实对称矩阵的标准形(完整版)实用资料.doc

实对称矩阵的标准形（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）§6 实对称矩阵的标准形由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵使成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成对角形.引理1 设是实对称矩阵，则的特征值皆为实数.对应于实对称矩阵，在维欧氏空间上定义一个线性变换A如下：A. (1)显然A在标准正交基 (2)下的矩阵就是.引理2 设是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意，有(A,)=(,A), (3)或定义12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换.容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.引理3 设A是对称变换，是A-子空间，则也是A-子空间.引理4 设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的特征向量必正交.定理7 对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使成对角形.下面来看看在给定了一个实对称矩阵之后，按什么办法求正交矩阵使成对角形.在定理的证明中看到，矩阵按(1)式在中定义了一个线性变换.求正交矩阵的问题就相当于在中求一组由的特征向量构成的标准正交基.事实上，设是的一组标准正交基，它们都是的特征向量.显然，由到的过渡矩阵就是是一个正交矩阵，而就是对角形.根据上面的讨论，正交矩阵的求法可以按以下步骤进行：1. 求出的特征值.设是的全部不同的特征值.2. 对于每个，解齐次方程组求出一个基础解系，这就是的特征子空间的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出的一组标准正交基.3. 因为两两不同，所以根据这一节引理4，向量组还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成的一组标准正交基，并且也都是的特征向量.这样，正交矩阵也就求出了.例 已知求一正交矩阵使成对角形.应该指出，在定理7中，对于正交矩阵我们还可以进一步要求事实上，如果求得的正交矩阵的行列式为-1，那么取那么是正交矩阵，而且显然.如果线性替换的矩阵是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.用二次型的语言，定理7可以叙述为：定理8 任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换变成平方和,其中平方项的系数就是矩阵的特征多项式全部的根.最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是 (5)令则(5)可以写成 (6)经过转轴，坐标变换公式为或者其中为正交变换且，在新坐标系中，曲面的方程就是根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵使这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为其中这时，再按照是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当全不为零时，就作移轴于是曲面的方程化为其中 .矩阵求逆标准算法（VB）源码2006-11-29 13:49 类别：默认本程序依据矩阵初等变换的基本原理编写，算法较为繁琐，但易于理解适合VB初学者。本程序适合任何（n*n）的矩阵求逆，对于不可逆矩阵有提示信息，并结束程序本程序在XP，VB6.0下调试通过本程序由本人原创，请慎用。如有疑问，或调试有误，请联系本人QQ 30360126本程序可在VB6.0内任何地方用call jzqn(qa(),na()语句调用 其中qa()是输入的矩阵数组，调用此函数后 na()为返回的逆矩阵数组注意：调用本程序前不要声明na()的维数，仅用dim na()即可。 请不要试图对一个病态矩阵求逆、否则计算结果未必是你想要的 病态矩阵是指行列式计算结果极其接近于零的矩阵Public Sub jzqn(qa(), na()Dim a()n = UBound(qa, 1)ReDim na(n, n)ReDim a(n, 2 * n)For i = 1 To nFor j = 1 To na(i, j) = qa(i, j)Next jNext iFor i = 1 To nFor j = n + 1 To 2 * nIf j - i = n Thena(i, j) = 1Elsea(i, j) = 0End IfNext jNext iFor i = 1 To nIf a(i, i) = 0 ThenFor q = i To nIf a(q, i) <> 0 ThenFor w = i To 2 * nzj = a(i, w)a(i, w) = a(q, w)a(q, w) = zjNext wExit ForEnd IfNext qIf q > n Then MsgBox "此矩阵不可逆": Exit Sub End IfFor k = 2 * n To i Step -1a(i, k) = a(i, k) / a(i, i)Next kFor j = i + 1 To nIf a(j, i) <> 0 ThenFor k = 2 * n To i Step -1a(j, k) = a(j, k) / a(j, i) - a(i, k) Next kEnd IfNext jNext iFor i = n To 1 Step -1If a(i, i) = 0 ThenFor q = i - 1 To 1 Step -1If a(q, i) <> 0 ThenFor w = i To 2 * nzj = a(i, w)a(i, w) = a(q, w)a(q, w) = zjNext wExit ForEnd IfNext qEnd IfFor