自动控制原理习题.pdf

1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。2 请说明自动控制系统的基本组成部分。解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）;比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。4 请说明自动控制系统的基本性能要求。解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。（2）准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。（3）快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住H标。2-1 设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中/为黏性摩擦系数，后为弹簧系数，系统的输入量为力pQ），系统的输出量为质量加的位移x（f）。试列出系统的输入输出微分方程。OXp(f)K图 2-1习 题 2-1质量一弹簧一摩擦系统示意图解：显然系统的摩擦力为f臂,弹簧力为打“），根据牛顿第二运动定律有,、2 dx(t).d2x(t)P一于r2-kx(t)=mdt dr移项整理，得系统的微分方程为d2x(t),d x(f),.dr dt2-2 试列写图2-2所示机械系统的运动微分方程。解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得at at整理得图 2-2习 题 2-2机械系统示意图M-化+&)%)=尸 心出(。dt at2-3 求下列函数的拉氏变换。(1)/(f)=3(1-s i n/)(2)/(f)=f e 71(3)f)=c o s(3 f-：)4解：(1)L /(0 1 =U 3(l-s i n f)=3(L 1 -L s i n d)=3(-)s s+1_3(52-5 +l)一 5(52+l)(2)=ysL Q)=L e =厂G-a)(3)于(t)=c o s s i n )+c o s(3 f)4 2U/()=-y-s i n(3 0 +c o s(3/)3+(-STS-2SV22V22V22.一一-一一(L s i n(3 r)l +L c o s(3 0 1)9ss 2+2-4 求下列函数的拉氏反变换(1)F(s)=s-l(s+2)(5 +5)(2)尸(s)=5-6s2(s+3)(3)F(s)=2 s 2-5.S+1s(s2+1)5-1 -1 2解：(1)F(5)=：-=+(,y+2)(.v+5)5 +2 s +5L-1 F(.v)=L-,-+-s+2 s+5=七+2L二s +2 s +5=-e-2 +2e-5(2)夕（s）=5-6 2 1 -1-=4-1-s?(s +3)s2 s s +32 1 1L-F(5)=+-+-s s s +3=2L*+*M 吐=2t+-e-3(3)夕（s）=2 s 2 5 s+1i(s2+l)1=一+5-57+T厂 F(s)=Z/d +W S 5 +1=L-fl1+L-f z l1s s1+1=l +c o s r-5 s i n r2-5 试分别列写图2-3 中各无源网络的微分方程（设电容C上的电压为”,Q）,电容G 上的电压为，*）,以此类推）。(a)ibl图2 7习 题2-5无源网络示意图解：(a)设电容。上电压为,),由基尔霍夫定律可写出回路方程为”,(f)=%(f)-w 0(f)duc(t)Mr(f)u.c-1-=-dt R R2整理得输入输出关系的微分方程为cduo(t)dtM S a)dt R+小(b)设电容G、C2上电压为”)，/2(f)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为%(，)一七2)露一/2(力R RUo(t)-k)=RC。今 atdt整理得输入输出关系的微分方程为R G G竽+(2 G+G)誓+岑 得+2 G竿+等(C)设电阻此 上电压为勺2。)，两电容上电压为八),2。)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为uc2(t)=uo(t)-uK2(t)(2)cduc(t)cduc2(t)=uR2(t)(3)dt dt R2=c 颂2”)dt(2)代 入(4)并整理得dR2 _ d%Q)%)一%)dtdtRC(5)(1)、(2)代 入(3)并整理得dut)duo(t)dwS2(Z)”C-r C-ZC-=-dtdtdt6两端取微分，并 将(5)代入，整理得输入输出关系的微分方程为R2cdr+(-bl)R】Cdt RCR2C/%)i 血%”)dt2&C dt R、C2-6求图2-4中各无源网络的传递函数。O(b)图2T习 题2 f示意图U i UR2(S)|+U 1 5)J一 T卜cRiUo(S)力I解：(a)由图得(1)Uc(s)=Uj(s)U0G)(2)(2)代 入(1),整理得传递函数为Cs+1a。)a+1R、RRoCs+R)+1 +6 +/?2(b)由图得U0(s)=a(s)U0(s)(1)4 一U“(s)+U(s)-4 式 S)=GS4 2(S)RR(2)RCSUC(S)=U0(S)-UC2(S)整理得传递函数为力=U1（s）RC、s+RC2s+2RCS+RC2s+1RC2S+2R2CtC2s2+2RCts+lR2GG-S2 +RS（2G+C 2）+1（c）由图得Uc=5（S）-UR2（S）（1）UC.2（S）=U.G）-UR2（S）CsUC i（5）+CsUC2（5）=2（5-（3）%U,（s）h（s）=C s U（2（$）（4）整理得传递函数为U.