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第二章静电场分析第1页，本讲稿共49页2.1 电场强度与电位函数 电电 场场 强强 度度 电电 位位 函函 数数 库库 仑仑 定定 律律 电电 偶偶 极极 子子第2页，本讲稿共49页2.1.1 库仑定律库仑定律 库库仑仑定定律律（Couloms Law）是是静静电电现现象象的的基基本本实实验验定定律律，表表明明固固定定在在真真空空中中相相距距为为R的的两两点点电电荷荷q1与与q2之之间间的的作作用用力力：正正比比于于它它们们的的电电荷荷量量的的乘乘积积；反反比比于于它它们们之之间间距距离离的的平平方方；作作用用力力的的方方向向沿沿两两者者间间的的连连线线；两两点点电电荷荷同同性性为为斥力，异性为吸力。斥力，异性为吸力。第3页，本讲稿共49页2.1.2 电场强度电场强度1、点电荷的电场强度、点电荷的电场强度设设q q为为位位于于点点S S(xx,yy,zz)处处的的点点电电荷荷，在在其其电电场场中中点点P P(x x,y y,z z)处处引引入入试试验验电电荷荷q qt t，根根据据库库仑仑定定律律，q qt t受受到到的的作作用用力力为为F F，则则该该点点处处的的电电场场强强度度（electric electric Field Field IntensityIntensity）定义为定义为当当空空间间中中同同时时有有n个个点点电电荷荷时时，场场点点的的电电场场等等于于各各点点电电荷荷qi在在该该点点产产生的电场强度的生的电场强度的矢量和矢量和，即，即第4页，本讲稿共49页例：两个点电荷位于（例：两个点电荷位于（1 1，0 0，0 0）和（）和（0 0，1 1，0 0），带电），带电量分别为量分别为2020nCnC和和-20-20nCnC，求（求（0 0，0 0，1 1）点处的电场强度）点处的电场强度第5页，本讲稿共49页2.分布电荷的电场强度分布电荷的电场强度（1 1）线电荷）线电荷（2 2）面电荷）面电荷（3 3）体电荷）体电荷 线电荷密度线电荷密度（Charge Line DensityCharge Line Density）：）：当当电电荷荷分分布布在在一一细细线线（其其横横向向尺尺寸寸与与长长度度的的比比值值很很小小）上时，定义上时，定义线电荷密度线电荷密度为单位长度上的电荷为单位长度上的电荷当电荷分布在一个表面上时，当电荷分布在一个表面上时，定义面定义面电荷密度为单位面积上的电荷电荷密度为单位面积上的电荷面电荷密度面电荷密度（Charge Areal Density）：）：体电荷密度（体电荷密度（Charge Volume Density）：）：第6页，本讲稿共49页 分布电荷所产生的电场强度分布电荷所产生的电场强度 设设电电荷荷以以体体密密度度V(r)分分布布在在体体积积V内内。在在V内内取取一一微微小小体体积积元元dV，其其电电荷荷量量dq=V(r)dV，将将其其视视为为点点电电荷荷，则则它它在在场场点点P(r)处产生的电场为处产生的电场为 体体积积V内内所所有有电电荷荷在在P(r)处处所所产产生生的的总电场总电场为为电场强度的矢量积分公式电场强度的矢量积分公式第7页，本讲稿共49页 例例 有有限限长长直直线线l上上均均匀匀分分布布着着线线密密度度为为l的的线线电电荷荷,如如下下图图所示，求线外一点的电场强度。所示，求线外一点的电场强度。有限长直线电荷的电场有限长直线电荷的电场 无限长线电荷的场无限长线电荷的场 第8页，本讲稿共49页解题思路（步骤）：解题思路（步骤）：1.1.根据电荷分布形状，以及根据电荷分布形状，以及它与所求点电场之间的相对它与所求点电场之间的相对位置关系，选择并建立坐标位置关系，选择并建立坐标系。系。2.2.确定源点、场点，及其位置矢确定源点、场点，及其位置矢量，距离矢量。量，距离矢量。3.3.代入电场强度计算式，确定代入电场强度计算式，确定积分上下限，求解。积分上下限，求解。