数值分析第五版_李庆扬_课后习题答案.pdf

第 一 章 绪论1.设x O,x的相对误差为5,求Inx的误差。解：近似值x*的相对误差为3=e；=二=二 X*X*而Inx 的误差为e(lnx*)=ln x*-ln x e*x*进而有(lnx*)a52.设x的相对误差为2%,求V的相对误差。解：设/(x)=x ,则函数的条件数为C=|至0|fM又 /(X)=nxn,/.C=X 1=nn又：j(x*)q,c(x*)且 e，(x*)为 2 (x*)0.02/13.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单 位，试 指出它们是儿位有效数字：x；=1.1021,元;=0.031,x；=385.6,x*=56.430,x；=7x1.0.解:x：=1.1021是五位有效数字;E=0.031是二位有效数字；x；=385.6是四位有效数字；x；=56.430是五位有效数字；=7x1.0.是二位有效数字。4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)x；+x；+x；,(2)w；,(3)x；/x；.其中x：,x；,x；,x；均为第3题所给的数。解：（X：）=；x l（r4（x；）=g x l（）-3（X；）=g x l（）T（X；）=gx l O-3（x；）=g x l（）T（1）（X：+X；+X：）=（X；）+（X；）+（X：）=-x l O-4+-x l O-*3+-x l O-35 6.4 3 0 x 5 6.4 3 0=1 0一55计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为丫=3乃W3则何种函数的条件数为 R V R 4球 、C,=-=：-=3V ，叱3,（7?*）=3 ,（/?*）又.,（丫*）=12 2 2=1.0 5 x 1 0-3（2）（X：X；X；）=忖司 （X；）+|x；X；|（X：）+忖 X；,（X；）=|1.1 0 2 1 x 0.0 3 1|x l x l 0-1+|0.0 3 1 x 3 8 5.6|x l x l 0_ 4+|1.1 0 2 1 x 3 8 5.6|x ix l 0-3 0.2 1 5（3）（X；/X；）同 （X；）+|x （X；）i ,i ,0.0 3 1 x-x l 0-3+5 6.4 3 0 x-x l O 322故度量半径R 时允许的相对误差限为a(7?*)=1 *0.336.设=2 8,按递推公式工=匕_1 一 击 77i5(n=l,2,)计算到Xoo。若取J/a 27.982(5 位有效数字)，试问计算丫 将有多大误差？解：匕=匕广看历Y oo=%-Y gg K)g-V783100L9 8%9 7 -J78310()-V7830 100依次代入后，有 之=4-IOOX*V7有即几0=%_ ，若取7 *27.982,.y10G=乂 27.982(XM)=(/)+(27.982)=1xl0-3 .Lo的误差限为gxlO-3。7.求方程d-5 6 x +l=o 的两个根,使它至少具有4 位有效数字(V783=27.982)。解:x2-56x+l=0,故方程的根应为4 2 =28阮 5故 菁=28+7 7 28+27.982=55.982.为具有5 位有效数字=28-J783=-=-28+V783 28+27.982 55.982 0.017863马具有5 位有效数字8.当N 充分大时，怎样求 壮产？3pV+1 1解 Jv-2 dx=arctan(N+1)arctan N设 a =arctan(N+1),4=arctan N。则 tan 二=N+1,tan,=N.Jw+iN11+x2dx-a-3-arctan(tan(a 一 夕)arctantan cr-tan/?1+tan ez tan(3arctanN+l-N1+(N+1)N=arctanM+N+I9.正方形的边长大约为了 1 0 0 c m,应怎样测量才能使其面积误差不超过1c疗？解：正方形的面积函数为A（x）=/.（A*）=2A*（x*）.