湖北省黄冈中学2023届高三下学期5月第二次模拟考试数学试题含答案.pdf

湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 1 页 共 4 页）湖北省黄冈中学湖北省黄冈中学 2023 届高三届高三 5 月第二次模拟考试月第二次模拟考试数学试卷数学试卷考试时间：2023 年 5 月 17 日下午 15:0017:00试卷满分：150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合|0Ax lgx，2|1|1Bx x，则(AB)AABBCRADRB2已知复数z满足|1z，则|34|(zii为虚数单位）的最大值为()A4B5C6D73在一组样本数据112212(,),(,),(,),(2,)nnnx yxyxynx xx互不相等的散点图中，若所有样本点(,)(1,2,)iix yin都在直线153yx上，则这组样本数据的样本相关系数为()A13B13C1D14已知等差数列na的前n项和为nS，若10110aa，10120aa，则nS取最大值时n的值为()A10B11C12D135甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说“你当然不会是最差”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？()A27 种B36 种C54 种D72 种6设抛物线2:6C yx的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线1l，2l，若1l与2l交于点P，且满足|2 3PF，则|(AB)A5B6C7D87若函数()f x在其定义域内存在实数x满足()()fxf x，则称函数()f x为“局部奇函数”知函数()933xxf xm是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是()A 2 2,3B 2,)C(,2 2D3,38.已知三棱锥SABC的四个顶点都在半径为 2 的外接球上，E、F分别是AC和SC的中点，090BEF，1AB，2BC，当SC取得最大值时，三棱锥SABC的体积为（）A.26B.262C.263D.266湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 2 页 共 4 页）二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A圆柱的侧面积为22 RB圆锥的侧面积为22 RC圆柱的侧面积与球的表面积相等D圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:210如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点BMBEBD ，则下列结论正确的是()A当M为线段AD上的中点时，32B的最大值为12C的取值范围为0,1D的取值范围为1,2211声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数sinyAt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数11()sinsin22f xxx，则当0,2 x，时，函数()f x一定有()A三个不同零点B在0,上单调递增C极大值，且极大值为3 34D一条切线为yx888121990 年 9 月，Craig FWhitaker 给Parade杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是 1 号门，接着主持人会从 2、3 号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（）A.你获得豪车的概率为13B.主持人打开 3 号门的概率为12C.在主持人打开 3 号门的条件下，2 号门有豪车的概率为13D.在主持人打开 3 号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选 2 号门比保持原选择获得豪车的概率更大湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 3 页 共 4 页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1354(12)(13)xx展开式中含2x项的系数为14记nS为等比数列na的前n项和若113a，246aa，则5S 15已知ABC中，CD为C的角平分线交AB于点D，且1BD，2CD，2 3AC，则BC的长为16.已知O为坐标原点，动直线l与椭圆2222:1(0)xyMabab相切，与圆O：222xya相交于A、B两点，若OAB的面积的最大值为22a，则椭圆离心率的取值范围为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知函数()sin()f xx在区间(,)6 2 单调，其中为正整数，|2，且2()()23ff（1）求()yf x图像的一条对称轴；（2）若3()62f，求18（12 分）已知数列na为非零数列，且满足(1)212111(1)(1)(1)2n nnaaa（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nna的前n项和nS19（12 分）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有 1 人进球另一人不进球，进球者得 1 分，不进球者得1分；两人都进球或都不进球，两人均得 0 分，设甲、乙每次踢球命中球门的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率为13，且各次踢球互不影响（1）经过 1 轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）求经过 3 轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 4 页 共 4 页）20.（12 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，且0602，ABCABPC，2PAPB.M是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为36.