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高中数学新教材考前回归知识必备全案 16 14 等差数列等比数列等差数列等比数列 常用求和方法 公式法 等比数列na的前n项和 S2，则2222123naaaa_（答：413n）；111(1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk；2211111()()1211kkkk；211111111(1)(1)1()kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；12(1)2(1)nnnnn；1(2)nnnaSSn；1111mmmmmmnnnnnnCCCCCC；11()ababab；1111()()()AnB AnCCB AnBAnC.分组法 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.如求：1 357(1)(21)nnSn （答：(1)nn）如22nnan，(1)2nnan.裂项法 如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.裂项形式：如在数列na中，11nann，且 S 错位相减法 设数列 na为等比数列，数列 nb是等差数列，则数列n na b的前n项和nS求解，均可用错位相减法 通项转换法 先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.求和：11111 21 2 31 2 3n 倒序 相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.已知22()1xf xx，则111(1)(2)(3)(4)()()()234fffffff_72注：表中,n k均为正整数 数列通项、求和的常见方法 简单的递推数列解法 公式法 1(1)naand或()nmaanm d；11nnaa q或n mnmaa q作差法 已知nS（即12()naaaf n）求na：11,(1),(2)nnnSnaSSn.如数列na满足12211125222nnaaan，求na（答：114,12,2nnnan）作商法 已知12()naaaf n求na如,11a对所有的2n 有2123naa aan，则35aa_（答：6116）累加法 1()nnaaf n型累乘法 1()nnaa f n型 构造法（构造等差、等比数列），递推式为11nnnaqaq（q 为常数）时，可以将数列两边同时除以1nq，得111nnnnaaqq.如已知111,32nnnaaa，求na（答：115 32nnna）待定 系数法 若11(0,1,0)()nnnnacad cdac a.比较系数得出，转化为等比数列.已知数列an满足 a1=1,且 an+1=3na+2,求na.设13()nnatat，12 31nna 若1nnapaqnd，1(1)()nnaa nbq aanb；已知数列an中，a1=1，且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,),求数列an的通项公式.设1(1)3(nnap nqa)pnq，na12 3nn.若11nnnapaq（pq），设11()nnnnaqp aq；已知数列1 1,naa 满足na 132(2).nnan求 an设1132(3)nnnnaa 取倒数法 已知1111,31nnnaaaa，求na（答：132nan）2023年高中数学新教材考前回归知识必备全案(上)高中数学新教材考前回归知识必备全案 17 15 空间几何体（其中空间几何体（其中r为半径、为半径、h为高、为高、l为母线等）为母线等）空间几何体 棱柱概念 概念 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高 两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面公共边叫棱柱的侧棱；长方体 底面是矩形的直平行六面体是长方体；长方体体对角线222cba，外接球2222Rabc与三条棱成角 cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2 如下列关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱.其中真命题的为_（答：）正方体 棱长都相等的长方体叫正方体；平行六面体 底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体；直棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱；底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱；平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；棱锥 概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥；正棱锥 如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥；正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；正棱锥的相对的棱互相垂直；侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.正四面体 全面积23Sa；体积3212Va；对棱间的距离22da；外接球半径64Ra；内切球612ra 正四面体内任一点到各面距离之和为63ha.表面积和体积 表面积 体积 棱柱 2SSS侧全底 表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和.VSh底高 13VS h锥 SS 1()3VSS SS h台 0S VS h柱 棱锥 SSS侧全底 13VSh底高 棱台 SSSS全侧上底下底 1()3VSS SS h 圆柱 222Srrh全 2Vr h 圆锥 2Srrl全 213Vr h 圆台 22()Srrr lrl全 221()3Vrr rrh 球 24SR球 343VR球 求体积 棱柱：体积底面积高，或体积V直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；三棱柱的体积12VSd（其中S为三棱柱一个侧面的面积，d为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）.