重 要 的 作 用，并 且 在 各 门 学 科 技 术 角 的 顶 点 合 于 坐 标 原 点，角 的 始 边 合 于 X轴 的 正 斗 终 边 落 在 第 几 象 限，我 们 就 说 这 个 角 是 第 几 象 限 的 角 上，则 此 角 不 属 于 任 何 一 个 象 限)例 如：39(y-3 3。是 第 I 象 限 角 象 限 角 58F 118。是 第 HI象 限 角 等 四、关 于 终 边 相 同 的 角 1.观 察：390。，-330。角，它 们 的 终 边 都 与 30。角 的 终:2.终 边 相 同 的 角 都 可 以 表 示 成 一 个 0。到 360。的 角 与 内 日 的？(从 一 个 点 出 发 引 出 的 两 条 射 线 构 成 的 几?是 形 象、直 观、容 易 理 解，但 它 的 弊 端 在 于(P4)顶 点”“始 边”“终 边”泮 轴-这 是 由 旋 转 的 方 向 所 决 定 的。简 记 成 a 后，角 的 范 围 大 大 地 扩 大 了。B=15CP Y=-6602 周(360X 2=720)3 周(360X3=1080)i，没 有 旋 转 390=30+360(k=1)-330=30-360(%=T)30=30+0X31470=30+4X360(k=4)-1770=30-5X3600 伏=5)3.所 有 与 a 终 边 相 同 的 角 连 同 a 在 内 可 以 构 成 一 个 集 合 S=/?|Q=a+h 3 6(T#e z 即：任 何 一 个 与 角 a 终 边 相 同 的 角，都 可 以 表 示 成 角 4.例 一(P5 略)五、小 结：1。角 的 概 念 的 推 广 用“旋 转”定 义 角 角 的 范 围 的 扩 大 2“象 限 角”与“终 边 相 同 的 角”六、作 业：P 7 练 习 1、2、3、4习 题 1.4 1在 平 面 直 角 坐 标 系 中 来 讨 论 角,三 教 时 入 学 会 弧 度 制 与 角 度 制 互 化，并 进 而 建 立 角 的 系 的 概 念。勺 大 小 第 一 种 单 位 制 一 角 度 制 的 定 义。中 度 量 角 的 单 位 制 2r 定 义：长 度 等 于 半 径 长 的 弧 所 对 的 圆 心 角 称 为 1弧 度 的 角。4A 如 图：ZAOB=lrad/ZAOC=2rad周 角=2兀 rad角 的 弧 度 数 是 负 数，零 角 的 弧 度 数 是 0 1=-（/为 弧 长，r为 半 径）r零 角，单 位 不 同，但 数 量 相 同（都 是 0）任 一 非 零 角，单 位 不 同，量 数 也 不 同。=7t radd=5718阖：6730=（67口 I.6730,=mt/x67-=-2）180 2 8例 二 把 2 初 化 成 度 53 3阖：勿&/=xl80=1085 5注 意 几 点：1.度 数 与 弧 度 数 的 换 算 也 可 借 助“计 算 器 进 行；2.今 后 在 具 体 运 算 时，“弧 度”二 字 和 单 略 如：3 表 示 3rad sin兀 表 示 兀 rad角 3.些 特 殊 角 的 度 数 与 弧 度 数 的 对 应 值 应 表）4.应 确 立 如 下 的 概 念：角 的 概 念 推 广 之 后 弧 度 制 都 能 在 角 的 集 合 与 实 数 的 集 合 之 I】关 系。正 角 正 实 数 零 角 零 负 角 负 实 数 任 意 角 的 集 合 实 数 集 R四、练 习（P11练 习 1 2）例 三 用 弧 度 制 表 示：1。终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合：集 合 3。终 边 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 解：1。终 边 在 x轴 上 的 角 的 集 合 加=尸 肛 ke.2。终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 S2=p（3=k7i+台 的 集 合 S3=j/?|/?=y,e Z4、5、6、72.与 弧 度 制 的 互 化，、4 P12 习 题 4.2 2、3占 四 教 时 逐 步 习 惯 在 具 体 应 用 中 运 用 弧 度 制 解 决 具 体 的 它 与 角 度 制 互 化 的 方 法。