（1）证明：PMMD；（2）若过点C，M的平面与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值.21.（12 分）如图，已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的一条渐近线与x轴夹角为3，点(1,0)在E上，过(4,0)G的两条直线12,l l的斜率分别为12,k k，且12=3kk，1l交E于A、B，2l交E于C、D，线段AB与CD的中点分别为M、N，GHMN（1）求双曲线E的方程；（2）求证：存在点K，使HK为定值.22.（12 分）已知函数22()ln231(0).f xxa xaxa（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若1a，设两实数,m n，其中01m，1n，且22()3693.mmf nmee证明：2223mnen.湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 1 页 共 11 页）湖北省黄冈中学湖北省黄冈中学 2023 届高三届高三 5 月月第第二二次模拟考试次模拟考试数学数学试卷试卷命题教师：张智 席建颖 魏小军 审题教师：席建颖考试时间：2023 年 5 月 17 日下午 15:0017:00试卷满分：150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合|0Ax lgx，2|1|1Bx x，则(AB)AABBCRADRB【答案】A【解析】由0lgx，即1lgx lg，所以01x，所以|0(0,1Ax lgx，由2|1|1x，得211 1x，所以202x，解得22x，所以2|1|1|22Bxxxx，所以(01，ABA故选：A2已知复数z满足|1z，则|34|(zii为虚数单位）的最大值为()A4B5C6D7【答案】C【解析】圆心(0,0)O与点(3,4)P 的距离22345d|34|(zii为虚数单位）的最大值为516 故选：C3在一组样本数据112212(,),(,),(,),(2,)nnnx yxyxynx xx互不相等的散点图中，若所有样本点(,)(1,2,)iix yin都在直线153yx上，则这组样本数据的样本相关系数为()A13B13C1D1【答案】D【解析】根据回归直线方程153yx，可得这两个变量是正相关，又因为所有样本点(,)(1,2,)iix yin都在直线153yx上，所以1r，故选：D4已知等差数列na的前n项和为nS，若10110aa，10120aa，则nS取最大值时n的值为()A10B11C12D13【答案】A【解析】等差数列na，10121120aaa，110a，10110aa，100a，则nS取最大值时，10n 故选：A5甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲和乙去询问成绩，湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 2 页 共 11 页）回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说“你当然不会是最差”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？()A27 种B36 种C54 种D72 种【答案】C【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分 2 种情况讨论：甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有 3 种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A 种情况，此时有3618种名次排列情况；甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有236A 种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A 种情况，此时有6636种名次排列情况；则一共有361854种不同的名次情况，故选：C6设抛物线2:6C yx的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线1l，2l，若1l与2l交于点P，且满足|2 3PF，则|(AB)A5B6C7D8【答案】D【解析】设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则2116yx，2226yx，可得切线111:3()ly yxx，切线222:3()ly yxx，联立可得32Px ，122Pyyy，设直线AB的方程为32xmy，联立抛物线26yx，可得2690ymy，即有126yym，129y y ，故3(2P，3)m，由2|2 399PFm，可得213m，所以21212|()2668ABxxpm yypm，故选：D7若函数()f x在其定义域内存在实数x满足()()fxf x，则称函数()f x为“局部奇函数”知函数()933xxf xm是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是()A 2 2,3B 2,)C(,2 2D3,3【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数()()fxf x 有解即可，即933(933)xxxxmm，即有99(33)60 xxxxm，即2(33)(33)80 xxxxm有解即可设33(2)xxt t，则方程等价为280tmt在2t时有解设2()8g ttmt，对称轴为2mx，若4m，则2320m，满足方程有解；若4m，要使280tmt在2t时有解，则4(2)24 0mgm，解得24m综上得实数m的取值范围为 2,)故选：B湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 3 页 共 11 页）8.已知三棱锥SABC的四个顶点都在半径为 2 的外接球上，E、F分别是AC和SC的中点，090BEF，1AB，2BC，当SC取得最大值时，三棱锥SABC的体积为（）A.26B.262C.263D.266【答案】D【解析】依题意，当SC为外接球直径时，SC最大，SAAC，SBBC.EF为SAC的中位线，/EFSA，又=90BEF，BESA.平面SAABC，SABC.又BCSB，=SASB S，BCSAB 平面，BCAB，ABC为直角三角形，22=3ACABBC，22=13SASCAC，1112612133326SABCABCVVSA.