不等式与不等式组（简答题）（解析版）.pdf

专题15：不等式与不等式组（简答题专练）一、解答题1.某电器超市销售每台进价分别为1 6 0元、1 2 0元的4、8两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况:销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1 2 0 0 元第二周5台6台1 9 0 0 元（进价、售价均保持不变，利 润=销 售 收 入-进 货 成 本）（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于7 5 0 0元的金额再采购这两种型号的电风扇共5 0台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这5 0台电风扇能否实现利润超过1 8 5 0元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为2 0 0元、1 5 0元；（2）超市最多采购A种型号电风扇3 7台时，采购金额不多于7 5 0 0元；（3）在（2）的条件下超市能实现利润超过1 8 5 0元的目标.相应方案有两种：当。=3 6时，采购A种型号的电风扇3 6台，B种型号的电风扇1 4台；当=3 7时，采购A种型号的电风扇3 7台，8种型号的电风扇1 3台.【分析】（1）设4、8两种型号电风扇的销售单价分别为尤元、），元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设采购A种型号电风扇。台，则采购B种型号电风扇（5 0-a）台，利用超市准备用不多于7 5 0 0元,列 不 等 式1 6 0 a+1 2 0 （5 0-a）1 8 5 0,结 合（2）问，得到a的范围，由。为非负整数，从而可得答案.【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,依题意得：3 x+4 y =1 2 0(X D5 x+6 y =1 9 0 0 x 5-x 3得：2 y =3 0 0,=1 5 0,把 y =1 5 0 代入得：x =2 0 0,解得:x =2 0 0)=1 5 0答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为2 0 0 元、1 5 0 元.(2)设采购A 种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(5 0-a)台.依题意得：1 6 0 +1 2 0 (5 0-a)7 5 0 0,40 a 1 5 0 0,解得：a 1 8 5 0,/.1 0 3 5 0,解 得:。3 5,V a 3 7-,2.-.3 5 3 7-,2 a为非负整数，a =3 6 或 a =3 7.在(2)的条件下超市能实现利润超过1 8 5 0 元的目标.相应方案有两种：当=3 6 时，采购A 种型号的电风扇3 6 台，8种型号的电风扇1 4台；当 a=3 7 时，采购A 种型号的电风扇3 7 台，8种型号的电风扇1 3 台.【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题,掌握以上知识是解题的关键.2.解不等式组，2 并写出该不等式组的所有整数解.l-x 2【答案】解集是一 1XW3;整数解是0,1,2,3【分析】分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在解集中确定所有整数解即可.【解答】解不等式g（x-l）41得：x 3解不等式l x-l所以不等式组的解集是一13 x （2）解不等式组l;（2）xN.3【分析】（I）移项、合并同类项即可；（2）分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大即可确定不等式组的解集.【解答】解：（1）移项得：4x-3 x l合并同类项得：x 3（x-l）5（x+l）-2 3 X +1.1 1 2 ”3解不等式得x N 3,解不等式得不等式组的解集为：x -3【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握解不等式的基本步骤是解决此题的关键.在利用不等式的性质同乘或除时，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变.在确定不等式组的解集时需注意：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.7 1 m4.若关于x的方程2 x-3 m =2 m 4x +4的解不小于-，求m的最小值.8 3【答案】-4*7【分析】首先求解关于X的方程2x-3m=2m-4x+4,即可求得x 的值，根据方程的解的解不小于8 3即可得到关于m 的不等式，即可求得m 的范围，从而求解.-4-4【解答】由2x-3m=2加 一 4x+4,得6x=5m+4,即4=-.6,I-.J J-J 口 =+/口 5/n+4、7 tn/口 、1根据题意，得-2 ,解得机2 一 7，6 8 3 4所以加的最小值为.4【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.5.我们用表示不大于a 的最大整数，例如:2.5=2,3=3,2.5=-3;用V a 表示大于a 的最小整数，例如:V2.5=3,V4.5=5,V 1.5=-1.解决下列问题.