（s）_ +&_ g C*+&CsU；（s）s 2 1 I-RR,C2 s 2+（氏+2R,）c.s+l&R2 RR2cs2-7求图2-5中无源网络的传递函数。解：由图得。心）一。2（5）R=0+&*整理得1U2(s)_ R _ R2+LsU (s)-c；I 1 I 1 -R CLs2+(/?,/?2C +L)s+/?,+/?,&R2+LS2-8 试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。解：(a)求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图：(b)(a)图 1-6习颍：-系统结构图示黄图 令 N(s)=O,利用反馈运算简化如图2-8a 所示图 2-8a串联等效如图2-8b所示图 2-8b根据反馈运算可得传递函数G dC(s)_ 1 +G I 1-G 2%_G 2而 1 G G?”一 (1 +G J(1-G,)+GG/l+GH l-G2H2 3=_ Gfi._l+G H-G 2H2 -GHG2H2 +G1G2H3求传递函数C(s)/N(s),按下列步骤简化结构图：令R(s)=O,重画系统结构图如图2-8c 所示图 2-8c 将“3 输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d 所示图 2-9d G 1 和-串 联 合 并，并将单位比较点前移如图2-8e所示图 2-8e串并联合并如图2-8f所示N(S)GG2Hl G 2 H 2C(S)H3/H1图 2-8f根据反馈和串联运算，得传递函数-GlG2HlC(s)=n _ _.1-“2西T G、H、,I-GGd也-G2H2 Hl-G,G2H,GH1 1-G2“2+G|G2H3_ G2-G1G2Hl 1-G2H2+GC2H3(b)求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:将”2的引出端前移如图2-8g所示图 2-8g合并反馈、串联如图2-8h所示图 2-8h 将“I的引出端前移如图2-8 i所示图 2-8i 合并反馈及串联如图2-8 j所示图 2-8j根据反馈运算得传递函数2G3C(s)_I+G/2+G3”；_R(s)1+G|G2G3 1+G再3 H+G2H2+GH.G2G3 _GG2G3 l+GtH+G2H2+G3H3+G M G 3%2-9试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。图2-7习 题2-f系统结构图示意图解：求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:将”的引出端前移如图2-9a所示图 2-9a 合并反馈及串联如图2-9b所示图 2-9b合并反馈、串联如图2-9c所示图 2-9c根据反馈运算，得传递函数G g G 3 G 4C(s)=1 +G 2 G 3”|+G 3 G 4”2 =_G G G 3 G 4 _而 一 I G|G 2 G 3 G 4 H _1+G,G H+GG,H,+G G G G.H、1+G 2 G 3”|+G 3 G 4“2 32T0根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数 C(s)/R(s)和 C(s)/N(s)。解：(a)根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-1 0 a所示。图 2-1 0 a(1)令N(s)=O,求系统传递函数C(s)/R(s)由信号流图2-1 0 a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益P i =G G有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L、=-GlHi U=G2H 2-=-G&H3右与乙 互不接触L =G|G 2 H2流图特征式A=1-(L,+L2+L3)+LI 2=1 +6,/,-G2H2+G1G2H?I-GG2HH2由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式A =1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(5)/?,A,_(i)-A-1+G,/,-G2H2+G.G.H.-Gfi2HxH2 令(s)=0,求系统传递函数C(s)/N(s)由信号流图2-1 0 a可见，从源节点N(s)到阱节点C(s)之间，有两条前向通路，其增益p=G2,p2=GiG2Hl有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L,=G2H 2，J =GG2H 3没有互不接触的回路，所以流图特征式为 =1-(1)+)=1-G2H2+Gfi2H3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式 1 =1 ,A2=1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为G G、G 2H l1-G2H2+G,G2W3(b)根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-1 0 b所示。