当x*=100时,若则 （X*）WX1（T 22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1 0.设S=；g产，假定g是准确的，而对t的测量有0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：S=g g,f 0（S*）=gt2（t*）当，*增加时，S*的绝对误差增加?（5*）=芾=g r g（r*）那*）22 （产）4当，*增加时，“*)保持不变，则S*的相对误差减少。11.序列 “满足递推关系=10y“_|T (n=l,2,.),若%=(三位有效数字)，计算到加时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：.=&=1.41(%*)=；xl0-2又:=1 0一 1(%*)=10(%*)又：=I。)T(为*)=1(%*)(%*)=10%(%*).（%*）=101（%*）=10 xlxl0-22=-x l082计算到为时误差为g x l()8,这个计算过程不稳定。12.计算/=(/-1)6,取 及X 1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？-r1 ,(3-2V2)3,99-7072 o(V2+1)6(3+2V2)3解:设y=（x-l）6,若=也，%*=1.4,则（x*）=；x l（）T。若通过 J，计算y值,则(V2+1)65*1（）=6 x；-（x +1）(父)6 */*、=j 7 y ）（X +iy=2.5 3 y Z（x*）若通过（3-2及y计算y值，则8（y*）=|-3 x 2 x （3 -2 x*）21 8（x*）6 */*j*y a工）3-2 x=3 0 y*（x ）若 通 过 一 J计算y值，则(3 +2 V 2)3*1（）=3 x-（3 +2 x T(丁)=6 x-y*（x*）（3+2x）7=L0 3 4 5 y*（x*）通过（3+2衣 3计算后得到的结果最好。1 3./(x)=l n(x-Jx?-1),求/(3 0)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。l n(x-1)=-I n(x +Jx 2_)计算，求对数时误差有多大？解 /(x)=l n(x-7 x2-l),.-./(30)=l n(30-99)设 =V%=/（30）则“*=29.9833（*）=；x l 0-4故6底 卜 一 岛 而)=焉 而)。3x10-3若改用等价公式l n(x-Vx2-1)=-l n(x +/x2-1)贝 1J/(3O)=l n(30+屈此时，)二|一二 J (，)30+=-E(H*)59.9833 8x l 0-7第二章插值法1.当x =L-1,2时，/(x)=O,-3,4,求/(幻的二次插值多项式。解：“0=1,玉=l,x2=2,/(XO)=O,/(X1)=-3,/(X2)=4;/o(x)=*7翌-)=_ 1(x +l)(x-2)lx(x)=。一勒)(“-)=_ L(x -l)(x -2)(玉 一5)(玉一)6(x-x0)(x-x,)1 i、/,八 (x2-x0)(x2-x,)3则二次拉格朗日插值多项式为2L2(X)=Z为4(X)k=O-3/。(尤)+4/式 x)14=(x l)(x 2)+(x l)(x +1)2.给出f(x)=l n x的数值表7X0.40.50.60.70.8I n x-0.916 291-0.6 93147-0.510826-0.356 6 7 5-0.223144用 线 性 插 值 及 二 次 插 值 计 算 I n 0.54的 近 似 值。解：由表格知，XQ 0.4,%)0.5,x,=0.6,X 3 0.7,0.8;/(x0)=-0.916 291J (x j =-0.6 93147/(x2)=0.510826，/=0.356 6 7 5/(x4)=-0.223144若 采 用 线 性 插 值 法 计 算 l n 0.54即/(0.54),贝 U 0.5 0.54 0.6=-=-10(x-0.6)当一/2(x)=-10(x-0.5)x2-x1“X)=/(X )/|(x)+/()4(x)=6.93147(x -0.6)-5.10826(%-0.5)L,(0.54)=-0.6 202186 -0.6 20219若 采 用 二 次 插 值 法 计 算 l n 0.54时,，o(x)4(x)(X-X)。