P101-102练 习 题 15 并 注 意 紧 扣，巩 固 弧 度 制 例 二 加 比 相 应 的 公 式/=上 简 单 3 180，(的 孤 鹿 政)的 倦 对 伯 与 半 忽 的 独 目 弧 度 制 证 明 扇 形 面 积 公 式 S=/R 其 中/是 扇 形 2:圆 心 角 为 lrad的 扇 形 面 积 为：T T R22乃 弧 长 为/的 扇 形 圆 心 角 为 工 radR：.S=-T T R2=-/?R 2TI 2式 s=嚼 要 简 单 3oU例 一 直 径 为 20cm的 圆 中，求 下 列 各 圆 心 所 对 165斜：r=10cm(1)：I=a r=x 10=-(cm)3 3IT 1 TT(2)：165=xl65(raJ)=raJ：.I180 12例 三 如 图，已 知 扇 形 A 0 8 的 周 长 是 6cm,该 扇 形 的 中 心 角 是 1 弧 度，求 该 扇 形 的 面 积。解：设 扇 形 的 半 径 为 r,弧 长 为/,则 有 2r 4-Z=6 fr=2 i*扇 形 的 面 积 S=二 一=1/=2 2例 四 计 算 sin tan 1.54717=45sin=sin 45=-4 2解:V1.5rad=57.30*x 1.5=85.95=8557 tanl.5=tan 8557*=14.12例 五 将 下 列 各 角 化 成 0 到 2 4 的 角 加 上 2版 r(k E Z)也 19(1)7T(2)-3153-19 n.解：一 乃 二 F 6%3 37T-315=45-360=2 乃 4例 六 求 图 中 公 路 弯 道 处 弧 A B 的 长/(精 确 到 1m)图 中 长 度 单 位 为：m7T解：.60=-3=y x 4 5 3.14x15 47(/71)三、练 习：P11 6、7 教 学 与 测 试 P102练 习 6四、作 业：课 本 P11-12 练 习 8、9、100 4.2 5 14,102 7、8及 思 考 题”五 教 时 日 函 数 的 定 义，继 而 理 解 a 角 与 B=2kjt+a(keZ)的 0X 的 终 边 上 任 取(异 于 原 点 的)一 点 P(x,y)x|2+|y|2=7 x2+y2 0(图 示 见 P13 略)记 作：sin 0,而 x,y的 正 负 是 随 象 限 的 变 化 而 不 同，由 象 限 确 定(今 后 将 专 题 研 究)定 义 域：y=sin a R y=cotay=cosa R y=seca7 1y=tan a a kjr+-(Jc e Z)y=csctz二、例 一 已 知 a 的 终 边 经 过 点 P(2,-3),求 a 的 六 个 三 角 2例 二 求 下 列 各 角 的 六 个 三 角 函 数 值 3 77 77(1)0(2)n(3)(4)-2 2解：的 解 答 见 P16-17-T T(4)当。二 万 时 x=0,y=r.s in=1 cos=0 tan 不 存 在 co2 2 2se c工 不 存 在 esc=12 2例 三 教 学 与 测 试 P 1 0 3例 一 求 函 数 cos.x的 终 边 不 在 X 轴 上：0 A x 的 终 边 不 在 y 轴 上 c 0,y 0 cosx=|cosx|tanx=j tanx|y=2 0|cosx|=一 cosx I tanx 二 一 tanx/.y-2cosx|-cosx|tanx=tanx y=03例 二 i P(4,-3),求 2sina+cosa的 值:P(4a,-3a),(aM)求 2sina+cosa的 值.3 4 2ina=cosa=.2sina+cosa=5 5 53 4 2则 sina=cosa=，2sina+cosa=5 5 53 4 2贝 ijsina=cosa=/.2sina+cosa=5 5 5勺 容 P20 习 题 4.3 3(104 4、5、6、7=BSXcos er=X-=X=OMr 1y MP ATtana=_X OM OAX OM BScot a=-yMP OB=AT有 向 线 段 Ma 角 的 正 弦 线”六 教 时 勺 线 段 表 示 三 角 函 数 值，从 而 使 学 生 对 三 角 函 数 解。