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弯 曲 变 形第 六 章目录1第六章 弯曲变形6-1 概述6-2 挠曲线的近似微分方程6-3 用积分法求梁的变形6-4 用叠加法求梁的变形6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施6-6 用变形比较法解简单超静定梁目录目录26-1 概 述7-1目录3 桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。6-1 概 述46-1 概 述目录5 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。6-1 概 述6 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。76-1 概 述目录86-2 挠曲线的近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移向上为正转角：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正7-2目录92.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响6-2 挠曲线的近似微分方程目录10由数学知识可知：略去高阶小量，得所以6-2 挠曲线的近似微分方程目录11 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。6-2 挠曲线的近似微分方程目录126-3 用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录13 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件 弹簧变形6-3 用积分法求梁的变形目录14例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF6-3 用积分法求梁的变形目录154）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF6-3 用积分法求梁的变形目录16 例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。17解：由边界条件：得：18梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：19例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC 段：CB 段：6-3 用积分法求梁的变形目录203）列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：CB 段：6-3 用积分法求梁的变形目录214）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件6-3 用积分法求梁的变形目录225）确定转角方程和挠度方程AC 段：CB 段：6-3 用积分法求梁的变形目录236）确定最大转角和最大挠度令 得，令 得，6-3 用积分法求梁的变形目录24讨 论积分法求变形有什么优缺点？6-3 用积分法求梁的变形目录256-4 用叠加法求梁的变形 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4目录26故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。6-4 用叠加法求梁的变形目录27例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解6-4 用叠加法求梁的变形目录28yC1yC2yC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 6-4 用叠加法求梁的变形目录29例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解 解6-4 用叠加法求梁的变形目录303）将结果叠加 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。6-4 用叠加法求梁的变形目录31结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明=+P L1L2A B CBCP L2y1y2等价等价fP L1L2A B C刚化AC段P L1L2A B C刚化BC段PL1L2A B C M32讨 论叠加法求变形有什么优缺点？6-4 用叠加法求梁的变形目录336-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件 建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：7-5目录34 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：解6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录例5 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角=0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。35例6 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角=0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录36PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1kNA B D CP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM37P2BCa=+图1图2图3解：结构变换，查表求简单 载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNA B D CP2BCDAMxy38P2BCa=+图1图2图3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNA B D CP2BCDAMxf 叠加求复杂载荷下的变形39 校核刚度40调整跨长和改变结构6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.提高梁刚度的措施416-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1）选择合理的截面形状目录增大梁的弯曲刚度 EI:主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱形等。422）改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录432）改善结构形式，减少弯矩数值改变载荷类型6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录44ABqlqlABqAB6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2）改善结构形式，减少弯矩数值453）采用超静定结构6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录463）采用超静定结构6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施目录476-6 用变形比较法解简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录48解例6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统6-6 用变形比较法解简单超静定梁目录3）进行变形比较，列出变形协调条件494）由物理关系，列出补充方程 所以4）由整体平衡条件求其他约束反力 6-6 用变形比较法解简单超静定梁目录50例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBM MA AF FA AyB 1 FBM MC CF FC CyB 2物理关系解6-6 用变形比较法解简单超静定梁51FB FBM MA AF FA AM MC CF FC CyB 1yB 2代入得补充方程：确定A 端约束力6-6 用变形比较法解简单超静定梁52FB FBM MA AF FA AM MC CF FC CyB 1yB 2确定B 端约束力6-6 用变形比较法解简单超静定梁53M MA AF FA AM MC CF FC CA、B 端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图6-6 用变形比较法解简单超静定梁54小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、学会用变形比较法解简单超静定问题55 例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲线在 处出现一拐点，则比值为多少？56解：由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：57 例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，梁的最大挠度是梁的多少倍？58 例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？59例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。60解：61 例：若图示梁B端的转角B=0，则力偶矩等于多少？62解：63例：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、vD。64解：65例：求图示梁B、D两处的挠度 vB、vD。66解：67例：求图示梁C点的挠度 vC。68解：69 例：用叠加法求图示变截面梁B、C 截面的挠度 vB、vC。70解：71例：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。72解：73 例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角B（为弹簧系数）。74解：弹簧缩短量75 例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。76 例：图示梁处为弹性支座，弹簧刚度。求C端挠度vC。77解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为78例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。79解：80 例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，v=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。81解：由刚度条件82一、静不定梁的基本概念 83用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。84例：求图示静不定梁的支反力。85 解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：86 另解：将支座A对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：87 例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求(1)二梁接触处的压力；(2)加固前后AB梁最大弯矩的比值；(3)加固前后B点挠度的比值。88解：(1)变形协调条件为：(2)89