棱锥：体积13底面积高.注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体）i 补形：三棱锥三棱柱；正四面体正方体球；ii 分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥与三棱柱的体积关系和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等(1)四面体ABCD中，AC=BD=13,BC=AD=21,AB=CD=4，则四面体ABCD外接球的面积为 (2)已知 PA，PB，PC 两两互相垂直，且PAB、PAC、PBC 的面积分别为 1.5cm2，2cm2，6cm2，则过 P，A，B，C 四点的外接球的表面积为 cm2答案：26答：5 2 (3)三个平面两两垂直，它们的交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别为 3、4、5，则 OP 的长为_ a33a36a3212Va63a高中数学新教材考前回归知识必备全案 18 16 空间点、直线、平面位置关系空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：空间点、直线、平面的位置关系 基本公理 公理 1,Al Bl ABl.用途 判断直线在平面内.公理 2,A B C不共线,A B C确定平面.确定平面.公理 3,PPlPl 确定两平面的交线 两直线平行 公理 4 ac，bcab 位置关系 线线 共面和异面.共面为相交和平行.不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.点线面,Al Bl；,AB.线面,.llA l.分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点.面面，l.分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点.平行关系 线面 判定定理:如果 一条直线和 一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行,/aba ba 性质定理:如果一直线和一个平面平行,经过这直线平 面 和 这 个 平 面 相 交,那 么 这 条 直 线 和 平行a，a，bab 面面 判定定理:如果一个平面内的两条 直线平行于另一平面，那么这两个平面平行.性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ,/,/ababPab /,/aba b 垂直关系 线面 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直 性质定理:垂直于同一平面的 平行，垂直于同一条直线的 平行,mnmnPaam an aabb 面面 平面和平面垂直:两个平面垂直的判定定理:如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面的 ,那么两个平面互相垂直.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 直线垂直于另一个平面.,ll ,l aala a b baa b O al b a O b a l a 高中数学新教材考前回归知识必备全案 19 17 直线与圆的方程直线与圆的方程 直线与圆的方程 概念 倾斜角 定义法：已知直线的倾斜角为，且 90，则斜率 k=tan.；与x轴平行或重合时倾斜角为0 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.斜率 倾斜角为，倾斜角不是 90的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90)；倾斜角为 90的直线没有斜率；直线方程法：ax+by+c=0 的斜率akb.直线的方向向量法：(1,)ak若a=（m，n）为直线方向向量，则斜率k=nm.过两点1122(,)(,)x yx y的直线的斜率2121yykxx；点差法：如22221xyab中,以00(,)P x y为中点弦斜率2020b xka y 求导数；直线的倾斜角的范围是0,）直线方程 点斜式 已知直线过点00(,)x y斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线.斜截式 已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴直线.两点式 已知直线经过111(,)P x y、222(,)P xy两点,则直线方程为112121yyxxyyxx,它不包括垂直于坐标轴直线 截距式 已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1xyab,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成0AxByC(,A B不同时为 0)的形式.提醒 直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点.截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 或直线过 .如：已知在ABC 中，ACB=90，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值是 3；过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条 3 设 直 线方 程 的一 些 常用技巧 （1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(它不适用于斜率为 0 的直线)；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()yk xxy，当斜率k不存在时，则其方程为0 xx；（4）与直线:0l AxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0l AxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解；位置关系 平行 当不重合的两条直线1l和2l的斜率存在时，2121/kkll；如果不重合直线1l和2l的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则1l/2l 平行12210ABA B且12210BCB C(在y轴上截距)已知直线1212:6:(2)320,/lxaylaxyall和则的充要条件是 （a=-1）垂直 当两条直线1l和2l的斜率存在时，12ll121k k；若两条直线12,l l中的一条斜率不存在，则另一条斜率为0时，它们垂直 交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点.