k = 2 * n To i Step -1a(i, k) = a(i, k) / a(i, i)Next kFor j = i - 1 To 1 Step -1If a(j, i) <> 0 Thenxxx = a(j, i)For k = 2 * n To 1 Step -1a(j, k) = a(j, k) / xxx - a(i, k)Next kEnd IfNext jNext iFor i = 1 To nFor j = 1 To nna(i, j) = a(i, j + n)Next jNext iEnd Sub调用示例：下面代码随机产生一个10*10的矩阵，并求逆，打印于窗体Private Sub Command1_Click()Dim a(10, 10), b()ClsRandomizeFor i = 1 To 10For j = 1 To 10a(i, j) = Int(Rnd * 100)Print a(i, j);Next jPrintNext iPrintCall jzqn(a(), b()For i = 1 To 10For j = 1 To 10Print Format(b(i, j), "0.000"),Next jPrintNext iEnd Sub矩阵运算是数值运算中经常碰到的，“砖头”抛出多天，尚未“引出玉来”，我自己再来个补充吧！矩阵求逆上面给出的程序，虽然可以使用，但远不完善，更不精炼。下面将其修改一下，例如：使用IIF（）函数简化判断分支语句，将“约化”过程合并，添加一个矩阵无逆的判断，。但还是属于小打小闹的修修补补，希望诸位能挑出程序中的问题、缺陷，诸位版主和大侠们能从赐以高水平的程序代码，不胜感谢！ 修改后的矩阵求逆代码如下：源程序压缩文件如下：矩阵求逆程序代码Dim a() As SingleDim i%, j%, k%, am!, tt%, at!, bt!Private Sub Command1_Click()n = InputBox("请输入方阵的阶数N")ReDim a(n, 2 * n) As SingleFor i = 1 To nFor j = 1 To na(i, j) = InputBox("请输入a(" & i & "，" & j & ")的值") a(i, j + n) = IIf(i = j, 1, 0) 使用IIf( )函数,简化此判断结构 Next j, iPrint "原矩阵的增广矩阵元素"For i = 1 To nFor j = 1 To 2 * nPrint a(i, j); " "Next jPrintNext i'_ For k = 1 To n' 换列主元运算，在主元列找出绝对值最大的值作主元 at = Abs(a(k, k)tt = kFor j = k + 1 To nbt = Abs(a(j, k)If at < bt Thenat = bttt = jEnd IfNext jIf tt <> k ThenFor j = k To 2 * nam = a(k, j): a(k, j) = a(tt, j): a(tt, j) = amNext jEnd IfIf at < 0.0001 Then Print "此矩阵不可逆"'逆矩阵计算'-am = 1 / a(k, k)For j = k To 2 * na(k, j) = a(k, j) * amNext j'_For i = 1 To nIf k <> i Thenam = a(i, k)For j = 1 To 2 * na(i, j) = a(i, j) - a(k, j) * amNext jEnd IfNext iNext k'-Print "所求逆矩阵"For i = 1 To nFor j = n + 1 To 2 * nPrint a(i, j); " "Next jPrintNext iEnd Sub矩阵运算，是数值计算中经常碰到的。这里献上的小程序，只能是学习参考，对于矩阵的阶数很大的 实际使用和对于病态（条件数较大）矩阵，如何计算？特别是如何求逆？显然这里的程序力不从心，所以 敬请版主大侠们献出爱心！两矩阵的加、减，很简单，就是现应元素的加、减。条件是两矩阵行、列数都相等。两矩阵的相乘，分为左乘和右乘；条件是右矩阵的行数等于左矩阵的列数；乘法规则麻烦点，请参看 有关参考材料。矩阵求逆，是矩阵运算中比较麻烦的，也是用出较多的。求助未得，只好自己来个粗糙的，这次给出 的程序是包括选主元的，一般满秩矩阵都可以求出其逆矩阵。但是效率有问题，对于病态矩阵求出的逆矩 阵精度欠佳，不一定满足需要。为了大家使用方便，将源程序传上。attachmentid=498attachmentid=499attachmentid=500attachmentid=501在网上收寻了行列式求值的,发现没有能用的,版主以前对最小二乘法多次曲线拟合算法解说里有行列试求值的程序,我调试下了,没能成功,不知道到是不是那里出错了?现在献上一个比较精确的矩阵求逆算法,希望大家能研究出一种行列式求值的的程序!Sub JSJZNZA(WS, DA)Dim DNZ() As DoubleYS = WS * (WS + 1) / 2ReDim DNZ(YS)For i = 1 To WSDI = (i - 1) * (WS - i / 2)For j = i To WSk = DI + jDNZ(k) = DA(i, j)Next jNext iFor i = 1 To WSDI = (i - 1) * (WS - i / 2)For j = i To WSs = DNZ(DI + j)If i = 1 ThenGoTo 156 '(156)End IfFor k = 1 To i - 1DK = (k - 1) * (WS - k / 2)s = s - DNZ(DK + i) * DNZ(DK + j) / DNZ(DK + k) Next k156: If j = i Then '(156)DNZ(DI + j) = 1 / (s + 0.0000001)GoTo 160 ' ( 160 )End IfDNZ(DI + j) = s * DNZ(DI + i)160: Next j '(160)Next iFor i = 1 To WS - 1DI = (i - 1) * (WS - i / 2)For j = i + 1 To