专题十九解析版.docx

专题十九证明不等式之参数放缩问题1./(x)- 1+ln (+1).a(1)假设函数/(x)在(-1, 0)上单调递增，求实数。的取值范围；(2)假设 (0, 1且 x>0,证明：f (x) >2x.【分析】(1)由3十1>0在(-1, 0)上恒成立.对。分类讨论可得：( - 8, 0) U a1, +8).根据了(光)在(-1, 0)上单调递增，当，21时，容易得出单调性.当。<0 时，利用导数研究函数的单调性即可得出.(2) aE (0, 1且 x>0, f (x) >2x=F- 1+山(三+)>2x. 2+x+l,故只要证明： aax>0, /-1+勿(x+1) >2%.利用导数研究其单调性即可得出.【解答】解：(1)由工+1。在(-1, 0)上恒成立. a当。>0时，x> - a.可得q21.当 q<0 时，x< - a. .->(),可得 4Vo.故 ( - 8, o) U 1, +8).当时，可得/(x)在(- 1, 0)上单调递增.当。<0 0寸，/ (x) =F+L0在(-1, 0)上恒成立，此时x+aV0. x+a故 " (x+q) +1 WO, - e x - xg (x), xE ( - 1, 0),:g' (x) =e * - 1=>0, .ag ( - 1) =1 - e.xe综上可得：/(x)在(- 1, 0)上单调递增，实数的取值范围是(-l-eUl, +8 ).(2)证明：aE (0, 1且 x>0, f (x) >2x=" - 1+历(三+)>2x. a.三+13%+1,故只要证明：x>0,- 1 +ln (x+1) >2x.a令 h (x) ="- 1+历(x+1) - 2x (x>0).T (x) =+ - 2, x+1h (x) =ex ，即/' (x)在(0, +8)上单调递增，h' (x) >hr (0)=(x+l)20.：.h (x)在(0, +8)上单调递增，h (x) >h (0) =0.所以当1<%<3，M （x） >0,即尸（X2）>0, 2所以/（x） >0,即原不等式成立.（12分）【点评】此题考查了利用导数处理函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想、转化 思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题.故 (0, 1且 x>0 时，f (x) >2x.【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等 价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.2.函数/(x)=(夕-x) - a (e-r+x).(1)讨论/(x)的单调性；(2)证明：当且x20时，/(x) 2-2.【分析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，(2)利用(1)的结论，可知当aWl时丁 /(x) 2-2恒成立，当IVqWcH寸，根据函数 的单调性可得/ (x) 2/ (Ina) a - Ina - 1 - alna,再构造函数设 g (a) a - Ina - 1 - alna, <aWe,利用导数求出函数的最小值即可证明.【解答】解:(1) V/ (x)=(然-%) -a (一旺工)，:/ (工)= (炭-1) -a ( - e- +ae x - a = '=xe(ex-l) (ex-a) , xe当iWO时，/-q>0即，令/ (x) =0,解得x=0,当xW ( - 8, o)时，f (x) V0,函数单调递减，当居(0, +8)时，/ (%) >0,函数单调递增，当40时，令/ (X)=0,解得X = 0,或当OVqVI时，当(Ina, 0)时，f (x) VO,函数单调递减，当 ( - °°, Ina), (0, +°°)时、f (x) >0,函数单调递增，当a>l 口寸，当xE (0, Ina)时，f (x) <0,函数单调递减，当 ( - 8, 0), (Ina, +8)口寸，f (x) >0,函数单调递增，当=1时，f (x) 20恒成立，那么函数/(%)在(- 8, +8)上单调递增，综上所述：当aWO时，函数/(x)在(-8, 0)上单调递减，在(0, +8)上单调递 增，当OVqVI时，函数/ (x)在(Ina, 0)上单调递减，在(-8,历)，(0, +°°)上单调递增，当=1时，函数/ (X)在(- 8, +8)上单调递增，当>1时，函数/(X)在(0, Ina)上单调递减，在(-8, 0), Una, +8)上单调递增,证明：(2)由(1)可知，当时，函数/(x)在(0, +8)上单调递增，：.f (x) 2/(0) =1-a2-2 恒成立，当0<<1时，函数/(x)在(0, +8)上单调递增，：.f (x) 2/(0) =1-心 - 2恒成立，当4=1时，函数/(X)在(0, +8)上单调递增，：.f (x) 2/(0) =1 - 1=0三-2 恒成立，当时，函数/ (x)在(0,方)上单调递减，在(Ina, +°°)上单调递增，/./ (x) 2/ (Ina) =a - Ina - a (+lna) =a - Ina - 1 - alna,a设 g()=a - Ina - 1 - alna, 1<qWc,.gr (a)- - (+lna)=-2-历a<0 恒成立，aa：.g ()在(1, e单调递减,g (Q)min(6) =6 - Inc - 1 一 e/6= - 2,：.f (x) 2-2 恒成立,综上所述当且x20时，f (x)三-2.【点评】本小题主要考查函数导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证 能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等，属于 难题.3.函数/ (x) ae - Inx - 1.(1)设x=2是/(x)的极值点，求，并求/(x)的单调区间；(2)证明：当22时，/(%)巳0.e【分析】(1)推导出x>0, / (x) =/ -工 由x=2是/(x)的极值点，解得a=,x2e2从而/(x) =-ex - Inx - L进而/ (x) =-ex由此能求出/ (x)的单调2e22e2 x区间.XXX(2)法一：当 2工时, Inx - 1,设 g(x) = Inx - 1 ,x>0,贝1J g，( x ) eeee由此利用导数性质能证明当。2工时，/(x) 20.xe法二：/(x) 20,即 a2lnx+l , x>o,令 g(x) = lnx+l法二：/(x) 20,即 a2lnx+l , x>o,令 g(x) = lnx+l11 】-lnx-1,x>0,那么 g / (x)=-,Xe利用导数性质得g (x)在(0, 1)单调递增，在(1, +8)单调递减，g (x) Wg (1),由此能证明当时，f(X)20. eeXX法三：当，>1时，/(x)与"-19-1，即只需证明再通过构造函数, e利用导数研究函数的单调性，即可求解.【解答】解:(I)函数/(X)=aex-lnx- 1./.x>0, f' (x) =aex -, x3=2是/(x)的极值点，/./ (2) =ae2 - =0,解得 q=, 22e2/./ (x) =- Inx- 1," (x) =- JQJQ t?2e22e2 x当 0<xV2 时、f (x) <0,当 x>2 时' f (x) >0,：.f (x)的单调递减区间是(0, 2),单调递增区间是(2, +8).(2)证法一：当时，f (x)- - Inx - 1,eeXX设 g (x) = - Inx - 1, x>0,那么 g，( x ) = 6 ，ee x由 g (x) _ =0> 得x=l,e x当 0Vx<l 时，/ (x) <0,当 x>l 时，g' (x) >0,/.X=l是g (x)的最小值点，故当 x>0 时，g (x) 2g (1) =0,当时，f (x) =aex - Inx - 1 20. e证法二：;函数/(x) =aex-btx- 1, ：.f (x) 20,即 心加也,x>0, e11 TnxT令 g (%) =lnx+L, x>o,那么 g， (乂)=，x>0, / (1) =0,X_ Xee当 OVxVl 时，上一i>» - lnx>09 g' (x) >0, x当 x>l 时，工_<o，- lnx<09 g' (x) <0, x：.g （x）在（0, 1）单调递增，在（1, +8）单调递减,g (x) Wg (1)=工.二a2g (x).当 q'Jl时，/(x) 20. e证法三：当时，/(X)2e证法三：当时，/(X)2elnx-l,即只需证明J-lnx-l)。，e由于Vnx-。， e那么 炭 2 elnexx exlnexx 2 elnexlnex，令 g (x) =xex,那么 J (x) =" (x+1) >0,即 g (x)为增函数，又易证 xlnex= lnx+1,故 g (x)，g (Inex),即2光成立，故当>1时，/(x) N0. e【点评】此题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合 应用能力，是中档题.4 .函数/(x) = "XF-1xe(1)求曲线y=/(x)在点(0, - 1)处的切线方程;(2)证明:当 心1时,f (x) +e20.分析(1)f，()二(2ax+l)-(a/+x-l)产 (ex)2由，(0) =2,可得切线斜率左=2,即可得到切线方程.(ax+1 ) (x-2).