数学物理方法3幂级数展开.ppt

1解f()=2i(32+7+1),根据柯西积分公式知,).1(,3 2 2i fy x l+=+,求表示正向圆周 设“数学是无穷的科学”赫尔曼.外尔3学习要求与内容提要目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数4 无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3，wn，写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有和数呢？这个和数的确切意义是什么？为什么要研究级数？(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)常微分方程的级数解。研究级数需关心的问题：(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。53.1 复数项级数(一一)复数项级数复数项级数1 1 定义定义 设wn(n=1,2,)为一复数列,表达式 的称为复数项级数，其中 是复数。2 2 部分和部分和 级数前面n项的和 若部分和数列sn(n=1,2,)有复数极限s即若(3.1)本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。6说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成 若复数列sn(n=1,2,)没有极限,则称级数(3.1)为发散.7的敛散性.0=nnz分析级数 例183.复数项级数收敛的条件证 因为(1)定理)(1 1收敛的充要条件 级数=+=nn nnniv uw.1 1都收敛 和=nnnnv u9说明 复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理).1 1=nnnnv u都收敛 和 级数 于是10(3)(3)绝对收敛定义绝对收敛定义若收敛，则称 绝对收敛 注 注1 1：一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不 而不改变其绝对收敛性 改变其绝对收敛性,亦不改变其和 亦不改变其和.(2)柯西判据柯西判据：对于任一小的正数，必存在一 N 使得 nN 时有式中 p 为任意正整数.注 注2 2：级 级 数 数绝对 绝对 收 收 敛 敛 的充分必要条件是 的充分必要条件是 实 实 数 数 项级 项级 数 数与 与 都 都 绝对 绝对 收 收 敛 敛。11解所以原级数发散.例1所以原级数收敛.注注33：两个绝对收敛级数的两个绝对收敛级数的和和，积积，仍绝对收敛仍绝对收敛。12（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：设复变函数列wk(z)定义在区域B上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数函数项级数 当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。由于函数项级数定义在区域 B(或曲线l)上，所以它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线l)而言的。13 1.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件定义：任给 0，存在一个与z无关的自然数N()，当n N()时，对B(或l)上所有z，均有：(p为任意自然数)，则称在B(或l)一致收敛。一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 性质 性质1 1：若wk(z)在B内连续，函数级数 在B内一致收敛，则和函数w w(z z)也是 也是B B内的连续函数 内的连续函数。这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。14 性质2：若级数 在区域B内的分段光滑曲线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿 级数可沿l l逐项积分 逐项积分：15绝对一致收敛绝对一致收敛这是一种特殊形式的常用函数项级数。3.2 3.2 幂级数幂级数幂级数：通项为幂函数的级数:（一）（一）定义定义16（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性 1.阿贝尔定理 如果级数 在z0点收敛，那么在以a点为圆心，为半径的圆内绝对收敛，而 上一致收敛。如果级数 在z1点发散，则在 内处处发散。由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛散性。2.求收敛圆半径R的公式 绝对收敛是指 收敛，后者为正项级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确17(1)比值判别法引入收敛半径 定收敛半径 R。绝对收敛 发散 绝对收敛 发散 则若:级数的柯西判据 柯西判据,所以绝对收敛.18所以收敛半径为 收敛半径为注意:幂级数在幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析！收敛圆上的敛散性需具体分析！（2）当CRz0R19(2)根式判别法发散所以 绝对收敛对应级数绝对收敛 则若:20如果如果:(极限不存在),4.复变幂级数在收敛圆内的性质那么那么设幂级数 的收敛半径为=-00)(kkkz z a是收敛圆内的解析函数。(1)=-=0)()(kkkz0z a z w它的和函数R z0z-21(2)在收敛圆内可以逐项积分,)(z w即=-=0.,d)(d)(kckkcR z0z c z z0z a z z w 且可表为连续函数的回路积分。22 证明:记 CR1上点为，CR1内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为利用柯西公式用有界函数相乘后，在CR1上一致收敛23且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导证明:幂级数 乘以(3)在收敛圆 内的导数可将其幂级数逐项求导得到,)(z w.)()(11=-=kkkz0z ka z w即R z0z-24故收敛半径例1求幂级数 的收敛半径解25解例2求 的收敛半径.26例3 计算解:和函数275.幂级数的运算与性质在收敛半径R=min(r1,r2)内:如果当时,又设在内解析且满足那末当时,(2)幂级数的代换(复合)运算28思考思考题答案不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上 确定,可以依复数项级数敛散性讨论。思考题答案29 3.2 3.(1)（4）(5）4.(1)(3)303.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种 展开式是唯一的。解析函数与幂级数的密切关系其中展开系数 ak 称为泰勒级数 如图：设 f(z)在区域内解析，z0为内任一点，为z0到区边界的最短距离，则当|zz0|R 时，f(z)可展开为泰勒级数(一一)解析函数的泰勒展开定理解析函数的泰勒展开定理CR1为半径为的圆。BCR1z31证明：1.