几何与代数第五章精.ppt

几何与代数第五章第1页，本讲稿共76页第2页，本讲稿共76页如何求特征值？称为方阵A的特征多项式特征多项式,f()=0称为方阵A的特征方程特征方程。特征方程的根就是方阵的特征值第3页，本讲稿共76页特征子空间第4页，本讲稿共76页计算计算n阶矩阵阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤：的特征值与特征向量的步骤：注：注：在复数复数范围内，特征值必存在，且恰好有n个（按重数累计）；在实数实数范围内，则不一定存在特征值。第5页，本讲稿共76页例2：例1：第6页，本讲稿共76页例3：设试求A的特征值和特征向量。第7页，本讲稿共76页二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质定理5.1：理解：可将行列式拆成 行列式之和来看！推论：推论：n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值全不为零。第8页，本讲稿共76页定理5.2：第9页，本讲稿共76页推论：定理5.3 设0是方阵A的特征值,方程组(0EA)X=0的基础解系的全体非零线性组合是对应于特征值0的全部特征向量。第10页，本讲稿共76页定理5.4：定理5.5：注：注：本定理的含义是本定理的含义是A A所有不同的特征值对应的线性无关所有不同的特征值对应的线性无关 的特征向量合起来还是线性无关的。的特征向量合起来还是线性无关的。第11页，本讲稿共76页第二节第二节 相似矩阵相似矩阵一、相似矩阵的定义及性质一、相似矩阵的定义及性质定义定义5.25.2：A，B是两n阶方阵，如果存在可逆阵P，使得 P-1AP=B，则称方阵A与B相似，记作AB。对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。性质性质1：自反性 对称性 传递性第12页，本讲稿共76页性质2:第13页，本讲稿共76页第14页，本讲稿共76页二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件当矩阵可与对角矩阵相似时称该矩阵可对角化。定理定理5.65.6：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个 线性无关的特征向量。推论：若n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 ，则A与对角阵 相似。哪些矩阵可相似于对角阵？第15页，本讲稿共76页定义2：若矩阵A的n个特征值 是 重根，则称 是特征值 的代数重数，对应的特征子空间 的维数成为特征值 的几何重数。定理5.7：第16页，本讲稿共76页如何判断和求解对角阵？例5：注：第17页，本讲稿共76页例6：第18页，本讲稿共76页例7 已知3阶矩阵A的三个特征值为本1,1,2,对应的特征向量为(1,2,1)T,(1,1,0)T,(2,0,-1)T,求矩阵A第19页，本讲稿共76页第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的基本定理一、实对称矩阵的基本定理定理定理5.8：实对称矩阵的特征值全都是实数。定理5.9第20页，本讲稿共76页定理5.10推论：第21页，本讲稿共76页二、用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵二、用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵步骤：第22页，本讲稿共76页第23页，本讲稿共76页例：给定实对称矩阵第24页，本讲稿共76页第四节第四节 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型的基本概念一、二次型的基本概念第25页，本讲稿共76页第26页，本讲稿共76页第27页，本讲稿共76页第28页，本讲稿共76页二、矩阵的合同二、矩阵的合同第29页，本讲稿共76页第五节第五节 二次型化为标准形的方法二次型化为标准形的方法一、用正交变换法化二次型为标准形一、用正交变换法化二次型为标准形定理5.12(主轴定理)对于任一二次型f(X)=AX,总存在正交变换X=QY(Q为正交矩阵),使f化为标准形:其中 是f的矩阵A的n个特征值第30页，本讲稿共76页二、用配方法化二次型为标准形二、用配方法化二次型为标准形第31页，本讲稿共76页三、惯性定理和二次型的规范形三、惯性定理和二次型的规范形第32页，本讲稿共76页第33页，本讲稿共76页第五节第五节 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵定义：第34页，本讲稿共76页性质与判别：性质与判别：第35页，本讲稿共76页第36页，本讲稿共76页第37页，本讲稿共76页复 习 题一、选择题1.如果向量可由向量组线性表示,则下列结论正确的是:(A)存在一组不全为零的数k1,k2,ks使得:(B)存在一组全为零的数使上式成立;(C)存在一组数k1,k2,ks使上述等式成立;(D)对上述线性表达式唯一第38页，本讲稿共76页2.设某向量组的秩等于r,则()(A)该向量组所含向量个数必大于r;(B)该向量组中任何r个向量必线性无关,任何r+1个向量必线性相关;(C )该向量组中有r个向量线性无关,任何r+1个向量必线性相关;(D)该向量组中有r个向量线性无关,有r+1个向量线性相关第39页，本讲稿共76页3.