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人教版高中数学必 修4、5课后习题答案，精品系列课后习题答案详解人教版，高中数学，必修4第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念练 习(P 77)1、略.2、，.这两个向量的长度相等，但它们不等.3、，.4、(1)它们的终点相同；(2)它们的终点不同.习题2.1 A 组(P 77)1、(2).3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：.4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：5、.6、(1)X；(2)J；(3)J；(4)X.习题2.1 B 组(P 78)1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对.模为1 的向量有1 8 对.其中与同向的共有6对，与反向的也有6 对；与同向的共有3 对，与反向的也有6 对；模为的向量共有4 对；模为2 的向量有2 对2.2 平面向量的线性运算练 习(P 8 4)1、图略.2、图略.3、(1)；(2).4、(1)；(2)；(3)；(4).练 习(P 8 7)1、图略.2、，.3、图略.练 习(P 9 0)1、图略.2、，.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案.值得注意的是与反向.3、(1)；(2)；(3)；(4).4、(1)共线；(2)共线.5、(1)；(2)；(3).6、图略.习题2.2 A组(P 9 1)1、(1)向东走20 k m；(2)向东走5 k m；(3)向东北走k m；(4)向西南走k m；(5)向西北走k m；(6)向东南走k m.2、飞机飞行的路程为70 0 k m；两次位移的合成是向北偏西53方向飞行50 0 k m.3、解：如右图所示：表示船速，表示河水的流速，以、为邻边作口，则表示船实际航行的速度.在 R Q A B C 中，所以因为，由计算器得所以，实际航行的速度是，船航行的方向与河岸的夹角约为76 .4、(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).5、略6、不一定构成三角形.说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、(1)略；(2)当时，9、(1)；(2)；(3)；(4).1 0、，.1 1、如图所示，1 2、，1 3、证明：在中，分别是的中点，所以且，即；同理，所以.习题2.2 B 组(P 9 2)1、丙地在甲地的北偏东45方向，距甲地1 40 0 k m.2、不一定相等，可以验证在不共线时它们不相等.3、证明：因为，而，所以.4、(1)四边形为平行四边形，证略(2)四边形为梯形.证明：，.,.且.四边形为梯形.(3)四边形为菱形.证明：，.,.且.四边形为平行四边形又.四边形为菱形.5、(1)通过作图可以发现四边形为平行四边形.证明：因为，而所以所以，即.因此，四边形为平行四边形.2.3 平面向量的基本定理及坐标表示练 习(P 1 0 0)1、(1),；(2),；(3),；(4),.2、，.3、(1),；(2),；(3),；(4),4、/.证明：，所以.所以.5、(1)；(2)；(3).6、或7、解：设，由点在线段的延长线上，且，得 所以点的坐标为.习题2.3 A 组(P 1 0 1)1、(1)；(2)；(3).说明：解题时可设，利用向量坐标的定义解题.2、3、解法一：，而，.所以点的坐标为.解 法 二:设，则，由可得，解得点的坐标为.4、解：，.，,所以，点的坐标为；,所以，点的坐标为；,所以，点的坐标为.5、由向量共线得，所以，解得.6、，所以与共线.7、，所以点的坐标为；,所以点的坐标为；故习题2.3 B 组(P 1 0 1)1、，.当时，所以；当时，所以；当时，所以；当时，所以.2、(1)因为，所以，所以、三点共线；(2)因为，所以，所以、三点共线；(3)因为，所以，所以、三点共线.3、证明：假设，则由，得.所以是共线向量，与已知是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，.同理.综上.4、(1).(2)对于任意向量，都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2.4 平面向量的数量积练 习(P106)1、.2、当时，为钝角三角形；当 时 一，为直角三角形.3、投影分别为，0,图略练 习(P107)1、，2、，,3、，.