可得/(X)(2)可得1(x) =(2ax+lf j+x-De (e“)/在(- 8,在(- 8,)，(2, +8)递减, a在(-2，2)递增，注意到时，函数g (x) a=or24-x - 1 在(2, +8)单调递增,且 g (2) =4。+1>0只需於-6,即可.【解答】解：(1)尸z、(2ax+l) ex - (a x 2+x-l) ex(x)=E7?(ax+1 ) (x-2)xe:(0) =2,即曲线y=/(x)在点(0, - 1)处的切线斜率Z=2,曲线y=/(x)在点(0, - 1)处的切线方程为)-( - 1) =2x.即2x - y - 1=0为所求.(2)证明：函数/(x)的定义域为：R,可得f' (x) =可得f' (x) =(2ax+l) ex - (a x 2+x-l) ex(ax+1 ) (x-2)令/ (x) =0,可得X)22=T<0,a时，/ (x) <0.a时，/ (x) <0.当 x £ (-8,-工)时，f (x) <0, x £ (_A, 2)时，/ (x) >0, xE (2, +8)：.f (x)在(-8,)，(2, +8)递减，在(-工 2)递增， aa注意到EI寸，函数g (x) =q/+x- 1在(2, +8)单调递增，且g (2) =4。+1>0,故g (x)在(2, +8)上恒大于零，即/ (x) = &' +x-l在 设，+oo)上恒大于零. X函数/(x)的图象如下:,.心1,.工 ae(0, 1，那么 f(_)=-4-e，：.f (x)=min当三1 时，f (x) +e20.【点评】此题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题.5 .函数/ (x) = (f+a)- a (x+l).(1)当。=0时，求函数/(%)在(1, /(1)处的切线方程；(2)假设 “2 -2,证明：当 x20 时，/(x) 20.【分析】(1)把=0代入函数解析式，求得导函数，得到/ (1),求得/(I),再由直 线方程的点斜式得答案；(2)求出函数/(x)的导函数，进行二次求导，可得原函数的单调性，再由函数的单调 性证明当x>0时，/(x) N0.【解答】(1)解：当。=0 时，f (x) =/-，f (x) =f (1) =3e, / (1) =e,函数/(x)在(1, /(I)处的切线方程y-e=3e (x- 1),即 3ex - y - 2e=0；(2)证明：f (x) = (/+2x+q)炭-a,令 g (x) = (x2+2x+6f)- a,贝ll g' (x) = (f+4x+Q+2) /,-2,，当 x20 时，(f+dx+a+Z) (x2+4x) Feo,即 g' (x) 2O.g (x)在0, +8)上是增函数，故 g (x) 2g (0) =0,即/ (x) >0,.V (x)在0, +8)上是增函数，：.f (x) 2/(0) =0,即/(1) 20.故假设，-2,那么当时，/(x)，0.【点评】此题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值， 是中档题.6.函数/ (x) =lnx - kx+k.(I )假设/(尤)20有唯一解，求实数人的值；(II )证明：当 “W1 时,x (/ (x) +kx - k) V，- ax1 - 1.2(附：物270.69, /i31.10, e2448，.仁7.39)【分析】解法一：(I)要使/(X)20有唯一解，只需满足/(X)加奴=0,且/(X)max=0的解唯一，分当上W0,当攵>0讨论求解；(II )要证当 qW I 时，x (/ (x) +kx _ k) - ax1 - 1,即证当时，ax1 - xlnx-1 >0,即证 - x2 - xlnx - 1 >0.由(I )得 xlnxx (x - 1),故只需证 rv - 2x2+x - 1>0,当x>0时成立;解法二：(I )分当左W0时，当>0时两种情况求解，(II )要证明当 aW 1 时，x (/(x) +kx - k) <e - ax1 - 1,即证当 aW 1 时，/ - ax2 - xlnx-l>0,(因为以2<%2),即证 p - x2 - x如:-1 >0【解答】解法一：(I)函数/(X)的定义域为(0, +8).耍使/(X)N0有唯一解，只需满足/(x) max=0,且/(X)松优=0的解唯一，(1分)f，(x) J-kx ,(2 分) X当AWO时，f (x) 20, f (x)在(0, +8)上单调递增，且/(I) =0,所以/(x) 20的解集为1, +8),不符合题意；(4分)当%>0时,且xE (0,/时，/ (x) 20, / (%)单调递增;当Q)时,f(X)<0, f (x)单调递减，所以/(x)有唯一的一个最大值为f令f华户k-Ink-1=0,得仁1，此时/（x）有唯一的一个最大值为了（I）,且/ =0,故/（x） 2。