（1）-4.5 =；=;（2）若x=2,则 x 的 取 值 范 围 是;=1,则 y 的 取 值 范 围 是.2（3）若 x=则 x 为.3x+2=3（4）已知x、y 满足方程组 一 乙，求 x、y 的取值范围.3x-=-6【答案】（1）-5;4,（2）2x3；-2y 表示大于a 的最小整数与不等式的性质求解；（3）根据x=|x -l 得到关于x 的方程即可求解；（4）先求出x、的值，再根据新定义即可求解.【解答】（1）依题意得-4.5=-5;=4,（2）.仅=2,则 x 的取值范围是2x3；V =1,则 y 的取值范围是2gyV-l,；（3）=1-1 化为x=,解得x=-3,符合题意，故 x=-3小.3 3 +2 =3.1 3 向-2 =-6,解得3=-1 =3A x,y的取值分别为-lM x 0,2 M y 0的解集。f 2 x-l 0 f 2 x-l 0 x+3 0解得X，解得x 1或x 3。请你仿照上述方法求不等式(2 x 3)(x +1)0的解集。【答案】l x 1.5.【解析】【分析】根据“异号两数相乘，积为负”可得两个关于x的不等式组，解之即可.【解答】解：根据“异号两数相乘，积为负“可得：4 ,八 或,八x+1 0解得其无解，解得 不等式的解集为 1尤 1.5【点评】本题考查了不等式组的解法，属于模仿题型，正确理解题意是解题的关键.-3(x+l)-(x-3)87 .解不等式组：b x+1 l-x，并将解集在数轴上表示出来，同时求它的整数解的和.-1 3 2【答案】一2%,1,它的整数解的和为0.【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解.-3(x+l)-(x-3)-2,解不等式得x l故不等式组的解集为-2 4 2.解 得 V 3 7.即”的 最 大 值 是3 7.答：男 生 最 多 有3 7人化妆.【点 评】本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系.X V =2/77+19.若 关 于x、y的二元一次方程组；.的解满足x+y0,求机的取值范围.x+3y=3【答案】，w-2【分析】两方程相加可得x+y=m+2,根据题意得出关于?的方程，解之可得.【解答】解：将两个方程相加即可得2x+2y=2m+4,则 x+y=m+2,根据题意,得：m+2 0,解得-2.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.10.解不等式组（二 2 并在数轴上表示出不等式组的解集.5 x-l 3（x+l）【答案】-l$x2【解析】分析：根据一元一次不等式求解方法，分别求解不等式，并在数轴上表示，重合的部分即为不等式组解集在数轴上的表示.本题解析：上_21 3 2,5 x-l-l,解不等式得，x2,在数轴上表示如下：-2 0 1 2 3所以不等式组的解集是-14 0 00.9 2（1）已知李叔家四月份用电28 6 度，缴纳电费1 7 8.7 6 元；五月份用电31 6 度，缴纳电费1 9 8.5 6 元，请你根据以上数据，求出表格中m。的值.（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过30 0 元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？a-0.6 1【答案】（1）八“；（2）4 5 0 度b=0.6 620 0。+（28 6 -20 0）=1 7 8.7 6【解析】【分析】根据题意即可得到方程组：”八、，,然后解此方程组即可求20 0。+（31 6-20 0）8 =1 9 8.5 6得答案;（2）根据题意即可得到不等式：20 0 x 0.6 1+20 0 x 0.6 6+0.9 2（x -4 0 0）30 0,解此不等式即可求得答案.【解答】解：（1）根据题意得:20 0。+(28 6 -20 0)=1 7 8.7 620 0 a +(31 6-20 0)/7 =1 9 8.5 6解得:。=0.6 1b=0.6 6（2）设李叔家六月份用电x度，根据题意得：20 0 x 0.6 1+20 0 x 0.6 6+0.9 2（x-4 0 0）30 0,解 得:烂4 5 0.答：李叔家六月份最多可用电4 5 0 度.【点评】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组与不等式进行求解.1 2.右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中部分一次式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的一次式；（2）若被墨水污染的一次式的值不小于2,求 x的取值范围.加+3*-6+C=（x-2）（2 x+5）【答案】-2x -4；(2)x -3.【分析】(1)根据“加数=和-另一个加数 列出算式，再利用整式的混合运算法则计算可得;(2)根据题意列出不等式，解不等式即可得.【解答】(1)被墨水污染的一次式为(x-2)(2X+5)-(2x2+3x-6)=2x2+5 x -4 x -1 0 -2x 2-3X+6=-2x -4；(2)根据题意，得：-2X-4N2,解得：x -3.【点评】本题主要考查整式的混合运算与解不等式的能力，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及解一元一次不等式的能力.1 3.某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个1 0元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：老板：如果你再多买一个，|就 可 以 打,f,花费比现-钮 省1 7元.小 明：那就多买-(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共5 0支作为补充奖品，再次购买奖品总支出不超过4 0 0元.