对学生宿舍设计方案的评价建模论文.docx

对学生宿舍设计方案评价目 录摘要21.问题重述32.问题分析33.模型假设44.符号说明45.模型的建立与求解55.1经济性方面55.2 舒适性方面75.3 安全性方面85.4 综合分析106.模型的分析107.模型的评价与推广117.1 模型的评价117.2 模型的推广11参考文献11附录12对学生宿舍设计方案的评价摘要本文主要从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿舍的设计方案做出综合量化和比较。在评价过程中，主要运用了模糊决策和层次分析法，并利用MATLAB软件进行求解。由于本问题的许多条件比较模糊，具有隐藏性，我们先对附件中的数据进行预处理，从中提取与评价相关的因素分析系统中的各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，首先要把与问题有关的各种因素层次化，然后构造出几个树状的层次结构模型，然后利用层次分析法确定各准则对目标的权重，构造比较矩阵不是把所有的因素放在一起比较，而是将同一层的各因素进行两两对比，比较时采用相对的尺度标准度量，尽可能的避免不同性质的因素之间相互比较的困难，同时我们尽量根据实际情况，减少由于决策人主观因素对决策的影响，从而建立学生宿舍设计方案的评价模型。具体结果为：（1）经济性方面：四种设计方案的组合权向量为：W1=(0.0458,0.4609,0.2662,0.2270)T在这里我们的评价准则为：指标越小，优先选择程度越大，也就是说，所需的经费越少。结论为：方案1在经济性上的权重占0.0458，方案2占0.4609，方案3占0.2662，方案4占0.2270。因而方案1是经济性最优的，其次为方案4、方案3，最后是方案2。（2）舒适性方面：四种设计方案的组合权向量为：=(0.0992,0.4397,0.2325,0.2287)T在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，舒适性就越好。结论为：方案1在舒适性上的权重占0.0992，方案2占0.4397，方案3占0.2325，方案4占0.2287。因而方案2是舒适度最高的，其次为方案3、方案4，最后是方案1。（3）安全性方面：四种设计方案的组合权向量为：=(0.1601,0.3513,0.2074,0.2812)T在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，安全性就越高。结论为：方案1在安全性上的权重占0.1601，方案2占0.3513，方案3占0.2074，方案4占0.2812。因而方案2是安全性最强的，其次为方案4、方案3，最后是方案1。（4）综合分析方面：得到最终的组合权向量为：=0.0764,0.4427,0.2481,0.2327T在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，方案最优。由此得出最终的综合评价为：方案2是综合指标最高的，其次为方案3、方案4，最后是方案1。最后，对以上建立的模型进行合理化的评价和深入的探讨，分析了模型的优缺点，并提出了进一步的改进方向。关键词：评价模型 层次分析法 权重 MATLAB1.问题重述现如今的学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理, 同时要考虑成本和收费的平衡, 这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。请用数学建模的方法，从经济性、舒适性、安全性方面对附件中给出的四种学生宿舍的设计方案作出综合量化和比较。经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。安全性：人员疏散和防盗等。附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。2.问题分析本问题要解决的问题是对四种典型的学生宿舍设计方案进行评价与比较。题目中的数据比较模糊，具有隐藏性，而且是用图的方式展示给我们的，因而解决这一问题的关键点有两个：（1）如何把附件中四个平面设计图中所隐藏的数据量化；（2）在建立评价比较模型时如何确定各个因素之间的权重与影响。因而我们采用综合评价方法和层次分析法相结合的方法构架评价模型，来评判各个宿舍设计方案的优劣。经济性方面我们考虑：建设成本：指造价费，假设单位面积造价一样，我们假设建设成本等于单位造价乘以建筑面积。因此，面积越大，建筑成本越高。方案方案一方案二方案三方案四面积m2887.35266022291886.64运行成本：指设施设备维修费、折旧费、定额供应水、电、气费，管理人员费等，这与学生人数有关，在这里我们考虑的是人均面积，我们假设人均运行成本相同。收费标准：指单位造价乘以建筑面积除以学生总人数加上运行成本。人均面积：寝室面积除以每个房间所住的人数。使用方便：学生一般使用最多的就是生活方面所以我们只考虑卫生间、盥洗室、沐浴室的人均面积互不干扰：卧室是学生休息、生活的主要场所，所以互不干扰我们只考虑卧室的人均面积。