习题 2.4 A 组(P108)1、，2、与的夹角为120。，.3、，,4、证法一：设与的夹角为.(1)当时，等式显然成立；(2)当时，与，与的夹角都为，所以所 以；(3)当 时 一，与，与的夹角都为,贝U所 以；综上所述，等式成立.证法二：设，那么所 以；5、(1)直角三角形，为直角.证明：，*为直角，为直角三角形(2)直角三角形，为直角证明：,*为直角，为直角三角形(3)直角三角形，为直角证明：，*为直角，为直角三角形6、.7、.,于是可得,所以.8、，,9、证明：，,.为顶点的四边形是矩形.10、解:设，则,解 得，或.于是或.11、解：设与垂直的单位向量，则,解得或.于是或.习题 2.4 B 组(P108)1、证法一：证法二：设，.先证由得，即而，所以再证由 得，即，因此2、.3、证明：构造向量，.,所以*4、的值只与弦的长有关，与圆的半径无关.证明：取的中点，连接，则，又，而所以5、(1)勾股定理：中，则证明：*由，有，于是*(2)菱形中，求证：证明：，*.四边形为菱形，.，所以所以(3)长方形中，求证：证明：四边形为长方形，所以，所以，所以，所以（4）正方形的对角线垂直平分.综合以上（2）（3）的证明即可.2.5 平面向量应用举例习题2.5 A 组（P 1 1 3）1、解：设，则，由得，即代入直线的方程得.所以，点的轨迹方程为.2、解：（1）易知，s,所以.（2）因为所以，因此三点共线，而且同理可知：，所以3、解：（1）；（2）在方向上的投影为.4、解：设，的合力为，与的夹角为，则，；，与的夹角为15 0 .习题2.5 B 组（P113）1、解：设在水平方向的速度大小为，竖直方向的速度的大小为,贝 I，.设在时刻时的上升高度为，抛掷距离为，则所以，最大高度为，最大投掷距离为.2、解：设与的夹角为，合速度为，与的夹角为，行驶距离为.则 A.所以当，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、(1)解:设，则.将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到,于是所以，解得(2)解：设曲线上任一点的坐标为，绕逆时针旋转后，点的坐标为则,即又因为，所以，化简得第二章 复习参考题A组(P118)1、(1)V；(2)V；(3)X；(4)X.2、(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).3、，4、略解:5、(1),；(2),；(3).6、与共线.证 明：因为，所以.所以与共线.7、.8、.9、.10、11、证明：，所以.12、.13、，.14、第二章 复 习 参 考 题B组(P119)1、(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).2、证明：先证.，因为，所以，于是.再证.由于，由可得，于是所以.【几何意义是矩形的两条对角线相等】3、证明：先证又，所 以，所以再证.由得，即所以【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所4、，而，所以5、证明：如图所示，由于，所以，所以所以，同理可得所以，同理可得，所以为正三角形.6、连接.由对称性可知，是的中位线，.7、(1)实际前进速度大小为(千米/时)，沿与水流方向成6 0 的方向前进；(2)实际前进速度大小为千米/时，沿与水流方向成的方向前进.8、解：因为，所以，所以同理，所以点是的垂心.9、(1)；(2)垂直；(3)当时，；当时，夹角的余弦；(4)第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练 习(P127)1、.2、解：由，得；所以.3、解：由，是第二象限角，得；所以.4、解：由，得；又由，得.所以.练 习(P131)1、(1)；(2)；(3)；(4).2、解：由，得；所以.3、解：由，是第三象限角，得；所以.4、解：.5、(1)1；(2)；(3)1；(4)；(5)原式=；(6)原式=.6、(1)原式=；(2)原式=；(3)原式=；(4)原式=.7、解：由已知得，即，所以.又是第三象限角，于是.因此.练 习(P135)1、解：因为，所以又由，得，所以2、解：由，得，所以所以3、解：由且可得，又由，得，所以.4、解：由，得.所 以，所以5、(1)；(2)；(3)原式=；(4)原式三习题 3.1 A 组(P137)1、(1)；(2)；(3)；(4).2、解：由，得，所以.3、解：由，得，又由，得，所以.4、解：由，是锐角，得因为是锐角，所以，又因为，所以所以5、解：由，得又由，得所以6、(1)；(2)；(3).7、解：由，得.