2023年四年级奥数举一反三第八周巧妙求和一.pdf

1/6 四年级奥数举一反三第八周巧妙求和（一）专题简析；若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式；“通项公式”和“项数公式”。通项公式；第 n 项=首项+（项数1）公差 项数公式；项数=（末项首项）公差1 2/6 例 1；有一个数列；4，10，16，22，52，这个数列共有多少项？分析与解答；容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是 4，末项是 52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（524）61=9，即这个数列共有 9 项。练 习 一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列；2，5，8，11，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列 11，16，21，26，1001，这个等差数列共有多少项？3/6 例 2；有一等差数列；3，7，11，15，这个等差数列的第 100 项是多少？分析与解答；这个等差数列的首项是 3，公差是 4，项数是 100。要求第 100 项，可根据“末项=首项+公差（项数1）”进行计算。第 100 项=3+4（1001）=399 练 习 二 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求 1，4，7，10这个等差数列的第 30 项。3，求等差数列 2，6，10，14的第 100 项。4/6 例 3；有这样一个数列；1，2，3，4，99，100。请求出这个数列所有项的和。分析与解答；如果我们把 1，2，3，4，99，100与列 100，99，3，2，1 相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101，一共有 100 个 101相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2，就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和；等差数列总和=（首项+末项）项数2 这个公式也叫做等差数列求和公式。练 习 三 计算下面各题。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60 5/6 例 4；求等差数列 2，4，6，48，50 的和。分析与解答；这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少；项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）252=650 练 习 四 计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270 例 5；计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）分析与解答；容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 6/6 100 这 100 个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50 练 习 五 用简便方法计算下面各题。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）