设非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵是45矩阵,且A的行向量组线性无关,则有()(A)A的列向量组线性无关;(B)增广矩阵的行向量组线性无关;(C)增广矩阵的任意4个列向量线性无关;(D)增广矩阵的列向量组线性无关第40页，本讲稿共76页4.设有向量组则有()(A)若M组线性相关,则N组线性相关;(B)若M线线性无关,则N组线性无关;(C)若N组线性无关,则M组线性无关;(D)若M组线性相关,则N组线性相关第41页，本讲稿共76页5.设则三条直线交于一点的充要条件是()(A)1,2,3线性相关;(B)1,2,3线性无关;(C)r(1,2,3)=r(1,2)(D)1,2,3线性相关,1,2线性无关第42页，本讲稿共76页6.设n维向量组:的秩都是r,则()(A)向量组M与N等价;(B)(C)若s=t=r,则M与N等价;(D)如M可由N线性表示,则M与N等价第43页，本讲稿共76页7.是满秩的,则直线()(A)相交于一点;(B)重合;(C)平行但不重合;(D)异面直线第44页，本讲稿共76页8.设n阶方阵A既是正交矩阵又是正定矩阵,则有A=()(A)A2(B)2A (C)E (D)2E第45页，本讲稿共76页9.若两向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量,则系数矩阵是()第46页，本讲稿共76页10.设A为n阶方阵,且r(A)=n3,且是齐次线性方程组AX=0的三个线性无关的解向量,则AX=0的基础解系是()第47页，本讲稿共76页11.下列四对矩阵中,不相似的是()第48页，本讲稿共76页12.n阶方阵A与B相似,则()(A)EA=EB(B)A与B有相同的特征向量(C)A与B都相似于一个对角矩阵(D)对任何t,tEA和tEB相似第49页，本讲稿共76页13.设A是n阶实对称矩阵,P为n阶可逆阵,已知n维向量是A的对应于特征值的特征向量,则矩阵 属于特征值的特征向量是()第50页，本讲稿共76页14.设则A与B()(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同不相似第51页，本讲稿共76页15.设A,B均为n阶可逆方阵,则()(A)AB=BA,(B)存在可逆阵P,使得(C)存在可逆阵C使得(D)存在可逆阵P,Q使得PAQ=B第52页，本讲稿共76页二、填空题1.设有3阶方阵其中均为3维行向量,且已知行列式A=24,B=3,求AB。第53页，本讲稿共76页2.4阶矩阵已知A=4,B=1,则A+B=3.设则第54页，本讲稿共76页4.设是n维向量,矩阵,则AB=。5.设且第55页，本讲稿共76页6.设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且A=a,B=b,。7.n维基本单位向量组线性表示,则向量的个数r。第56页，本讲稿共76页8.已知向量组的秩为2,则=第57页，本讲稿共76页9.设n阶方阵A的各行元素之和为零,且r(A)=n-1,则齐次线性方程组AX=0的通解是。10.已知三阶方阵A的特征值是1,1,2,则矩阵的特征值是。的秩为。11.二次型第58页，本讲稿共76页12.已知二次型为正定二次型,则的取值范围是。第59页，本讲稿共76页13.巳知三阶方阵B是秩为2的三阶方阵,且r(AB)=1,则=第60页，本讲稿共76页14.设可对角化,则a=,b=第61页，本讲稿共76页15.设A为n阶方阵,A0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位阵,若A有特征值,则必有特征值。第62页，本讲稿共76页 线性代数的思维定势 定势一 :题设条件与代数余子式Aij或伴随矩阵A*有关,立即联想到引用行列式按行(列)展开定理及AA*=A*A=|A|E。第63页，本讲稿共76页定势二:若涉及到A,B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。例 设A,B为n阶方阵,且A+B=AB(1)证明AE可逆;(2)证明 AB=BA定势三:若题设n阶方阵满足f(A)=0,要证aA+bB可逆,则先分解出因子aA+bB再说，例 已知A、B为3阶方阵,且满足2A-1=B4E(1)证明A2E可逆 (2)若求A第64页，本讲稿共76页定势四第65页，本讲稿共76页定势五:若巳知 AB=O,则先考虑B的每列作为齐次线性方程组AX=0的解向量来处理。第66页，本讲稿共76页定势六:若由题设条件要求确定参数的数值,则联想到是否有行列式为0再说。第67页，本讲稿共76页定势七定势七:若已知若已知A的特征向量的特征向量,则先用定义则先用定义:A=0再说。再说。第68页，本讲稿共76页定势八定势八:要证明抽象的要证明抽象的n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A为正定为正定矩阵矩阵,则先用定义处理一下再说。则先用定义处理一下再说。例例 设设A为为m阶实对称矩阵阶实对称矩阵,B为为mn实矩阵实矩阵,试证试证BTAB为正定的充分必要条件是为正定的充分必要条件是r(B)=n。第69页，本讲稿共76页计算题和证明题第70页，本讲稿共76页第71页，本讲稿共76页第72页，本讲稿共76页第73页，本讲稿共76页第74页，本讲稿共76页第75页，本讲稿共76页第76页，本讲稿共76页