又由，是第三象限角，得.所以8、解：.且为的内角*，当时，,不合题意，舍去9、解：由，得.10、解：.是的两个实数根.11、解：*12、解：*/*人v ,13、(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10).14、解：由，得 *15、解:由，得16、解：设，且，所以.17、解：，.18、解：，即又，所以19、(1)；(2)；(3)；(4).习题 3.1 B 组(P138)1、略.2、解：二是的方程，即的两个实根*由于，所以.3、反应一般的规律的等式是(表述形式不唯一)(证明略)本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是:,其中，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳.对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提W j.4、因为，则即所以3.2 简单的三角恒等变换练 习(P142)1、略.2、略.3、略.4、(1).最小正周期为，递增区间为，最大值为；(2).最小正周期为，递增区间为，最大值为3；(3).最小正周期为，递增区间为，最大值为2.习题 3.2 A 组(P143)1、(1)略；(2)提示：左式通分后分子分母同乘以2；(3)略;(4)提示：用代替1,用代替；(5)略；(6)提示：用代替；(7)提示：用代替，用代替；(8)略.2、由已知可有.，.(1)义3 一义2 可得(2)把(1)所得的两边同除以得注意：这里隐含与、之中3、由已知可解得.于是4、由已知可解得，于是.5、，最小正周期是，递减区间为.习题 3.2 B 组（P 1 4 3）1、略.2、由于，所以即，得3、设存在锐角使，所以，又，又因为，所以由此可解得，所以.经检验，是符合题意的两锐角.4、线段的中点的坐标为.过作垂直于轴，交轴于,在中，.在中，于 是 有，5、当时，；当时，,此时有；当时,此时有;由此猜想，当时，6、(1),其中所以，的最大值为5,最小值为-5；(2),其中所以，的最大值为，最小值为；第三章 复习参考题A 组(P 1 4 6)1、.提示：2 .提示：3、1.4、(1)提示：把公式变形；(2)；(3)2；(4).提不：利 用(1)的怛等式.5、(1)原式=；(2)原式=一 5(3)原式=一;(4)原式=6、(1)；(2)；(3).提示:；(4).7、由已知可求得，于是.8、(1)左边二=右边(2)左边=右边(3)左边=右边(4)左边=右边9、(1)递减区间为(2)最大值为，最小值为.1 0、(1)最小正周期是；(2)由得，所以当，即时，的最小值为.取最小值时的集合为.1 1、(1)最小正周期是，最大值为；(2)在上的图象如右图：1 2、.(1)由得；(2).1 3、如图，设，则,所以，当，即 时 一，的最小值为.第三章 复习参考题B组(P147)1、解法一：由，及，可解得,所以，解法二：由 得，所以.又由，得.因为，所以.而当时，；当时，.所以，即所以，.2、把两边分别平方得把两边分别平方得把所得两式相加，得，即，所以3、由 可 得，.又，所以，于是.所以4、由得，又，所以，所以，,所以，5、把已知代入，得.变形得，本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含的三角函数.考虑，这两者又有什么关系？及得上解法.5、6 两题上述解法称为消去法6、.由 得，于是有.解得.的最小值为，此时的取值集合由，求得为7、设，则，于是又的周长为2,即，变形可得于是.又，所以，.8、(1)由，可得解得或(由，舍去)所以，于是(2)根 据 所 给 条 件，可 求 得 仅 由 表 示 的 三 角 函 数 式 的 值,例 如，等等.人教版高中数学必修5课后习题答案，高分必备第 一 章 解 三 角 形1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练 习(P 4)1,(1)a 1 4 ,Z 1 9 ,B=1 0 5 ；(2)a 1 8 c m,1 5 c m,C =75 .2、(1)A =6 5。，C=8 5。，c a 2 2；或 A =1 1 5。，C*3 5。，“1 3；(2)BB41。，A =2 4。，”2 4.练 习(P 8)1、(1)A 3 9.6,B 5 8.2(c 4.2 c m ；(2)B 5 5.8 ,C 8 1.9 ,a 1 0.5 c m.2、(1),4 4 3.5 ,B 1 0 0.3 ,C 3 6.2 ；(2)A a 2 4.7 ,B a 4 4.9 ,C。