采光和通风：如下表方案方案一方案二方案三方案四根据四幅图对采光和通风进行分析阳台适中采光不错，通风一般阳台小，采光会弱一些，适于通风阳台大采光较好，适于通风无阳台，采光差，通风也不好评级良中优差人员疏散：人员疏散快慢与走廊和楼梯的人均面积多少有关，走廊和楼梯的人均面积越大那么人员疏散越快，安全系数越高。防盗：进入寝室的门窗设置，我们认为建筑的防盗设施门越显眼，窗户和门越少安全系数越高。 根据这些规定我们得到各方案中指标的评分值。3.模型假设1) 我们以附件中的四个图片作为研究的对象；2) Design1、Design2、Design3和Design4分别对应层次结构中的方案层P；3) 假设收集到的数据与理论根据是准确合理的；4) 不考虑宿舍未住满、设施损毁等情形；5) 单位面积内的建设成本我们假设为定值。4.符号说明符号含义表示、不同层次结构下的目标层、不同层次结构下的准则层、不同层次结构下的决策层准则层下的经济性、舒适性、安全性因素子准则层下的建设成本、运行成本、收费标准因素子准则层下的人均面积、使用方便、互不干扰因素子准则层下的采光通风、人员疏散、防盗因素一致性指标、随机一致性指标、一致性比率正互反矩阵的特征值建设成本、运行成本、收费标准分别对经济的权向量经济、舒适、安全情况下四种方案之间的权向量经济性、舒适性、安全性分别对综合评价的权向量四种设计方案之间的权向量表15.模型的建立与求解5.1经济性方面在这个层面上，把经济性设为目标层，把建设成本、运行成本、收费标准设为准则层，四种方案设为决策层，层次结构图如图2所示。目标层准则层决策层方案1方案2方案3方案4经济性B1收费标准C3建设成本 C1运行成本 C2图2随机一致性指标：通常有实际经验所得，如下表：N123456789101112131415RI000.580.901.121.121.321.411.451.491.511.541.561.581.59表3得到其相对应的成对比较矩阵(解释在附录)如下面所示：第二层（建设成本、运行成本、收费标准）对第一层（经济性）的成对比较矩阵为：=求得其最大特征根(用matlab中 eig(A)求出最大特征根)为，经一致性检验：查找相应的平均随机一致性指标（见上表3）当n=3时，=0.58，计算一致性比率为：Matlab代码：B1的一致性检验>> v d=eig(B1);n=3;CI=(d(1,1)-n)/(n-1);RI=0.58; %可查表3CR=CI/RI %一致性检验值CR = 0.0079（其他一致性检验同理，附在附录上）<0.10时说明矩阵的不一致程度是可以接受的，矩阵（经济性）的权向量为：W1=(0.1058,0.2106,0.6835)T第三层（方案1、2、3、4）对第二层（建设成本C1、运行成本C2、收费标准C3）的成对比较矩阵为：= = =通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量（建设成本、运行成本、收费标准分别对经济的权向量）、最大特征根与一致性指标，具体求解结果见下表4：0.10580.03990.04170.04800.21060.42070.43810.47420.68350.34340.31560.23910.19590.20460.23883.00924.21384.17074.06200.00790.07920.06320.0229表4上述一致性比率均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性。于是得出，单在经济性方面上四种设计方案的组合权向量为：W1=(0.0458,0.4609,0.2662,0.2270)T在这里我们的评价准则为：指标越小，优先选择程度越大，也就是说，所需的经费越少。作出综合评价结论为：方案1在经济性上的权重占0.0458，方案2占0.4609，方案3占0.2662，方案4占0.2270。因而方案1是经济性最优的，其次为方案4、方案3，最后是方案2。5.2 舒适性方面同上面的方法，建立了舒适性方面如图3所示的层次结构图。舒适性B2使用方便C5互不干扰C6采光通风C7人均面积 C4方案1方案2方案3方案4目标层准则层决策层图3在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，舒适性就越好。 从而得到其相对应的成对比较矩阵如下所示：第二层（人均面积、使用方便、互不干扰、采光通风）对第一层（舒适性）的成对比较矩阵为：=第三层（方案1、2、3、4）对第二层（人均面积、使用方便、互不干扰、采光通风）的成对比较矩阵为：=通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量、最大特征根与一致性指标，具体结果见下表：0.43670.05210.05590.43650.11180.35950.43320.49400.18750.53250.10330.25000.16510.31300.31470.10050.26470.28510.06300.04104.06584.18924.12314.04884.52890.02440.07010.04560.01810.0654表5上述一致性比率均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性。