2023年基础随机变量及其分布知识点归纳总结.pdf
随机变量及其分布 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量 X可能取的值为12,inx xxx，X取每一个值(1,2,)ix in的概率()iiP Xxp，则称以下表格 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 为随机变量 X的概率分布列，简称 X的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）0,1,2,iPin （2）121nppp 常见的两种分布：1两点分布 如果随机变量 X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 则称 X服从两点分布，并称=P(X=1)p为成功概率.2超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有 X件次品，则事件Xk发生的概率为：(),0,1,2,3,.,kn kMN MnNC CP XkkmC 则随机变量 X的概率分布列如下：X 0 1 m P 00nMN MnNC CC 11nMN MnNC CC mn mMN MnNC CC *min,mM nnN MN n M NN其中且。注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设 A,B 为两个事件,且()0P A,称()(|)()P ABP B AP A为在事件 A发生的条件下,事件 B发生的条件概率.0(|)1P B A 三、相互独立事件 设 A，B两个事件，如果事件 A是否发生对事件 B发生的概率没有影响(即()()()P ABP A P B),则 称 事 件A与 事 件B相 互 独 立。()()()ABP ABP A P B即、相互独立 一般地，如果事件 A1,A2,An 两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(.)()().()nnP AAAP A P AP A.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n 次独立重复试验 一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.在n次独立重复 试验中，记iA是“第i次试验的 结果”，显然，1212()()()()nnP AAAP A P AP A “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注:独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布 一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为 p，则()(1)0,1,2,kkn knP XkC ppkn，X 0 1 k n P 00nnC p q 111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p q 此时称随机变量 X服从二项分布，记作(,)XB n p，并称 p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量 X的概率分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称1122()iinnE Xx px px px p 为 X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1若YaXb，其中 a，b为常数，则 Y 也是变量 Y 1axb 2axb iaxb naxb P p1 p2 pi pn 则()EYaE Xb，即()()E aXbaE Xb 2一般地，如果随机变量 X服从两点分布，那么()=10(1)E Xppp 即若 X服从两点分布，则()E Xp 3若(,)XB n p，则()E Xnp 七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量 x 的概率分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 2221122()()().nnDXxE XpxE XpxE XpXDXX 则称为随机变量 的方差并称为随机变量 的标准差 1若 X服从两点分布，则()(1)D Xpp 2若(,)XB n p，则()(1)D Xnpp 32()()D aXba D X 八、正态分布 1.正态分布一般记为 N(，2)为正态分布的均值；是正态分布的标准差 2结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交(2)曲线关于直线 x对称(3)当 x时，曲线位于最高点(4)当 x时，曲线上升(增函数)；当 x时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近(5)一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“高”，总体分布越集中；33原则：对于正态总体),(2N取值的概率：68.3%2x95.4%4x99.7%6x 练习：1.正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A越大 B 越小 C越大 D越小 2在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间112,88内的概率是 A06826 B03174 C09544 D09974 3若xN(0,1),求P(x2).P(x-1)