1 1 0.4 .习题1.1 A组(P I O)1、(1)2、(1)(2)(3)3、(1)(3)4、(1)a x 3 8cm,b 3 9cm,B 8 0 ；(2 )a 3 8cm,b 5 6cm,C=9 0 A 1 1 4,B 4 3 ,a 3 5 c m;A 2 0 ,B 1 3 7,a 13 cmB=3 5 ,C x 8 5 ,c =lcm；A x 9 7 ,8 =5 8 ,a 4 7cm;A 3 3 ,8 a 1 2 2 ,a 2 6cm；A x 4 9 ,B x 2 4 ,c 62 cm；B 3 6 ,C3 8 ,a p 6 2。根；A 3 6o,B 4 0,C 1 0 4o；(2)A “5 9 ,C a 5 5/a 6 2 c m ；(2)A 8 ,3 y9 3 ,C a3 9；习题1.1 A组(P I O)1、证明：如 图1,设A A B C的外接圆的半径是R,当A A 8 C时直角三角形时，N C =9 0。时，A A B C的外接圆的圆心。在E f A A B C的斜边45上.在R/A 4 B C 中，=s in X,=s in BABAB艮|J =s in A,=s in B2 R2 R所以。=2 7?s in A,b=2 7?s in B又 c =2 R =2 R s in 9 0 0 =2/?s in C所以。=2 7?s in A,b=2 7?s in B,c=2 7?s in C当A A B C时锐角三角形时，它的外接圆的圆心。在三角形内作过0、2 的直径A 0,连接AC,(图 2),AAO.则 直角三角形，ZCB=90,ZBAC=ZBAiC.在 RfAABC 中，=sin ZBA.C,4 B即上-=sin Z.BA.C=sin A,2R*所以a=2/?sin A,同理：b=2/?sin B,c=2/?sin C当AA8C时钝角三角形时，不妨假设乙4为钝角,它的外接圆的圆心。在AABC外（图 3）作过。、B的直径A B,连接AC.（第1题图3）则 M 3C 直角三角形，且乙41c3=90。，ABC=-ABAC在 RfAA18c 中，8 c =2RsinNBAC,B|J a=2/?sin(l 80-ZBAC)即a=2RsinA同理：b=2RsinB,c=2RsinC综上，对任意三角形”3 C,如果它的外接圆半径等于R,则 a=27?sin A,b=27?sin B,c=2/?sin C2、因为acosA=6cos8,所以 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin IB因为 02A,282 万，所以 2A=2 5,或 2A=打一2 8,或 2A 万=2 万一 2 8.即 A=3 或 A+B=2.2所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到sin2A=sin2B后，也可以化为sin2A-sin2B=0所以 cos(A+B)sin(A-3)=0A+B -,或 A-B=02即A+3=2,或人=8,得到问题的结论.21.2应用举例练 习（P13）1、在 AABS 中,=32.2x0.5=16.1 n mile,NABS=115,根据正弦定理,AS ABsin ZABS-sin(65-20)得 AS=-=AB x sin ZABS x 亚=16.1*sin 115x 0sin(65-20)，S 到直线 AB的距离是4=45*1120。=16.以411115*5/20。7.06(c m).，这艘船可以继续沿正北方向航行.2、顶杆约长1.89 m.练 习(P15)1、在 A4BP 中，ZABP=Q-Y+(3,ZBPA=180-(-/7)-ZABP=180-(z-/7)-(180o-/+/?)=/-a在AABP中,根据正弦定理，ABsinZABP sin ZAPBAP asin(l 80-/+/?)sin(7-a)廿二 a x s in(L)sin。-a)所以，山高为二APsina=ncsin(y 0sin(7-a)2、在 AA3C 中，AC=65.3m,ABAC=a-P =2525r-1738r=747rZABC=90。a=90-25。25=64。35根据正弦定理,ACsin ZABCBCsin ZBACBC=-A-O-s-i-n-T-B-A-=C-6-5-.-3-i-r-i 79f.4.(msi 叱ABC si if 6 4 35井架的高约9.8m.3、山的高度为200 xsin38osin29sin 9382m练 习(P16)1、约 63.77.练 习(P18)1、(1)约 168.52cm。