2023年四年级上册第七单元《数学广角》单元备课1.pdf

第七单元数学广角单元备课 胡亚辉 一、单元分析（一）指导思想与理论依据 数学课程标准中指出：“数学知识源于生活，还要服务于生活。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，学生的数学学习内容应当是现实的，有趣的。数学活动必须建立在学生的知识经验基础之上，应向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解基本的数学知识与技能。本单元通过给学生创造熟悉的生活情境，使学生在积极参与中自主学习，通过动手操作、实际交流等活动，总结出最优化方案。（二）教材分析 本册教材除了在有关单元中渗透了相应的数学思想方法以外，也专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的。本单元主要是通过日常生活中的一些简单事例，让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的运用。标准中指出：当学生“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略。”在日常生活中，解决问题的方法学生很容易找到，而且会找到解决问题的不同的策略，这里的关键是让学生理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。在这一单元我们主要是通过一些简单的优化问题向学生渗透优化思想，例如，例 1讨论烙饼时怎样操作最省时间；例 2 分析家里来客人需要沏茶时，怎样安排各种事情能让客人尽快喝上茶；在“做一做”中安排了餐厅怎样安排炒菜的顺序能让客人都尽快吃上菜等等；例 3 安排的是在码头卸货时，按照怎样的顺序卸货能让三艘船总的等候时间最少，接下来的“做一做”是医务室的就诊顺序问题。通过这些生活中常见的这些简单事例，让学生从中体会运筹思想在解决问题中的作用。其实我国古人早就有了丰富的运筹思想，比如战国时期“田忌赛马”的故事，就是对策论的应用。对策论是运筹学的一个分支，对策论的方法也是运筹思想中常用的方法之一，在体育比赛中经常会用到。比如在乒乓球团体比赛中就要根据不同的对手来排兵布阵，这里就用到了对策论的方法。例 4 就呈现了“田忌赛马”的故事，让学生体会对策论的方法在实际中的应用。最后还安排了一个“数学游戏”，学生可以去思考在这个报数游戏中先报数的人采用怎样的对策就能保证一定获胜。本单元共 4 个例题都是生活中常见的素材，第一个是烙饼问题优化思想，第二个是沏茶问题优化思想，第三个是码头卸货问题优化思想，第四个是田忌赛马对策论方法。（三）教学目标、重难点 教学目标：1使学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策论方法在解决实际问题中的应用；2使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。3让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力；4使学生逐渐养成合理安排时间的良好习惯。教学重难点 1体会优化的思想.2寻找解决问题最优方案，提高学生解决问题的能力。（四）课时安排共 4 课时 烙饼问题优化思想 P112例 1 （1 课时）沏茶问题优化思想 P113例 2 （1 课时）卸货问题排队论 P115例 3 （1 课时）田忌赛马对策论方法 P116例 4 （1 课时）（五）教具准备：课件、实物投影、饼的实物圆片、相关表格 数学广角第一课时 教学内容：合理安排省时间（优化思想的应用）P112 例 1 教学内容分析：烙饼问题是人教版义务教育课标实验教材四年级上册数学广角例一的学习内容。主要通过讨论烙饼时如何合理安排操作最节省时间，让学生体会在解决问题中优化思想的利用。这部分知识对学生来说，比较抽象，难以理解。但由于学生在生活中都看过烙饼如何烙的经历，所以，这节课的教学中，通过演绎、例举、观察、合作讨论、优化，形象的帮助学生理解“三张饼如何烙才能让大家吃上饼”以及归纳出按怎样的顺序安排才会使所用时间的和最少。