指 出：“定 义”从 代 数 的 角 度 揭 示 了 三 角 函 数 长 揭 示 三 角 函 数 的 定 义：具 示 三 角 函 数 值”一 圆 心 在 原 点 0,半 径 等 于 单 位 长 度 的 圆-12)生 原 点，始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合，角 a 的 终 也 标 轴 正 半 轴 分 别 与 单 位 圆 交 于 A、B 两 点 b于 M,过 点 A(l,0)作 单 位 圆 切 线，与 a 角 的 终 边 过 点 B(0,l)作 单 位 圆 的 切 线，与 a角 的 终 边 或 有“方 向”的 量 一 用 正 负 号 表 示)(带 有 方 向 的 线 段)?标 轴 方 向 相 同，长 度 用 绝 对 值 表 示。0 P 长 度 分 别 为 即 y|r 0 0 M 看 作 与 x 轴 同 向 0 M 具 有 正 值 xc sin-M2M1T22乃 LtanTcot-1 sina 一 2解：1。yp22 tana 3P)21030WaW150 30a90。或 210rr例 三 求 证：若 0 4%工 一 时，则 sinaysina?1 2 2松 明:y 分 别 作 叫,。2的 正 弦 线 X 的 终 sinai=MiPi sina2=lJ T/0 a,a2.MR M2P2 即 sineP2P)o M,M,例 二(P18例 四)求 证 角 0为 第 三 象 限 角 的 充 分 条 件 可 线 段，三 角 函 数 线 R习 P20习 题 4.3 2等 式：(已 入 0,2万)5 2 1 2 tanx-1 3sin x 2”七 教 时 1号 总 数 的 定 义，确 定 三 角 函 数 的 值 在 各 象 限 的 符 问 题。用 单 位 圆 中 的 线 段 表 示 三 角 函 数 值 然 后 师 生 共 同 操 作：3ta0,seca0,csca00,seca00,seca0,csca00,csca0全 正 cos o r“一 为 正 sec acos(a+2k 兀)=cosa tan(a+2k 兀)=tanasec(a+2k7t)=seca csc(a+2kn)=csca血：必 要 性:若。是 第 三 象 限 角，则 必 有 sin00,tan。充 分 性：若 两 式 成 立.若 s in 0 0,则 角。的 终 边 可 能 位 于 第 一 回 V(l)(2)都 成 立，0角 的 终 边 只 能 位 于 名.角 0为 第 三 象 限 角 例 三(P19例 五 略)四、练 习：1.若 三 角 形 的 两 内 角 a,0满 足 sinacosp 0,则 此 三:(B)A：锐 角 三 角 形 B：钝 角 三 角 形 C：直 角 三 角 形 能 2.若 是 第 三 象 限 角，则 下 列 各 式 中 不 成 立 的 是.(B)A：sina+cosa0 B：tana-sina0C：cosa-cota0 D：cotacsca0q q3.已 知。是 第 三 象 限 角 月 一 c o s v O,问 2 是 第 儿 象 限 2 2解：V(2k+l)7 T&2k+)7 T+-(k e Z)A k7r+-k 7 r+伙 eZ)则,是 方 2 2 4 2Q Q又 c o s 0 则 V 是 第 二 或 第 三 象 限 角 2 2Q 必 为 第 二 象 限 角 2z、sin284.已 知 g 1，贝 咐 为 第 儿 象 限 角？sin20 03.推 广：这 种 关 系 称 为 平 方 关 系。类 似 的 平 方 关 系 还 T T(k e Z)/.k?t 0 kju+邛 艮 角 秀 导 公 式 A习 4,5,6习 题 4.3 6-10“八 教 时 勺 定 义，导 出 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系，并 能 正 代 值 运 算。己 义：r 3 0+cos2 300 3.tan45-cot2 45/5 兀 5 7 i6.tan-cot 6 6察 上 述 题 目 的 结 果（并 像 公 式“方 向”引 导）2 1 sin a is a=1-=tan a tan a-cot a=1cos aesc2 a-c o t2 a=I电 吧=ta n a这 种 关 系 称 为 商 数 关 系。类 似 的 商 cos acos a-=cot asin ata n a.c o ta=1这 种 关 系 称 为 倒 数 关 系。5esc a-sin a=1 sec a-cos a=14.点 题：三 种 关 系，八 个 公 式，称 为 同 角 三 角 函 数 的 5.