-/)(X0-X,)(X0-J C2)(x-x0)(x-x2)(七一%)(占一)(X _ X o)(X _ X|)(x2-x0)(x2-x,)=50(x-0.5)(x-0.6)-100(x-0.4)(x-0.6)=50(x-0.4)(x-0.5)4(%)=/(x()为(%)+/*1R (x)+/(4 M(%)=-50 X 0.916 291(%-0.5)(x-0.6)+6 9.3147(%-0.4)(x -0.6)-0.510826 x 50(x -0.4)(x -0.5)L2(0.54)=-0.6 1531984 -0.6 153203.给 全 c o sx,0 4x 90的函数表，步 长 6 =1 =(1/6 0),若 函 数 表 具 有 5 位有效数字，研 究 用 线 性 插 值 求 c o sx 近 似 值 时 的 总 误 差 界。解：求 解 c o sx 近 似 值 时，误 差 可 以 分 为 两 个 部 分，一 方 面，x是 近 似 值，具 有 5位 有 效 数 字，在 此 后 的 计 算 过 程 中 产 生 一 定 的 误 差 传 播；另 一 方 面，利用插值法求 函 数 c o sx 的 近 似 值 时，采 用 的 线 性 插 值 法 插 值 余 项 不 为 0,也会有一 定 的 误 差。因 此，总 误 差 界 的 计 算 应 综 合 以 上 两 方 面 的 因 素。8当0”x W 9。时,令/(X)=CO SXI ；rr取%=0,/?=()=x-=6 0 6 0 1807110800令七=x0+i h,i =0,1,.,5400则 X5400=y=9 0当xe k，X 时，线性插值多项式为4(x)=/(x j x _%+f(xk+l)X-XkXk-Xk+l Xt+1-A插值余项为R(x)=|c o s x-L(x)|=g/e)a z)(x z+i)又.在建立函数表时，表中数据具有5 位有效数字，且 c o sx e 0,l,故计算中有误差传播过程。.(/*&-)小炉R,(x)=+(/*(1)(/*(X*)(Xf L+Xf)Xk Xk+Xk+Xk=(/*(4)(小 _ X +X _ X。h=(/*(“),总误差界为9R=/?(1)+7?2(工)=g(-c o sj)(x x )(x 4+1)+(/*.)|x(x-xt)(xt+|-x)+(f xk)；力)2 +(/*1)=1.06 x l 0-8+-x l 0-52=0.50106 x 10 54.设为互异节点，求证：(1)三3 (k =0,1,);J=o(2)(x7-x)kIj(x)=0 (k =0,1,/);j=o证明(1)令/(尤)=x*若 插 值 节 点 为X j,_/=0,l,n ,则 函 数/(x)的 次 插 值 多 项 式 为4(x)=x？j(x)j=o插值余项为&(x)=/(x)-L(x)=-善4+仆)(n +1)!又,：k&n,尸)=0，R.(x)=0 x*(x)=/(k=0,1,);j=o f(x厂 x)Z(x)7=0=力(力弼(-%)”)y=0 Z=0=力 以(一 产 这 咽(x)/=0 j=010又()(/由上题结论可知Zx*(x)=x 六0原式=(-X),/=0=(x-x)k二 0 得证。5 设/(工)。2 ,可 且 5(。)=/3)=0,求证:m a x|/(x)|(&-a)2 m a x解：令/=0,/=8，以此为插值节点，则线性插值多项式为4(x)=/(%)-X-A|+/(玉)%王、x-b ”，、x-a=f(a)-+f(b)a-b x-a又/(“)=/S)=。.L,(x)=0插值余项为 R(x)=/(x)-L,(x)=i f(x)(x-x0)(x-xt)；/(X)=g/(x)(x-X o)a X|)又.(x _ X o)(x _ X|)|；_%0)+(玉一=；(玉一/)2 (b a)242.m a x|/(x)|i(&-)2S|r W|.6 .