学情分析：数学课程标准中指出：当学生“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略。”在日常生活中，解决问题的的方法学生很容易找到，而且会找到解决问题的不同策略，这就为学习本课知识奠定了基础。而且学生处于四年级，处于中段，已经具备了一定的解决问题能力。但四 2 和四 4 两个班的学生思维活跃、解决问题能力强的学生不是很多，从能力检测中也可以看出，四（2）白明喆 40、张忠泽 40、王泽宇 4、富永盛 36、司钰萱 36；四（4）徐圣思 37、郑晨飞36、张文暄 35、贾子 36、李博文 36，只有这些学生的能力成绩比较优秀，而且本节课的知识点数学思考性强，对于中后等生理解起来有一定的困难；另外，烙饼问题虽与生活密切相关，但对于现在的学生而言烙饼问题还是比较陌生的。基于以上的分析，我将在本节课的教学设计中，适当增加动手操作与独立思考的过程，以培养他们各方面的能力，在烙饼问题中三张饼的烙法是难点，很有思维价值，为了突破这一难点，让班内学生更容易理解，我加入了两张饼的烙法作为过渡。在具体做法上，我为学生提供了便于操作的学具（小圆片），使学生更好地亲身经历研究的过程。这样，不仅使学生学到了数学知识，而且，使学生亲身感悟了数学思想，增长了智慧，充分展现了数学的自身价值。教学目标 1使学生通过简单的实例，初步体会运筹思想在解决实际问题中的应用。2经历解决问题的过程，体验策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。提高学生解决问题的能力。3使学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，用数学眼光看待生活，并尝试用数学的方法解决生活中的简单问题。教学重点：体会在解决问题中优化思想的应用。教学难点：寻找解决问题最优方案，提高学生解决问题的能力。教学用具：课件、圆饼实物图片 教学过程 一、情境导入 故事丁谓施工。中国古代有一个丁谓施工的故事，也蕴含着运筹学的思想。传说宋真宗在位时，皇宫曾起火。一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟。为了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁谓主持修缮工程。当时，要完成这项重大的建筑工程，面临着三个大问题：第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二，要运来大批木材和石料；第三，要运来大量新土。不论是运走垃圾还是运来建筑材料和新土，都涉及到大量的运输问题。如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会受到严重影响。丁谓研究了工程之后，制订了这样的施工方案：首先，从施工现场向外挖了若干条大深沟，把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题。第二步，从城外把汴水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料，解决了木材石料的运输问题。最后，等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填入沟内，使沟重新变为平地。简单归纳起来，就是这样一个过程：挖沟（取土）引水入沟（水道运输）填沟（处理垃圾）。按照这个施工方案，不仅节约了许多时间和经费，而且使工地秩序井然，使城内的交通和生活秩序不受施工太大的影响，因而确实是很科学的施工方案。2你觉得丁谓的这套施工方案怎么样？你们知道丁渭是怎么想出这么巧妙的施工方案吗？这是因为他对工序进行了合理安排。3其实，合理安排的问题几乎和我们天天见面。今天数学广角的活动我们也来进行合理安排。（揭示课题：数学广角合理安排）二、探究新知 1同学们喜欢吃烙饼吗？谁烙过饼，或看家长烙过？能给大家说说烙烙饼的过程吗？2烙烙饼中也有数学知识，这节课我们就到数学广角中去学习有关烙烙饼的知识。问题一：烙双数饼 1烙一张饼需要多长时间？你是怎么算出来的？2如果要烙两张饼，最快需要几分钟？你是怎么想的？（烙两张饼时，可以同时烙两张饼的正面和反面，所用的时间也是6 分钟。）