的解集是1,符合题意；综上，可得攵=1. （6分）（II ）要证当 aW 1 时，x （于（x） +kx - k） <ex - ax2 - 1,即证当 aW 1 时，- ax1 - xlnx - 1 >0,即证 - x2 - xlnx - 1>O. （7 分）由（I ）得，当 k= 1 时，/ （x） W0,即历rWx - 1,从而 xbvcWx （x - 1）,故只需证2/+x - 1>0,当x>0时成立；（8分）令 h （x） =ex - 2x2+x - 1 （xNO）,贝U 万（x）=炭-4x+l, （9 分）令 F （x）=厅（x）,那么尸（x）=y-4,令尸（x） =0,得 x=2/2.因为尸（%）单调递增，所以当法（0, 2历2时，F （x） WO, F （%）单调递减，即"（x） 单调递减，当xE （2仇2, +OO）时p （x） >0, F （x）单调递增，即（x）单调递增， 所以（勿4） =5 - 8/?2<0, li （0） =2>0, / （2） =e2- 8+1>0,由零点存在定理，可知茄 （0, 2/2）, 3X2G （2历2, 2）,使得h （xi） =H（X2）=0, 故当 OVxVxi 或 xx2 时，（x） >0, h （x）单调递增；当 xixx2 时，/（x） VO, h （x）单调递减，所以力（%）的最小值是力（0） =0或/z（X2）.由 /X2 ）° 得巳'=4x-1 ，八X2 ）e 4-2x2 +X2- 1="2x2 +5x2-2=- （x2-2）（2乂2-1），因为 X2C （2加2, 2）,所以 （X2）>0,故当冗>0时,h （x） >0,所以原不等式成立.（12分）解法二：（I ）当ZWO时,20的解为1,函数/（x）的定义域为（0, +°°）（x）二1 一人,（1分） xf （x） 20, f （x）在（0, +8）上单调递增，且/（I） =0,所以/（x）+8）,此时不符合题意；（2分）当攵>0时,/ / 1-kx k /1 f丁小工），X3O）时，f（X）<所以当xE （0,看时，f（X）20, /（X）单调递增;当xE（Y 0, /（无）单调递减,所以 f（x）<f（> f（Y）=k-lnk-V（3 分）令 g （攵）=k -Ink - 1, g，（卜）二二卜 1, （4 分） k k当/（0, 1时，g'（k） WO, g （攵）单调递减，当 k£ （1, +8）时，£ （k） >0, g （k）单调递增，所以g(A)2g(1)=0,由此可得当人>0且ZW1时，£(/)>0，且当x -> 0+ ,工一 + 8时，/ ( % ) - -8,由零点存在定理，3 xj (0，=)，x2 (:, 400), KK使得了(XI)=/(X2)=0,当XlWxWx2时，f(X)20,解集不唯一,不符合题意；当k=l时，于(X)«(1) =0,所以/(X)20的解集是1,符合题意；综上可得，当左=1时，/(x) 20有唯一解； (6分)(II )要证明当 aW 1 时，x (/ (x) +kx - k) <ex - ax2 - 1,即证当 aWl 时，- ax1 - xlnx - 1 >0,(因为即证 - x2 - xlnx - 1 >0, (7 分)令 F (x)- x2 - xlnx - 1 (x>0),那么 F (x) = d - 2x Tnx - 1, (8 分)令G (x) =F (x),那么g，(x)=J-2在(°，+8)上单调递增，且G，(l) <0, xG (2) >0,所以mxoe (1, 2)使得 G' (xo) =0,即/0二2，x0所以当x>xo时，G (x) >0, G (x)单调递增，即/(x)递增；当OVxVxo时，G (x) <0, G (x)单调递减，即/(%)递减，所以 F' (xq) =6 ° -2xQ-lnxg-l=-2xQ-lnx0+l, H (x) =-2x-lnx+l,x0x当房(1, 2)时递减，F(X0)min<H (1) =0, 3_当 l。时，D-+8，F' (y)=e2-3-ln1-l>0，由零点存在定理，可得(0, xo), , (x。，3)，F(XI)=F(X2)=0， 2故当OVxVxi或X>X2时，F (x) >0, F (x)单调递增，当儿1<xVx2时，F (x) <0, F (x)单调递减，当 L0+时，尸-0,由广(X2)=° 得，/2=2x2+10x2+1，lXn<X7<V， 乙乙U乙,又 F (x2)= eX,i -X22-X2lnx2-l=- x2 2+2 x2+lnx2 - x 2 lnx2,令 M (x) = - xlnx ( 1<乂<之)，2j+3+ln,ylrr|-=O. 75-/（In3-ln2 ） >0j+3+ln,ylrr|-=O. 75-/（In3-ln2 ） >0那么犷(x)=-2x+2-lnx-：(l，旦)递减，且 M。)=。，所以 M1 (%) <0, x2所以M(x)在(1, 3)递减，从 2