-HJ图 2-10b求系统传递函数。(s)/R(s)由信号流图2-10b可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为P GG2G3有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为Lf=GiH,L,G2H2,J G3H3右与A互不接触乙1 3 =G1G3H1H3流图特征式为A=1-(L1+L2+L3)+L13=1+G M+G2H 2+G3H 3 +G fi3HxH3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式4=1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s)_ p A _ GG2G3欣3 -K-1 +G向+G2H2 +G3H3 +G1G3H1H32 T 1根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数。(s)/R(s)。解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图中信号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-1 la所示图 2-1 l a由信号流图2-U a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为P i=G Q 2 G 3 G 4有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L,=-G2G3Hl,L2=G3G4H 2,Ly=一G。2 G 3 G 4 H 3没有互不接触回路。因此，流图特征式 =1 (L)+乙+右)=1 +G2G H+G 3 G 4 2 +GG、G3G4H 3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式4=1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s)=PA =_G G 2 G 3 G 4 _(s)A-1 +G 2 G 3兄+G3G4H 2+GJG2 G 3 G 4%3-1设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述：T c(t)+c(t)=tr(t)+r(t),其中l (r-r)Oo试证明系统的动态性能指标为 =0.6 9 3+l n(Z y)T,0=2.2 7,”3 +l n(-)T解：由 系 统 的 微 分 方 程 可 得 其 传 递 函 数 出=史 望，在单位阶跃输入作用下，由于R(s)T s +11T 5 +1 1 1 T TR(s)=一,所以有 C(s)=-=-s T s +1 s s T s +1h(t)=1 当f =时，显然有力（。）=1 一工 e%=0.5解之得 td=In 2 +l n()=T 0.6 9 3 +l n()由于。为h（t）从0.1 上升到0.9 这个过程所需要得时间，所以有其中/?&)=1 一工=。她）=1-%=。9由 上 式 易 解 出 G=T l n（)-In 0.9 1f 2=C l n()-l n 0.1 0 9则，一：=丁 也 面=2.2 7,当r =4时，显然有攸）=0.9 5解之得 ts=Hln-J In 0.0 5 =3+In 乙三T3-2 已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数:(1)攵=0.0 1 2 5 H，2 5,(2)A(，)=5 f +1 0 s i n(4 f +4 5)；(3)解:(1)、,r,z 0.0 1 2 5(s)=L 伙(f)=5 +1.2 5(2)(s)=Lk(t)=L5t+(s i n At+c os 4 z)=z-+5y/2(-s4)3+2 4)1 6 1 6./(jl)1 6(3)(s)=(/)=0.i d -=s 111 0 5(3 5 +1)s +一33-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为(f)=1 0-1 2.5 e T 2，s i n(1 6 +5 3.1)，试求系统的超调量c r%,峰值时间tn和调节时间r o解:h(t)=1 0 1 2.5 e 2 s i n(1.6 f +5 3.r)=1 0 1 -1.2 5/2,s i n(l 6+5 3.1 力由上式可知，此二阶系统的放大系数是1 0,但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h=1 -e-电 s i n(例JI二 列+夕)所以有血=1.2 04；%_ I。?X 2a、1=200 A2显然，此系统不稳定。设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K_(s+2)(5+4)(52+6s+25)试应用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解：由题得，特征方程是 54+12s3+69.V2+198s+200+K =0列劳斯表.V4 1 69 200+K$3 12 198s1 52.5 200+K51 7995-12Ks 200+K由题意，令f所在行为零得K =666.25由一行得 52.5?