例例2.2 2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a a，外半径外半径为为b b，面电荷密度为面电荷密度为 ，求，求z z轴上任意一点的电场强度轴上任意一点的电场强度第9页，本讲稿共49页2.1.3 电位函数电位函数 在在静静电电场场中中，某某点点P处处的的电电位位定定义义为为把把单单位位正正电电荷荷从从P点点移移到到参参考考点点Q的的过过程程中中静静电电力力所所作作的的功功。若若正正试试验验电电荷荷qt从从P点点移移到到Q点点的的过过程程中中电电场场力力作作功功为为W，则则P点处的电位为点处的电位为“”“”负号的物理意义：电位的增加总是朝着抗拒电场负号的物理意义：电位的增加总是朝着抗拒电场强度的方向；电场强度的方向总是垂直于电位面，并从强度的方向；电场强度的方向总是垂直于电位面，并从电位高处指向电位低处。电位高处指向电位低处。第10页，本讲稿共49页例例 真真空空中中一一个个带带电电导导体体球球，半半径径为为a，所所带带电电量量为为Q，试试计算球内外的电位与电场强度。计算球内外的电位与电场强度。孤立带电导体球的场孤立带电导体球的场 带电导体球的场分布带电导体球的场分布 第11页，本讲稿共49页 电偶极子电偶极子是指相距很近的两个是指相距很近的两个等值异号等值异号的的电荷电荷。2.1.4 电偶极子电偶极子 定定义义电电偶偶极极矩矩矢矢量量的的大大小小 为为p=qd，方方向向由由负负电电荷荷指指向向正正电电荷荷，即即 则则P点点的的电电位位可以写成下列形式可以写成下列形式:第12页，本讲稿共49页取取负梯度负梯度得电偶极子在得电偶极子在P点处的点处的电场强度电场强度为为 电偶极子的电场线电偶极子的电场线 第13页，本讲稿共49页 2.2 2.2 静电场的基本方程静电场的基本方程 用散度描述电场：用散度描述电场：用旋度描述电场：用旋度描述电场：库仑定律库仑定律电场强度电场强度电通密度（电感应强度）电通密度（电感应强度）电通量电通量高斯定律高斯定律电位函数电位函数静电场的旋度静电场的旋度电场力做功电场力做功第14页，本讲稿共49页2.2.1 2.2.1 电通密度与电通量电通密度与电通量电通密度电通密度电通量电通量电感应强度电感应强度，或，或电位移矢量电位移矢量真空中，真空中，它与电场强度的关系：它与电场强度的关系：（即通量的概念在电场中的应用）（即通量的概念在电场中的应用）所以，所以，表示单位面积上的电通量，称为电通密度。表示单位面积上的电通量，称为电通密度。第15页，本讲稿共49页2.2.2 静电场的高斯定律静电场的高斯定律（Gauss law）定义：定义：从闭合面内发出的总电通量，等于面内所包从闭合面内发出的总电通量，等于面内所包围电荷总电量。围电荷总电量。积分形式积分形式微分形式微分形式静电场是有散的静电场是有散的 散度与场源的关系散度与场源的关系 此式说明：空间任意存在正电荷密度的点，都发出电通量线此式说明：空间任意存在正电荷密度的点，都发出电通量线（即（即电力线电力线）第16页，本讲稿共49页例：用高斯定律求孤立点电荷例：用高斯定律求孤立点电荷q q在任意点在任意点P P点产生的电点产生的电场强度场强度第17页，本讲稿共49页用散度描述电场：用散度描述电场：用旋度描述电场：用旋度描述电场：库仑定律库仑定律电场强度电场强度电通密度（电感应强度）电通密度（电感应强度）电通量电通量高斯定律高斯定律电位函数电位函数静电场的旋度静电场的旋度电场力做功电场力做功所以，静电场中电场强度的所以，静电场中电场强度的旋度恒为零，即静电场为无旋度恒为零，即静电场为无旋场旋场（保守场）（保守场）第18页，本讲稿共49页小小 结结用散度描述电场：用散度描述电场：用旋度描述电场：用旋度描述电场：库仑定律库仑定律电场强度电场强度电通密度（电感应强度）电通密度（电感应强度）电通量电通量高斯定律高斯定律电位函数电位函数静电场的旋度静电场的旋度电场力做功电场力做功积分形式积分形式微分形式微分形式第19页，本讲稿共49页静电场属于静电场属于有散无旋场有散无旋场基本方程的总结基本方程的总结 微分形式微分形式积分形式积分形式第20页，本讲稿共49页2.3 2.3 电介质的极化与电通量密度电介质的极化与电通量密度平板电容器电压变小平板电容器电压变小电介质电介质第21页，本讲稿共49页2.3 2.3 电介质的极化与电通量密度电介质的极化与电通量密度一、一、静电场中的物质静电场中的物质二、二、电介质中的基本方程电介质中的基本方程1.1.1.1.