故选：D二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A圆柱的侧面积为22 RB圆锥的侧面积为22 RC圆柱的侧面积与球的表面积相等D圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2【答案】CD【解析】A选项，圆柱的侧面积为2224RR，故A选项错误B选项，圆锥的母线长为22(2)5RRR，圆锥的侧面积为255RRR，故B选项错误C选项，球的表面积为24 R，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确D选项，圆柱的体积为2322RRR，圆 锥 的 体 积 为2312233RRR，球 的 体 积 为343R，所 以 圆 柱、圆 锥、球 的 体 积 之 比 为333242:3:1:233RRR，故D选项正确故选：CD10如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点BMBEBD ，则下列结论正确的是()A当M为线段AD上的中点时，32B的最大值为12C的取值范围为0,1D的取值范围为1,22【答案】ABC【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 4 页 共 11 页）设2BC，所以(0,0)B，(0,1)E，(2,2)D，设(,2)M t，则02t，由于BMBEBD ，所以(t，2)(0，1)(2，2)，整理得2t，22，则2t，2t，对于A：当M为AD上的中点时，则1t，故13222，故A正确；对于21:(2)22tBttt，由于02t，当1t 时的最大值为12，故B正确；对于C：由于2t，02t，所以01，故的取值范围为0,1，故C正确；对于:22tD，02t，故的取值范围为1,22，故D错误故选：ABC11声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数sinyAt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数11()sinsin22f xxx，则当0,2 x，时，函数()f x一定有()A三个不同零点B在0,上单调递增C极大值，且极大值为3 34D一条切线为yx【答案】BC【解析】对于A，由()0f x 得：11111sinsincossin(1cos)022222xxxxx，即1sin02x 或1cos12x，0,2 x，10,2x，解得0 x 或2x，A错误；对于B，2111111111()coscos(cos21)(1cos)(12cos)222222222fxxxxcosxxx，0,x，10,22x，10cos12x，()0fx，且当0 x 时，()0fx，则()f x在0,上单调递增，B正确；对于C，由选项B知，当4(0,)3x时，()0fx，()f x单调递增；当4(,2)3x时，()0fx，()f x单调递减，因此当43x时，()f x取得极大值43 3()34f，C正确；对于D，显然函数()f x过原点，(0)0f，且(0)0f，因此()f x的图象在原点处的切线方程为0y，因为直线yx过原点，因此直线yx不是()f x图象在原点处的切线，令11()sinsin,0,2 22g xxxx x，11111()1coscos(2coscos)022222g xxxxx，即函数()g x在(0,2)上单调递增，当(0,2)x时，()(0)0g xg，即11sinsin22xxx，于是函数()f x在(0,2)上的图象总在直线yx的下方，所以直线yx不可能为()f x图象的切线，D错误故选：BC湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 5 页 共 11 页）888121990 年 9 月，Craig FWhitaker 给Parade杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是 1 号门，接着主持人会从 2、3 号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（）A.你获得豪车的概率为13B.主持人打开 3 号门的概率为12C.在主持人打开 3 号门的条件下，2 号门有豪车的概率为13D.在主持人打开 3 号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选 2 号门比保持原选择获得豪车的概率更大【答案】ABD【解析】设1A、2A、3A分别表示 1,2,3 号门里有豪车，用1B、2B、3B分别表示主持人打开 1,2,3 号门.如上所述，你初次选择了 1 号门，因为你在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，你的选择不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件1A、2A、3A发生的概率仍然为13，即A正确；主持人打开 1 号门外的一个门有以下几种可能的情况：豪车在 1 号门里，主持人打开 2,3 号门，故311(|)2P BA，豪车在 2 号门里，主持人只能打开 3 号门，故32(|)1P BA，豪车在 3 号门里，主持人只能打开 2 号门，故33(|)0P BA，由全概率公式3331111()()(|)(1)322iiiP BP A P BA，即B正确；再 由 贝 叶 斯 公 式，在 3 号 门 打 开 的 条 件 下，1 号 门 和 2 号 门 里 有 豪 车 的 条 件 概 率 为131133()(|)1(|)()3P A P BAP ABP B，232233()(|)2(|)()3P A P BAP ABP B，故选 2 号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即 C 错误，D 正确.