(2)约 121.75cm。(3)约425.39cm-2、约 4476.40 n?3、右边=bcosC+ccosB=bx 1+cx a +c 2ab lac=叱c J J 吗 左边【类似可以证明另外两个等式】习题L2 A组(P19)1、在 AA3C 中，BC=35x0.5=17.5 n mile,ZABC=148-126=22ZACB=78-KI 801-1 48 并，ZBAC=180-110-22=48根据正弦定理,ACsin ZABCBCsin ZBAC1 CgOsio A B C-si 叱84c-3 2抬n mile货轮到达C 点时与灯塔的距离是约8.82 n mile.2、70 n mile.3、在 ABC。中，ZBCD=300+10=40,ZBDC=180-ZADB=180-45-10-125CD=30 x-=10 n mile3CD根据正弦定理,BDsin ZCBD sin ZBCD_ 10_ BDsin Z(180-40-125)-sin 40nc 1 O 4 0 4 0 s in 5.AB=-=-1.c n miles i n 1 1 0 s FH 1 5 s i n 7 0如果一切正常，此船从C 开始到B所需要的时间为：c 八 AD+AB/八 1 八 八 6.84+21.65/八 c,c c 20+-x60+10 30+-x6086.98 min3030即约1 小时26分 59秒.所以此船约在11时 27分到达6 岛.4、约 5821.71 m5、在 AAfiD中，AB=700 km,ZACB=180-21-35=124根据正弦定理，一ACBCsin 124 sin 35 sin2170&s irf：700 xsin21s i n 1 2 4 sin 124ACF B G=-s-i-n-0-3 5 00 oH-5 8 6.8 9s i n 1 24sift 1 24即 上 sin 1 1 0所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m,飞机离8 处探照灯的距离是4704.21 m,飞机的高度是约4574.23 m.7、飞机在150秒内飞行的距离是4=1000 xl000 x1 m3600 x根据正弦定理,sin(81-18.5)sin 18.5这里x 是飞机看到山顶的俯角为81。时飞机与山顶的距离.飞机与山顶的海拔的差是：xx tan81。=*二18.5。、tan81。a 14721.64 msin(81-18.5)山顶的海拔是 20250-14721.64 5528 m8、在 中，/AT8=21.4。-18.6。=2.8。，ZABT=90+18.6,AB=15m根据正弦定理，*sin 2.8 cos 18.6AT 日 口 _ _ 15 x cos 18.6-，B|J AT=-sin 2.8塔的高度为 ATxsin21.4=x c o s,xsin21.4sin 2.8八AL 326x18 _ o.9、AE=-=97.8 km60在ZUCO中，根据余弦定理:AC=lAD1+Cb2-2xADxCDxcos66o（第9题）=7572+1102-2 x 57x1 lOxcos 66=101.235根据正弦定理,ADACsin ZACD sin ZADCsi uM CD=ACNA C 0=3 0.9A Z siiZ A D C 5x7 si%6 乞-x 0.51 0 1.2 3 5N A C 8V 3 3 0-3 0.9七=1 0在 AABC 中，根据余弦定理：AB=y/AC2+BC2-2xACxBCxcosZACB=/101.2352+2042-2 x 101.235 x 204 x cos 102.040 工 245.93c o A C =一 +2 叱250匕攵3?.1200&2xABxACNB4c=54.21 2x 2 4 5 x93 10 1.2 3 5在 AACE 中，根据余弦定理：C E ylA C2+AE2-2 x ACxAExcosZEAC=V101.2352+97.82-2x101.235x97.8x0.5487 90.75A+E d-A e 9 7.肝 9 0.胃 5 1 0 H X3 5,c o SLAEC=-P-=0.4.2xAExEC 2x 97x8 9 0.7 5NAEC=64.82。1 SQ-ZAEC-(184)。丰5 7-7 5 =64.82AC=IBC?