静电场中的导体（如金属）静电场中的导体（如金属）静电场中的导体（如金属）静电场中的导体（如金属）2.2.2.2.静电场中的半导体（如硅和锗）静电场中的半导体（如硅和锗）静电场中的半导体（如硅和锗）静电场中的半导体（如硅和锗）3.3.3.3.静电场中的电介质（即绝缘体，如空气，瓷）静电场中的电介质（即绝缘体，如空气，瓷）静电场中的电介质（即绝缘体，如空气，瓷）静电场中的电介质（即绝缘体，如空气，瓷）（1 1）导体内部任何一点的场强都等于零）导体内部任何一点的场强都等于零（2 2）电荷只分布在导体的外表面上）电荷只分布在导体的外表面上（3 3）导体成为一个等位体，即导体表面电位处处相等。）导体成为一个等位体，即导体表面电位处处相等。静电场中半导体与导体的表现没有区别。静电场中半导体与导体的表现没有区别。静电场中半导体与导体的表现没有区别。静电场中半导体与导体的表现没有区别。第22页，本讲稿共49页电子云电子云原子核原子核He e无极分子无极分子&有极分子和无极分子电介质有极分子和无极分子电介质1.无极分子无极分子(nonpolar molecule)在无外场作用下整个分子在无外场作用下整个分子无电矩无电矩.例如例如CO2 H2 N2 O2 He2.有极分子有极分子(polar molecule)在无外场作用下存在在无外场作用下存在固有电矩固有电矩.例如例如H2O Hcl CO SO2 因无因无序排列对外不呈现电性序排列对外不呈现电性.OHHH2O有极分子有极分子第23页，本讲稿共49页极化的结果在电极化的结果在电介质的内部和表介质的内部和表面形成极化电荷，面形成极化电荷，这些极化电荷在这些极化电荷在介质内激发与外介质内激发与外电场方向相反的电场方向相反的电场电场第24页，本讲稿共49页无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩.在外电场中产生感应电偶极矩在外电场中产生感应电偶极矩.第25页，本讲稿共49页 线性、均匀、各向同性的电介质中，电通密度线性、均匀、各向同性的电介质中，电通密度 与电场强度与电场强度 之间的关系之间的关系(也称媒质的也称媒质的本构关系本构关系）：）：其中：其中：因而，任何电介质中，静电场的方程，只要将前面因而，任何电介质中，静电场的方程，只要将前面得出的方程中的介电常数得出的方程中的介电常数 换成换成 即可。即可。第26页，本讲稿共49页2.4 2.4 导体的电容导体的电容 一、电容器一、电容器(capacitor)(capacitor)与电容与电容(capacitance)(capacitance)二、电容计算应用举例二、电容计算应用举例综合题目综合题目 储存电荷的容器称为电容器储存电荷的容器称为电容器,相互接近而又相互绝缘的任相互接近而又相互绝缘的任意形状导体都可构成电容器。意形状导体都可构成电容器。电容：一个导体上的电荷量与此导体电容：一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比相对于另一导体的电位之比,单位是单位是法拉（法拉（F F）.电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有关，与所带电荷量无关。关，与所带电荷量无关。第27页，本讲稿共49页1.1.平行双导线，单位长度的电容平行双导线，单位长度的电容2.2.同轴线内外导体间，单位长度的电容同轴线内外导体间，单位长度的电容3.3.孤立导体的电容孤立导体的电容 第28页，本讲稿共49页单位长度的单位长度的电容电容解解 设两金属线的电荷线密度为设两金属线的电荷线密度为 例例 两半径为两半径为 的平行长直导线中心间距为的平行长直导线中心间距为 ，且且 ,求单位长度的电容求单位长度的电容.