注 意：1“同 角”的 概 念 与 角 的 表 达 形 式 无 关，如：sin2 3a+cos2 3a=1acos2a=tan 2y x.2 2 1=,cos a=/.sin a+cos a=Ir rsin a y x y r y-x=tanacos a r r r x xy x,tan a-cot a-=Ix y2。上 述 关 系（公 式）都 必 须 在 定 义 域 允 许 的 范 围 内 成 3。据 此，由 一 个 角 的 任 一 三 角 函 数 值 可 求 出 这 个 角 的 且 因 为 利 用“平 方 关 系”公 式，最 终 需 求 平 方 此 应 尽 可 能 少 用（实 际 上，至 多 只 要 用 一 次）三、例 题：例 一、（课 本 P 2 5例 一）略 注：已 知 角 的 象 限，利 用 平 方 关 系，也 只 可 能 是 一 例 二、（课 本 P 2 5例 二）略 注：根 据 已 知 的 三 角 函 数 值 可 以 分 象 限 讨 论。例 三、（课 本 P 2 5例 三）略 实 际 上：sec2 a=tan2 a+1 即 cos2 a=-二 一 1+tan-aI 1,当 a 为 第 一、四 象 限 1.cosa=J l+ta1n 2 a-,当 a 为 第 二、三 象 限）A/1+tan2 a而 sin a=tan a cos an atan2 aan a2-tan a当 a 为 第 一、四 象 限 角 当 a 为 第 二、三 象 限 角 14六、例 一、(见 P 2 5例 四)化 简：V l-s in24400解：原 式=J l sin2(360+80)=J l sin2 80=&例 二、已 知 sin a=2 cos a,求 S*n a 及 sin25 sina+2cosa解：*/sin a=2 cos a tan a=2s in a-4 c o s a _ tan a-4 _-2 _ 1；-5 sin a+2cosa 5 tan a+2 12 6.7.sin2 a+2 sin a c o sasm a+2 sm a cos a=-=sin a+cos a.九 教 时 2）求 值 总 数 的 基 本 关 系 求 一 些 三 角 函 数（式）的 值，并 走 本 技 巧。强 调（指 出）技 巧：1。分 子、分 母 是 正 余 弦 的 一 次（2“化 1法”百、例 三、已 知 sin a+cosa=，求 ta n a+c o ta及 simX关 系:求 a 的 其 他 三 角 函 数 值。则 in a=V 1-m2y jl-m2则 na=esc a=一 1-m2m:ota=/解：将 sin a+c o s a=两 边 平 方，得：sin ac31。/.tan a+cota=-=-3sin a cos a2 2 5(sina-cosa)=1-2 s in a c o s a=1+=25例 四、已 知 tan a+cot a=一，12求 tan a-c o t a,tan2 a-c o t2 a,tan3 a+cot解：由 题 设：tan2 a+cot2 a=-2,144.,1625 A 1 7 tan a-cot ct=J-4=V144 12a+cot a)(tan a-cot a)=2 5x(7)=1 7 512 12 144a+cot a)(tan2 a+cot2 a-t a n a cot a),337,、25 193 4825144 12 144 1728八、作 业：课 课 练 P12P13P14 精 编 P35 14例 题 推 荐 1、2、3课 时 练 习 6、7、8、9、10例 题 推 荐 1l+2x 25 9sin a c o sa=)+2 sin a cos a=.1 25i=-=sin a cos a 12g(0 0 7c),求 tan。及 s in。一 c o s。的 值。*0 0 7 C,得：COS0 5 5)=cos 0=5 1 53 _ 外=2 _(5)125cosa=,a 是 第 四 象 限 角，求 加+5上 网 产+(比 1 2)2=1i+5 m 4-58)=0 mx=0,m2=8cosa=-1,(与 a 是 第 四 象 限 角 不 合)12135cos a=,13tan a=12T解 序 弋/(l+sina)(l+sina)l(l-s in a)(l-s i(1+sin a)(l-sin a)(1+sin a)(l-si_ kl+sina)2 kl-sin a)2 _ 1+sin a 1-V 1-s in2 a V 1-sin2 a|cos a|1,a 是 第 三 象 限 角，:co sav OE i 1+sin a 1-s i n a _,上/.