+200+666.25=0解 之 得5=4.062/,所以振荡角频率为 0 =4.O 62m d/s3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=，试确定系统稳定5(5+1)(0.5?+5+1)时的K值范围。解：山题可知系统的特征方程为D(5)=54+353+452+(2+A：)5+2A：=0列劳斯表如下541 43 2+Ks210-K 加2K3(10-K)(2+K)oKsl3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _10-K35由劳斯稳定判据可得2K口03K10-K)(2+K)/3-6K 八-0(10-K)/32K 0解上述方程组可得 0 K 0,l-4T 0,4T+l/T-2 0=0 r 1/4或T0,l-4T0,4T+l/T-2 0=.0Tl/4,4K(s)=lims-0 s 0Ts+1-KK7v+s+KI-KK0K=0=K=1/KK0并没有改变系统的稳定性。3-1 0 已知单位反馈系统的开环传递函数:(1)G(s)=100(0.15+1)(5+5)(2)G(s)50s(0.Is+1)(.v +5)试求输入分别为r(O=2t和 r(0 =2+2t+t2时，系统的稳态误差。解:(1)G(s)=100(O.ls+l)(s+5)20(0.15+1)(0.25+1)由上式可知，该系统是0 型系统，且 K=2 0。0 型系统在1(f),f,上产信号作用下的稳态误差分别为：,8,8。根据线性叠加原理21 +K有 该 系 统 在 输 入 为 r(f)=2 f 时 的 稳 态 误 差 为=2 8 =8 ,该 系 统 在 输 入 为oJ1r(f)=2+2f+广时的稳态误差为ess2=2 -+2 8 +8 =8“、50 10(2)G(s)=-=-5(0.15+1)(5+5)5(0.15+1)(0.25 4-1)由上式可知，该系统是I 型系统，且 K=1 0。I 型系统在1(f),信号作用下的稳态误差分别为：0一,8。根据线性叠加原理有2K该 系 统 在 输 入 为 f)=2 f 时 的 稳 态 误 差 为 e,，2=2 L =0.2,该 系 统 在 输 入 为K01r(f)=2+2f+f 2 时的稳态误差为 e,2=20+2-=8K+83-11已知闭环传递函数的一般形式为0(S)G(s)=+为“1 +G(s)(s)s+误差定义为e(f)=r(t)-c(f)试证,(1)系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件为0_i s 1+.+/5 +&M=s+a(2)系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为0G)=-半土&-S”+。+.+。$+即W I I u(3)(4)解：（1）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系Ms)=-Sn+Qn”S+.+Q S+Qnu.E(s)=R(s)C(s)=0(s)1 sn+a S T+.+/sS S +an-s l+.+as+a0_ s1+a.s J+.+C l,_I 1+a_S 1+.+5+。0满足终值定理的条件，/、EV S+I+%S ne(8)=hmsE(s)=lim-!-=0ST。ST。s+a“S+.+61 I u即证(2)V(5)=QS+Os+_$+.+as+aQ(5)=R(s)C(s)=R(s)l-0(s)1 s+/1+.二 -1-S2 Sn+4TST+.+%s+osn+a _S*+.+%sn+a _ST+.+axs+a()满足终值定理的条件，/、L/s+Qn_S 1 +.+Q2s ne(8)=hm sE(s)=hm-匕匕-=0ST ST。s+Qn”S+.+I +%u即证(3)对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为2,/,(s,)、=a2s_+ats+a0s+a“_S+.+。5+。0同理可证（4）系统型别比闭环函数分子最高次嘉大1次。3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为:(1)G(s)=50(0.15+1)(25+1)(2)G(s)5(52+4s+200)(3)10(2.v+l)(4.v+l)一$2(+25+10)试求位置误差系数K ,速度误差系数K、,，加速度误差系数K”。解：（1）此系统是一个0型系统，且K=20。故查表可得K=K=10,K.=0,Ka=0（2）根据误差系数的定义式可得Kn=limG(s)(s)=lim-P 0 ST。+45+200)=oo=im sG(s)H(s)=lim s -=-ST。一。5(52+45+200)200K“=lim s2G(s)(s)=lim s1 ，=02。i。5(52+45+200)（3）根据误差系数的定义式可得。r v 10(25+1)(45+1)Kn-lim G(5)/(5)=hm-.-=00P -0?(?+2.v+10)K上、,=lri m s G(s)H(s)=lim s 10(725；+1-)(45+-1-)=gS TO ST)5(52+25+10)KU -rh ms2 rGv(s、)”(/s、)-rh ms2 1-0(.2.5.