在-4 W x W 4上给出/(x)=/的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值,要使截断误差不超过1CT6，问使用函数表的步长h 应取多少？解：若插值节点为X“,X j 和则分段二次插值多项式的插值余项为1 1&(x)=-x,.)(x -)(x -X,+1)火23)|w，(X -斗 _ 1 )(x -x j(x -X,.+1)m a x|/w(x)|设步长为 h,即 xi_i=xj-h,x1+1=xt+h:.Rx)-e4 e4h1-1 6 3 G 27若截断误差不超过1(T 则|2W|io-6.-.e V 1027/.h 0.0065.7.若以=2”,求及9 小，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。K=2”=(-炉先=(2-1)”=21 _ 1五_八)/,1=(E)4(E-D4X,=E-2 yn=yn-z=2n28.如果f(x)是 m 次 多 项 式,记 纣(x)=f(x +/0 f(x),证明f。)的 k 阶差分12/(x)(O W A W?)是机一人次多项式，并且1+(x)=0(/为正整数)。解：函数/(x)的Ta y lo r展式为 小 小)+/3仆诉+2坊=(%_ A y pj=0 j=0=(M -%)+(%-3)+(孰-A%)=A y-A y0得证。12 .若/(x)=a0+1%+a,，1%-1+anxn W n 个不同实根玉,x”,.T B H x；J O,O Z:r t-2;证明：X ,=1,X r(Xj)n-,k=n-证明：；/(X)有个不同实根须,尤2,当且/(x)=%+qx +an_xn +anx/(x)=a(x-x1)(x-x2)-(x-x)令0(x)=(x-X|)(x -X2)一(x-x“)则 xk /xkT rap NaM ap14而 d(x)=(-X2)(X-X3)-(X-XH)+(X-?:1)(X-X3)(%-xw)+(x-)(%-x2)-(x-Xn_j)矶(Xj)=(Xj-%)(当 一 /)(当 一 XjT)(Xj_ X.+1)-(X.-xn)令 g(x)=x,gX，X2，X,=ZJ=1则 gx”X 2，“这J=1X；W X 1又=g、，,X,/(Xj)a.9 x：(0,0k n-2;/./-=/(X)3(X)-R(X)=0(p(t)=(t)-一 g (x)2(f -x,)(Z-x,+1)2+2(Z-xt+1)(/-x,)2(pxk)=0由 罗 尔 定 理 可 知,存 在/和 标 ),使”&)=0 2)=0即(p(x)在Kj上有四个互异零点。根据罗尔定理，“在夕(。的两个零点间至少有一个零点，故夕 在(4,无 1)内至少有三个互异零点，依此类推，9在(4，x +)内至少有一零点。记 为 夫(乙,%)使=-4)c)_ 3 4)4!g(x)=0又%=0g(x)=4!，安(x*，x*+J17其中自依赖于XR(x)严4!(x-XjJ-Cx xt+1)2分段三次埃尔米特插值时，若节点为人伏=0,1,），设步长为力，即xk=x0+k h,k=0,1,，在小区间 K，x*+J 上f记)R(x)=4!|R(X)|=/倒(X f.)2(X_K)2M 士(X -X )2(x x)2 巧囚尸4)(x)|4 J axb 1 1 一(X X)2 2 m a x|/(4)(x)|4!2 a,xJ)I I=-x-/i4 max|/l4)(x)|4!2 I=-max|/4)(x)|384 axb 1 6.求 一 个 次 数 不 高 于 4次 的 多 项 式P (x),使 它 满 足P(0)=P(0)=0,P(l)=P 1 l)=0,P(2)=0解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式%=0,&=1%二，%=1m()=0,m =111%(x)=Z y)ai(X)+Z 叫生。)j=0 j=0a0(x)=(l-2 )(土 斗 2%0 一 再 x0-x1=(l+2x)(x-l)2a,(x)=(l-2 二 五)(王玉工X -xo X j x0=(3 2x)x2/70(x)=x(x-l)2/?1(%)=(x-l)x218H3。)