直线系方程 过两直线交点的直线系方程可设为111222()0AxB yCA xB yC；与直线:0l AxByC平行的直线系方程可设为0()AxBymmc；与直线:0l AxByC垂直的直线系方程可设为0BxAyn.高中数学新教材考前回归知识必备全案 20 18 直线与圆的方程直线与圆的方程 直线与圆的方程 点与线 距离 点点距 111222(,),(,)P x yP x y两点之间的距离22122121()()PPxxyy.点线距 点00(,)P x y到直线0AxByC距离公式0022AxByCdAB 线线距 10AxByC与20AxByC平行线距离是1222CCdAB 点 重心 设三角形ABC三顶点11(,)A x y,22(,)B x y,33(,)C x y,则重心123123(,)33xxxyyyG；对称 点 关 于直 线 的对 称 点的求法 点 A 关于直线 L 对称的点 B：1）AB 中点在 L 上；2）AB 垂直直线 L；如：点（，）关于直线l的对称点为(2,7)，则l的方程是_；已知一束光线通过点（，），经直线l:3x4y+4=0 反射.如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_ _ 0000022yyBxxAxxyyABC 点(,)a b关于x轴、y轴、原点、直线yx的对称点分别是(,)ab,(,)a b,(,)ab,(,)b a.对 称 的曲 线 方程 点(,)a b：(2,2)0faxby；x轴：(,)0f xy；y轴：(,)0fx y；原点：(,)0fxy；直线yx：(,)0f y x 直线yx：(,)0fyx；直线xa：(2,)0fax y.圆与方程 圆 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.定点叫做圆心、定长叫做半径.标准方程 222()()xaybr.提醒：只有当2240DEF时,方程220 xyDxEyF才 表 示 圆 心 为(,)22DE,半径为22142DEF的圆 一般方程 220 xyDxEyF22(40)DEAF 220AxBxyCyDxEyF表示圆 0AC,且220,40BDEAF).参数方程 cossinxarybr(为参数),其中圆心为(,)a b,半径为r 圆的参数方程主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；直径方程 以11(,)A x y、22(,)B x y为直径的圆的方程1212()()()()0 xxxxyyyy（0AP BP）过(1,2)总能作出两条直线和已知圆2222150 xykxyk相切，求k的取值范围8 38 3(,3)(2,33k)点和圆 位置关系的判断 22200()()xaybr点P在圆外；22200()()xaybr点P在圆内；22200()()xaybr点P在圆上.相交 相切 相离 线与圆 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 dr dr dr 圆与圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解 几何法 1212rrdrr 12drr或12drr 12drr或12drr 切线 圆上一点的切线方程 点00(,)P x y在圆222xyr上,则过点P的切线方程为：200 x xy yr 过圆222()()xaybr上一点00(,)P x y切线方程为200()()()()xa x ayb y br.过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线 弦 相交弦 2222111222()()0 xyDxE yFxyD xE yF 切点弦 以点 P 和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】高中数学新教材考前回归知识必备全案 21 19 圆锥曲线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义、方程与性质 圆锥曲线的定义、方程与性质 定义 标准方程 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 椭圆 平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数2a（大于122FFc）的点的轨迹叫做椭圆【222bac，ab】22221xyab xayb(,0)a(0,)b(,0)c x轴 y轴 坐标原点 椭圆中ac 01e cea 双曲线中ac 1e 22221yxab ya xb(0,)a(,0)b(0,)c 椭圆焦点三角形：i122tan2PF FSb，（12FPF）；ii点M 是21FPF内心，PM交21FF于点N，则caMNPM|；共离心率的椭圆系的方程：方程ttbyax(2222是大于 0 的参数，我们称为共离心率椭圆系方程 双曲线 平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数2a（小于122FFc）的点的轨迹叫做双曲线【222bca】22221xyab xayR(,0)a(,0)c 22221yxab ya xR(0,)a(0,)c 渐近线方程byxa 或22220 xyab 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax 求准线方程2axc 双曲线焦点三角形：2cot221bSFPF，（21PFF）；等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy(渐近线互相垂直)，离心率2e 