原 式=-=-2 tan a(汪 意-c o s a-c o s a例 三、求 证：c o s a_=12s i n a(课 本 P 2 6 例 5：1-sin a cos a证 一 左 边 一 cosa(l+sina)_ cosa(l+sina)_(1-sin a)(l+sin a)1-s in2 a,十 教 时 3）证 明 教 学 与 测 试 第 5 0课 七 系 式 进 行 三 角 函 数 恒 等 式 的 证 明。=l+sin a=右 边.等 式 成 立 cos a证 二：(1-sin a)(l+sin a)=1-sin2 a=cos2 a-且 1-sina w 0,K关 系：式 P 25例 一）.C O S a=1+sin a(利 用 比 例 关 系)1-sin a cos a，求 sin a cos a 的 值。证 三：.25 9即：1-2 s in a c o s a=/.sin a cos a=-16 32自 数 的 基 本 关 系 证 明 三 角 恒 等 式（或 化 简）cos a 1+sin a _ cos2 a-(1-sin a)(l+sin a)_ cos2 a-1-sin a cos a(1-sin a)cos a(1-s2 2 i_ co s a-c o s a _.cos a _ l+si简：V l-s in2440(1-sin a)cos a 1-sin a cos+80)=7 1-s in2 80=A/COS2 800=COS80 例 三、已 知 方 程 2-（石+l）x+m=0 的 两 根 分 别 表 h 化 简 叵 巫 一 匕 包 吧（教 学 与 测 试 V 1-sin a v 1+sin a求 冷 力+2 _ 的 值。(教 学 与 测 试 1-cot 0 1-tan 0解：.原 式=s/e+-2。=电 工 sin 0-cos 0 cos 0-sin 0 sin 0-c 1苴 式=上 工(化 弦 法)2i a=c,求 证：a2+b2=c2+d2a+d(1)n a+c(2)a=(c2+6?2)tan2 a+c2+d2/?2)sec2 a=(c2+J2)sec2 a:+b2=c2+d2x=sin 0+cos 0(1)y=tan 0+cot 0(2)x2-l0cos0/.sinOcosO=-一(3)?os0 1-八 八 1/八-=-sm 6 cos 0=(4)sin0 sin 0 cos 0 y=一(平 方 消 去 法)x2-1=2sinp,tan a=3 tan p,求 cos 2 asin2p I2P P 1-cos2 a+9 cos2 a=42 3cos a=8十、小 结：儿 种 技 巧 十 一、作 业：课 本 P 2 7 练 习 5,6,P28 习 题 4.4 8,9 教 学 与 测 试 P106 4,5,6,7,8,思 考 题 x=4sin(l 80+a)=-sina,tan(l 80+a)=t g a,(p(-x,-y)sec(l 80+a)=-seca,如 图：在 单 位 圆 中 作 出 与 sin(-a)=-sina,c o s(-a):tan(-a)=-tana,c o t(-a):sec(-a)=seca,c sc(-a)=5.公 式 4：sin(180-a)=sin 180+(-a)=-sin(-(cos(180-a)=cos180+(-a)=-cos(同 理 可 得：sin(l 80-a)=sina,cos(l 80-a)=-c(十 一 教 时 a,180-a,180+a,360-a,-a弋 的 推 导 过 程，并 能 运 用 化 简 三 角 式，从 而 了 已 知 问 题 的 数 学 思 想。tan(l 80-a)=-tana,cot(l 8 0-a)=-sec(l 80-a)=-seca,csc(l 80-a)=c：到 360。角 的 三 角 函 数 一 锐 角 三 角 函 数(360%+a)=sina,cos(360%+a)=cosa.(360%+a)=tga,cot(360%+a)=ctga.;(360。4+01)=seca,csc(360A+a)=csca，有 四 种 可 能(其 中 a 为 不 大 于 90。的 非 负 角)6.