-+-1-)-(-4-5-+-1-)-=1S-0 5-0 s2 G2 +2s+10)3-13设单位反馈系统的开环传递函数G($)=K K,“Tfs+s(Tms+l)i输 入 信 号 为r(f)=(a+bf)l(f)其 中K0,Km,Kf,i,Tf,7；均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差其中 0,试求系统各参数满足的条件。解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为TfTm S3+(Tf+Tm)s2+s+K=0式 中，K=KoK/K“,/i,为系统的开环增益，各参数满足:K 0,(Tf+T.)-KTRf 0即稳定条件为 0 K 殳/T1f T1 n由 于 本 例 是I型系统，其K0=8,K、,=K，故 在“)=(“+4)1(f)作用下，其稳态误差b=一 。于 是，即能保证系统稳定，又满足对系统稔态误差要求的各参数之间的条件为h T f+A /M T Tfc01f1m3-14设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=1/Ts。试用动态误差系数法求出当输入信号分 别 为。=产/2时，系统的稳态误 差。解：系统的误差传递函数为(s)=-=-=Ts-(Ts)2+(Tsp-(TS)4+八 R(s)1 +G(s)1 +Ts所以有 E(s)=(s)R(s)=Ts R(s)(T R(s)+(H)3 R(s)(Ts),R(s)+对上式进行拉氏反变换可得 e(t)=T r(/)-T2 r)+T3 r(f)一T4r(4)(/)+(1)当r(t)=/2时，显然有r(f)=t)=1 rQ)=r%)=0将上述三式代入(1)式，可得e Q)=T f T2 l+T3 O-T4 o+-=T Q-T)系统的稳态误差为ess=lim e(f)=lim T(r-T)=83-15假设可用传送函数也 二 一1 描述温度计的特性，现在用温度计测量盛在容器内的R(s)T s+l水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的98%的数值。如果给容器加热，使水温依10/m in的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大?解：由题意，该一阶系统得调整时间f,=lm in,但4=4 7,所以T=0.25min。系统输入为f)=10f,可推得R(s)=rS因此可得1052(T.V+1)(/)=10/-10T+107e-,/rc(f)的稳态分量为曝(f)=10r-10T稳态误差为 e*)=r(f)一曝(为=107=10 x0.25=2.5所以，稳态误差为2.53-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差E(s)在输入端定义，扰动输入(f)=2xl(f).(1)试求K=40时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。(2)若K=2 0,其结果又如何？(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节！，对其结果有何影响？S在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节L,对其结果又有何影响？SN(s)图3-2习题 A 1 6示意图K1解：令 G 1 =-,G,=，H=2.5 0.0 5.V +1 2 5 +5则 C(s)=G2N(S)+G,G2(5)代入 E(s)=R(s)-H C(s)得 C(s)=-G-?=N(s)H G!G:R(s)l +GG2H-1 +G C 2 H令R(s)=0,得扰动作用下的输出表达式:C“(s)筹 N G)i +5 5 此时的误差表达式为：En(s)=R(s)-H C“(s)=-理 一N(s)1 +G、G2H若 在s右半平面上解析，则有r H=l i m s E“(s)=-l i m-sN(s)ss 2。T+G G H在扰动输入下的稳态输出为c“3)=野g(s)=$7Tl sN(s)代入N(S),G”G 2，的表达式，可得,、1 5c(8)=-,e=-1 +2.5 K a 1 +2.5 K2(1)当K=4 0 时，c(o o)=,ej j n2(2)当K =2 0时，c(o o)=-,eM n可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增5一 而55 1大。(3)若1/s加在扰动之前，则5(0.05 5 +1)1s +5 =2.5得%(8)=0,/“=0若1/s加在扰动之后，则G =-G、=-1 0.05.V +1 2(5 +5)H =2.52%(8)=-=0.02(K =40),0.04(/C=2 0)2.5Kessn=-y j-=0.05(K =40),0.1(K =2 0)Z.J A可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。3-17设随动系统的微分方程为：T d2c(t)dc(t)T,Ja+T,+Kc(t)=K r(f)dt dt dt其中，c(f)为系统输出量，r(f)为系统输入量，7；为电动机机电时间常数，7；为电动机电磁时间常数，K为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论：(1)T“、7；与K之间关系对系统稳定性的影响(2)当7；=0.01,Tm=0.1,K =5 00时，可 否 忽 略 的 影 响？