WSs = (-1) * DNZ(DI + j)If (i + 1) > (j - 1) ThenGoTo 168 ' ( 168 )End IfFor k = i + 1 To j - 1DK = (k - 1) * (WS - k / 2)s = s - DNZ(DI + k) * DNZ(DK + j)Next k168: DNZ(DI + j) = s '( 168 )Next jNext iFor i = 1 To WS - 1DI = (i - 1) * (WS - i / 2)For j = i To WSDJ = (j - 1) * (WS - j / 2)If j = i Thens = DNZ(DI + j)GoTo 174 ' (174)End Ifs = DNZ(DI + j) * DNZ(DJ + j)174: If j = WS Then ' (174)GoTo 178 ' (178)End IfFor k = j + 1 To WSDK = (k - 1) * (WS - k / 2)s = s + DNZ(DI + k) * DNZ(DJ + k) * DNZ(DK + k)Next k178: DNZ(DI + j) = s ' (178)Next jNext i'For i = 1 To WSDI = (i - 1) * (WS - i / 2)For j = 1 To WSDJ = (j - 1) * (WS - j / 2)Let K1 = DI + jLet K2 = DJ + iIf j < i ThenDA(i, j) = DNZ(K2)ElseIf j >= i ThenDA(i, j) = DNZ(K1)End IfNext jNext iReDim DNZ(1)End Sub最近想写一个求矩阵逆阵的函数，上网一搜，有一个叫作高斯约旦法求矩阵的方法，用C写的，我没看明白，网上大部分都是抄来抄去，全都一个样，所以我按照这个算法的思想，用VB写了一个这样的函数。代码如下：Option Explicit'先写一个函数用于交换两个数的函数Private Sub swap(byref a As Double,byref b As Double)Dim c As Doublec = aa = bb = cEnd Sub'下面是求矩阵逆阵的函数Public Function Inv(m() As Double) As Double()Dim i As IntegerDim j As IntegerDim k As IntegerDim n As IntegerDim temp As Double'从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素在的行号和列号，'在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上.这一步称为全选主元n = UBound(m, 1)Dim iw() As IntegerDim jw() As IntegerDim fMax As DoubleReDim iw(0 To n), jw(0 To n) As IntegerFor k = 0 To nfMax = 0For i = k To nFor j = k To nIf Abs(m(i, j) > fMax Then fMax = Abs(m(i, j)iw(k) = ijw(k) = jNext jNext iIf iw(k) <> k ThenFor i = 0 To nswap m(k, i), m(iw(k), i)Next iEnd IfIf jw(k) <> k ThenFor i = 0 To nswap m(i, k), m(i, jw(k)Next iEnd IfNext k''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '在m右边增加一个单位阵，构成一个m的增广矩阵mmDim mm() As DoubleReDim mm(0 To n, 0 To 2 * n + 1)For i = 0 To nFor j = 0 To nmm(i, j) = m(i, j)Next jNext iFor i = 0 To nFor j = n + 1 To 2 * n + 1If i = j - n - 1 Thenmm(i, j) = 1Elsemm(i,j) = 0End IfNext jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''通过初等行变换(即高斯消去法)使原矩阵变为单位阵，则右边的单位阵即是原矩阵的逆阵 For k = 0 To n - 1For i = k + 1 To ntemp = mm(i, k) / mm(k, k)For j = 0 To 2 * n + 1mm(i, j) = mm(i, j) - mm(k, j) * tempNext jNext iNext kFor k = n To 1 Step -1For i = k - 1 To 0 Step -1temp = mm(i, k) / mm(k, k)For j = 2 * n + 1 To 0 Step -1mm(i, j) = mm(i, j) - mm(k, j) * tempNext jNext iNext kFor i = 0 To nDim s As Doubles = mm(i, i)For j = 0 To 2 * n + 1mm(i, j) = mm(i, j) / sNext jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''输出变换后的右边的矩阵For i = 0 To nFor j = 0 To nm(i, j) = mm(i, j + n + 1)Next jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，'先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。