2023届陕西省西安市陕西师范大学附属中学高三三模理科数学试题含答案.pdf

陕 西 师 大 附 中 2 0 2 2-2 0 2 3 学 年 度 高 三 年 级 第 十 次 模 考数 学（理 科）试 题注 意 事 项：1 本 试 卷 分 第 卷(选 择 题)和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分 答 案 均 写 在 答 题 纸 上，满分 1 5 0 分，时 间 1 2 0 分 钟 2 答 卷 前 将 答 题 卡 上 的 姓 名、班 级、考 场 填 写 清 楚，并 检 查 条 形 码 是 否 完 整、信息 是 否 准 确 3 答 卷 必 须 使 用 0.5 m m 的 黑 色 签 字 笔 书 写，字 迹 工 整、笔 迹 清 晰 并 且 必 须 在 题 号所 指 示 的 答 题 区 内 作 答，超 出 答 题 区 域 的 书 写 无 效 第 卷（选 择 题 共 6 0 分）一、选 择 题(本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.)1.设 集 合2 1,2 A x Z x B x x=纬-=，则A B=（）.1 2 A x x-.1 2 B x x-.1,0,1 C.0,1 D2.已 知 复 数 z 满 足：2(1)3 4 z i i（其 中 i 为 虚 数 单 位），则 复 数 z 在 复 平 面 上 对 应 的 点位 于（）.A 第 一 象 限.B 第 二 象 限.C 第 三 象 限.D 第 四 象 限3.“2 m”是“直 线(1)1 0 m x y 与 直 线 2(4)2 0 x m y 互 相 垂 直”的（）.A 充 分 不 必 要 条 件.B 必 要 不 充 分 条 件.C 充 要 条 件.D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件4.十 九 世 纪 下 半 叶 集 合 论 的 创 立，奠 定 了 现 代 数 学 的 基 础，著 名 的“康 托 三 分 集”是 数 学 理 性思 维 的 构 造 产 物，具 有 典 型 的 分 形 特 征，其 操 作 过 程 如 下：将 闭 区 间 0，1 均 分 为 三 段，去掉 中 间 的 区 间 段1 2,3 3（），记 为 第 1 次 操 作：再 将 剩 下 的 两 个 区 间10,3，2,13 分 别 均 分 为三 段，并 各 自 去 掉 中 间 的 区 间 段，记 为 第 2 次 操 作：L；每 次 操 作 都 在 上 一 次 操 作 的 基 础上，将 剩 下 的 各 个 区 间 分 别 均 分 为 三 段，同 样 各 自 去 掉 中 间 的 区 间 段；操 作 过 程 不 断 地 进 行下 去，剩 下 的 区 间 集 合 即 是“康 托 三 分 集”.若 第 n 次 操 作 去 掉 的 区 间 长 度 记 为)(n，则（）.A(1)3()2nn.Bl n()1 0 n.C()(3)2(2)n n n.D2()6 4(8)n n 5.某 滑 冰 馆 统 计 了 某 小 区 居 民 在 该 滑 冰 馆 一 个 月 的 锻 炼 天 数，得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图（将 频 率 视 为 概 率），则 下 列说 法 正 确 的 是（）.A 该 小 区 居 民 在 该 滑 冰 馆 的 锻 炼 天 数 在 区 间 2 5,3 0 内 的最 少.B 估 计 小 区 居 民 在 该 滑 冰 馆 的 锻 炼 天 数 的 平 均 值 为 1 5.C 估 计 该 小 区 居 民 在 该 滑 冰 馆 的 锻 炼 天 数 的 中 位 数 为 1 6.D 估 计 该 小 区 居 民 在 该 滑 冰 馆 的 锻 炼 天 数 超 过 1 5 天 的 概 率 为 0.4 6 56.已 知 数 列 21na 为 等 差 数 列，且1 411,2a a，则2023a=（）.A20212023.B202120232 0 1 9.2 0 2 1C2019.2021D 7 函 数 3l n 13xf x xx 的 图 象 可 能 为（）.A.B.C.D8.抛 物 线:C24 y x=的 焦 点 为 F,过 F 且 斜 率 为 3 的 直 线 l 与 抛 物 线 C 交 于,M N 两,点P 为 抛 物 线 C 上 的 动 点,且 点 P 在 l 的 左 侧,则 P M N 的 面 积 的 最 大 值 为（）1 6 3.9A.2 3 B2 3.3C.3 D9 已 知 函 数 2 c o s 03f x x 在 区 间,a b内 单 调 且2b a，在 区 间0,3 内 存在 最 值 点，则 当取 得 最 大 值 时，满 足 032f x 的 一 个0 x值 可 能 为（）.0 A.B1 2.C6.D31 0 下 列 结 论 正 确 的 是（）.A3 5 3 5e e e e.Bl g 3 l g 5 l g 3 l g 5.C 2 6 3 5.D3 5 3 5l og 10 l og 10 l og 10 l og 10 1 1 已 知 双 曲 线 2 22 2:1 0,0 x yC a ba b，1F，2F为 C 的 左、右 焦 点，0,4 B b，直 线2B F与 C 的 一 支 交 于 点 P，且 21B PP F，则 C 的 离 心 率 最 大 值 为（）.A2 5.B2.C2 2.D51 2 截 角 四 面 体 是 一 种 半 正 八 面 体，可 由 四 面 体 经 过 适 当 的 截 角，即 截 去 四 面 体 的 四 个 顶 点所 产 生 的 多 面 体.