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1354(12)(13)xx展开式中含2x项的系数为【答案】26【解析】整个式子中2x项可由5(12)x，4(13)x的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到：故所求为：022112202545454(3)(2)(3)(2)26CCxCxCxCxCx 故答案为：2614记nS为等比数列na的前n项和若113a，246aa，则5S【答案】1213湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 6 页 共 11 页）【解析】在等比数列中，由246aa，得625110q aq a，即0q，3q，则551(13)1213133S，故答案为：121315已知ABC中，CD为C的角平分线交AB于点D，且1BD，2CD，2 3AC，则BC的长为【答案】3【解 析】由 角 平 分 线 的 定 义 可 得ACDDCB，所 以ACDBCDABCSSS，即111sinsinsin222ACCDACDCDCBDCBACCBACB，又因为22ACBACDDCB ，所以sin2sincos2sincosACBACDACDDCBDCB，则2222222cos22CDCBBDCDCBBDACCDCDCBACCBDCBACCBACCDCBCD，又因为2 3AC，2CD，1BD，所以2412 3222 32CBCB，整理可得23230aa，即(31)(3)0aa，因为0a，所以310a ，则3a，故答案为：316.已知O为坐标原点，动直线l与椭圆2222:1(0)xyMabab相切，与圆O：222xya相交于A、B两点，若OAB的面积的最大值为22a，则椭圆离心率的取值范围为_.【答案】2,1)2【解析】法一：OAB的面积最大值为22a存在直线l使=90AOBO到直线l的距离为22a，设lykxm：，则2|221mak，222(1)2kam222222ykxmb xa ya b222222()b xakxma b22222222()2()0ba kxa kmxambl与椭圆相切，42222222244()()0a k ma ba kmb，所以2222ba km联立得22222(1)22kaba k22222a kab有解，2220ab，222ac,212e.法二：转化同法一，设00(,)P xy，则l为0022+1x xy yab，湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 7 页 共 11 页）O到l的距离为220022122()+()daxyab有解，平方整理得2220044(+)2xyaab，即2220024+2xa yab，又220022+1xyab两式相减得22200421a yybb，所以42022byab有解，又2200yb，即4222bbab，所以222222()abac，212e.法三:转化同法一，设AB中点为D，切线l除了切点P外，其它点均在椭圆外，则2|2dODab，则222212abac，212e.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知函数()sin()f xx在区间(,)6 2 单调，其中为正整数，|2，且2()()23ff（1）求()yf x图像的一条对称轴；（2）若3()62f，求【解析】（1）因为2()()23ff，所以()yf x图像的一条对称轴为2723212x（2）因为函数()sin()f xx在区间(,)6 2 单调，所以最小正周期22()263T，所以223T，即3，又为正整数，所以1，2，3，由（1）知，()f x在712x处取得最值，所以7122k，kZ，即7212k，kZ，当1时，12k，kZ，由|2，知12，所以()sin()12f xx，所以3()sin()sin6612122f，不符合题意；当2时，23k，kZ，由|2，知3，所以()sin(2)3f xx，所以23()sin(2)sin66332f，符合题意；当3时，54k，kZ，由|2，知4，所以()sin(3)4f xx，所以23()sin(3)66422f，不符合题意.综上所述，3湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 8 页 共 11 页）18（12 分）已知数列na为非零数列，且满足(1)212111(1)(1)(1)2n nnaaa（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nna的前n项和nS【解析】（1）(1)212111(1)(1)(1)2n nnaaa，当1n 时，1112a，解得11a，当2n时，(1)2121111(1)(1)(1)2nnnaaa，两式相除得112nna，即121nna，当1n 时，11a 满足上式，121nna；（2）由（1）得121nna，则121nna，2nnnnna，123(1 21)(222)(323)(2)nnSnn123(1 222322)(123)nnn 令1231 2223 22nnAn ，(1)1232nn nBn，234121 2223 2(1)22nnnAnn ，由得123112(12)22222212nnnnnAnn，1(1)22nnAn，1(1)(1)222nnnnn nSABn席建颖；邮箱：18872737069；学号：2232888219（12 分）甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有 1 人进球另一人不进球，进球者得 1 分，不进球者得1分；两人都进球或都不进球，两人均得 0 分，设甲、乙每次踢球命中球门的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率为13，且各次踢球互不影响（1）经过 1 轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）求经过 3 轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，由题意得：111()(1)233P A，111()(1)224P B，甲的得分X的可能取值为1，0，1，111(1)()()()(1)346P XP ABP A P B，11117(0)()()()()()()(1)(1)343412P XP ABP ABP A P BP A P B，湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 9 页 共 11 页）111(1)()()()(1)344P XP ABP A P B，所以X的分布列为：X101P16712141711()101612412E X （2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲 3 轮各得 1 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得0 分；甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得-1 分；甲 3 轮中有 1 轮得 1 分，2 轮各得 0 分，甲 3 轮各得 1 分的概率为3111()464P，甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得 0 分的概率为2223177()41264PC，甲 3 轮中有 2 轮各得 1 分，1 轮得-1 分的概率为2233111()4632PC，甲 3 轮中有 1 轮得 1 分，2 轮各得 0 分的概率为12431749()412192PC，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P 20.