预设：一张一张的烙；两张同时烙 你同意哪一种？为什么？师：现在请你想一想，如果要烙 4 张饼，怎样烙才能尽快吃上饼呢？为什么要 2 张 2 张地烙？一共需要多长的时间？（不让锅中有空余，节省时间）如果要烙 6 张饼呢？8 张饼呢？分别说说你是怎么想的。小结：两张两张烙比一张一张烙能节省时间。问题二：烙单数饼 教学例 1（1）出示情境图片：妈妈正在烙饼，每次只能烙两张饼，每面都要烙，每面 3 分钟。小女孩说：爸爸、妈妈和我每人一张，妈妈该怎样烙才能尽快让大家吃上饼呢？用圆片摆一摆，同时同桌相互说一说。（2）先独立思考，再小组讨论交流，说说自己是怎么安排的？自己的方案一共需要多长时间烙完 预设：一张一张的烙。时间：36=18 分钟 先烙二张再烙第三张。时间：34=12 分钟 B方案 3 分钟 3 分钟 3 分钟 3 分钟 第一张 正 反 第二张 正 反 第三张 正 反 先烙二张正面，再烙其中一张的反面和第三张的正面最后烙剩下的二 面。时间：33=9 分钟 C方案 3 分钟 3 分钟 3 分钟 第一张 正 反 第二张 正 反 第三张 正 反 师：如果学生不能理解，帮助学生利用手中的学具摆一摆。启发学生发现：如果锅里每次都烙两张饼，就不会浪费时间了，问：一张饼正反面分别要烙 3 分钟，怎样安排才能每次都是烙的两张饼呢？可以第一次烙饼 1 和饼 2 的正面，第二次烙饼 2 的反面和饼 3 的正面，第三次烙饼 1 的反面和饼 3 的反面。每次都是 3 分钟，总共是 9 分钟。小结：这种方法每次锅中都有 2 张饼，不浪费时间，我们把这种烙饼的方法，叫 做烙 3 张饼最佳方法。事实上，在我们的生活中是不可能这样烙饼的，而只是一种数学思考方法，所以同学们难以想到这样的烙法。在课堂上我们在思考烙 3 张饼的时候就可以用这种方法。（2）自主探究：如果要烙的是 5 张饼，7 张、9 张饼13 张饼呢？怎样按排最节省时间？小组讨论交流，说说自己的发现。预设：在烙单数张时：两张两张的烙，最后就用烙三张饼的最佳方法来烙，即5=2+3 7=2+2+3 烙饼的数量和所用的时间有什么规律？规律：如果要烙的张数是双数，可以两张两张地烙；如果要烙的是单数，就先两张两张地烙，剩下的就用烙三张饼的最佳方法来烙。多烙一张，就多用 3 分钟。烙饼的张数和时间的规律：用饼数乘3 就可以了。三、结合生活，实践应用 1同学们谈谈，生活中哪些事情可以通过合理的安排来节省时间，提高效率？食堂炒菜 2P114做一做第 1 题：假设两个厨师做每个菜的时间都相等，应该按怎样的顺序炒菜？四、课堂总结：通过今天这节课的学习，你有什么收获？通过学习，我们知道了合理安排事情，可以节省时间，提高效率。老师希望大家能利用今天所学的知识，合理安排时间来学习和生活，做一个珍惜时间的人！在古代，丁谓的合理安排节省了时间，缩短了工期。今天，同学们的合理安排让方方一家尽快地吃到饼。其实小到生活中的点点滴滴，大到经济建设、交通运输等各行各业都会面临合理安排的问题。我国的大数学家华罗庚在这方面可是做出了巨大的贡献。他提出的优选法已经广泛地应用于我们的生产和生活中了。在下节课中我们还将继续研究它。数学文化拓展：优化问题是人们经常遇到的问题。例如，我们出门旅行就要考虑选择怎样的路线和交通工具，才能是旅行所需费用最少或者所花的时间最短。又如，著名的邮递员送信最短路线问题。在各行各业都会面临优化问题。比如企业要考虑怎样安排生产才能使利润最大，农民会考虑怎样安排播种能是年产量最多等等。当年华罗庚先生提出的“优选法”已经广泛的应用于人们的生产、生活中了，现在这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支运筹学。我国古代早就有丰富的运筹思想了，比如战国时期“田忌赛马”的故事，就是运筹学种方法论的应用。学好运筹学，在解决问题时就会如虎添翼，节省大量的资源。板书设计：烙饼问题合理安排省时间 先烙二张正面，再烙其中一张的反面和第三张的正面最后烙剩下的二 面。时间：33=9 分钟 C方案 3 分钟 3 分钟 3 分钟 第一张 正 反 第二张 正 反 第三张 正 反 课后小结：数学广角第二课时 教学内容：合理安排时间（沏茶问题）P113 例 2 教学内容分析：沏茶问题是人教版教材第七册数学广角中的内容，主要通过讨论“沏茶时如何操作最节省时间”，以及解决“日常生活中的一些简单事例”，让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用。