如 图 所 示，将 棱 长 为 3 a 的 正 四 面 体 沿 棱 的 三等 分 点 作 平 行 于 底 面 的 截 面，得 到 所 有 棱 长 均 为 a 的 截 角 四 面体，现 给 出 下 列 四 个 命 题：二 面 角 A B C D 的 余 弦 值 为13 该 截 角 四 面 体 的 体 积 为32 3 21 2a；该 截 角 四 面 体 的 外 接 球表 面 积 为21 12a 该 截 角 四 面 体 的 表 面 积 为26 3 a，则 其 中 正确 命 题 的 个 数 为（）.A 1 个.B 2 个.C 3 个.D 4 个第 卷（非 选 择 题 共 9 0 分）二、填 空 题（本 大 题 共 4 小 题,每 小 题 5 分,共 2 0 分 把 答 案 填 在 答 题 卷 中 相 应 的 横 线 上）1 3 61(1)a x xx 的 展 开 式 中 含3x 项 的 系 数 为 3 0，则 实 数 a 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 在 直 四 棱 柱1 1 1 1A B C D A B C D 中，2 A B A D，14 A A，M，N 在 棱1B B，1D D 上，且12 B M，11 D N，过1A M N 的 平 面 交1C C于 G，则 截 面1A M G N 的 面 积 为 _ _ _ _ _ _ 1 5 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，圆 22 2:M x y m n 和 22:1 1 N x y 外 切 形 成 一 个 8 字 形状，若 0,2 P，1,1 A 为 圆 M 上 两 点，B 为 两 圆 圆 周 上 任 一 点（不 同 于 点 A，P），则P A P B 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ 1 6 如 图，从 点1P(0,0)作 x 轴 的 垂 线 交 于曲 线 exy 于 点1Q(0,1)，曲 线 在 点 Q 1 处 的切 线 与 x 轴 交 于 点2P.再 从2P作 x 轴 的 垂 线交 曲 线 于 点2Q，依 次 重 复 上 述 过 程 得 到 一系 列 点:1P，1Q，2P，2Q，1 nP，1 nQ，记kP点 的 坐 标 为,0kx，(1,2,1 k n)依 次 连 接 点1Q，2Q，1 nQ，得 到 折 线1Q2Q1 nQ，则 该 折 线 与 直 线 0 x，0 y，1 nx x，围 成 的 面 积 为nS=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7.(本 小 题 满 分 1 2 分)在 A B C 中，角 C B A,的 对 边 分 别 为,a b c，已 知s i n s i n c o s A C B 3s i n s i n3B C(1)求 角 C 的 大 小；(2)若 C 的 角 平 分 线 交 A B 于 点 D，且 2 C D，求 2 a b 的 最 小 值 1 8(本 小 题 满 分 1 2 分)如 图 一，A B C 是 等 边 三 角 形，C O 为 A B 边 上 的 高 线，,D E分 别 是,C A C B边 上 的 点，123A D B E A C；如 图 二，将 C D E 沿 D E 翻 折，使 点 C 到 点 P 的 位 置，3 P O.(1)求 证：O P 平 面 A B E D；(2)求 二 面 角 B P E F 的 正 弦 值.1 9(本 小 题 满 分 1 2 分)已 知 椭 圆2 22:1(0)3x yC aa 经 过 点31,2（），过 点 3,0 T 的 直 线 交 该 椭 圆 于 P，Q 两点.（1）求 O P Q 面 积 的 最 大 值，并 求 此 时 直 线P Q的 方 程；（2）若 直 线P Q与 x 轴 不 垂 直，在 x 轴 上 是 否 存 在 点,0 S s 使 得 P S T Q S T 恒 成 立？