=(3 2x)x +(x l)x?x+2无2设 P(x)=3(X)+A(X-X()2(X-X 1)2其中，A为待定常数P =1，p(x)=-%3+2x2+A x2(x-1)24从而 P(x)=X2(X-3)241 7.设/(x)=l/(l +M，在-5 4 x 4 5上取=1 0,按等距节点求分段线性插值函数4(x)，计算各节点间中点处的，,(x)与/(x)值，并估计误差。解：若 5,X|Q=5则步长 =1,xi-x0+i h,i=0,1,-,1 0在 小 区 间 上，分段线性插值函数为，/、X X.,r,、X X,.、4(X)=-f(菁)+-f(西+1)X j x*xM-xt/、1 /、1=(苍+1 -x)+(X -X J -21 +见 +xM各节点间中点处的/X）与/（X）的值为当 x =4.5 时，/(x)=0.0 47 l/(x)=0.0 486当 x =3.5 时，/(x)=0.0 755,(x)=0.0 794当 x =2.5 时,/(x)=0.1 3 794(x)=0.1 50 0当 x =1.5 时，/(x)=0.3 0 77,7,(x)=0.3 50 0当 x =0.5 时，f(x)=0.80 0 0/(x)=0.750 019误差/Jm a x|/(x)-Zft(x)|m a x|r()8-5SX5-.fMf(x)r”(x)11 +x2-2x(1 +x2)296x 2-2(0)324x-24x3(1 +x2)4又/(x)令尸(x)=0得f x)的驻点为x1 2=1和X 3 =0/(X|,2)-5 J (*3)=-2.m a x|/(x)-/,(x)|-1 8.求/(x)=2在也，切上分段线性插值函数/(x),并估计误差。解：在区间3,切上，X。=a,xn=b,hi=x;+1-x,z=0,1,-h=m a x h0in-l/(x)=X2二函数/(x)在 小 区 间 上 分 段 线 性 插 值 函 数 为升 一 为+1=7-x j(X j+|-x)+X j+；(x-X j)%误差为20max|/(x)-/(x)|XjWxWXj+i/(x)=/18啜|小)|h-:.f(x)=2 x,f(x)=2 2max|/(x)-/(x)|-a x b1 9.求/(x)=/在g,加上分段埃尔米特插值，并估计误差。解：在 a,句区间上，x0=a,xn=b,hi=x;+1=0,1,令力=max h-0M0-l.,/(x)=x r(x)=4x3二函数/(x)在区间 4心上的分段埃尔米特插值函数为/,(%)=()2(1 +2 )/(x,.)七 一 西+1 七+|一 七+(士 生 )2(1+2 忙2)/(鸳)玉+1 Xi Xi-Xi+(土 当L)2(xf)r a)七一x川+(七%一)2(X-X*)&菁了 4=T y(%七+i)(4+2x 2%)%X 4+-(1一%)2(4 _2工 +2W+)厚+J 可+1)之(X-七)hiAY 3+-(x-xi)2(x-xi+)误差为f(x)-Ih(x)=|/(同(f)2(X f 了4 J m a x|/倒&I”24公x助 221X v/(x)=x4.J(4)(X)=4!=24max|/(x)-/,(x)|maxJ/20.给定数据表如下:04 M li 6 16Xj0.250.300.390.450.53Y j0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：S(0.25)=1.0000,S(0.53)=0.6868;(2)S(0.25)=S(0.53)=0.解：%(,=X -%=0.05hl=x2-xl=0.09h2=x3-x2=0.06%3 =%-当=0.08h.,h.,:出-,2.-nh j-rhi j J hn j-huj5 3 3 1从=/42=丁3=亍,4=19 2 44=荷，4=w，4=,，4 =1f x0,xj=/(%)二/=0.9540占 一。/xI5x2=0.8533/X2,X3 =0.771 7/x3,x4=0.715022 5（%）=l.O O O O,S（z）=0.6868（小，-70）=-5.520 0%4=6d-,=64=6/L Z 卜 x=-4.3 1 57%+4/匡闯一/石,=_ 3.26404+2/卜闾-/民闻=_ 2.43 0 0h2+人3 哈 力 _/卜 闾）=_2.1 1 50 3由此得矩阵形式的方程组为-?