切线证明（共5篇）.docx
切线证明（共5篇）篇：证明切线的方法证明切线的方法证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半径，证垂直（比较常用）。（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。例如图，ABC是等腰三角形，ABAC，点O在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DEAC于E。DE是圆O的切线吗？分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。DE是切线。证明：连接OD。ABC是等腰三角形，ABAC，BC。又OBOD，B1.1C。而DEAC，C290°。1290°。ODE90°，即ODDE，OD是圆O的半径。DE是圆O的切线。AB第2篇：证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过O上某一点A，证明l是O的切线，只需连OA，证明OAl就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O相切.证明：连结OE，AD.AB是O的直径，ADBC.又AB=BC，3=4.BD=DE，1=2.又OB=OE，OF=OF，BOFEOF（SAS）.OBF=OEF.BF与O相切，OBBF.OEF=900.EF与O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.证明一：作直径AE，连结EC.AD是BAC的平分线，DAB=DAC.PA=PD，2=1+DAC.2=B+DAB，1=B.又B=E，1=EAE是O的直径，ACEC，E+EAC=900.1+EAC=900.即OAPA.PA与O相切.证明二：延长AD交O于E，连结OA，OE.AD是BAC的平分线，BE=CE，OEBC.E+BDE=900.OA=OE，E=1.PA=PD，PAD=PDA.又PDA=BDE,1+PAD=900即OAPA.PA与O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.证明一：连结OD.AB=AC，B=C.OB=OD，1=B.1=C.ODAC.DMAC，DMOD.DM与O相切D证明二：连结OD，AD.AB是O的直径，ADBC.又AB=AC，C1=2.DMAC，2+4=900OA=OD，1=3.3+4=900.即ODDM.DM是O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线证明：连结OC、BC.OA=OC，A=1=300.BOC=A+1=600.又OC=OB，OBC是等边三角形.OB=BC.OB=BD，OB=BC=BD.OCCD.DC是O的切线.D说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5如图，AB是O的直径，CDAB，且OA2=OD·OP.求证：PC是O的切线.证明：连结OCOA2=OD·OP，OA=OC，OC2=OD·OP，OCOP.ODOC又1=1，OCPODC.OCP=ODC.CDAB，OCP=900.PC是O的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CEOC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.ABCD是正方形，BCCD，CFG是RtO是FG的中点，O是RtCFG的外心.OC=OG，3=G，ADBC，G=4.AD=CD，DE=DE，ADE=CDE=450，ADECDE（SAS）4=1，1=3.2+3=900,1+2=900.即CEOC.CE与CFG的外接圆相切二、若直线l与O没有已知的公共点，又要证明l是O的切线，只需作OAl，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明一：连结DE，作DFAC，F是垂足.AB是D的切线，DEAB.DFAC，DEB=DFC=900.AB=AC，B=C.又BD=CD，BDECDF（AAS）DF=DE.F在D上.AC是D的切线证明二：连结DE，AD，作DFAC，F是垂足.AB与D相切，DEAB.AB=AC，BD=CD，1=2.DEAB，DFAC，DE=DF.F在D上.AC与D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=900.求证：CD是O的切线.证明一：连结OA，OB，作OECD，E为垂足.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，1+2+3+4=1800.COD=900，2+3=900，1+4=900.4+5=900.1=5.RtAOCRtBDO.ACOC.OBODACOC.OAODOOA=OB，又CAO=COD=900，AOCODC，1=2.又OAAC，OECD,OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.证明二：连结OA，OB，作OECD于E，延长DO交CA延长线于F.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.COD=900，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.证明三：连结AO并延长，作OECD于E，取CD中点F，连结OF.AC与O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD与O相切于B，AO的延长线必经过点B.AB是O的直径.ACBD，OA=OB，CF=DF，OFAC，1=COF.COD=900，CF=DF，OF1CDCF.22=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.首先，我们对判定定理分解一下，里面共包含了两个条件：.经过半径的外端.垂直于这条半径也就是说只要我们同时满足这两个条件就能说明这条线是切线，而在实际证明过程中，往往是通过辅助线先满足其中一个，再证明另外一个也成立。这里分为两种情况：一、若直线l过O上某一点A，证明l是O的切线，只需连接OA，证明OAl就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。例1.如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M.求证：DM与O相切.证明：连结OD.AB=AC，B=C.OB=OD，1=B.1=C.ODAC.DMAC，DMOD.DM与O相切.例2.如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=30°，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线.证明：连结OC、BC.OA=OC，A=1=30°.BOC=A+1=60°.又OC=OB，OBC是等边三角形.OB=BC.OB=BD，OB=BC=BD.OCCD.DC是O的切线.二、若直线l与O没有已知的公共点，又要证明l是O的切线，只需作OAl，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直，证半径”。例3.如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.证明：连结DE，作DFAC，F是垂足.AB是D的切线，DEAB.DFAC，DEB=DFC=90°.AB=AC，B=C.又BD=CD，BDECDF（AAS）DF=DE.F在D上.AC是D的切线.例4.如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若COD=90°.求证：CD是O的切线.证明：连结OA，OB，作OECD，E为垂足.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，1+2+3+4=180°.COD=90°，2+3=90°，1+4=90°.4+5=90°.1=5.RtAOCRtBDO.又CAO=COD=90°，AOCODC，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.切线的证明题目形式多变，但切线的证明方法一般就这两种，只要你能判别情况，清楚证明方向，你离成功也就不远了。（作者单位江西省赣州市信丰县大阿中学）第5篇：圆的切线计算与证明题圆的切线证明与计算专题训练1.如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与O相切.2.如图，AD是BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.3.如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DMAC于M.求证：DM与O相切.4.如图，已知AB是O的直径，点C在O上，且CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是O的切线.5.如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于点E.求证：AC是D的切线.6.如图，AB是O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DPAC，垂足为点P.求证：PD是O的切线.7.已经O中，AB是直径，过B点作O的切线，连接CO，若AD/OC交O于D.求证：CD是O的切线.8.如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BEDC交DC的延长线与点E.求证：BE是O的切线.O9.如图，在ABC中，C=90O，AD是BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的O经过点D.（1）求证：BC是O的切线；（2）若BD=5，求AC的长.10.如图，已知CD是ABC中AB边上的高，以CD为直径的O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点.（1）求证：GE是O的切线；（2）若OC=5，CE=6，求AE的长.11.如图，在RtABC中，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆.（1）求证：AC是D的切线；（2）求证：AB+EB=AC.12.如图，AB=BC，以AB为直径的O交AC于D，作DEBC于E.（1）求证：DE为O的切线；（2）作DGAB交O于G，垂足为F，A=30O，AB=8，求DG的长.13.如图，AB为O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分BAD，过点T作AD的延长线的垂涎PQ，垂足为C.