若 存 在，求 出 s 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.2 0(本 小 题 满 分 1 2 分)为 响 应 习 近 平 总 书 记“全 民 健 身”的 号 召，促 进 学 生 德 智 体 美 劳 全 面 发 展，某 校 举 行 校 园 足 球比 赛 根 据 比 赛 规 则，淘 汰 赛 阶 段，参 赛 双 方 有 时 需 要 通 过“点 球 大 战”的 方 式 决 定 胜 负“点球 大 战”的 规 则 如 下：两 队 各 派 5 名 队 员，双 方 轮 流 踢 点 球，累 计 进 球 个 数 多 者 胜；如 果 在 踢 满 5 轮 前，一 队 的 进 球 数 已 多 于 另 一 队 踢 满 5 轮 最 多 可 能 射 中 的 球 数，则 不 需 要再 踢（例 如：第 4 轮 结 束 时，双 方“点 球 大 战”的 进 球 数 比 为 2:0，则 不 需 要 再 踢 第 5 轮）；若 前 5 轮“点 球 大 战”中 双 方 进 球 数 持 平，则 从 第 6 轮 起，双 方 每 轮 各 派 1 人 踢 点 球，若 均进 球 或 均 不 进 球，则 继 续 下 一 轮，直 到 出 现 一 方 进 球 另 一 方 不 进 球 的 情 况，进 球 方 胜 出 假 设 每 轮 点 球 中 进 球 与 否 互 不 影 响，各 轮 结 果 也 互 不 影 响（1）假 设 踢 点 球 的 球 员 等 可 能 地 随 机 选 择 球 门 的 左、中、右 三 个 方 向 射 门，门 将 也 会 等 可能 地 选 择 球 门 的 左、中、右 三 个 方 向 来 扑 点 球，而 且 门 将 即 使 方 向 判 断 正 确，左 右 两 边 将 球扑 出 的 可 能 性 为15，中 间 方 向 扑 出 的 可 能 性 为35 若 球 员 射 门 均 在 门 内，在 一 次“点 球 大 战”中，求 门 将 在 前 4 次 扑 出 点 球 的 个 数 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望（2）现 有 甲、乙 两 队 在 淘 汰 赛 中 相 遇，需 要 通 过“点 球 大 战”来 决 定 胜 负 设 甲 队 每 名 队 员射 进 点 球 的 概 率 均 为34，乙 队 每 名 队 员 射 进 点 球 的 概 率 均 为23，若 甲 队 先 踢，求 甲 队 恰 在第 4 轮 取 得 胜 利 的 概 率 2 1(本 小 题 满 分 1 2 分)已 知 函 数1()l n f x x a xx，其 中 a R.(1)求 函 数()f x的 最 小 值()h a，并 求()h a的 所 有 零 点 之 和;(2)当 1 a 时，设()()g x f x x，数 列*nx n N满 足1(0,1)x，且 1 n nx g x，证明:1 3 22n n nx x x.请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 并 请 考 生务 必 将 答 题 卡 中 对 所 选 试 题 的 题 号 进 行 涂 写 2 2(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程 选 讲 在 平 面 直 角 坐 标 系x o y中，直 线 l 过 点(0,2)P，倾 斜 角 为2（）.以 原 点 O 为 极 点，x轴 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为：2c os 2 s i n 0(1)求 直 线 l 的 参 数 方 程 与 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程；(2)若 直 线 l 与 曲 线 C 相 交 于,A B 两 点，M 为 A B 中 点，且 满 足,P A P M P B成 等 比 数列，求 直 线 l 的 斜 率 2 3(本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4 5：不 等 式 选 讲 已 知 函 数2()2 1 2 f x x x x.（1）若 不 等 式()1 f x m 有 解，求 实 数m的 最 大 值 M；（2）在（1）的 条 件 下，若 正 实 数,a b 满 足2 23 a b M，证 明：3 4 a b.陕 西 师 大 附 中 2 0 2 2-2 0 2 3 学 年 度 高 三 年 级 第 十 次 模 考数 学（理 科）参 考 答 案一、选 择 题：D B C B C C D A B B A D二、填 空 题1 3.21 4.6 1 5.3 2 1 6.1)(1)2(1)nne ee e（三.解 答 题1 7.解：(1)3s i n c o s s i n s i n s i n()s i n c o s c o s s i n3C B B C C B C B C B 3s i n s i n c o s s i n3B C C B 由 于 s i n 0 B，所 以3s i n c o s3C C，即 t a n 3 C(0,)C 2C3（2）因 为，的 角 平 分 线，且 为 角B C D A C D A B CS S S C D C C D,2根 据 三 角 形 面 积 公 式 可 得.2 4 6 22 2 2,2 2,2 4 6)23(2)1 1)(2(2 2,21 1 1,3s i n3s i n32s i n21,3s i n213s i n2132s i n21 的最小值为 故时等式成立，当且仅当则即 可得 等式两边同除以b aa bbaabb ab a b ab a b a C DC D abC D a C D b ab 1 8.