在什么影响下7；的影响可以忽略？解：(1)对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程T J 3+7；S2+S+K=0当Tm Ta K均为正值时，且有 D2=Tm(l-TaK)0即0 K l/T“时闭环系统稳定。(2)由于，=0.01,因此只有当0 K 2 +S +K =0.卜2 +s +5 00=0上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果K 1 0 0。如果K l/T“时，不能忽略对稳定性的影响，否则可以忽略。3-18设计题飞机的自动控制，是一个需要多变量反馈方式的例子。在该系统中，飞机的飞行姿态由三组翼面决定，分别是：升降舵，方向舵和副翼，如附图3-3(a)所示。飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控制倾角。，只要使副翼表面产生一个。的变形，气压在这些表面上会产生一个扭矩，使飞机产生侧滚。图 M (扇 飞机副翼模型图S 机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为工。s测量实际的倾角0,并与输入设定值进行比较，其差值被用来驱动液压操纵杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。及 大 为简单化起见，这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关，其结构图如图3-3(b)所示，又 假 定K 1 =1 ,且角速率。由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量7%0,画出各系统的根轨迹图。解：(1)按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为&=一 1；开环有限极点为外,2 =0，P 3 =-2,4 =-4实轴上的根轨迹区间为-8,Y,-2,-1 根轨迹的渐近线条数为-机=3,渐近线的倾角为a=6 0 ,0 2=1 8 0 ,右=6 0 渐近线与实轴的交点为5k _ i=l -i-=l-一 -Jn m 3闭环系统根轨迹如卜图4-2 a 所示图 4-2 a 闭环系统根轨迹图(2)按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为P i =0,匕=一 1，入=-2,0 4 =一5实轴上的根轨迹区间为-5-2,-1,0 根轨迹的渐近线条数为-机=4 ,渐近线的倾角为6=4 5 ,白=1 3 5,=-1 3 5,=T 5 渐近线与实轴的交点为EA-EZ,.cr =-=-2n-m分离点方程为1 1 I-d d+1H-d+21d-d+5=0解得分离点 4 =-4.06,d2=-0.4 0闭环系统根轨迹如卜图4-2 b所示(3)按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点：开环有限极点为p,=0,2 =T，P 3,4 =-2 ；4实轴上根轨迹区间为-4,0 根轨迹的渐近线条数为“一m=4,4=2,痣=4 5,1 3 5 ,2 2 5 ,3 1 5 根轨迹的起始角：复数开环有限极点以工=一2/4处，4,3 =-90,=9 0分离点方程为1 1 1 1 I-1-1-0d d+4 d +2+/4 d +2-/4解得分离点4 =一2,4,3 =一2 j屈检查4=-2 时，K =6 4心 广-？士 j痴 时，K*=1 0 04,4,4皆为闭环系统根轨迹的分离点。确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征方程为0($)=54+8s3 +36s2 +80s+K*=0列写劳斯表/1 36 K*53 8 8052 26 K*80X26-8K”s-26s。0当K*=260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为A(s)=2 6/+260=0解得根轨迹与虚轴交点为0 =J记。根轨迹如下图4-2c所示：图 4-2c(4)按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为=-1；开环有限极点为8=0,P 2=l，p3_4=-2 j243实轴上根轨迹区间为(-00,-1,0,12根轨迹的渐近线条数为加=3,(r =-,痣=60,180-600分离点方程为1 1-1-d d-1 _ 1J+2+J2V3 d+2-j2 y/3 d+l解得分离点4 =一2.26,4=0.45根轨迹如下图4-2 d 所示:图 4-2 d4-3 给定系统如图4-2 所示，K 0,试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。图 4-2 习 题 47系统零极点分布图解：(1)作系统的根轨迹。开环传递函数为G(.V)F(5)=K(S+2)(S+3)s(s+1)开环极点为。和-1,开环零点为-2和-3。所以实轴上的根轨迹区间为-3,2 和 1,0 。