+6 一 2 x M 8C cos 3954J(6400+35800)2+64002-2 x(6400+35800)x 6400 x cos 39054,=,4220()2+64c o2 一 2*42200 x 6400 x cos3954=37515.44 kmAg+A 台 6 4 0 0 F 3 7 5 1 5-：4 4 42 0r0nN B A C=-0.6 92x A B x A C 2x 6 480 3 7 5 1 5.4 4Z B A C i 3 3.8,Z B A C-9(J 4 3%所以,1 1、(1)仰角为4 3.8 2。1 1 9S =Q c s i n 3 =-x 28 x 33 x s i n 4 5 326.68 c m(2)根据正弦定理:-=-，cs i n A s i n Ca x s i n C=-x s i n 66.5 s i n A s i n 32.8 S =-a c s i n g=-x 362 x-m 6 6 5(3)约为 1 5 9 7.9 42c m21 2、-n/?2s i n.1 3、根据余弦定理：c o s g/+c 22 a c所以琢=01)2+C2-2X|XCXCOSB2 2 i/、2 2+c -b=()+c -ax c x-22 a c2+4 c 乙2（。一2。月 区X s i n(32.8 +66.5)。1 0 8 2.5 8 c m2s i n 32.8 2222n所以ma 1 2(从+。2)一02,同 理/=yj 2(c2+a2)-b2,mc=2(a2+/72)-c21 4、根据余弦定理的推论，c os A =h2+c22 bca2 n c2+a2-h2,c os B =2 ca所以，左边=c(ac os B-bc os A)=c(一 b-a=c(a x-b x-)2 ca 2 bc+a -b b-Fc-%、1 .2 c，2、-y 4,)二一(2/-2/)=右边2习题L 2 B 组（P 20）J所以=竺21、根据正弦定理：s i n A s i n Bs i n A代入三角形面积公式得S =L 6 sin C=L x丝 咙2、（1）根据余弦定理的推论：c os C =2 si n A2 a b.-1 2 s i nBs i nCx s i n C=-2 si n A由同角三角函数之间的关系，s i nC =7 1-c os2 C=.1-（2 a h2-)22代入S=sin C,得2=如 力 帅 a+E-z=J(2/?+1 +3 分(2 a b 2 a 2匕+4=J(a+b+)(a+b-)?(d-(1)B 21 0 9/,C 38 0 5 r,c 8.69 c m ；(2)B 4 1o4 9,C=1 0 8 0 l l,c 1 1.4 c m ；1 38 0 1 V,C 1 1 4 9；c 2.4 6 c m(3)A1 1 2；B 38 5 8；c 28.0 2 c m ；(4)B 20o30;C 1 4 0 30；22.9 2 c m ；(5)A 1 6o20；C 1 1 040,b 5 3.4 1 c m ；(6)A =28 5 7 ,8 =4 634 ,C =1 0 4 29 ；2、解 法1：设海轮在8处望见小岛在北偏东75。，在C处望见小岛在北偏东60。,从小岛A向海轮的航线8。作垂线，垂线段AD的长度为x n m i l e,CO为y n m i l e.（第2题）Y-=t a n 30X则 y a一yt a n 30 .4%0X,f%,t a n 30 t a n 15-=t a n 15-=y +8 y +8t a n 15 ，8 t a n 15 t a n 30 ，x =-=4t a n 30-t a n 15 所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.3、根据余弦定理：AB2=a2-b2-2abcosa所以 AB=lcr-b1 2abcosa片+A 4 bc o B=-2xax A Ba2+a 2+b-2 a bcosa -b2 xa xy/a2-b2-2 a bcosa_ a-hcosay/a2+b2-2 a bcosa从N B的余弦值可以确定它的大小.类似地，可以得到下面的值，从而确定N A的大小.8sA =b-a cosaxla2+6 一 2 cos a4、如图，C。是两个观测点，。到。的距离是d,航船在时刻乙在A处，以从A到8的航向航行，在止匕时测出NAC。和NCD4.在时刻勺 航船航行到5处，此时，测出和N8C，根据正弦定理，在A8CO中，可以计算出6 c的长，在A4CO中，可以计算出4。的长.在M C B中，A C、B C已经算出，Z AC B=Z A C D-Z B C D,WA4D求出AB的长，即航船航行的距离，算出N C 4 8,这样就可以算出航船的航向和速度.5、河流宽度是如曳sinasin p6 47.7 m.7、如图，A 3是已知的两个小岛，航船在时刻4在C处，以从C到。的航向航行，测出/A C。和4 C”在时刻与,航船航行到。