For k = n To 0 Step -1If jw(k) <> k ThenFor i = 0 To nswap m(k, i), m(jw(k), i)Next iEnd IfIf iw(k) <> k ThenFor i = 0 To nswap m(i, k), m(i, iw(k)Next iEndIfNext kInv = mEnd Function有必要在这里说明一下，为什么会有选主元这个过程呢？我开始也不理解，后来去图书馆查线性代数相关资料，终于弄明白了。大意是这样的，对于有些矩阵，矩阵中某个元素的一个很小的变动，会引起最后计算结果误差很大，甚至是面目全非。我们称这种矩阵为病态矩阵。但有些时候不正确的计算方法也会使一个正常的矩阵在运算中表现出病态。对于高斯消去法来说，如果主元（即对角线上的元素）上的元素很小，在计算时就会表现出病态的特征.计算机在计算浮点数时不是绝对精确的,有一定的舍入误差.这点小小的误差最终会使结果大出所料,(家可以用一个二阶的小矩阵试一下,将11位置上的数定为0.00001,其他地方都用个位数就行了).所以要通过全选主元法来使对角线上的元素最大.求完逆阵后,再按原顺序换回去就可以得到原矩阵的逆阵了. 个人感觉,有点复杂了(尤其是行变换时)欢迎大家对我的程序作出一些改进,不甚感激!用矩阵的初等变换求逆矩阵一、 问题提出在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃）二、 求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。3.定理2.5的推论 A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(AE，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式 代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(AE经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一 例解：四，知识拓展2求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(AE经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。3求逆矩阵方法的应用之三 利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求 ，然后求XB。现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。 其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程 的解，而对一般的矩阵方程 只要将 中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程 的X。例解：传递闭包Warshall方法计算可达矩阵简要介绍 在集合X上的二元关系R的传递闭包是包含R的X上的最小的传递关系。R的传递闭包在数字图像处理的图像和视觉基础、图的连通性描述等方面都是基本概念。一般用B表示定义在具有n个元素的集合X上关系R的n×n二值矩阵，则传递闭包的矩阵B+可如下计算： B+ =B + B2 + B3 + + (B)n 式中矩阵运算时所有乘法都用逻辑与代替，所有加法都用逻辑或代替。上式中的操作次序为B，B(B)，B(BB)，B(BBB)，所以在运算的每一步我们只需简单地把现有结果乘以B，完成矩阵的n次乘法即可。 :/ 93337 /ism/cal_warshall_get_r_mat_detail.phpWarshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：（1）置新矩阵A=M;（2）置k=1;（3）对所有i如果Ai,k=1，则对j=1.n执行： Ai,jAi,jAk,j;（4）k增1;（5）如果kn，则转到步骤（3），否则停止。所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t(R)的关系矩阵。在离散数学中都提及了该算法。Warshall算法映射到有向图中设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为u1,u2,un，则t(R)的关系图可用该方法得到：若G中任意两顶点ui和uj之间有一条路径且没有ui到uj的弧，则在图G中增加一条从ui到uj的弧，将这样改造后的图记为G，则G即为t(R)的关系图。G的邻接矩阵A应满足：若图G中存在从ui到uj路径，即ui与uj连通，则Ai,j=1，否则Ai,j=0。这样，求t(R)的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。相乘矩阵，就为所有节点的关系图，也就是当前条件下的关系矩阵。 对于相乘矩阵，进行叠代，叠代的过程为，行取值，然后计算值中对应的每一行的值取并集，得到当前行的关系集合。取完所有行，得到了一个新的转移矩阵再对转移矩阵进行进行求解。Warshall的叠代次数比逐次平方法的运行效率要高。如果图中的顶点是有序的排列，只要进行一次Warshall运算就可以获得可达矩阵。您输入原始矩阵 matrix_A 为一个方阵结果如下第 1 次迭代当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b5号要素 f 的可达集合c，f0号要素 a 的可达集合b，f，a当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b ） 2号要素 c 的可达集合b，c4号要素 e 的可达集合f，e1号要素 b 的可达集合c，e，b当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 当前2号要素 c 的可达集合（b，c ）1号要素 b 的可达集合c，e，b，f2号要素 c 的可达集合b，c当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ） 当前3号要素 d 的可达集合（a，d ）0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 3号要素 d 