其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？【答案】(1)1 7；(2)1 0 0.【分析】根据题意设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了(X+I)个，则可列方程1 0(%+l)x 0.8 5 =1 0 x-1 7,解得x的值即可解答.据题意设小明可购买钢笔支，则购买签字笔(5 0 y)支，则可歹U不等式 8 y+6(5 0 y)x 8 0%W40 0,解得y 4 1 0 0.即最多可以购买1 0 0支.【解答】解：(1)设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了(x+1)个,依题意得：10（x+l）x0.85=1 0 x 7 7.解得x=17.答：小明原计划购买文具袋17个.（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔（5 0-y）支,依题意得：8y+6（50 y）x80%W 400.解得yWlOO.即 y最大值=i0 .答：明最多可购买钢笔100支.【点评】本题考查一次函数及不等式，熟练掌握计算法则是解题关键.1 4.今年3 月 12日植树节期间，学校预购进A、B 两种树苗，若购进A 种树苗3 棵，8 种树苗5 棵，需 2100元，若购进A 种树苗4 棵，B 种树苗10棵，需 3800元.（1）求购进A、B 两种树苗的单价；（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求 4 种树苗至少需购进多少棵？【答案】（1）购进A 种树苗的单价为200元/棵，购进8 种树苗的单价为300元/棵；（2）4 种树苗至少需购进 10棵【分析】（1）设购进A 种树苗的单价为x 元/棵，购进8 种树苗的单价为y 元/棵，根据“若购进A 种树苗3棵，B 种树苗5 棵，需 2100元，若购进A 种树苗4 棵，8 种树苗10棵，需 3800元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需购进A 种树苗“棵，则购进B 种 树 苗（3 0-a）棵，根据总价=单价x购买数量结合购买两种树苗的总费用不多于8000元，即可得出关于。的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.【解答】解：（1）设购进A 种树苗的单价为x 元/棵，购进B 种树苗的单价为y 元/棵,根据题意得:3x+5y=21004x+10y=3800解得：x=200y=300答：购进A 种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵.（2）设需购进A 种树苗a 棵，则购进8 种 树 苗（30-a）棵，根据题意得：2 0 0 a+3 0 0 (3 0-a)3(x+1)1 5.解不等式组,l+2 x 并在数轴上表示出它的解集.-x-1I 35 W十 L L E-L【答案】2 3(x +l)【解答】但 一1 I 3解不等式，得：x 2,解不等式，得：x 4,所以，不等式组的解集为2 3 0 0（2）设小亮准备购买A 商品a 件，则购买B 商 品（1 0-a）件“八 八、”八，2 0 a+5 0（1 0 -a）3 5 02解得5W a 3 2 0购买A商品6件，B商品4 件的费用最低.答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5 件；方案二：购买A商品6 件，B商品4件，其中方案二费用最低.点睛”此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键.17.为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋潴水研学基地开展研学活动.在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10 名学生没老师带；若每位老师带队15 名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载 客 量（人/辆）3 53 0租 金（元/辆）40 03 2 0学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3 0 0 0 元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师.（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为 辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有2 3 4人.（2）8；（3）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2 7 2 0元.【分析】（I）设参加此次研学活动的老师有X人，学 生 有 人，根据题意列出方程组即可求解；（2）利用租车总辆数=总人数+3 5,再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解；（3）设租3 5座客车加辆，则需租3 0座的客车（8-m）辆，根据题意列出不等式组即可求解.【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有X人，学生有 人,依题意，得:14x +10 =y15 x-6 =y解得:x =16y =2 3 4答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有2 3 4人.