处，根据时间和航船的速度，可以计算出C到。的距离是d,在。处测出NCC8和N C D4.根据正弦定理，在ABC。中，可以计算出8。的长，在AACO中，可以计算出4)的长.在钻。中，A D、3。已经算出，NAD B=NC D B NC D A,根据余弦定理，就可以求出AB的长，即两个海岛A 8的距离.第一章 复习参考题B组(P25).81、如图，4 8是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点E 4处，测出图中N4E尸，447芯的大小，以及历的距离.利用正弦定理，解A 4 F,算出A E.在中，测出/3所 和4庄，利用正弦定理，算出8 E.在AXE S中，测出/4 B,利用余弦定理，算出回的长.本题有其他的测量方法.4 2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：E(1)已知一边和这边上的高：S =；a h,S =S =；(第 百 (2)已知两边及其夹角：S=a/sinC,5=&csinA,S=csinB；2 2 2(3)已知三边：S =4 p(p-a)(p-b)(p-c),这里 p=；(z .4 x )n已左知口两而角右及立两而角缶的的4共4-同口边41：5c =-b-2-s-i-n-C-s-i-n-A ,5_ =-c-2-s-i-n-A-s-i-n-B ,5_ =-a-2-s-i-n-B-s-i-n-C2si n(C +A)2si n(A +B)2si n(B +C)(5)已知三边和外接圆半径R：S =.4 R3、设 三 角 形 三 边 长 分 别 是 几-+1 ,三个角分别是a,3 a,2 a.由正弦定理，所以c o sa =仁匚.si n a si n 2a 2(-1)由余弦定理，(72 l)2=5+1)2+/_ 2x(+l)x x c o s二./7-4-1 ,“E R (-1尸=(+l)2+n2-2x(n +l)x/t x-,化 简,得？一5九=02(-1)所以，=0或=5.=0不合题意，舍去.故=5所以，三角形的三边分别是4,5,6.可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.(1)三边的长不可能是1,2,3.这是因为1 +2=3,而三角形任何两边之和大于第三边.(2)如果三边分别是a =2,=3,c =4.因 为C O S+X2 bc32+42-22 _ 72x 3x 4 -87 17c o s2A =2c o s2 A =2x()2-1=8 322 a b2 2?34 22 2 3在此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是COS2AHCOSC,所以2A HC,边长为2,3,4的三角形不满足条件.(3)如果三边分别是。=3力=4,c =5,此三角形是直角三角形，最大角是90。，最小角不等于4 5。.此三角形不满足条件.(4)如果三边分别是a =4,b =5,c =6.此时,c o s A =f2 o 2b+cr cr2 bL5 2+6 2-4 22x 5x 63493 7 1COS2A=2COS2/1-1=2X(-)2-1=-4 8u /+后,2 4 5 2 6 2la b 2x 4 5此时，c o s 24 =c o s C,而 0 4,三角形的三边是。=,6=+1,(?=+2 1 1寸,三角形的最小角是A,最大角是C.,b1+c2-a:c o*=-2 hc_ (+廿+妤 拈2 加+2)/+6 +52(+1)(+2)n +52 S+2_ j _ 3 2 2 5 +2)C。6上I2 a b_ n2+(/M-1 件 22 3+1 )n 2 32(+1)n-3二 T 2 2nc o s A随的增大而减小，A随之增大，c o s C随 的增大而增大，C随之变小.由于 =4时有C =2 A,所以，4,不可能C =24.综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.第二章数列2.1数列的概念与简单表示法说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.