2023年数列求和方法全面汇总归纳.pdf
数列的求和 一、教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3熟记一些常用的数列的和的公式 二、教学重点：特殊数列求和的方法 三、教学过程：（一）主要知识：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 （2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法：222221(1)(21)1236nkn nnkn L 2333331(1)1232nkn nkn L 3错位相减法：比如.,2211的和求等比等差nnnnbabababa 4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn ；11 11()(2)22n nnn )121121(21)12)(12(1nnnn !)!1(!nnnn 5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6合并求和法：如求22222212979899100的和。7倒序相加法：8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；（三）例题分析：例 1求和：个nnS111111111 22222)1()1()1(nnnxxxxxxS 求数列 1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前n 项和nS 思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：)110(9110101011112kkkka个)101010(91)110()110()110(9122nSnnn81109109)110(10911nnnn)21()21()21(224422nnnxxxxxxS nxxxxxxnn2)111()(242242（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222（2）当nSxn4,1 时 kkkkkkkkkkak23252)23()12()1()12()12(2)12(2 2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221nnnnnnnaaaSnn)25)(1(61nnn 总结：运用等比数列前 n 项和公式时，要注意公比11qq或讨论。2错位相减法求和 例 2已知数列)0()12(,5,3,112aanaan，求前 n 项和。思路分析：已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1与等比数列120,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaaS 2)12(5332nnanaaaaS nnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132 当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时 21)1()12()12(1aananaSnnn 当2,1nSan时 3.裂项相消法求和 例 3.求和)12)(12()2(534312222nnnSn 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak 12)1(2)1211(21)121121()5131()311(2121nnnnnnnnaaaSnn练习:求nnanaaaS32321 答案:)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn 4.倒序相加法求和 例 4 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS 则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnS mnnmnCC nnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有 nnnnnnnnCCCCnS2)1()1(210 等式成立 5其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例 5已知数列nnnnSnaa求,)1(2,。思路分析：nnna)1(22，通过分组，对 n 分奇偶讨论求和。解：nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212)1(2)2321(2,2则)1(2)12()2321(2nnmmmSn 若)12(22)12()1(2 22)12(,1222212mmmmmmaSSSmnmmmmn则 22)1()1(224222nnnnmm)(2)()1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn 预备：已知nnnaaaaxaxaxaxf,)(321221且成等差数列，n 为正偶数，又nfnf)1(,)1(2，试比较)21(f与 3 的大小。解：naaaaafnaaaafnnn13212321)1()1(2222)(121dnaandnnnaann 12122)1(111naadndnaan nnnfxnxxxxf)21)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232 可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2，n 为正偶数，3)21(f （四）巩固练习：1求下列数列的前n项和nS：（1）5，55，555，5555，5(101)9n，；（2）1111,1 3 2 4 3 5(2)n nLL；（3）11nann；（4）23,2,3,naaanaLL；（5）1 3,24,3 5,(2),n nLL；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89ooooL L 解：（1）555555555nnS 6 7 8LL个5(999999999)9n 6 7 8LL个 235(101)(101)(101)(101)9n L 23550510101010(101)9819nnnn L（2）11 11()(2)22n nnn，11111111(1)()()()2324352nSnn L1111(1)2212nn （3）1111(1)(1)nnnannnnnnnn 11121321nSnn L(21)(32)(1)nn L1 1n （4）2323nnSaaana L，当1a 时，123nS (1)2n nn，当1a 时，2323nSaaa nna，23423naSaaa1nna，两式相减得 23(1)na Saaa 11(1)1nnnnaaananaa，212(1)(1)nnnnanaaSa （5）2(2)2n nnn，原式222(123 2)2(123n )n(1)(27)6n nn（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S ooooL L，又2222sin 89sin 88sin 87sin 1S ooooL L，289S，892S 2已知数列na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS 解：奇数项组成以11a 为首项，公差为 12 的等差数列，偶数项组成以24a 为首项，公比为 4 的等比数列；当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221 423nnnnnnnS，当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，2(165)4(14)(32)4(21)221 423nnnnnnnS，所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn 为奇数为偶数 四、小结：1掌握各种求和基本方法；2利用等比数列求和公式时注意分11qq或讨论。