(2).(2 3 4+16)+3 5 =7 (辆)-5 (人)，16+2 =8 (辆),；租车总辆数为8辆.故答案为8.（3）设租3 5座客车加辆，则需租3 0座的客车（8-辆,依题意，得：2 3 4+1640 0 m+3 2 0(8-m)3 0 0 0解得：2 m 0,的值随阳值的增大而增大，,.当相=2时，w取得最小值，最小值为2 7 2 0.学校共有4 种租车方案，最少租车费用是2 7 2 0 元.【点评】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，熟练掌握两者是解题的关键.18.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为因.即当n为非负整数时，若一 +工，则 x =n.如:2 2 3.4=3,3.5 J=4.根据以上材料，解决下列问题：（1）填空:若 x =3,则 x 应 满 足 的 条 件:；若 3 x+l=3,则 x应满足的条件:（2）求满足 x=g x-l 的所有非负实数x的值（要求书写解答过程）.【答案】（1）一 x ；7 x ;（2）x=或 x=2 2 2 6 5 5【分析】（1）因为 x =3,根据n-；W x 0n+；,求得x取值范围即可；由得出3 x+l 的取值范围,进一步解不等式组得出答案即可；（2）设3xl=m,m为整数，表示出x,进一步得出不等式组求出答案3即可.【解答】解：（1）因 为 冈=3,根据11一二刍9+二2 23 x 3 H-2 一 一 25 7解得:二 W xV-；2 25 7由可得一 W3 x+1-2 2解得:x ；2 6故答案为：士5 x 7-2 2吗5 x-;6（2）解：设 x -l=m,m为整数，则 x 二3A x=3 m+3-=m,3 7 7 t+351 3/7 1+3 1 -m+2 5 21 11 m 0）,则购买乙种机器（6-x）台，根据买机器所耗资金不能超过3 4万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数W3 4万元.就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围.（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于3 8 0个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数W3 8 0件.根 据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案.【解答】解：设购买甲种机器x台侬 0卜 则购买乙种机器（6-x）台依题意，得 7 x+5（6-x）W3 4解这个不等式，得 XW2,即 x可取0,1,2三个值.该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台.方案二:购买甲种机器11台,购买乙种机器5 台.方案三:购买甲种机器2 台,购买乙种机器4 台根据题意,100 x+6 0（6-x 巨3 8 0解之得x ,2由得烂2,即g Wx W2.，x可 取 1,2俩值.即有以下两种购买方案：购买甲种机器1 台,购买乙种机器5 台，所耗资金为1x 7+5x 5=3 2万元；购买甲种机器2 台,购买乙种机器4 台，所耗资金为2x 7+4x 5=3 4万元.为了节约资金应选择购买甲种机器1 台,购买乙种机器5 台,.【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案.20.去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共3 20件，其中饮用水比蔬菜多8 0件.（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8 辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水4 0 件和蔬菜1 0 件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各2 0 件.则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费4 0 0 元，乙种货车每辆需付运费3 6 0 元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为2 0 0 件 和 1 2 0 件（2）设计方案分别为：甲车2 辆，乙车6辆；甲车3 辆，乙车5辆；甲车4辆，乙车4辆（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6 辆，可使运费最少，最少运费是2 9 6 0 元【解析】试题分析：（1）关系式为：饮用水件数+蔬菜件数=3 2 0；（2）关系式为：4 0 x 甲货车辆数+2 0 x 乙货车辆数澳0 0；1 0 x 甲货车辆数+2 0 x 乙货车辆数多2 0；（3）分别计算出相应方案，比较即可.试题解析：（1）设饮用水有x 件，则蔬菜有（x-8 0）件.x+（x -8 0）=3 2 0,解这个方程，得 x=2 0 0.A x -8 0=1 2 0.答：饮用水和蔬菜分别为2 0 0 件 和 1 2 0 件；（2）设租用甲种货车m 辆，则租用乙种货车（8-m）辆.得：40m+20(8-m)2001 Om+20(8-m)120解这个不等式组，得为正整数，m=2 或 3或 4,安排甲、乙两种货车时有3种方案.