练 习（P3 1）1、n12 5 12 nan2133 69 153 3(3 +4 )2、前5项分别是：1(=2m,m N),3、例 1 (1)a =v ；(2)a =v (n=2 m-T,m N)Ji2(/7=2?,7 7 7 G N )4、七（团；空V营 习题2.1 A组(P3 3)1、(1)2,3,5,7,11,13,17,19；(2)2,疝20,3,加2亚 至，后,4,3五；(3)1,1.7,1.73,1.73 2,1.73 2050；2,1.8,1,74,1,73 3,-,1.73 2051.2、1,-,-,；(2)2,-5,10,-17,26.4 9 16 253、(1)(1),-4,9,(-16),25,(-3 6),4 9；%=(I)”/；(2)1,我，(G),2,V5,(76),币;%=.1 1 4 14、(1)-,3,13,53,213；(2)一 一,5,-,一 一,5.2 4 5 45、对应的答案分别是：(1)16,21；%=5 4；(2)10,13；=3/1-2；(3)24,3 5；%=1+2.6、15,21,28；习题2.1 B组（P3 4）1、前 5 项是 1,9,73,58 5,4 68 1.该数列的递推公式是：=l +8 a“，4=l.通项公式是：%=一.2、a,=10 x(1+0.72%)=10.072；生=10 x(l +0.72%=10.14 4 518 ；4 =1 Ox (1+0%了 2 3 10.：；%=1 0 x(l+0%7：3、1,2,3,5,8；(2)2,-,-,-,.2 3 5 82.2 等差数列练 习(P3 9)1、表格第一行依次应填：0.5,15.5,3.75；表格第二行依次应填：15,-11,-24.2、an=15+2(n 1)=2n +13 ,4 0=3 3.3、cn 4、(1)是，首项是a,“+|=4+?”，公差不变，仍为d ;(2)是，首项是4,公差2d；(3)仍然是等差数列；首项是%=4+6 ；公差为7d.5、(1)因为%-%=/一%，所以2a 5=4+的.同理有2%=4+%也成立；(2)2a,=an_t+an+(n 1)成立；2 an=an_k+an+kn k0)也成立.习题2.2 A 组(P4 0)1、(1)an=29；(2)n =IO；(3)d =3；(4)a,=1().2、略.3、60.4、2；-H；-3 7 .5、(1)s=9.8 f；(2)58 8 c m,5 s.习题2.2 B 组(P4 0)1、(1)从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000,=2 123、元素个数是3 0,元素和为900.习题2.3 A 组(P4 6)1、(1)(+1)；(2)/；(3)18 0 个，和为 98 550；(4 )900 个，和为 4 94 550.2、(1)将 q=20,4=54,=999代入=,并解得 =2 7；17将q=20,4 =54,=27代入%=4+(-1)4 ,并解得d =管.(2)将4 =3，=3 7,5.=629代入q=4+(-1)4,S,=包；4),=4 +12得3 7(4+“)_ Q；解这个方程组，得4 =11,4 =23.2(3)将 q =2,d =-,S =一5 代入 S =叼d,并解得 =15；6 6 25 1 3将 q =,d =,n =15 代入 a a =4 +(n-l)d,得见=.6 6 2(4)将d =2,=15,q=一10代 入=q+(-l)d ,并解得q=-3 8；将 a,=一 3 8,4,=-1 (),=15 代入 S =(&；&),得 S,=-3 60.3、4.55x l 04m.4、4.5、这些数的通项公式：7 5-D +2,项数是14,和为665.6、14 72.习题2.3 B 组(P4 6)1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的.代 入等差数列前“项和公式，求 出 5 年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即 可.答 案：2 92 元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐.现提供2个证明方法供参考.(I)由$6=6 4+1 5。，S1 2=1 2 ,+6 6 J,S 8=1 84+1 5 3 4可得 S 6 +(品-、2)=2(SLS6).(2 )S|2=(6 f 1 +4|2)(4 +生 +6)=%+4 +cz1=(4 +6 d)+6/H +&+=(q +%+也3-8 6.=$6+3 6 4同样可得：5l g-Sl 2=S6+7 2 J,0 l f cS6+(Sl(i-S1 2)=2(51 2-56).3、(1)首先求出最后一辆车出发的时间4时 2 0 分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了 1 小时4 0 分.(2)先求出1 5 辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递