的可达集合a，d当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 当前4号要素 e 的可达集合（f，e ）5号要素 f 的可达集合c，f4号要素 e 的可达集合f，e当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c ）当前5号要素 f 的可达集合（c，f ）2号要素 c 的可达集合b，c，e，f5号要素 f 的可达集合c，f当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ）当前6号要素 g 的可达集合（b，g ）1号要素 b 的可达集合c，e，b，f6号要素 g 的可达集合b，g当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）第 1 次迭代 得到的转移矩阵如下：第 2 次迭代当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c1号要素 b 的可达集合c，e，b，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ）当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）1号要素 b 的可达集合c，e，b，f2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c5号要素 f 的可达集合c，f，b，e当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ）0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 3号要素 d 的可达集合a，d，b，f，c，e 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c ） 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e4号要素 e 的可达集合f，e，c2号要素 c 的可达集合b，c，e，f当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ） 当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e1号要素 b 的可达集合c，e，b，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f6号要素 g 的可达集合b，g，c，e，f 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b5号要素 f 的可达集合c，f，b，e当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）第 2 次迭代 得到的转移矩阵如下：第 3 次迭代当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b当前0号要素 a 的可达集合（b，f，a，c，e ） 当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b1号要素 b 的可达集合c，e，b，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e当前1号要素 b 的可达集合（c，e，b，f ） 当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b5号要素 f 的可达集合c，f，b，e当前2号要素 c 的可达集合（b，c，e，f ）当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 0号要素 a 的可达集合b，f，a，c，e 3号要素 d 的可达集合a，d，b，f，c，e 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b当前3号要素 d 的可达集合（a，d，b，f，c，e ） 当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ） 5号要素 f 的可达集合c，f，b，e4号要素 e 的可达集合f，e，c，b2号要素 c 的可达集合b，c，e，f1号要素 b 的可达集合c，e，b，f当前4号要素 e 的可达集合（f，e，c，b ） 当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f5号要素 f 的可达集合c，f，b，e1号要素 b 的可达集合c，e，b，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b当前5号要素 f 的可达集合（c，f，b，e ） 当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ） 1号要素 b 的可达集合c，e，b，f6号要素 g 的可达集合b，g，c，e，f 2号要素 c 的可达集合b，c，e，f4号要素 e 的可达集合f，e，c，b5号要素 f 的可达集合c，f，b，e当前6号要素 g 的可达集合（b，g，c，e，f ）第 3 次迭代 得到的转移矩阵如下：实对称矩阵与二次型§6.1 Gram-Schmidt正交化过程1. 用Schmidt正交化方法将向量组标准正交化。解：设，那么                                                                                                             则                                                            2. 证明对于任意的可逆实矩阵，恒有上三角正线矩阵，使为正交矩阵。证明：可逆实矩阵是实的列满秩矩阵，故有本节的命题3知，有上三角正线矩阵，使的列向量组为标准正交向量组，所以为正交矩阵。 §6.2 实对称矩阵的标准形 （一1.求正交矩阵，使为对角矩阵，其中为.