解：（1）因 为 A B C 为 等 边 三 角 形，13A D B E A C，D E A B，C O为A B边 上 的 高 线，故,D E O F D E P F，又O F P F F，,O F P F 平 面F O P，所 以 D E 平 面F O P.因 为O P 平 面F O P，所 以D E O P.在F O P 中，3,3,2 3 O F O P P F，所 以2 2 2O F O P P F，故O P O F，而D E 平 面A B E D，O F 平 面,A B E D O F D E F，故O P 平 面A B E D（2）分 别 以,O F O B O P 方 向 为,x y z 轴 正 方 向 建 立空 间 直 角 坐 标 系，则 0,0,3,0,3,0,3,2,0,3,0,0 P B E F，则 3,2,3,3,1,0,0,2,0 P E B E E F.设 平 面B P E的 法 向 量 1 1 1 1,n x y z，平 面P E F的 法向 量 2 2 2 2,n x y z，则1 1 1 11 1 13 2 3 03 0n P E x y zn B E x y，且2 2 2 22 23 2 3 02 0n P E x y zn E F y，取11 x，23 x，得 到 平 面B P E的 一 个 法 向 量 11,3,3 n，平 面P E F的 一 个 法 向 量 23,0,1 n，设 二 面 角B P E F 大 小 为，则1 21 22 3 3c o s7 2 7n nn n，所 以22 7s i n 1 c os7.1 9.解：（1）将31,2（）代 入 椭 圆 方 程，得 到21 914 3 a，故24 a，故 椭 圆 方 程 为2 214 3x y 2 分当 直 线P Q的 斜 率 为 0 时，此 时,O P Q 三 点 共 线，不 合 要 求，舍 去；当 直 线P Q的 斜 率 不 为 0 时，设 直 线P Q的 方 程 为 3 x t y，与 椭 圆 方 程2 214 3x y 联 立，得 2 23 4 6 3 3 0 t y t y，设 1 1 2 2,P x y Q x y，则1 2 1 2 2 26 3 3,3 4 3 4ty y y yt t，则 221 2 1 2 1 2 2 21 1 3 6 3 1 23 42 2 2 3 4 3 4O P QtS O P y y y y y yt t 2 2 22 2 2 22 2 2 23 1 0 8 1 2 3 1 3 16 62 3 43 4 3 1 6 3 1 9 3 1 3t t ttt t t t 22221 16 6 3993 1 62 3 1 63 13 1tttt，当 且 仅 当2293 13 1tt，即63t 时，等 号 成 立，故 O P Q 面 积 的 最 大 值 为3，此 时 直 线P Q的 方 程 为 3 2 3 0 x y 或3 2 3 0 x y；8 分（2）在 x 轴 上 存 在 点 04 33,S 使 得 P S T Q S T 恒 成 立，理 由 如 下：因 为 P S T Q S T，所 以0P S Q Sk k，即1 21 20y yx s x s，整 理 得 2 1 1 20 x s y x s y，即 2 1 1 2 1 23 3 0 t y y t y y s y y，所 以 1 2 1 22 3 0 t y y s y y，则 2 23 6 32 3 03 4 3 4tt st t，解 得4 33s，故 在 x 轴 上 存 在 点 04 33,S，使 得 P S T Q S T 恒 成 立.1 2 分2 0.（1）P（每 次 扑 出 点 球）1 1 1 1 1 1 1 1 3 13 3 5 3 3 5 3 3 5 9 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0，1，2，3，4 0 4041 8 40960 C9 9 6561P X 3141 8 2 0 4 81 C9 9 6 5 6 1P X 2 2241 8 3 8 42 C9 9 6 5 6 1P X 3341 8 3 23 C9 9 6 5 6 1P X 4441 14 C9 6 5 6 1P X X 的 分 布 列X 0 1 2 3 4P4 0 9 66 5 6 12 0 4 86 5 6 13 8 46 5 6 13 26 5 6 116561 1 449 9E X（2）若 甲 队 恰 在 第 4 轮 取 得 胜 利，则 前 3 轮 结 束 时 比 分 可 能 为 1:0，2:0，2:1，3:1，3:2 分别 记 前 3 轮 比 