设f(z)在内解析,在图示的CR1圆上应用柯西公式其中z为圆CR1内某一点,|zz0|=r，CR1为包含z的圆，|z0|=R,(0 r R)，为CR1上的点。如图:.内任意点.CR1.r322.将被积函数变成级数利用 将 展开成以z0为中心的级数 被积函数写成：3.将上式沿CR1积分级数 在CR1上一致收敛 和 f()在CR1上有界33级数 在 B内一致收敛 逐项积分于是其中4.展开式是唯一的34 若 f(z)能展开成另一种形式：(1)那么当 z=z0：(2)对z 求导：展开式唯一35 来求 ak。由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式说明：(1)解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：a.幂级数在其收敛圆内解析；b.解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。(2)如果f(z)在B内有一阶导数存在，则f(z)可在B内每一点的邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f(x)的一阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x)就不可能展开成泰勒级数。36;,00级数称为麦克劳林级数麦克劳林级数 时 当=z因为解析，可以保证无限阶导数的连续性;注意：所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。说明:37(三三)将函数展开成泰勒级数将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数.)(0展开成幂级数 在 将函数z z f例1，故有38,在复平面内处处解析 因为ze。=R所以级数的收敛半径2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式。间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛。39例2.0 sin 的泰勒展开式 在 利用间接展开法求=z z40附:常见函数的泰勒展开式4142例3解上式两边逐项求导,1 1)1(12-=+z zz上有一奇点 在 由于,1区域内解析即在z故可在其解析区域内展开成的幂级数z43例4*分析如图,-1OR=1xy.1 的幂级数 内可以展开成 所以它在z z=,1,1)1 ln(是它的一个奇点 平面内是解析的向左沿负实轴剪开的 在从-+z44即 将展开式两端沿 l 逐项积分,得解,0 1 的曲线 到 内从 为收敛圆 设z z l453.4 3.4 解析延拓解析延拓解析延拓：将解析函数定义域加以扩大 例;幂级数：在以z=0为圆心的单位圆B内代表一个解析函数，令为级数的收敛域B即解析函数定义域半径R=1。在单位圆B内，取一点zz00=i/2i/2 为圆心进行将f1(z)泰勒展开这级数的收敛域b的半径为（一）解析延拓（一）解析延拓46 上例说明，收敛域b 跨出原来的收敛域B 之外，而级数(1)在收敛域B内.b 代表解析函数 f2(z)，于是称 f2(z)为 f1(z)在 b内的解析延拓。定义：若f1(z)和f2(z)分别在B,b内解析，且在B与b重叠的区域中有f1(z)=f2(z)，则称f2(z)为f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)为f2(z)在B中的解析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。B Bbb47 首先在B1 内任取一点 z0，将 f 1(z)在 z0 的邻域展开成泰勒级数 设级数的收敛区域为B2。如果B2超出了B1的范围。由于在B1和B2的重叠区域 f1(z)=f2(z)，所以 f2(z)就是 f1(z)在 B2中的解析延拓。这样不断作下去，得到一系列的解析Bn,fn(z)(n=2,3.)。一个解析元素Bn,fn(z)的全部解析延拓的集合，称为 f1(z)所产生的完全解析函数 F(z)，F(z)的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。(二)泰勒级数展开解析延拓的方法48 3.3(1)（3）(6）(8)493.5 洛朗级数展开(一一)问题的引入问题的引入50例1.都不解析,但在圆环域 及 内都是解析的.而1,1112+=-z z z zzkL L:1 0 内 在圆环域 z所以,12 1L L+=-kz z z z即内可以展开成幂级数.51 L L+-+-+-+-=kz z zz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(1 2 1L+-+-+-+-=-kz z z z 由此推想由此推想，若f(z)在R 2 z-z0R1 内解析,f(z)可以展开成含有负幂次项的级数,即内，在圆环域1 1 0-z52 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数数和计算留数的基础。53(二二)洛朗级数洛朗级数定理C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线.,)()(0kkkz z a z f-=-=内处处解析内处处解析，在环形域 设)(1 0 2R z z R z f-内可展开成洛朗级数 在那末那末B z f)(为洛朗系数.54证对于第一个积分(CR1):Bzz0.z.55对于第二个积分:所以 因为.z.56则57则 对于C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单kkkkkkz z a z z a-=-=-+-=)()(0100.)(0kkkz z a-=-=闭曲线.可用一个式子表示为:k ka a-与58说明:函数 在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.kkkz z a z f)()(0-=-=59(三三)函数的洛朗展开式函数的洛朗展开式常用方法:1.直接法 2.间接法 1.直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数),2,1,0(d)()(2110L=-=+kzfiaCkkzzz然后写出然后写出.)()(0kkkz z a z f-=-=根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.2.间接展开法60例2解 由定理知:,)(kkkz a z f-=而zzzd)()(2110+-=Ckkzfiazzzd213+=Ckei目标 目标求 求aakk 令f1=e,则f1=e在闭合回路C内和C上均解析，故由解析函数的导数公式 zzzd 2(k+1)!3+=Ck1eif(k+1)+=)!1(k+1)kfka1(0)即有 如何计算ak?.61间接法解：直接展开ezzzzd 213+=Ckkeia022)(dd)!2(1=+=zzkkez k)!2(1+=k-=+=2)!2()(kkkzz f故62例3 内是处处解析的,试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解:)2)(1(1)(在圆环域 函数-=z zz f,1 0)1内 在 z间接展开间接展开法法63oxy1=)(z f所以L L+=-nz z zz2111则,1z由于12z从而是泰勒级数641 2oxy由且仍有,2 1)2内 在 z652oxy由此时,2)3内 在 z)(z f于是66仍有,12 1 z z此时)(z f故注意:奇点但却不是函数 的奇点.