设计方案分别为：甲车2辆，乙车6辆；甲车3辆，乙车5辆；甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：2 x 4 0 0+6 x 3 6 0=2 9 6 0 （元）：3 x 4 0 0+5 x 3 6 0=3 0 0 0 （元）；4 x 4 0 0+4 x 3 6 0=3 0 4 0 （元）；方案运费最少，最少运费是2 9 6 0 元.答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2 9 6 0 元.考点：1.一元一次不等式组的应用；2.二元一次方程组的应用.2 1.某农产品生产基地收获红薯1 9 2 吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销.该基地用大、小两种货车 共 1 8 辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为1 4 吨/吨和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：车型运费运往甲地/（元/辆）运往乙地/（元/辆）大货车7 2 08 0 0小货车5 0 06 5 0（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排1 0 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a 辆，总运费为w元，求 w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于9 6 吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费.【答案】（1）大货车用8 辆，小货车用1 0 辆；（2）w=7 0 a+1 1 4 0（）（0%W 8 且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3 辆大货车、7 辆小货车前往甲地；5辆大货车、3 辆小货车前往乙地.最少运费为1 1 6 1 0 元.【分析】（1）根据大、小两种货车共1 8 辆，以及两种车所运的货物的和是1 9 2 吨，据此即可列方程或方程组即可求解；（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式；（3）根据运往甲地的物资不少于9 6 吨，即可列出不等式求得4的范围，再根据。是整数，即可确定。的值，根 据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案.【解答】（1）设大货车用x辆，则小货车用（1 8-x）辆，根据题意得：1 4 x+8 （1 8 -%）=1 9 2,解得：x=8,1 8-4 1 8-8=1 0.答：大货车用8 辆，小货车用1 0 辆.（2）设运往甲地的大货车是那么运往乙地的大货车就应该是（8-a）,运往甲地的小货车是QO-a）,运往乙地的小货车是 1 0-（1 0-a）,w=7 2 0 a+8 0 0 （8 -）+5 0 0 （1 0-。）+6 5 0 1 0-（1 0-a）J-7 0 a+1 1 4 0 0（0 9 6,解得：a -.3又.0&W 8,.,.3 a 0,w随 a的增大而增大，.当 a=3 时，W 最小，最小值为：W=7 0 x 3+l 1 4 0 0=1 1 6 1 0 （元）.答：使总运费最少的调配方案是：3 辆大货车、7 辆小货车前往甲地；5 辆大货车、3 辆小货车前往乙地.最少运费为1 1 6 1 0 元.【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式,从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值.2 2.某中学租来同类型大客车若干辆，准备全校师生外出春游，如果每辆车乘坐2 2 人，那么就会余下1 人,如果开走1 辆空车，那么所有师生刚好平均分乘剩下的汽车，试求共租了多少辆汽车和全校师生共多少人?（已知每辆汽车的容量不多于32 人）【答案】共租了汽车2 4 辆，全校师生共5 2 9个.【分析】设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人.由于m N 2,n 32,依题意有2 2 m+l=n （m-1）,再根据情况做具体讨论即可.【解答】解：设原有k 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n 个人，显然kN2,n32,易知旅客人数等于2 2 k+l,当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为n(k-1),由此列出方程22k+1 =n(k-1),.22Z+1 22(A:-1)+23 8 23.=-=-=22 H-k-1 k-l k-l因为n 为正整数，所以，23土必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和 23两个，且公2,k-lk-1 =1,或 k-l=23,如果k-l=l,则 k=2,n=45,不满足彩32的条件.如果k-l=2 3,则 k=24,n=23,符合题意.所以旅客人数等于n(k-l)=23x23=529(人).答：共租了汽车24辆，全校师生共529个.【点评】本题考查二元一次不定方程的应用，难度较大，需要较强的分析探讨能力，解答本题的关键是根据题意列出方程，利用实际情况讨论可能的取值.2 3.某商场有A、B 两种商品，每件的进价分别为15元、35元.商场销售5 件 A 商品和2 件 B 商品，可获得利润45元;销售8 件 A 商品和4 件 B 商品，可获得利润80元.