公 式 5：sin(360-a)=-sina,cos(360-a)=cosa.tan(360-a)=-tana,cot(360-a)=-cotosec(360-a)=seca,csc(360-a)=-csca三、小 结：360%+a,180-a,180+a,360-a,-的 同 名 三 角 函 数 值 再 加 上 一 个 把 a看 成 锐 角 时 四、例 题：P2930 例 一、例 二、例 三 P3132 例 四、例 五、例 六 略 五、作 业：P 3 0练 习 P 3 2 练 习 P 3 3习 题 4.5),90)P为 第 一 象 限 角),180)0为 第 二 象 限 角),270)p为 第 三 象 限 角。,3 6 0)。为 第 四 象 限 角(以 下 设 a 为 任 意 角)设 a 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P(x,y),则 180+a终 边 与 单 位 圆 交 于 点 P(-x,-y)如 图，可 证：则 sin(90+a)=M P=O Fcos(90+a)=OM=P从 而：sin(90+a)=cosa,tan(90+a)=-cota,sec(90+a)=-csca,或 证：sin(90+a)=sinl 80-(90-a)=sin(90-cos(90+a)=cos180-(90-a)=-sin(903.公 式 8：sin(270-a)=sinl80+(90-a)=-sin(sin(270-a)=-cosa,cos(270-a)=-sin(tan(270-a)=cota,cot(270-a)=tana.sec(270-a)=-csca,csc(270-a)=seca”十 二 分 时 a,270 a,一 至 五，并 运 用 求 任 意 角 的 三 角 函 数 值，同 时 学 恰 应 用，进 行 简 单 的 三 角 函 数 式 的 化 简 及 论 证。:1+米-si-n-(-1-80-+-a-)-c-o-s-(7-2-0-+-a-)-t-a-n-(-5-4-0-+-a-)-3 cot(-a-180)sin(-180-a)tan(900+a)in(7 i+a)=sin a,/.sin a=；-sin a cos a tan a 1-=sina=+180)sin a tan(l 80+a)3g,求 cos(号 一 a)的 值。3 6,5 兀、i/兀、*x/3s7t-(-a)=-cos(+a)=4.公 式 9：sin(270+a)=-cosa,cos(270+a)=sintan(270+a)=-cota,cot(270+a)=-tasec(270+a)=csca,csc(270+a)=-sec三、小 结：90 a,270。a 的 三 角 函 数 值 等 于 a 的 余 E一 个 把 a看 成 锐 角 时 原 函 数 值 的 符 号 7 C 3兀 sin(-+a)-cos(-a)sin(4Zrjr 一 a):六、例 一、求 证:-z-2-=-tan(2E a)+co t(-E+a)3(5 兀+a)、工 cos a+sin a sin a cos a-tan a 4-cot a cos a-sin a右 边 _ 一 sin a cos a _ sin a cos a 左 边=-cos a 4-sin a cos a-sin a例 二、求 cos2(-a)+cos2(4-a)的 值。4 4解：原 式=cos2 一(：+a)+cos2(+a)=sin 2(H例 三、已 知 sinp=；,sin(a+p)=1,求 sin(2a+p)(90-a)=cosa,cos(90-a)=sina.(90-a)=cota,cot(90-a)=tana.(90-a)=csca,csc(90-a)=secaT T a+p=2kit+(k G Z)7 1 1sin2(2A 兀+)-p=sin(4&兀+7t-p)=sinp=-A 7 J/5兀 r/5兀/兀 用 车：cos(-a)=-COSTT-(-a)=-cos(+a6 6 6小 结：此 类 角 变 换 应 熟 悉 c,求/(sin x)例 三、求 证：cosG；t-a)cos(bt+a)=,sin(Z+l)n+a cos(Z+1)兀+a1-x)=cos17(90-x)证：若 k 是 偶 数,即=2(GZ)贝 lj：60+90-17x)=cos(900-17)=s in llx十、&cos(2 兀-a)cos(2 兀+a)左 以=.=sin2 兀+(7 i+a)cos2 兀+(兀+a)-si(4+l)x,(n e Z,J C G 7?)