分离点方程1 1-1-d d+i1 1-1-d+2 d+3得分离点&=一2.3 6 6,4 =-0.6 3 4检查4=一 2.3 6 6 时，K*5(5 +1)(s+2)(5 +3)1=-2.366=0.0 7 1 8d,=0.6 3 4 1 3 寸,s(s+l)(5+2)(5+3)s=-0.634=1 3.9 3可得到根轨迹如下图4-3 a所示图 4-3 a(2)分析增益对阻尼特性的影响。从根轨迹图可以看出，对于任意K0,闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。增益较小时(0 K 1 3.9 3 ),系统过阻尼；增益中等时(0.0 7 1 8 K 0,试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益K为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于0.7。解：(1)求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数G(s)=1 0/(5+1)1 _ 1 01 +1 0吹/(5 +1)(-6(5 +1 +1 0 4)因为可变参数K不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程R(s)图47习 题4 T系统结构图s(s+1 +1 0 k)+1 0 =/+s+10k s+1 0 =0改写为,I Q k s.1 +-.=0S-+5 +1 0即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为G=十 上 一=0,K=1 Oks2+s+l0的系统的闭环特征方程。(2)根据G(s)作出根轨迹图。G(s)有两个极点-0.5乃.1225,一个零点0,所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为j.5+.V +10K=-s由dK/ds=0可 以 求 得s=JHJ,其 中s=-J!U在 根 轨 迹 上，对 应 增 益 为K=5.3246 0,故5=-是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4a所示。(3)求反馈增益人。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表4=0.7,则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由？=0.7可得e =arccos?=45.57。设*=-血 +=-o.7+列出该点对应的辐角条件arg G(s)-arg-:-G+0.5+73,1225)(5,+0.5-J3.1225)arctan 巫 arctan-0.7而 亍 而“+3.1225 0.7 3n+0.5-arctan7 5 0.-3.1225 0.7(j)n+0.5=一180(2%+1)经整理得虹曲。也 生 3至+arctan也电让以一0.7 七+0.5一 0.7 七+0.5=干 180（2 女 +1）+arctan两边同取正切，整理得1.0202成-10.2020=0解得，例=3.1623。所以该闭环极点为4=-2.2136+J2.2583。再由52+5+10K-s$=一2.2136+j2.2583 一-4 4?乙7,?乙得速度反馈增益为k =K /1。=0.3427 o4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)=-。要求系统的闭环极s(s+l)(0.5.v+1)点有一对共钝复数极点，其阻尼比为4=0.5。试确定开环增益K,并近似分析系统的时域性能。解：根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。图 4-5a欲确定K ,需先确定共转复极点。设复极点为“2=x 川根据阻尼比的要求，应保证y=(180-arccos=-1.732x在图上作4=0.5的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标x=-0.3,由此求得纵坐标y=0.5 2。在s =-0.3/0.5 2处检查相角条件N G(s)=-1 7 3.6。不满足相角条件；修 正x =0.3 2,则y=0.5 5 4,点s =-0.3 2/0.5 5 4处的相角为-1 7 7.4；再取x =-0.3 3,则)，=0.5 7 2,点s =-0.3 3/0.5 7 2处的相角为一1 8 0。因此共辄复极点电.2=-0.3 3 ；0.5 7 2 o由模值条件求得K=KL 033+2572=0.5 1 32|一yu.D/z运用综合除法求得另一闭环极点为$=-2.3 4。共较复极点的实部与实极点的实部之比为0.1 4,因此可视共枕复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为、0.4 3 60(s)-52+0.6 6 5 5+0.4 3 6并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能3.5=1 0.6e r%=X 1 0 0%=1 6.3%4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)=KQ2+2S+4)s(s+4)($+6)(52+1.4.v +1)试画出系统的根轨迹图，并分析系统的稳定时K的取值范围。解：由题得开环极点：0,-4,一6 和 一0.7 J 0.7 1 4开环零点：一1/1.7 3 2