(1)求 A、B 两种商品的销售单价；(2)如果该商场计划购进A、B 两种商品共80件，用于进货资金最多投入2 000元，但又要确保获利至少590元，请问有那几种进货方案？【答案】(1)A、B 两种商品的销售单价分别为20,45.(2)第一种方案：A 种商品进40件，B 种商品进40件第二种方案：A 种商品进41件，B 种商品进39件第三种方案：A 种商品进42件，B 种商品进38件【解析】【分析】(1)设 A、B 两种商品的销售单价分别为x,y;再根据题意列二元一次方程组即可.(2)设 A 种商品进了 m 件，则可得B 种商品进了 80-m件.根据题意列出不等式组，求解即可.【解答】(1)设 A、B 两种商品的销售单价分别为x,y;根据题意可得：5(x-1 5)+2(y-35)=45=8(x15)+4(y-35)=80 解得 y=45所以A、B 两种商品的销售单价分别为20,45.(2)A种商品进了 m件，则可得B种商品进了 8 0-m件.根据题意可得：15m+35(80-m)40 解得：(20-15)/77+(45-35)(80-m)590 m 0,贝i j a b；(2)若 a b=0,则 a b ；(3)若 a-b V O,则 a b.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较 4+3a 2-2 b+b 2 与 3a 2-2 b+l 的大小.【答案】(1)；(2)=；(3)3 a2-2 b+1【分析】(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；(2)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，结果仍是等式，等式的两边同时加上6即可；(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上力即可；(4)求出4+3出-2 b+按与3 a 2 -2 b+l的差的正负，即可比较4+3岸-2从炉与3 a 2 -2 b+的大小.【解答】(1)因为a -匕0,所以a -b+0+，即(2)因为-/=(),所以 -+匕=0+匕，即 4=6;(3)因为 a-b 0,所以 a -。+6 0,所以 4+3。2 -2 b+b23 a2-2 6+1.故答案为、=、3摩-2 4+1.【点评】(1)本题考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；(3)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变.(2)此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握.2 5.定义一种新运算 a*。；当a N Z?时，a*b a+2 bi 当a b时，=a 2 0.例如：3 *(-4)=3 +2 x(4)=5,(6)*1 2 =6 2 x1 2 =3 0.(1)填空：(T)*3 =；(2)若(3 x-4)*(x+6)=(3 x-4)+2(x+6),则x的取值范围为；(3)已知(3 x-7)*(3-2 x)5或x L【分析】(1)根据公式计算可得；(2)结合公式知3 x-4力:+6,解之可得；(3)由题意可得分类讨论：当3%-7 2 3 2 x和3 x 7 5.、,3 x 7 3 2 x解得X 5或x l.【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.2 6.某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若 购 电 脑 机 箱1 0台和液液晶显示器8台，共需要资 金7 0 0 0元；若购 进 电 脑 机 箱2台 和 液 示 器5台，共 需 要 资 金41 2 0元.（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共5 0台，而可用于购买这两种商品的资金不超过2 2 2 40元.根据市场行情,销售电脑机箱、液 晶 显 示 器 一 台 分 别 可 获 利1 0元 和1 6 0元.该 经 销 商 希 望 销 售 完 这 两 种 商 品，所获利润不少 于41 0 0元.试 问：该经销商有哪儿种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？【答 案】（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是6 0元，8 0 0元；（2）利 润 最 大 为440 0元.【分 析】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若 购 进 电 脑 机 箱1 0台和液晶 显 示 器8台，共 需 要 资 金7 0 0 0元；若 购 进 电 脑 机 箱2台和液晶显示器5台，共 需 要 资 金41 2 0元”即可列方程组求解;（2）设 购 进 电 脑 机 箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过2 2 2 40元，所获利润不少于41 0 0元”即可列不等式组求解.【解 答】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x,y元,根据题意得:10 x+8y=7000 2x+5y=4120解 得：x=60y-800答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是6 0元，8 0 0元：（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购 进 液 晶 显 示 器（5 0-m）台,根据题意得:60m+800(50-/27)4100解 得：2 4sm s2 6,因 为m要为整数，所 以m可 以 取2 4、2 5、2 6,从而得出有三种进货方式：电 脑 箱：2 4台，液晶显示器：2 6台,电脑箱：2 5台，液晶显示器：2 5台;电脑箱：2 6 台，液晶显示器：2 4 台.