在教学方法上，为了使学生能轻松、愉快地理解优化思想，根据学生的认知特点和规律，在本节课的设计中，我遵照课标的要求和学生学习数学的实际，着眼于学生的可持续发展，发挥双向互动教学的作用，通过课件的情境演示为学生创设情境，让学生先独立思考，然后动手操作，互相交流，最后找出最优方案的方式组织教学。在学法方面，新课标指出，学生应是学习的主体，在教学设计过程中，为了进一步体现学生的主体地位，让学生在参与过程中感受数学知识的产生和应用，感受生活数学和数学生活，因而我设计了一系列贴近学生生活实际和年龄特点的教学活动，在这些教学活动中，着重以引导学生运用自主探究、合作探究两种学习方式交替学习，让他们真正以课堂主体的身份参与全程。学情分析：通过前面几册的学习，四年级的学生已经掌握了一些重要的数学思想方法，在生活中有用到过“统筹方法”，平时在做事的时候，有部分学生也注意到怎么做会省时些。但更多的是无意识的，通过这节课的学习，学生对“统筹方法”的运用有所了解，知道怎么做效率会更高，今后碰到类似的问题会有意识的去运用。教学目标：学会根据具体事件的情况，通过调整事件顺序，合理安排时间。教学重点：使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。教学难点:引导学生从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优化方案。教学准备：课件 教学过程 一、谈话引入 师：同学们，我们都知道：人最宝贵的是生命，最值得珍惜的是时间。想要珍惜时间，就要学会合理安排时间。今天就让我们一起到数学广角里去学习合理安排时间。（板书课题:合理安排时间）师：（出示家里来客人要沏查茶的情境图）李阿姨到小明家来做客，妈妈说：“小明，帮妈妈浇壶水，给李阿姨沏杯茶。”怎样才能尽快让客人喝上茶？观察理解情境图。师：为了使李阿姨能尽快喝到水，我们来帮帮小明好吗？二、自主合作，探究新知 1讨论：师：根据你平时沏茶的做法和小明家当时的情况，你想一想，小明需要做哪些事？（洗水壶、烧水、找茶叶、找茶杯、沏茶。）2看图分析：大致梳理出要先洗水壶（情境图）3设计方案：师：怎样做才能让客人尽快喝上茶呢？请同学们以小组为单位,设计一种能尽快让客人喝上茶的方案。现在请拿出手中的工序图片摆一摆，并算一算你们设计的方案需要用多长时间？4.展示不同的方案，并让学生述说设计过程。预设：洗水壶 接水烧水洗茶杯找茶叶沏茶 共 14 分 1 分钟 1分钟 8分钟 2分钟 1分钟 1分钟 ：洗水壶接水烧水 8 分找茶叶沏茶 共 12 分 1 分钟 1分钟（同时洗水杯）1分钟 1分钟：洗水壶接水烧水 8 分钟沏茶 共 11 分 1分钟 1分钟 （同 时）1 分钟 洗水杯 找茶叶 2分钟 1 分钟 师：我们来比较一下，你认为哪一种能尽快让客人喝上茶？（第三种）师：想一想，为什么做同样的事情，工序不同，所用的时间就不一样呢？（学生充分发表意见。）5小结：师：我们在做一些事时，能同时做的事情越多所用的时间也就越短，就最节省时间。在生活中，不仅仅是沏茶，还有很多事情都可以用同样的理念去解决。请看下面的生活小问题。设计意图：本着从学生的生活经验和知识基础出发的原则，让同学们小组合作交流，动手操作，摆一摆，算一算，这样就为设计出最优化的方案提供了素材，让学生自主设计方案，体现了学生才真正是学习的主人。最后通过学生的汇报，共同总结出最优化方案。让学生真正地在亲自动手实践的过程中，设计出了合理安排时间的最优化方案。三、运用知识，解决问题 1.P114 做一做第 2 题 让学生独立思考，然后小组讨论各自的方案。学生指名说方法，教师示范画流程图。2小明早上起床后，洗脸刷牙 3 分钟，读英语 20 分钟，叠被子 5 分钟，整理书包 2 分钟，吃饭 10 分钟，听广播 20 分钟。想一想：小明应该怎样合理安排最省时间。板书设计：沏茶问题合理安排时间 1+1+8+1=11(分钟)答：最快 11 分钟能让李阿姨喝上茶。