本例中圆环域的中心 是各负幂项的67说明:1.函数在以 为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是 可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2.给定了函数与复平面内的一点 以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).68解：间接法 即通过展开sinz为级数求解：例4.0 sin 0洛朗级数的去心邻域内展开成 在 将函数=zzz693.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类定义：若函数f(z)在点z0处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域空心邻域 内解析，则称点z0为f(z)的孤立奇点。(一一)孤立奇点的概念孤立奇点的概念例1z=0是函数 的孤立奇点.是函数 的孤立奇点.注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.70例2 指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点是1/z=0和sin(1/z)=0对应的点，即总有不是孤立奇点.所以，因为01lim=p kk71 定义 设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，f(z)在点z0的某去心邻域 内的罗朗展式为(1)若展式中不含有不含有zz-zz00的负幂项的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点；(2)若展式中只含有只含有zz-zz00的有限的有限(mm)项负幂项项负幂项，则称z0是f(z)的极点，称m为极点z0的阶，按照m=1或m1，称z0是f(z)的单极点或m阶的极点；(3)若展式中含有含有zz-zz00的无穷多个负幂项的无穷多个负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。(二二)孤立奇点的分类孤立奇点的分类72其和函数 为在 解析的函数.说明:(1)(2)无论在 是否有定义,补充定义则函数 在 解析.1可去奇点如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点.1)定义,)(0的孤立奇点 若是z f z.)()()(0 0 1 0L L+-+-+=kkz z a z z a a z f,)(0 0a z f=0 00,)()(z z az z z Fz f73 2)可去奇点的判定(1)定义判断:的洛朗级数无负在 如果幂项则 为 的可去奇点.(2)极限判断 若极限存在且为有限值,则 为 的可去奇点.如果补充定义:时,那末 在 解析.例3 中不含负幂项,是 的可去奇点.74例4 说明为的可去奇点.解 由定义判断所以 为的可去奇点.无负幂项极限判断的可去奇点.为752.极点 其中关于 的最高幂为即级极点.那末孤立奇点 称为函数 的或写成1)定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的负幂项,10 120 2 0)()()()(-+-+-=z z a z z a z z a z fmmLL+-+)(0 1 0z z a a)0,1(-ma m76说明:1.2.特点:(1)(2)的极点,则为函数 如果例5 有理分式函数是二级极点,是一级极点.L+-+-+=+-+-20 2 0 1)()()(z z a z z a a z gm m m内是解析函数 在d-0z z772)极点的判定方法的负幂项为有 的洛朗展开式中含有 限项.在点 的某去心邻域内其中 在 的邻域内解析,且(1)定义判别(2)定义的等价形式判别(3)极限判断.78本性奇点 3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为 的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项 特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时 不存在.为本性奇点，所以0=z79(三三)函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态1.定义如果函数 在无穷远点 的去心邻域内解析,则称点 为 的孤立奇点.Rxyo80作变换 并且规定此变换将:映射为扩充 z 平面 扩充 t 平面映射为映射为映射为812 结论:在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为 在去心邻域 内是解析的,所以 是的孤立奇点.3 规定:m级奇点或本性奇点.的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果 t=0 是是 的可去奇点、那末就称点821)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且 为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是 的1)可去奇点;2)m 级极点;3)本性奇点.判别法1(利用洛朗级数的特点)4.判别方法:在内的洛朗级数中:如果83例6(1)函数 在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项所以 是的可去奇点.(2)函数 含有正幂项且 z 为最高正幂项,所以 是的一级极点.84(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是 的本性奇点.85判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.86例7 函数在扩充复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.解 函数 除点 外,所以这些点都是 的一级零点,内解析.在.,2,1,0 cos)(sin处均不为零 在 因L=p=pz z z（1）分析 的零点情况：（2）分析分子的零点情况；为一级零点，与 则1 1-为三级零点，则2先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域87然而那末 是 的可去奇点.因为的三级极点.（3）分析的极点情况：故在 这些点中除1,-1,2外,都是对于z=2，88不是 的孤立奇点.所以的孤立奇点，不是 故=zz10 f89 洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;答:是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题1.级数了 洛朗级数就退化为泰勒思考90思考题2答:91 3.5(1)（3）(5）(7)(9)3.6(1)（2）(3）92