2023年北师大版数学九年级上册知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳全面超详细知识汇总全面汇总归纳全面汇总归纳.pdf

第 1 页 北师大版数学（九年级上册）知识点总结 第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则2ba 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=2180A 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形 性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60。（2）三线合一 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。四、直角三角形（一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方及等于斜边 c 的平方，即222cba 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形及原三角形相似。2、常用关系式：由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边及斜边上的高的积（二）、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。第 2 页 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。（三）直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）五、角的平分线及其性质及判定 1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。3、角的平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。六、线段垂直平分线的性质及判定 1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点及这条线段两个端点的距离相等。定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。七、反证法 八、互逆命题、互逆定理 1、在两个命题中，如果一个命题的条件及结论分别是另一个命题的结论及条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。第二章 一元二次方程 一、一元二次方程 （一）、一元二次方程定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。当0b时，bax，bax；当b0时，方程没有实数根。2、配方法 一般步骤：（1）方程)0(02acbxax两边同时除以a,将二次项系数化为 1.（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。全等三角形的对应边相等对应角相等推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可简写成角角边或二等腰上的高互相重合三线合一等腰三角形的其他性质等腰直角三角形的两个底角相等且等于等腰三角形的底角只能为锐角角为顶角为底角为则等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等简称等角对等边有第 3 页（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）配方，化成bax2)(（5）开方。当0b时，bax；当 b0 k0 时，函数图象的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y的取值范围是 y0；当 k0 时，函数图象的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定 确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义 过反比例函数)0(kxky图像上任一点 P（x,y）作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂足分别是 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PMPN=xyxy。第六章 频率及概率 概率的求法：（1）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的 m个结果，那么事件 A发生的概率为 P（A）=nm（2）、列表法 用列出表格的方法来分析及求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）树状图法 通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。全等三角形的对应边相等对应角相等推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可简写成角角边或二等腰上的高互相重合三线合一等腰三角形的其他性质等腰直角三角形的两个底角相等且等于等腰三角形的底角只能为锐角角为顶角为底角为则等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等简称等角对等边有第 7 页（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）全等三角形的对应边相等对应角相等推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可简写成角角边或二等腰上的高互相重合三线合一等腰三角形的其他性质等腰直角三角形的两个底角相等且等于等腰三角形的底角只能为锐角角为顶角为底角为则等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等简称等角对等边有