离心率 i 公式法；椭圆 e=221cbaa双曲线 e=22ab1ac,ii 方程法：建立关于,a c的齐次；如：已知点 F 是双曲线)0,0(12222babyax的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若 ABF 是直角三角形，则该双曲线的离心率是 2;以等边三角形顶点 AB 为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率：；31 弦长 焦半径：椭圆：1020,PFaexPFaex；抛物线焦点弦AB1222sinpxxp 通径ab22,2p,弦长4)(1(1212212122xxxxkxxkAB4)()11(11212212122yyyykyyk 抛物线 平面内到一个定点F和一条定直线l（定点F不在定直线l）距离相等的点的轨迹是抛物线.【焦点到准线的距离等于p，0p，焦参数】22ypx 0 x yR(0,0)(,0)2p x轴 1e 【离 心 率 是曲 线 上 的 点到 焦 点 的 距离 与 到 准 线的距离之比】22ypx 0 x yR(,0)2p 22xpy 0y xR(0,)2p y轴 22xpy 0y xR(0,)2p 提醒*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”.高中数学新教材考前回归知识必备全案 22 20 圆锥曲线的热点问题圆锥曲线的热点问题 圆系方程 直 线与 圆相交 过 直 线l:0AxByC与 圆C:220 xyDxEyF的 交 点 的 圆 系 方 程 是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数 圆与圆 过圆1C：221110 xyDxE yF,2C：222220 xyD xE yF交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0 xyDxE yFxyD xE yF.1时为两圆相交弦所在直线方程 曲线方程与 圆锥曲线热点问题 曲线 与 方程 概念 曲线C上点的坐标都是方程(,)0f x y 的解，以(,)0f x y 的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程(,)0f x y 的曲线、方程(,)0f x y 为曲线C的方程.求法 直接法 直接通过建立x、y之间的关系，构成(,)0F x y，是求轨迹的最基本的方法 定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）.代入法 动点,P x y随动点00,Q xy运动，Q在曲线:,0C f x y 上，以,x y表示00,xy，代入曲线C的方程得到动点轨迹方程的方法.参数法 把动点坐标(,)x y用参数t进行表达的方法.此时(),()xtyt，消掉t 交轨法 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数 定义法 确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.椭圆：第一定义：平面上一动点 P 到平面上两个定点 F1、F2的距离和为定值，且|PF1|+|PF2|F1F2|,则 P 点轨迹为椭圆.双曲线：|PF1|-|PF2|=定值0，i1,2，n，则对任意的事件 B，有 P(B)i1nP(Ai)P(B|Ai)独立事件 事件A与事件B满足()()()P ABP A P B，事件A与事件B相互独立.n 重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 典型 分布 超几何 分布 一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品从 N 件产品中随机抽取 n件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(Xk)CkMCnkNMCnN，km，m1，m2，r，其中，n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布 超几何分布有时也记为 XH(n，M，N)，其均值 E(X)nMN，D(X)nMN1MN1n1N1.二项分布 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0p0为参数，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 XN(，2)3 原则(1)P(X)0.682 7；(2)P(2X2)0.954 5；(3)P(3X3)0.997 3.正态分布的均值与方差 若 XN(，2)，则 E(X)，D(X)2.数字 特征 数学期望 1122iinnEXx px px px p()E aXbaEXb 方差和 标准差 方差：21()niiiDXxEXp，标准差：XDX 2()D aXba DX 22 计数原理与二项式定理计数原理与二项式定理 排列组合二项式定理 基本原理 分类加法计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有1m种不同的方法，在第2类方案中有2m种不同的方法，在第n类方案中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法做第n步有nm种不同的方法.那么完成这件事共有nmmmN 21种不同的方法.排列 定义 从n个不同元素中取出()m mn个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n个不同元素中取出()m mn个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出()m mn个元素的排列数，用符号mnA表示.排列数 公式!(1)(2)(1)()()!mnnAn nnnmnmmnnm，规定0!1 组合 定义 从n个不同元素中，任意取出()m mn个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出()m mn个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出()m mn个元素的组合数，用符号Cmn表示.