课后小结：数学广角第三课时 教学内容：排队论的问题 P115 例 3 教学内容分析：例 3 是关于怎样使排队时间最少的问题，这是排队论的问题，排队论是关于随机服务系统的理论，其中的一项研究是怎样使服务对象的等候时间最短的问题。对于这一类问题，学生在学习和生活中经常碰到，比如在排队等老师判作业时，老师有时会让错误多的同学等一下，给错误少的同学先批，或者是不让有许多人到先边都排队来判改错等，着这样的事例中，学生已经有意无意地了解了老师这样做是为了让学生等的时间短一点，这些生活经验有利于学生对新知识的理解，在例题中没有给出船卸货的直接答案，鼓励学生大胆探索解决问题的方案，并寻求最优方案。教学目标 1使学生通过情境图，了解卸货可能出现的顺序。使学生初步体会运筹思想在解决实际问题中的应用。2通过对比找出等候时间的总和最少的卸货顺序。使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。3使学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决生活中的简单问题。教学重点：让学生在学习和对比中总结出等候时间总和最少的一般规律。教学难点；寻找解决问题最优方案，提高学生解决问题的能力。教学准备；课件、图片 教学过程 一、巧设情境，引新导思 1.引入：同学们，在生活中你有过排队等候的经历吗？等候的时候心情好吗?2.前面我们学习合理安排时间能提高做事的效率。在实际生活中还会遇到这样的问题，请同学们看。多媒体出示情境图片：码头上现在同时有 3 艘货船需要卸货，但是只能一条一条地卸货，并且每艘船卸货所需的时间各不相同，那么按照怎样的顺序卸货能使 3 艘货船等候的总时间最少呢？这就是我们今天要学习的内容。出示课题-数学广角。二、自主探索，合作交流 1.理解题意 观察图，说说你得到哪些信息？还有什么问题吗？什么是等候时间的总和？思考：要使三艘货船的等候时间的总和最少，应该按怎样的顺序卸货？可以有哪些卸货的顺序？每种方案总的等候时间是多少？2.设计方案，填表 请学生拿出课前发的表格，以小组为单位，按表格的提示根据情景图讨论并填写表格。3、讨论交流 说出自己的理由，选出最优的方案。三、启发引导，解难化疑 1.从表中你有什么发现吗？（1）引导学生汇报方案，算出每种方案等候的时间。如果先卸船 1 的货，那么 3 艘船都要等候 8 小时；而如果先卸船 3 的货，那么每艘船只等候 1 小时.（2）引导学生达成共识:依次从等候时间较少的船开始卸货，就能使总的等候时间最少。体会最节省时间的方法。方案 卸货顺序 船1等候的时间/时 船 2 等候的时间/时 船 3 等候的时间/时 等候时间的总和/时 1 船 1-船 2-船 3 8 8+4 8+4+1 33 2 船 1-船 3-船 2 8 8+1+4 8+1 30 3 船 2-船 1-船 3 4+8 4 4+8+1 29 4 船 2-船 3-船 1 4+1+8 4 4+1 22 5 船 3-船 1-船 2 1+8 1+8+4 1 23 6 船 3-船 2-船 1 1+4+8 1+4 1 19 四、巩固练习，总结提高 1.提出问题：（出示课件：理发店）同学们，老师星期天去理发店准备剪一下头发，不巧的是，同时进入理发店的还有一位叔叔和一个小朋友，而理发店只有一位理发师，你认为理发师应该按怎样的顺序安排比较合理？（老师：30 分钟，叔叔：15 分钟，小朋友：10 分钟）2.学生独立思考解决 3.汇报交流，优选方案 五、总结：这节课你有什么收获？板书设计：卸货问题排队论 流程图：表格图：略 如：先卸船 3-再卸船 2-最后卸船 1（1 小时）（4 小时）(8 小时)附表格 方案 卸货顺序 船1等候的时间/时 船 2 等候的时间/时 船 3 等候的时间/时 等候时间的总和/时 1 船 1-船 2-船 3 2 3 4 5 6 课后小结：数学广角第四课时 教学内容：对策论问题 P116 页例 4 教学内容分析：让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的运用。标准中指出：当学生“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略。”在日常生活中，解决问题的方法学生很容易找到，而且会找到解决问题的不同的策略，这里的关键是让学生理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。