，方案一的利润：2 4x1 0+2 6 x1 6 0=440 0,方案二的利润：2 5 x1 0+2 5 x1 6 0-42 5 0,方案三的利润：2 6 x1 0+2 4x1 6 0=41 0 0,二方案一的利润最大为440 0 元.答：该经销商有3种进货方案：进2 4 台电脑机箱，2 6 台液晶显示器；进 2 5 台电脑机箱，2 5 台液晶显示器；进2 6 台电脑机箱，2 4 台液晶显示器.第种方案利润最大为440 0 元.【点评】考点：方案问题，方案问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握.2 7.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共1 0 辆，其中轿车至少要购买3 辆，轿车每辆7万元，面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过5 5 万元.（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为2 0 0 元，每辆面包车的日租金为1 1 0 元，假设新购买的这1 0 辆车每日都可租出，要使这1 0 辆车的日租金不低于1 5 0 0 元，那么应选择以上哪种购买方案？【答案】（1）有三种购买方案,理由见解析；（2）为保证日租金不低于1 5 0 0 元，应选择方案三，即购买5 辆轿车，5辆面包车【分析】设要购买轿车x 辆，则要购买面包车（1 0-x）辆，题中要求“轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4 万元，公司可投入的购车款不超过5 5 万元”列出不等式，然后解出x的取值范围，最后根据x的值列出不同方案.【解答】（1）设购买轿车x 辆，那么购买面包车（1 0 外辆.由题意，得 7 x+4（1 0 x）W 5 5,解得烂5.又因为e3,所以x的值为3,4,5,所以有三种购买方案：方案一：购买3辆轿车，7辆面包车；方案二：购买4 辆轿车，6 辆面包车；方案三：购买5 辆轿车，5 辆面包车.（2）方案一的日租金为 3 x 2 0 0+7 x 1 1 0=1 3 7 0（元）1 5 0 0 元；方案二的日租金为4x 2 0 0+6 x 1 1 0=1 46 0（元）1 5 0 0 元；方案三的日租金为5 x 2 0 0+5 x 1 1 0=1 5 5 0（元）1 5 0 0 元.所以为保证日租金不低于1500元，应选择方案三，即购买5 辆轿车，5 辆面包车.【点评】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，要注意找好题中的不等关系.解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x 的一元一次不等式；（2）求出三种购买方案的日租金28.今年春季我国西南地区发生严重旱情，为了保障人畜饮水安全，某县急需饮水设备12台，现有甲、乙两种设备可供选择，其中甲种设备的购买费用为4000元/台，安装及运输费用为600元/台；乙种设备的购买费用为3000元/台，安装及运输费用为800元/台，若要求购买的费用不超过40000元，安装及运输费用不超过9200元，则可购买甲、乙两种设备各多少台？【答案】可购买甲种设备2 台、乙种设备10台，或甲种设备3 台、乙种设备9 台，甲种设备4 台、乙种设备 8 台.【分析】根据“购买的费用不超过40000元”“安装及运输费用不超过9200元”作为不等关系列不等式组，求其整数解即可求解.【解答】解：设购买甲种设备x 台，则购买乙种设备（1 2-X）台，购买设备的费用为：4000X+3000（1 2-x）40000,安装及运费用为：600 x+800（1 2-x）,根据题意得4000 x+3000(1 2-x)40000600 x+800(12-x)9200解之得2 x 4.；x 是整数，有 3 种方案，即x=2,3,4,购买甲种设备2 台，乙种设备10台;购买甲种设备3 台，乙种设备9 台；购买甲种设备4 台，乙种设备8 台.答：可购买甲种设备2 台、乙种设备10台，或甲种设备3 台、乙种设备9 台，甲种设备4 台、乙种设备8台.【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解.解题关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.29.自学下面材料后，解答问题.分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：0 等.那么如何求出它们的解集呢？根x-1 2x+5据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为:(1)若b 0,则 0；b(2)若。0,b 0,则 色 0反之：(1)若1 0,则、八，b b0若 a VO,b 0；b若a 0,则？V0.bJ aOCb0(2)若色 0的解集.2x+51 +2x(4)试 求 不 等 式 上 三 0【答案】(2)，八b0a 0 x 3；(4)x 42【分析】(2)根据两数相除，异号得负解答:(3)先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可;(4)先根据异号得负把不等式转化成不等