组合数 公式(1)(1)C!mnn nnmm，CmmnnmmAA 性质 mnnmnCC(nmNnm且,)；11mnmnmnCCC(nmNnm且,)二项式定理 定理 011()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b（rnC叫做二项式系数）通项公式 1rn rrrnTC ab（其中0knkn NN，）系数和 公式 1121rnrnrrrrrrCCCCC；nnnrnnnnCCCCC2210；135024112312;232.nnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnCn 高中数学新教材考前回归知识必备全案 25 23 成对数据的统计分析成对数据的统计分析 成对数据的统计分析 变量的相关关系 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系相关关系的分类：正相关和负相关 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关 样本相关系数 ri1n xi x yi y i1n xi x 2i1n yi y 2.)当 r0 时，称成对样本数据正相关；当 r0；如：1()f xxx的单调减区间：减区间(1,0),(0,1)，你会画图吗？求函数的单调区间的具体步骤是：确定()f x的定义域；计算导数/()fx；求出/()0fx 的根；用/()0fx 的根将()f x的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内/()fx的符号,进而确定()f x的单调区间；思考 1.导数有哪些应用？（求斜率，判断单调性与求单调区间，求极值与最值，证明不等式），导数的几何意义是什么？物理意义呢？知道是牛顿和莱布尼兹发明了微积分吗？2求导数的规则、公式你都记得吗？一共有多少个公式？有两个容易记错！导函数相同的两个原函数一定也相同吗？请举例说明。3导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记得吗？求切线，求极值，求单调区间，求最值，4 导数求曲线的切线步骤是什么？你能区别“在”一点处的切线和“过”一点的切线吗？导数及其应用 极值 函数的极值定义：设函数()f x在点0 x附近有定义，如果对0 x附近所有的点，都有0()()f xf x，就说是0()f x函数()f x的一个极大值。记作y极大值0()f x，如果对0 x附近所有的点，都有0()()f xf x，就说是0()f x函数()f x的一个极小值。记作y极小值0()f x。极大值和极小值统称为极值。极值是一个局部概念奎屯王新敞新疆由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小奎屯王新敞新疆并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点奎屯王新敞新疆 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 如：设 f（x）=x33ax2+2bx 在 x=1 处有极小值1，试求 a、b 的值，并求出 f（x）的单调区间；解 3620,2320.ababa=13b=12新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ f（x）=x3x2x，f（x）=3x22x1=3（x+13）（x1）当f（x）0 时，x1 或 x13，当f（x）0 时，13 x1新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 10 求函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)=0 的根；(3)列表（分区讨论单调性和极值点）：用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ xxaxbxax在处有极小值 10，则 a+b 的值为_7；3,3ab（舍）或4,11ab；最值,a b上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。在闭区间,a b上连续的函数()f x在,a b上必有最大值与最小值的步骤：讨论单调区间；ii。判断极值；极值与闭区间端点的函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。如：函数3223125yxxx在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；-15）零点 函数)()()(xgxfxF有零点或者方程)()(xgxf有解：（代数法）根据极值正负，画图观察函数)()()(xgxfxF图像与 X 轴交点情况；（几何法）作图要准确。方程)()(xgxf，两个函数图像有交点。零点定理：设函数）（xf在闭区间,ba上连续，且()()0f af b那么在开区间),(ba内至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点（ab）使0)(f 如：（1）若方程2210axx 在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围。1a；反思 1求极值，求单调区间，求最值？利用导数求函数单调区间时，一般由/()0fx 解得的区间是单调增区间；利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！“函数在某点取得极值”你会灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的。2极值就是最值吗？极大值一定大于极小值吗？你记得极值的定义原文吗吗？使 f/（x）=0 的 x 的值就是极值点吗？求最值的根本方法是什么（单调性法）？其它方法呢？（均值不等式法），求最值的口诀你记得吗？（不在极点处，便在端点处）；对 f（x）=x3+bx2+cx+d，f/（x）大致图象是怎样？。9 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 三角函数的图象与性质 三角形中的基本问题 角概念的推广 1.