第29页，本讲稿共49页圆柱形电容器圆柱形电容器（3）（2）（4）电容）电容+-（1 1）设两导体圆柱面单位长度上）设两导体圆柱面单位长度上分别带电分别带电第30页，本讲稿共49页2.5 2.5 静电场的边界条件静电场的边界条件 1 1、电通密度、电通密度 的法向分量的法向分量(即垂直于分界面的分量），即垂直于分界面的分量），满足的边界条件。满足的边界条件。2 2、电场强度、电场强度 的切向分量（即平行于分界面的分的切向分量（即平行于分界面的分量），满足的边界条件。量），满足的边界条件。决定分界面两侧电场变化关系的方程称为静电场的边决定分界面两侧电场变化关系的方程称为静电场的边界条件，即界条件，即电场在电场在两种不同媒质分界面上两种不同媒质分界面上变化的规律。变化的规律。第31页，本讲稿共49页1.1.电通密度电通密度 的法向分量，满足的边界条件的法向分量，满足的边界条件物理意义：静电场中，物理意义：静电场中，如果不同媒质分界面上存在自由面电荷如果不同媒质分界面上存在自由面电荷密度，则电通密度的法向分量不连续。密度，则电通密度的法向分量不连续。第32页，本讲稿共49页2.2.电场强度电场强度 的切向分量，满足的边界条件的切向分量，满足的边界条件物理意义：静电场中不同媒物理意义：静电场中不同媒质质分界面上分界面上,电场强度的切电场强度的切向分量总是连续的。向分量总是连续的。第33页，本讲稿共49页（1 1）两种）两种不同电介质之间不同电介质之间的分界面：的分界面：（2 2）电介质与导体之间电介质与导体之间的分界面：的分界面：界面上无自由电荷分布，即界面上无自由电荷分布，即S S=0=0，边界条件变为边界条件变为 当媒质当媒质2 2为导体时，为导体时，物理意义：物理意义：导体表面上的静电场，总是垂直于导体表面导体表面上的静电场，总是垂直于导体表面第34页，本讲稿共49页例例:平平行行板板电电容容器器的的长长和和宽宽分分别别为为a和和b，板板间间距距离离为为d，电电容容器器的的一一半半厚厚度度(0-d/2)用用介介电电常常数数为为的的玻玻璃璃填填充充，另一半为空气。若板上外加电压为另一半为空气。若板上外加电压为U0:(1)分分别别求求出出有有介介质质填填充充(0-d/2)区区域域和和无无填填充充(d/2-d)区区域域中中的的电场强度电场强度;(2)板上及分界面上的自由面电荷密度板上及分界面上的自由面电荷密度;(3)电容器的电容量电容器的电容量;第35页，本讲稿共49页2.6 恒定电场 一、电流与电流密度一、电流与电流密度 二、恒定电场的基本方程二、恒定电场的基本方程 三、恒定电场的边界条件三、恒定电场的边界条件第36页，本讲稿共49页1 1、电流的定义、电流的定义电荷在电场作用下作定向运动形成电流。电荷在电场作用下作定向运动形成电流。单位为安培单位为安培A A通过媒质中某点的通过媒质中某点的电荷的传输速率电荷的传输速率，定义为电流，即，定义为电流，即恒定电流（直流电流恒定电流（直流电流）第37页，本讲稿共49页2 2、电流密度矢量电流密度矢量 (单位是单位是A/mA/m2 2)体电流密度体电流密度 假假定定体体电电荷荷密密度度为为 的的电电荷荷以以速速度度 沿沿某某方方向向运运动动，如如下下图图所所示示。设设在在垂垂直直于于电电荷荷流流动动的的方方向向上上取取一一面面积积元元 ，若若流流过过 的的电电流流为为I I，则则定定义义电电流流密密度度矢矢量量的的大大小小为为单单位位面面积积上上穿穿过过的的电电流流，方方向向为为电流的流向电流的流向该式表明，电电流流密密度度 与电电流流I的关系是一个矢量场与它的通量的关系；或者说电流是电流密度矢量场的通量通量。在导电媒质中，体电流密度与电场强度的在导电媒质中，体电流密度与电场强度的关系：关系：其中，其中，其中，其中，表示导电媒质的电导率表示导电媒质的电导率表示导电媒质的电导率表示导电媒质的电导率,电导率的值电导率的值电导率的值电导率的值越大，表示媒质导电性能越好。越大，表示媒质导电性能越好。越大，表示媒质导电性能越好。越大，表示媒质导电性能越好。