（12 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，且0602，ABCABPC，2PAPB.M是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为36.（1）证明：PMMD；（2）若过点C，M的平面与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与平面ABCD的夹角.【解析】（1）如图，取AB中点O，连接PO，CO.因为2PAPB，2AB，所以POAB，1PO，1BO.又因为ABCD是菱形，60ABC，所以COAB，3CO.因为2PC，所以222PCPOCO，所以POCO.又因为AB平面ABCD，CO平面 ABCD，ABCOO，所以PO平面ABCD.因为/AD BC，BC平面 PBC，AD平面 PBC，所以/AD平面PBC，所以1133143343 ABD PBCA PBCP ABCCVVVPO S.因为3162MPBCD PBCVV，所以点 M 到平面PBC 的距离是点 D 到平面 PBC 的距离的12，所以PMMD.（2）由（1）知，BOCO，POBO，POCO，如图，以 O 为坐标原点，OC，OB，OP的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则0,1,0A，(0,1,0)B，3,0,0C，3,2,0D，0,0,1P，湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 10 页 共 11 页）所以31,1,22M，3,1,0AC，3,1,0 BC，3,3,0 BD0,1,1 AP，31,1,22 CM.设平面的法向量为,nx y z，则00 n BDn CM，即33031022xyxyz.取1y，得 到 平 面的 一 个 法 向 量3,1,5n.因 为QAP，设0,AQAP，则3,1,CQAQAC，因为3150 n CQ，所以23，所以1 23,3 3 CQ，设平面BCQ的法向量为1111,nx y z，则1100 nCQnBC，即111112303330yzxxy.取11x，得到平面BCQ的一个法向量11,3,2 3 n.设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为20,0,1 n是平面ABCD的一个法向量，则1212123coscos,2nnn nn n ，所以6，故平面BCQ与平面ABCD的夹角是6.21.（12 分）如图，已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的一条渐近线与x轴夹角为3，点(1,0)在E上，过(4,0)G的两条直线12,l l的斜率分别为12,k k，且12=3kk，1l交E于A、B，2l交E于C、D，线段AB与CD的中点分别为M、N，GHMN（1）求双曲线E的方程；（2）求证：存在点K，使HK为定值.【解析】（1）依题意1a，3ba，则3b，E的方程为2213yx.（2）设1122(,)(,)A x yB xy、，AB的方程为1(4)yk x，3344(,)(,)C xyD xy、，CD的方程为2(4)ykx，联立22133(4)xyyk x，得2222111(3)81630kxk xk，2112218+=3kxxk，从而1121122124(8)3kyyk xxk，2112211412(,)33kkMkk.12=3k k，213=kk，湖北省黄冈中学 2023 届高三 5 月第二次模拟考试数学试卷（第 11 页 共 11 页）122111212(,)33kNkk，MN的 斜 率112211112221112211121233246441231233MNkkkkkkkkkkkk，直 线MN的 方 程 为21112221111264()333kkkyxkkk，即1216(2)3kyxk.直线MN恒过定点(2,0)T.又90THG，H的轨迹为以TG为直径的圆.取TG中点(3,0)K，则1|12HKTKKGTG，故存在定点(3,0)K使|HK为定值.22.（12 分）已知函数22()ln231(0).f xxa xaxa（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若1a，设两实数,m n，其中01m，1n，且22()3693.mmf nmee证明：2223mnen.【解析】（1）()f x的定义域为(0,)，(41)(1)()axaxfxx若0a，则1(),()(0,)fxf xx在单调递增；若0a，令()0,fx解得12110,0()4xxaa 舍去单调递增；()f x在11(0,),aa单调递增，在()单调递减.（2）2222()36933(ln231)()3().mmmmmmf nmeeeeef nf e，若1a，由（1）知()f x在(0,1)1,单调递增，在()单调递减.01m，1n，21,1men，又()f x1,在()单调递减，要证2men，即证2()()3()mmf ef nf e即证()0mf e，由()f x的单调性可知()(1)0.mf ef要证223mne，即证23.2men 231,1,()2menf x1,在()单调递减，即证23()()2mef nf，即证33()()2mmef ef，即证23393()3()()22ln02222mmmmeeeg mf efm.29()232mmeg me,293()6(34)022mmmmeeg mee,()g m0,在()单调递减.279(0)0,(1)23022ggee,1(0,1)m，()g m在10,m()单调递增，在1m(,1)单调递减.23393(0)1ln0,(1)ln2222ggee ，ln1x x，31ln22，22393391(1)ln02222eegee，()0g m在0,()恒成立，证毕！