战国时期“田忌赛马”的故事，就是对策论的应用。对策论是运筹学的一个分支，对策论的方法也是运筹思想中常用的方法之一，在体育比赛中经常会用到。比如在乒乓球团体比赛中就要根据不同的对手来排兵布阵，这里就用到了对策论的方法。例 4 就呈现了“田忌赛马”的故事，让学生体会对策论的方法在实际中的应用。学情分析：通过三年数学广角的学习，孩子们的思维里应该存在这样一些数学思想，比如：分类讨论、类比思想、建模思想、归纳推理。应用这些数学思想帮助学生理解田忌赛马的策略问题，应该不是太难。同时，我想多数学生可能对“田忌赛马”的故事已经了解，但是并不是从数学的角度去理解的。因此在这里，通过这个故事让学生体会对策论方法在实际中的应用。教学目标：1.给生活中的简单问题制定取胜策略，初步体会对策论在解决实际问题中的应用。2.经历大胆猜想、有序枚举、实验验证等过程，感受解决问题策略的多样化，形成寻找解决问题最优方案的意识。学生体验学习数学、用数学的乐趣。3.学生感受对策问题的广泛应用，体会学习对策用对策的乐趣。教学重点：能在所有可能采取的策略中选择一个最优策略。教学难点：能初步体会对策论方法在解决问题中的应用，做到举一反三。教具准备：课件 表格 成语故事 教学过程 一、游戏导入 抛砖引玉 师：同学们，上课前我们先来做个“比大小”的小游戏 规则：两组扑克牌（3、5、7）（4、6、8）任选一组 每次各出一张 数字大的为胜 三局两胜 谁愿意来接受挑战？选择一名学生共同游戏 学生选牌 分类讨论 1.学生选择（357）这组 生先出 师胜 继续下一组 2.学生选择（468）这组 生先出 师胜 师：看到这个结果 你有什么疑问吗？*让学生质疑：为什么选择的牌数字大却输了 生：老师先输一局 后面剩下的数字都比学生的大 所以赢了 生：这是一种比赛的策略 先舍弃一局 然后赢回来 师：在比赛中可以以少胜多，以弱胜强，关键看你应用怎样的一种对策。同时板书：对策【如果学生质疑，谁先出的问题，就顺水推舟让学生说明自己的想法。有这样领悟能力的学生已经悟出其中的道理，至少他已经很快的算出胜负。可以操作扑克牌对他的讲解进行操作，便于全体理解。】二、田忌赛马 对策选优 早在战国时期 就流传着这样一个故事田忌赛马 同时板书课题：田忌赛马 古时候齐国的大将田忌，很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛。他们商量好，把各自的马分成上，中，下三等。比赛的时候，要上等对上等，中等对中等，下等对下等。由于齐威王每个等级的马都比田忌的马强，所以比赛了几次，田忌都失败了。田忌觉得很扫兴，这时，自己的好朋友孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀说：“我刚才看了赛马，威王的马比你的马快不了多少。你再同他赛一次，我有办法准能让你赢了他。”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换一匹马来？”孙膑摇摇头说：“一匹马也不需要更换。”田忌毫无信心地说：“那还不是照样得输！”孙膑胸有成竹地说：“你就按照我的安排办吧。”师：你知道孙膑运用了怎样的策略取胜？学生讨论 填表 汇报 齐王 田忌 本场胜者 第一场 上等马 下等马 齐王胜 第二场 中等马 上等马 田忌胜 第三场 下等马 中等马 田忌胜 通过比较使学生发现：虽然在同等级的马中，田忌的马都不如齐王的马；如果拿同等级的马进行比赛田忌一定会输，但是田忌所采用的策略却让他赢了。从而，让学生体会到对策论的方法在这场比赛中的重要性。把故事讲完 一声锣响，比赛开始了。孙膑先以下等马对齐威王的上等马，第一局输了。齐威王站起来说：“想不到赫赫有名的孙膑先生，竟然想出这样拙劣的对策。”孙膑不去理他。接着进行第二场比赛。孙膑拿上等马对齐威王的中等马，获胜了一局。齐威王有点心慌意乱了。第三局比赛，孙膑拿中等马对齐威王的下等马，又战胜了一局。这下，齐威王目瞪口呆了。比赛的结果是三局两胜，当然是田忌赢了齐威王。还是同样的马匹，由于调换一下比赛的出场顺序，就得到转败为胜的结果。思考：田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？