于是得出，单在舒适性方面上四种设计方案的组合权向量为：=(0.0992,0.4397,0.2325,0.2287)T在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，舒适性就越好。作出综合评价结论为：方案1在舒适性上的权重占0.0992，方案2占0.4397，方案3占0.2325，方案4占0.2287。因而方案2是舒适度最高的，其次为方案3、方案4，最后是方案1。5.3 安全性方面此方面仅考虑了人员的疏散与防盗，而不考虑其他的特殊情况。用同样的方法建立了安全性方面的层次结构图，如图4所示。在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，安全性就越高。目标层准则层决策层图4人员疏散C8方案1方案2方案3方案4安全性B3 防 盗 C9经过分析我们得到了如下的成对比较矩阵：第二层（人员疏散C8、防盗C9）对第一层（安全性B3）的成对比较矩阵为：=第三层（方案1、2、3、4）对第二层（人员疏散、防盗）的成对比较矩阵分别为为： = 1 3 4 31/3 1 2 1/3C9 = 1/4 1/2 1 1/21/3 3 2 1通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量、最大特征根与一致性指标，具体结果见下表6：0.83330.10090.45600.16670.38780.16890.22980.09520.28150.279824.06884.175200.02550.0649表6于是上述一致性比率均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性。最后得出，单在安全性方面上四种设计方案的组合权向量为：=(0.1601,0.3513,0.2074,0.2812)T在这里我们的评价准则为：指标越大，优先选择程度越大，也就是说，安全性就越高。由此可见，作出综合评价结论为：方案1在安全性上的权重占0.1601，方案2占0.3513，方案3占0.2074，方案4占0.2812。因而方案2是安全性最强的，其次为方案4、方案3，最后是方案1。5.4 综合分析综合考虑经济性、舒适性、安全性三个方面之间的权重，层次分析结构图见图1，我们得到了如下的成对比较矩阵为：=通过MATLAB计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量为：=(0.5339,0.3717,0.0944)T最大特征根与一致性指标，则说明矩阵不一致程度是可以接受的。于是得到最终的组合权向量为：=0.0764,0.4427,0.2481,0.2327T各层的一致性检验及组合一致性检验全部通过；上面的组合权向量可以作为四个学生宿舍设计方案评价的依据。由此得出最终的综合评价为：方案2是综合指标最高的，其次为方案3、方案4，最后是方案1。6.模型的分析我们所建立的模型是评价模型，对四种典型宿舍设计方案作出了评价与比较。近几年，随着我国经济的发展，人民生活水平的不断提高，学生可以根据自己的实际情况选择宿舍类型，对于不同层次的学生人群，可以根据我们的模型进行选择。比如对于经济性要求比较高的学生来说，可以根据模型分解（经济性方面）进行评价选择；若对舒适性要求比较高的学生来说，可以根据模型分解（舒适性方面）进行择优选择。综合三个指标，方案二是最优选择，它既在一定程度上满足学生对居住私密性的要求，又能创造一个优美舒适，富有文化气氛的学习、休息和交往的居住环境，并在一定程度上为学生对宿舍的选择提供了依据。7.模型的评价与推广7.1 模型的评价本文主要运用模糊决策和层次分析法，对宿舍的经济性、舒适性、安全性作出科学合理的决策，克服了主观定性分析的弊端。在建立模型时所考虑的影响因素全面且符合实际，并对各影响因素进行了合理的量化处理。通过对已知数据的加工整合，巧妙的构建了成对比较矩阵，并用MATLAB软件求出模型的结果。此外，模型运用大量的图表，使得到的结果非常直观，易于理解，让问题很明了，思路很清晰。 本模型的弊端是针对附件中的四个设计图之间的对比，由于受现有资料的限制，无法代表所有学生宿舍的构建情况，这样大大局限了模型的灵活性。7.2 模型的推广本文构造的模型，能更准确的评价宿舍的优劣，该模型还可以应用到选拨决策中，在日常生活中经常会遇到各式各样的选拨，比如足球员的选拨，三好学生的选拨等等，都可以应用本模型。在运用此模型时应结合各个有关部门的实际情况，尽量选取科学合理的指标及其权数。参考文献1 姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003年8月第3版。2 刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水利水电出版社,2005年。