分 为 1:0，2:0，2:1，3:1，3:2 且 甲 队 恰 在 第 4 轮 取 得 胜 利，事 件 分 别 为A，B，C，D，E 2 3133 1 1 3 1 1C4 4 3 4 3 7 6 8P A 2 3233 1 1 3 1 1 1 0C4 4 3 4 4 3 7 6 8P B 2 22 13 33 1 2 1 3 1 6 1 8C C4 4 3 3 4 3 2 5 6 7 6 8P C 3 2133 2 1 3 1 1 2 0 6 0C4 3 3 4 4 3 2 5 6 7 6 8P D 3 2233 2 1 3 1 1 2 3 6C4 3 3 4 3 2 5 6 7 6 8P E 故 P（甲 队 恰 在 第 4 轮 取 得 胜 利）1 1 0 1 8 6 0 3 6 1 2 57 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 甲 队 恰 在 第 4 轮 取 得 胜 利 的 概 率 为1 2 57 6 82 1.解:（1）函 数 f x的 定 义 域 为 0,，且 221 x axf xx，令 0 f x，得21 0 x a x，解 得2142a ax，22402a ax（舍 去），所 以 f x在 10,x上 单 调 递 减，在 1,x 单 调 递 增，所 以 1 1 1m i n11l n f x f x x a xx，即 2244 l n2a ah a a a，由1x 是 方 程21 0 x a x 的 根，则 111a xx，所 以 1 1 11 11 1l n h a x x xx x，令 1 1l n H x x x xx x，可 知 1H H xx 又 因 为 211 l n H x xx，所 以 H x 在 0,1 单 调 递 增，在 1,单 调 递 减 而22 21 3e 0e eH，1 2 0 H，所 以 有 且 仅 有 唯 一 00,1 x，使 得 00 H x，所 以 存 在 011,x，有010 Hx 所 以 方 程 0 H x 有 且 仅 有 两 个 根0 x，01x，即1 1 11 11 1l n 0 x x xx x 有 且 仅 有 两 根0 x，01x，又 因 为 1 1110 a x xx 单 调 递 减，所 以 y h a 有 两 个 零 点 设 为1a，2a，则1 2 00 001 1 101a a xx xx.（2）由 题 意 知 1 a 时，1l n g x f x x xx，因 为 2 21 1 1 xg xx x x，令 0 g x，得 1 x；0 g x，得 1 x，所 以 g x在 0,1上 递 减，在 1,递 增，则 有 1 1 g x g，因 为 10,1 x，所 以 2 11 x g x，3 21 x g x，11n nx g x 令 1l n m x g x x x xx，1 x，222 21 31 2 40 xx xm xx x，所 以 m x在 区 间 1,单 调 递 减，所 以 2 1 n nm x m x，即2 2 1 1()()n n n ng x x g x x，即3 2 2 1 n n n nx x x x，所 以1 3 22n n nx x x 2 2.解：(1)直 线l的 参 数 方 程 为：c o s()2 s i nx tty t 为 参 数2.2 分曲 线C：2c o s 2 s i n，2 2c os 2 s i n.3 分由 c o s,s i n x y 得：曲 线C的 直 角 坐 标 方 程 为：22 x y.5 分(2)设,A B 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为1 2,t t，将 直 线l的 参 数 方 程 代 入 曲 线C的 方 程22 x y 得：2 2c o s 2(2 s i n)t t，6 分化 简 得：2 2(c os)(2 s i n)4 0 t t，1 2 1 2 2 22 4,c o s c o ss i nt t t t.7 分1 22s i n2 c ost tP M,1 2 24c o sP A P B t t.8 分,P A P M P B 成 等 比 数 列,2P M P A P B,24 2s i n 4c os c os,9 分2t a n 4,t a n 2.故 直 线l的 斜 率 为 2 2 或-.1 0 分2 3.解：（1）若 不 等 式 1 f x m 有 解，只 需 1m a xf x m 即 可.因 为 22 1 2=f x x x x 1 2 1 2 3 x x x x，4 分.所 以 1 3 m，解 得 2 4 m，所 以 实 数m的 最 大 值 4 M.5 分.（2）根 据（1）知 正 实 数a，b 满 足2 23 4 a b，由 柯 西 不 等 式 可 知 22 23 3 1 3 a b a b，8 分.所 以，23 16 a b，因 为,a b 均 为 正 实 数，所 以 3 4 a b(当 且 仅 当 1 a b 时 取“=”).1 0 分.