（看一看田忌一共有多少种可采用的应对策略。）出示表格。根据学生的回答依次填写 6 种不同的策略。第一场 第二场 第三场 获胜方 齐王 上等马 中等马 下等马 田忌 1 下等马 上等马 中等马 田忌 田忌 2 上等马 中等马 下等马 齐王 田忌 3 上等马 下等马 中等马 齐王 田忌 4 中等马 上等马 下等马 齐王 田忌 5 中等马 下等马 上等马 齐王 田忌 6 下等马 中等马 上等马 齐王 小结：田忌可以采用的策略一共有 6 种，但只有一种也就是他所使用的方法是唯一可以获胜的。由此我们可以知道，在众多对策中要选则一个最好的，去解决我们遇到的问题。板书：选优 田忌的这种策略在生活中还有哪些应用？（使学生体会对策论方法在生活中的应用。）同学们，通过“田忌赛马”的故事，我们可以体会到策略和方法在实际生活中的作用，有些生活中的问题往往是可以用一些数学策略来解决的，关键是要有善于运用策略的意识。三、基本练习 这是一场拍球比赛，四局三胜，请看参加比赛的双方资料。对方 1 分钟拍球个数：1 号 20 个 2 号 40 个 3 号 60 个 4 号 80 个 我方 1 分钟拍球个数：1 号 10 个 2 号 30 个 3 号 50 个 4 号 70 个 请问我方队员怎样对阵才能赢？学生思考 独立回答 我方 对方 1 号 4 号 2 号 1 号 3 号 2 号 4 号 3 号 四、拓展练习 石头 剪刀 布 电脑出示第一局比赛结果：石头对石头 打平 接下来的对抗师生完成 规则继续比赛 且不能连续出同一个手势 记录分数 赢2 分 平1 分 输0 分 赛程 510 局 师总是不输 究其原因 学生讨论 其中的对策如下：第一局石头打平 第二局只能出剪刀或布 无论哪种出剪刀肯定不输 同样的道理 以此类推 小结：没想到生活中这样不起眼的一个小游戏，也蕴藏着策略问题。看来，做事情要想成功取胜就必须动脑筋想办法。五、介绍博弈论数学史 博弈论又被称为对策论（Game Theory)，它是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要组成内容。博弈论思想古已有之，我国古代的孙子兵法就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在 20 世纪初。1928 年冯诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。对策论的思想萌芽可追溯到中国古代，著名的田忌赛马（战国时期）和丁谓建宫（宋代）的故事都含有深刻的对策论思想。前者是制定比赛中的最优策略，后者是改造自然的最优策略。【丁谓建宫】宋真宗大中祥符年间，宫中着火。当时丁谓主持重建宫室（需要烧砖），被取土地很远所困扰。丁谓于是命令从大街取土，没几天就成了大渠。于是挖通汴河水进入渠中，各地水运的资材，都通过汴河和大渠运至宫门口。重建工作完成后，用工程废弃的瓦砾回填入渠中，水渠又变成了街道。做了一件事情而完成了三个任务，省下的费用要用亿万来计算。六、这节课你有什么收获？板书设计：田忌赛马 对策 选优 第一场 第二场 第三场 获胜方 齐王 上等马 中等马 下等马 田忌 1 下等马 上等马 中等马 田忌 田忌 2 上等马 中等马 下等马 齐王 田忌 3 上等马 下等马 中等马 齐王 田忌 4 中等马 上等马 下等马 齐王 田忌 5 中等马 下等马 上等马 齐王 田忌 6 下等马 中等马 上等马 齐王 课后小结：附：（有时间可在课上做）一、数学游戏：（答案见教参p149）1两人轮流报数，每次只能报 1 或 2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是 10，谁就获胜。想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎么报？说明游戏规则 2两人轮流报数，必须报不大于 5 的自然数，把两人报的数依次加起来，谁报数后和是 100，谁获胜。：如果让你先报数，为了获胜，你第一次报几？以后怎么报？二、数学游戏。有 15 根火柴，A、B两人轮流取走，每次只能取 1 根或 2 根，谁取到最后一根火柴谁就赢。想一想，为了确保获胜，是应该先取，还是应该后取？怎样取？