3 许树柏，层次分析法原理，天津：天津大学出版社，1988年。4 费浦生、羿旭明，数学建模及其基础知识详解，武昌：武汉大学出版社，2006年。附录>> B1=1 1/2 1/6;2 1 1/4;6 4 1B1 = 1.0000 0.5000 0.1667 2.0000 1.0000 0.2500 6.0000 4.0000 1.0000>> eig(B1)ans = 3.0092 -0.0046 + 0.1663i -0.0046 - 0.1663i>> v b=eig(B1)v = 0.1445 -0.0722 - 0.1251i -0.0722 + 0.1251i 0.2625 -0.1313 + 0.2273i -0.1313 - 0.2273i 0.9541 0.9541 0.9541 b = 3.0092 0 0 0 -0.0046 + 0.1663i 0 0 0 -0.0046 - 0.1663i>> v/sum(v)ans = 0.0209 0.0689 0.9102>> B1/sum(B1)ans = 0.1058 0.2106 0.6835>> eig(C1)ans = 4.2138 -0.0459 + 0.9421i -0.0459 - 0.9421i -0.1219 >> v d=eig(C1)v = 0.0641 0.0153 - 0.0756i 0.0153 + 0.0756i 0.0296 0.8103 0.6916 0.6916 -0.8439 0.5526 0.2041 + 0.6399i 0.2041 - 0.6399i 0.5303 0.1845 -0.2539 + 0.0104i -0.2539 - 0.0104i -0.0761 d = 4.2138 0 0 0 0 -0.0459 + 0.9421i 0 0 0 0 -0.0459 - 0.9421i 0 0 0 0 -0.1219 >> v/sum(v)ans = 0.0061 0.5925 0.4007 0.0007>> C1/sum(C1)ans = 0.0399 0.4207 0.34340.1959>> C2=1 1/9 1/7 1/5;9 1 3 5;7 1/3 1 3;5 1/5 1/3 1C2 = 1.0000 0.1111 0.1429 0.2000 9.0000 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 0.3333 1.0000 3.0000 5.0000 0.2000 0.3333 1.0000>> eig(C2)ans = 4.1707 -0.0120 + 0.8415i -0.0120 - 0.8415i -0.1467 >> v d=eig(C2)v = 0.0623 -0.0087 - 0.0706i -0.0087 + 0.0706i -0.0499 0.8845 0.9006 0.9006 0.7956 0.4179 0.0620 + 0.3676i 0.0620 - 0.3676i -0.5541 0.1980 -0.2039 + 0.0580i -0.2039 - 0.0580i 0.2398 d = 4.1707 0 0 0 0 -0.0120 + 0.8415i 0 0 0 0 -0.0120 - 0.8415i 0 0 0 0 -0.1467 >> v/sum(v)ans = 0.0032 0.7681 0.1917 0.0370>> C2/sum(C2)ans = 0.0417 0.4381 0.3156 0.2046>> C3=1 1/9 1/5 1/5;9 1 3 4;5 1/3 1 1;5 1/4 1 1C3 = 1.0000 0.1111 0.2000 0.2000 9.0000 1.0000 3.0000 4.0000 5.0000 0.3333 1.0000 1.0000 5.0000 0.2500 1.0000 1.0000>> eig(C3)ans = 4.0620 -0.0310 + 0.5007i -0.0310 - 0.5007i -0.0000 >> v d=eig(C3)v = 0.0722 0.0275 + 0.0708i 0.0275 - 0.0708i 0.0796 0.9009 -0.9566 -0.9566 0.0000 0.3118 0.1112 - 0.0688i 0.1112 + 0.0688i -0.8751 0.2933 0.1014 - 0.2275i 0.1014 + 0.2275i 0.4773 d = 4.0620 0 0 0 0 -0.0310 + 0.5007i 0 0 0 0 -0.0310 - 0.5007i 0 0 0 0 -0.0000 >> v/sum(v)ans = 0.0047 0.7506 0.1726 0.0721>> C3/sum(C3)ans = 0.0480 0.4742 0.2391 0.2388>> W1=0.0399 0.0417 0.0480;0.4207 0.4381 0.4742;0.3434 