第38页，本讲稿共49页二、二、恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 电流密度矢量电流密度矢量 电荷守恒定理电荷守恒定理 电流连续性方程电流连续性方程用旋度描述：用旋度描述：电场力做功电场力做功 电场的旋度电场的旋度 电位函数电位函数分分两条主线两条主线讨论，讨论，用散度描述：用散度描述：电荷既不能创造，也不能毁灭，电荷既不能创造，也不能毁灭，而只能转移。而只能转移。单单位位时时间间内内由由闭闭合合面面S S流流出出的的电电流流应应等等于于单单位位时时间间内内S S面面内内电荷的减少量。电荷的减少量。第39页，本讲稿共49页积分形式积分形式散度定理散度定理微分形式微分形式电流连续性方程电流连续性方程恒定电流恒定电流连续性方程连续性方程:第40页，本讲稿共49页 电流密度矢量电流密度矢量 电荷守恒原理电荷守恒原理 电流连续性方程电流连续性方程恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 小结小结1用散度描述：用散度描述：方程表明：恒定电流电场是方程表明：恒定电流电场是无散场无散场，即导电媒质中有恒定电流通过时，其内部电即导电媒质中有恒定电流通过时，其内部电流密度是连续的。流密度是连续的。积分形式积分形式微分形式微分形式第41页，本讲稿共49页 电流密度矢量电流密度矢量 电荷守恒原理电荷守恒原理 电流连续性方程电流连续性方程用旋度描述：用旋度描述：电场力做功电场力做功 电场的旋度电场的旋度 电位函数电位函数分两条主线分两条主线讨论，讨论，二、二、恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 用散度描述：用散度描述：积分形式积分形式微分形式微分形式拉普拉斯方程拉普拉斯方程第42页，本讲稿共49页表明：恒定电流电场属于表明：恒定电流电场属于无散无旋场无散无旋场二、二、恒定电流电场的基本方程恒定电流电场的基本方程总结总结 在电源外的导体内在电源外的导体内,恒定电场的基本方程为：恒定电场的基本方程为：微分形式微分形式积分形式积分形式第43页，本讲稿共49页三、三、恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件 电场在电场在两种不同媒质分界面上两种不同媒质分界面上变化的规律。变化的规律。决定分界面两侧电场变化关系的方程决定分界面两侧电场变化关系的方程称为边界条件。称为边界条件。1.1.电流密度电流密度 的法向分量，满足的边界条件的法向分量，满足的边界条件2.2.电场强度电场强度 的切向分量，满足的边界条件的切向分量，满足的边界条件第44页，本讲稿共49页1.1.电流密度电流密度 的法向分量的法向分量，满足的边界条件满足的边界条件根据电流连续性方程：根据电流连续性方程：表明：电流密度表明：电流密度 的的法向分量在分界面上法向分量在分界面上 是连续的。是连续的。第45页，本讲稿共49页2.2.电场强度电场强度 的切向分量，满足的边界条件的切向分量，满足的边界条件根据恒定电流电场的环量：根据恒定电流电场的环量：表明：分界面上电场强度表明：分界面上电场强度的切向分量总是连续的。的切向分量总是连续的。第46页，本讲稿共49页导体中的导体中的恒定电流电场恒定电流电场与无荷区的与无荷区的静电场静电场之间，具之间，具有有相似性相似性。体现在：体现在：只要把只要把就可以从恒定电流电场的方程就可以从恒定电流电场的方程，变为无荷区静电，变为无荷区静电场的方程，反之亦然。场的方程，反之亦然。第47页，本讲稿共49页导电媒质中的恒定电流电场，与非导电媒质中无电荷区导电媒质中的恒定电流电场，与非导电媒质中无电荷区的静电场在性质上很相似。我们常用的静电场在性质上很相似。我们常用 矢量代替矢量代替 矢量，用矢量，用 代替代替 ,就可以将恒定电流电场的解过渡到非导电媒质中无电荷区的就可以将恒定电流电场的解过渡到非导电媒质中无电荷区的静电场。静电场。第48页，本讲稿共49页恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 表表 恒定电场与静电场的比较恒定电场与静电场的比较 第49页，本讲稿共49页