求/(cosx)若 人 是 奇 数，即 女=2+l(e Z)贝 小-sin2(360-a)4-sin(90+a)-3 K2 cos2(a+180)+cos(-a)3十 八 1,cos2 兀+(7 i-a)cos2n7i+(兀+a)左 12=-=sin2(n+l)n+a)cos2(n+1)K+a),课 时 9 例 题 推 荐 13 练 习 6 10/.原 式 成 立”十 三 教 时 小 结：注 意 讨 论 例 四、已 知 方 程 sin(a-3兀)=2cos(a-4兀)，求 河(兀 E能 更 熟 练 地 运 用 诱 导 公 式，化 简 三 角 函 数 式。2 sir值。(精 编 3 8例 五)教 学 与 测 试 例-)计 算：)+sin(360+120)+cos(-360+30)cos30=42三 角 函 数 的 一 般 步 骤：为 正 角 的 三 角 函 数 弋 化 为 0,2何 角 的 三 角 函 数 力-a”公 式 化 为 锐 角 的 三 角 函 数 解：sin(a-3兀)=2cos(a-4K)sin(3兀-a)/.一 sin(兀-a)=2cos(-a)sina=-2cosc e t x sin a+5cosa-2 cos a+5 cos a-2 cos a+sin a-2 c o s a-2 cos a例 五、已 知 tan(兀-a)=a2,|cos(7 i-a)|=-c o s a,:(精 编 P 4 0例 八)解：由 题 设：tan a=-22 0,|cos a|=-cos a,即 L 求 c o s(2-a)的 值。(教 学 与 测 试 例 三)6由 此：当 a w 0 时，tana v 0,cosa 0,a 为 第 二 象/.原 式=-=-sec a=71+tan2 a=J l+。cosa当 a=0 时,tana=0,a=ku./.cosa=1,二 J1+.4(a=0)J1+/)s2(7i+x)-sinx+a=0 W,求 实 数。的 取 值 2x-siar+a=0 即 2 2sin2x-sinx+q=02_n8=2(sinx+()min=一 甘；当 sinx=l 时，max=1o-J)8 58,思 考 题“十 三 敌 时 法 成 熟 练 技 巧，为 继 续 学 习 以 后 的 内 容 打 下 基 础。)9mclplo、诱 导 公 式 略 同 角 的 三 角 函 数 关 系 a)已 知 sin(兀-a)-cos(兀+a)=(0a7t),求 sin4值 6解：sin(7t-a)-COS(TC+a)=即：sin a+cos a4又 0 1,0air a 4 2 4令 a=sin(n+a)+cos(2n-a)=-sina+cosa 贝 7 _由 得：2sinacosa=a=-VI-2sinacc8b)已 知 2sin(兀-a)-cos(兀+a)=1(0a7t),求 cot值 解：将 已 知 条 件 化 简 得：2sin a+cos a=1 设 COS(2TC-a)+sin(7i+a)=a,贝 l j=cos a-s 联 立 得：sina=g(l-o),cosa=(1+2asin2a+cos2a=1/.(l-26z+6Z2)+-(l+4；5a2+2a-7=0,7解 之 得：ai=公=1(舍 去)(否 则 sina=0,7cos(2兀 一 a)+sin(7i+a)=十 七、作 业：教 学 与 测 试 P1091 1 0 练 习 题 3-课 课 练 P21课 时 练 习 810)第 11课，意 采 用 讲 练 结 合 4 P404 1 例 九，例-1-一PR=J 5-再 尸 3.练 习：已 知 A(-l,5),B(4,-7)求 A B解：AB=A/(4+1)2+(-7-5)2=J25+144=13三、两 角 和 与 差 的 余 弦 含 意：cos(aB)用 a、B的 三 1.推 导：(一 能 见 名/P34-35)cos(a+p)=cosacosp-sinasinp 熟 悉 公 式 的 结 构 和 特 点；嘱 记 此 公 式 对 任 意 a、p都 适 用 公 式 代 号 Q+P6.cos(a-p)的 公 式，以-B代 p得：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp.十 五 教 时 与 间 距 离 公 式)勺 两 点 间 距 离 公 式 的 推 导 过 程，熟 练 掌 握 两 点 间 1与 差 的 余 弦 公 式，并 能 够 运 用 解 决 具 体 问 题。