终边与终边相同2()kkZ；习惯上 x 轴正半轴作为角起始边，叫角的始边;2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。弧度制的定义 lR；弧长公式|lr；扇形面积公式：21122|Slrr扇形；1弧度(1rad)57.3.任 意 角 的 三角函数定义 角中边上任意一点P为(,)x y，设|OPr则：sin,cos,yxrr tanyx 注意：tan15cot7523；tan75cot1523 同角三角 函数关系 22sinsincos1,tancos 诱导公式 360,180，90,270，“奇变偶不变，符号看象限”性质与 名称 周期 奇偶性 对称中心 对称轴 sinyx 2 奇函数(,0)()kZk()2kZxk cosyx 2 偶函数(,0)()2kZk()kZxk 高中数学新教材考前回归知识必备全案 11 三角变换 tanyx 奇函数(,0)()2kZk 无 sin()yAx 2|T (,0)()kZk()2)xkZk cos()yAx 2|T (,0)()2kZk()xkZk 图象变换 平移变换 上下平移()yf x图象平移k得()yf xk图象，0k 向上，0k 向下。左右平移()yf x图象平移得()yf x图象，0向左，0向右。伸缩变换 x轴方向()yf x图象各点把横坐标变为原来倍得1()yfx的图象。y轴方向()yf x图象各点纵坐标变为原来的A倍得()yAf x的图象。对称变换 中心对称()yf x图象关于点(,)a b对称图象的解析式是2(2)ybfax 轴对称()yf x图象关于直线xa对称图象的解析式是(2)yfax。匀速圆周运动数学模型 如图，相关的量有：设水车半径为 r，水车中心距水面的 高度为 h；水车转动的角速度为；初始位置所对应的 角；时间 t；距离水面的相对高度 H；变量 t 与 H 之间的 等量关系是：Hrsin(x)h 正切函数的图象和性质（1）定义域：|,2x xkkZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是(,0)2kkZ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间(,)22kkkZ内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。(1)若(0,)2x，则sintanxxx；(2)若(0,)2x，则1sincos2xx；(3)|sin|cos|1xx；(4)xxxfsin)(在),0(上是减函数；（5）若sin,cos1,xx sin,cos1xx 高中数学新教材考前回归知识必备全案 12 10 三角恒等变换三角恒等变换 三角恒等变换 变换公式 正弦 和差角公式 倍角公式 22tansin21tan221tancos21tan21cos2sin221cos2cos2 sin()sincoscossin sin22sincos 余弦 cos()coscossinsin 2222cos2cossin2cos112sin 正切 tantantan()1tantan 22tantan21tan 三角变换 三角变换 指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升)、系数(常值“1”)和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.化简技巧 角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等 角的变换 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.角的“配”与“凑”掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2，22；22，222；()()2222；22()2()()()()()；2()，2()；154530,754530；424等.“降幂”与“升幂”（次的变化）利用二倍角公式2222cos2cossin2cos1 2sin1 和二倍角公式的等价变形2cos2sin12，2sin2cos12，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化.切割化名的变化 利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.常值变换 常值3321,1,32232可作特殊角的三角函数值来代换.此外，“1”常值 引入辅助角 222222sincos(sincos)sin()ababababab，期中2222cos,sin,tanabbaabab.特别的，sincos2sin()4AAA;sin3cos2sin()3xxx，3sincos2sin()6xxx等.若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是_（答：2,2）；当函数23ycosxsinx取得最大值时，tanx的值是_(答：32)；如果 sin2cos()f xxx是奇函数，则tan=(答：2)；特殊结构的构造 构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.举例：22sin 20cos 50sin20 cos50A，22cos 20sin 50cos20 sin50B 可以通过12sin70,sin702ABAB 两式和，作进一步化简.整体代换 举例：sincosxxm22sin cos1xxm sin()m，sin()n，可求出sincos,cossin整体值，作为代换之用.高中数学新教材考前回归知识必备全案 13 11 解三角形解三角形 解三角形 正弦 定理 定理 sinsinsinabcABC。射影定理：coscosabCcB coscosbaCcA coscoscaBbA 变形 2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC（R外接圆半径）。类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。余弦 定理 定理 2222222222cos,2cos,2cosabcbcA bacacB cababC。变形 22222()cos122bcabcaAbcbc等。类型 两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方