2023年含绝对值不等式的解法含超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

1 含绝对值的不等式的解法 一、基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。（一）、公式法：即利用ax 与ax 的解集求解。主要知识：1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；21xx 是指数轴上1x，2x两点间的距离.。2、ax 与ax 型的不等式的解法。当0a时，不等式x的解集是axaxx 或,不等式ax 的解集是axax;当0a时，不等式ax 的解集是Rxx 不等式ax 的解集是;3cbax与cbax型的不等式的解法。把 bax 看作一个整体时，可化为ax 与ax 型的不等式来求解。当0c时，不等式cbax的解集是cbaxcbaxx或,不等式cbax的解集是cbaxcx;当0c时，不等式cbax的解集是Rxx 不等式cbxa的解集是;例 1 解不等式32 x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2x”看着一个整体。答案为51xx。(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a aaaa a去掉绝对值再解。例 2。解不等式22xxxx。分析:由绝对值的意义知，aaa0，aa a0。解:原不等式等价于2xx0 x(x+2)0-2x0。2（三）、平方法:解()()f xg x型不等式。例 3、解不等式123xx。解:原不等式22(1)(23)xx22(23)(1)0 xx (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)0(3x-4)(x-2)0 423x。说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例 4 解不等式125xx 。分析:由01 x，02 x，得1x和2x。2和1把实数集合分成三个区间，即2x，12x，1x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。解:当 x-2 时，得2(1)(2)5xxx ，解得：23x 当-2x1 时，得21,(1)(2)5xxx ，解得：12x 当1x时，得1,(1)(2)5.xxx 解得：21x 综上，原不等式的解集为23xx。说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。三、几何法：即转化为几何知识求解。例 5 对任何实数x，若不等式12xxk 恒成立，则实数 k 的取值范围为()(A)k3 (B)k-3 (C)k 3 (D)k-3 分析:设12yxx ，则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是minky，于是题转化为求y的最小值。解:1x、2x的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离1x-2x的几何意义为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。02-1x识绝对值的几何意义是指数轴上点到原点的距离两点间的距离型的不等式的解法当时不等式的解集是的解集是不等式式当时不等式不等式型的不等式来求解与的解集是或的解集是的解集是的解集是例解不等式分析这类题可直接利用上式分析由绝对值的意义知解原不等式等价于三平方法解型不等式例解不等式解原不等式说明求解中以平方后移项再用 3 四、典型题型 1、解关于x的不等式10832 xx 解：原不等式等价于1083102xx，即1083108322xxxx3621xxx或 原不等式的解集为)3,1()2,6(2、解关于x的不等式2321x 解：原不等式等价于2132032xx474523xx 3、解关于x的不等式212xx 解：原不等式可化为22)2()12(xx 0)2()12(22xx 即 0)13)(3(xx 解得：331x 原不等式的解集为)3,31(4、解关于x的不等式1212mx)(Rm 解：当012m时，即21m，因012x，故原不等式的解集是空集。当012m时，即21m，原不等式等价于1212)12(mxm 解得：mxm1 综上，当21m时，原不等式解集为空集;当21m时，不等式解集为mxmx1 识绝对值的几何意义是指数轴上点到原点的距离两点间的距离型的不等式的解法当时不等式的解集是的解集是不等式式当时不等式不等式型的不等式来求解与的解集是或的解集是的解集是的解集是例解不等式分析这类题可直接利用上式分析由绝对值的意义知解原不等式等价于三平方法解型不等式例解不等式解原不等式说明求解中以平方后移项再用 4 5、解关于x的不等式1312xxx 解：当3x时，得1)3()12(3xxxx，无解 当213x，得13)12(213xxxx，解得：2143x 当21x时，得131221xxxx，解得：21x 综上所述，原不等式的解集为43(，)21 6、解关于x的不等式521xx （答案：),2 3,(）解：五、巩固练习 1、设函数)2(,312)(fxxxf则 ;若2)(xf，则x的取值范围是 .2、已知aR，若关于x的方程2104xxaa 有实根，则a的取值范围 是 3、不等式121xx的实数解为 4、解下列不等式 4321xx；|2|1|xx ；|21|2|4xx ；4|23|7x ；241x；aax2（aR）5、若不等式62 ax的解集为 1,2，则实数a等于（）.A 8 .B 2 .C 4 .D 8 6、若xR，则 110 xx的解集是（）识绝对值的几何意义是指数轴上点到原点的距离两点间的距离型的不等式的解法当时不等式的解集是的解集是不等式式当时不等式不等式型的不等式来求解与的解集是或的解集是的解集是的解集是例解不等式分析这类题可直接利用上式分析由绝对值的意义知解原不等式等价于三平方法解型不等式例解不等式解原不等式说明求解中以平方后移项再用 5 .A01xx.B0 x x 且1x.C11xx .D1x x 且1x 7、1对任意实数x，|1|2|xxa 恒成立，则a的取值范围是 ；2对任意实数x，|1|3|xxa 恒成立，则a的取值范围是 ；3若关于x的不等式|4|3|xxa 的解集不是空集，则a的取值范围是 ；8、不等式xx3102的解集为（）.A|210 xx .B|25xx .C|25xx .D|105xx 9、解不等式：221xx 10、方程xxxxxx323222的解集为 ，不等式xxxx22的解集是 ；12、不等式x0)21(x的解集是（）.A)21,(.B)21,0()0,(.C),21(.D)21,0(11、不等式3529x 的解集是 .A,27,.B 1,4 .C 2,14,7 .D2,14,7 12、已知不等式ax 2)0(a的解集为cxRx1|，求ca2的值 13、解关于x的不等式：解关于x的不等式31 mx；ax132)(Ra 14、不等式1|1|3x 的解集为（）.A(0,2).B(2,0)(2,4).C(4,0).D(4,2)(0,2)15、设集合22,Ax xxR，21,2xxyyB，则RCAB等于().A R .B,0 x xR x .C 0 .D 16、不等式211xx 的解集是 17、设全集UR，解关于x的不等式：110 xa xR （参考答案）1、6 ；2、4,0 3、)23,2()2,(识绝对值的几何意义是指数轴上点到原点的距离两点间的距离型的不等式的解法当时不等式的解集是的解集是不等式式当时不等式不等式型的不等式来求解与的解集是或的解集是的解集是的解集是例解不等式分析这类题可直接利用上式分析由绝对值的意义知解原不等式等价于三平方法解型不等式例解不等式解原不等式说明求解中以平方后移项再用 6 4、231xxx或 21xx 121xxx或 527212xxx或 7315xxx或 当0a时，axax22；当0a时，不等式的解集为 5、C 6、D 7、3a；4a；7a；8、C 9、2521xaxx或 10、023xxx或；02xxx或 11、D 12、15 13、当0m时，Rx；当0m时，mxm42；当0m时，mxm24 当01a，即1a时，不等式的解集为122axax；当01a，即1a时，不等式的解集为；14、D 15、B 16、0(，)2 17、当01 a，即1a时，不等式的解集为axaxx2或；当01 a，即1a时，不等式的解集为1xx；当01 a，即1a时，不等式的解集为R；识绝对值的几何意义是指数轴上点到原点的距离两点间的距离型的不等式的解法当时不等式的解集是的解集是不等式式当时不等式不等式型的不等式来求解与的解集是或的解集是的解集是的解集是例解不等式分析这类题可直接利用上式分析由绝对值的意义知解原不等式等价于三平方法解型不等式例解不等式解原不等式说明求解中以平方后移项再用