0.3156 0.2391;0.1959 0.2046 0.2388W1 = 0.0399 0.0417 0.0480 0.4207 0.4381 0.4742 0.3434 0.3156 0.2391 0.1959 0.2046 0.2388>> W1=0.1058;0.2106;0.6835W1 = 0.1058 0.2106 0.6835>> W1*W1ans = 0.0458 0.4609 0.2662 0.2270>> B2=1 2 3 5;1/2 1 3 4;1/3 1/3 1 1;1/5 1/4 1 1B2 = 1.0000 2.0000 3.0000 5.0000 0.5000 1.0000 3.0000 4.0000 0.3333 0.3333 1.0000 1.0000 0.2000 0.2500 1.0000 1.0000>> eig(B2)ans = 4.0658 -0.0098 + 0.5162i -0.0098 - 0.5162i -0.0461 >> v d=eig(B2)v = -0.8053 0.8502 0.8502 0.6189 -0.5351 -0.0782 + 0.4677i -0.0782 - 0.4677i -0.6717 -0.1982 -0.0431 - 0.1923i -0.0431 + 0.1923i -0.2725 -0.1608 -0.1146 + 0.0161i -0.1146 - 0.0161i 0.3027 d = 4.0658 0 0 0 0 -0.0098 + 0.5162i 0 0 0 0 -0.0098 - 0.5162i 0 0 0 0 -0.0461 >> v/sum(v)ans = 0.6292 0.2888 0.0467 0.0354>> B2/sum(B2)ans = 0.4367 0.3595 0.1033 0.1005>> C4=1 1/7 1/5 2/9;7 1 4 3;5 1/4 1 2/5;9/2 1/3 5/2 1C4 = 1.0000 0.1429 0.2000 0.2222 7.0000 1.0000 4.0000 3.0000 5.0000 0.2500 1.0000 0.4000 4.5000 0.3333 2.5000 1.0000>> eig(C4)ans = 4.1892 -0.0186 + 0.8868i -0.0186 - 0.8868i -0.1519 >> v d=eig(C4)v = 0.0831 0.0012 - 0.0983i 0.0012 + 0.0983i 0.0493 0.8759 0.8442 0.8442 -0.8611 0.2496 -0.3083 + 0.0546i -0.3083 - 0.0546i -0.1900 0.4045 0.1217 + 0.4060i 0.1217 - 0.4060i 0.4689 d = 4.1892 0 0 0 0 -0.0186 + 0.8868i 0 0 0 0 -0.0186 - 0.8868i 0 0 0 0 -0.1519 >> v/sum(v)ans = 0.0095 0.7429 0.0342 0.2134>> C4/sum(C4)ans = 0.0521 0.4332 0.2500 0.2647>> C5=1 1/7 1/3 1/5;7 1 5 4;3 1/5 1 1/2;5 1/4 2 1C5 = 1.0000 0.1429 0.3333 0.2000 7.0000 1.0000 5.0000 4.0000 3.0000 0.2000 1.0000 0.5000 5.0000 0.2500 2.0000 1.0000>> eig(C5)ans = 4.1231 -0.0437 + 0.7089i -0.0437 - 0.7089i -0.0357 >> v d=eig(C5)v = -0.0838 -0.0278 - 0.0830i -0.0278 + 0.0830i 0.1326 -0.9200 0.9541 0.9541 -0.4398 -0.1924 -0.1006 + 0.0491i -0.1006 - 0.0491i -0.6106 -0.3311 -0.0746 + 0.2530i -0.0746 - 0.2530i 0.6451 d = 4.1231 0 0 0 0 -0.0437 + 0.7089i 0 0 0 0 -0.0437 - 0.7089i 0 0 0 0 -0.0357 >> v/sum(v)ans = 0.0038 0.8146 0.0911 0.0905>> C5/sum(C5)ans = 0.0559 0.4940 0.1651 0.2851>> C6=1 4 2 6;1/4 1 3/5 3;1/2 5/3 1 5;1/6 1/3 1/5 1C6 = 1.0000 4.0000 2.0000 6.0000 0.2500 1.0000 0.6000 3.0000 0.5000 1.6667 1.0000 5.0000 0.1667 0.3333 0.2000 1.0000