息 的 三 角 函 数 巨 离 公 式 d=xt-x2，852，当)间 的 距 离 公 式。从 点 P1,P2分 别 作 X 轴 的 垂 线 P|M1,P2M2与 X轴 交 于 点 MI(XI,0),M2(X2,0)再 从 点 P l,P2分 别 作 y 轴 的 垂 线 P1NS2N2与 y轴 交 于 点 N|,N2直 线 P N T 2 N 2 与 相 交 于 Q 点 则:PIQ=M IM2=|X2-XI|Q P2=NiN2=|y2-yi|由 勾 股 定 理：+QP1=1丫 2-X|+|y2-y,|2=(x2-x,)3+(.y2-y j2，H),PzG，力)两 点 间 的 距 离 公 式：同 样，嘱 记，注 意 区 别，代 号 Ca-Z?四、例 一 计 算 cosl05。cosl5。(3)cosy cos-siny sii斜：cosl05=cos(60+45)=cos60cos45-sin60sin4 2 F V-4 cos 15=cos(600-450)=cos600cos450+sin60sin45=1 _ e+正 V 2 7 2+7 6-2 V+W-z 7 T 37r,7 T,3T T Z TZ I 3T T 7 U J(3)cos cos-sinsin 一=cost-+)=cos-=05 10 5 10 5 10 2例 二 课 课 练 P 2 2 例 一 已 知 sina=1,cos0=求 cos(a-p)的 值。斜：V sina=-0,cosB=0，a 可 能 在 一、二 象 5 13若 a、p均 在 第 一 象 限，则 cosa=y,sinp=-cos(a-若 a在 第 一 象 限，0在 四 象 限，则 cosa=2,sinp=-pcos(a-P)=-)=5 13 5 13 65瓜，贝 i c o sa=-,sinp=5 1 35 史 5 13-65；艮，则 c o s a=2,sinp=-jj5 63司=一 花 空 的 余 弦：4)3 中(2)(3)5 中(2)(4)网 2)(4)3 中(4)(6)7 中(3)求(sina+sin|3)2+(cosa+cosB)2 的 值。-cos|3=g,ae(0,),p e(0,cos(a-p)的 值,十 六 教 时 争 出 两 角 和 的 正 弦 公 式，并 进 而 推 得 两 角 和 的 正 3角 函 数 式 的 化 简、求 值 和 恒 等 变 形。胡 玄=cos450cos300-sin450sin301 V 6-V 22-4-)0-cos25sinll50)0+sinl 10sin20-sin65sinl 15=cos(65+l 15)=cosl800=-lsin700sin20=-cos(700+20)=03.已 知 锐 角 a 0 满 足 co sa=c o s(a+p)=-(求 cos|斜:cosa=-sina=-5 5又.cos(a+B)=-5 0.a+p 为 钝 角，sin(cAcosp=cos(a+p)-a=cos(a+p)cosa+sin(a+p)s(保 麦 抿 技 乃)13 5 13 5 65二、两 角 和 与 差 的 正 弦 7.推 导 sin(a+p)=cosy-(a+P)=co s(y-a)-p 即：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp(Sa+f以 邛 代 B得：sin(a-p)=sinacosp-cosasinp8.公 式 的 分 析，结 构 解 剖，嘱 记 9.例 一 不 查 表，求 下 列 各 式 的 值：1 sin75 2 sinl 30cos 17+cosl 30sin 17解:1。原 式=sin(30+45)=sin30cos450+cos30sin4=二 旦 V2 _ V2+V62,-r+42。原 式=sin(13o+17o)=sin30=l例 二 求 证：cosa+例 sina=2sin(今+a)如 一：左 边=2(-cosa+-sina)=2(sin cosa+cos2 2 6=2sin(+a尸 右 边(构 造 鼎 6松 二：右 边=2(sin cosa+cos sina)=2(-cosa+士 6 6 2 二=cosa+V 3 sina=左 边三 知 sin(a+P)=-,sin(a-p)=-求 到 二 的 值 3 5 tan p2sinacosp+cosasinp=-2*.sinacosp-cosasinp=-8tan a _ sin a cos/15A Z Z-=-；-=-I