|520 0-41 1 57-3.2640-2.43 0 0-2.1 1 501求解此方程组得M。=2.0 278,=-1.4643M,=-1,0 3 1 3,M3=-0.80 70,M4=-0.653 9 ,三次样条表达式为s，中+（xM.h.2 XR-X M.h.2 x-x：十）k+（%一代）丁（K 一 D.,将 此,%，小，场代入得23-6.7593(0.30-x)3-4.8810(%-0.25)3+10.0169(0.30-x)+l 0.9662(x-0.25)x e 0.25,0.30-2.7117(0.39 x)3-1.9098(x-0.30)3+6.1075(0.39-x)+6.9544(%-0.30)xe 0.30,0.39-2.8647(0.45-x)3-2.2422(x-0.39)3+10.4186(0.45-x)+l0.9662(x-0.39)xe 0.39,0.45-1.6817(0.53-X)3-1.3623(X-0.45)3+8.3958(0.53-X)+9.1087(X-0.45)xe 0.45,0.53 S(Xo)=O,S(z)=Od=2於=0,4=-4.3157,=-3.2640为=-2.4300,4=24=04 =4=。由此得矩阵开工的方程组为A/。=监=023509140252M、M2 3157、=-3.2640、一 2.4300,2377求解此方程组，得Mo=O,M,=-1.8809M2=0.8616,%=-1.0304,M4=0又.三次样条表达式为bhjM.h.2 x.-x+(厂 卡)噬 一+(%o hj6%MJ+JX-XJ将此,根，加2，%,也代入得24-6.2 6 9 7(x-0.2 5)3 +10(0 3 _x)+1 o.9 6 9 7(x-0.2 5)x e 0.2 5,0.3 0-3.4 8 3 1(0.3 9 -X)3-1.5956(X-0.3)3+6.1 1 3 8(0.3 9 x)+6.9 5 1 8(x-0.3 0)x G 0.3 0,0.3 9 1S(x)=s-2.3 9 3 3(0.4 5 -x)3-2.8 6 2 2(x-0.3 9)J+1 0.4 1 8 6(0.4 5-x)+l l.l 9 0 3(x-0.3 9)XG 0.3 9,0.4 5-2.1 4 6 7(0.5 3-x)3+8.3 9 8 7(0.5 3-x)+9.l(x-0.4 5)xe 0.4 5,0.5 3 2 1.若/(%)。2卜,可,s(x)是三次样条函数，证明：。/2 dx=，/(x)-S(x)d x +2 f S(x)/(x)-S(x)d x 若/(x;)=S(x,)(=0,1,),式中升为插值节点，R a=x0 xt-(x)=N(l-x)3C i 4(x)=x(l-x)2=3 x(l-x)26(x)=:卜 2(1-x)=3 x?(l 一 x)A(x)=X3=X33 k 玛(/，幻=/(一 阳。)*=o n=O+3 x(l-x)2 si n+3 x2(l-x)si n+x3si n 63 2=-|x(l-x)2+x2(l-x)+x3222“5 x 0.4 0 2/一0.0 9 8尤 32.当/(x)=xO寸，求 证 纥(7,x)=x证 明：若/(x)=x,则H Z-纥(/，x)=Z/()L(x)k=O 26n自 、f (1 X)Tk n(n-V)-(n-k+1)k=0 nk xl x)i (1)1)(I)+1(J)!x*(l _ x)Tk=二;卜*-kn-k-X*T(1 x)5 T)Y-l)=x x+(i-x)r3.证明函数l,x,x线性无关证明：若 a()+axx +a2x2-F anx =0,V x e A1n+l010 J2/2+1分别取V(&=0,l,2,对上式两端在 0,1 上作带权P(x)三1的内积，得/11、+1.此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解a=0 o函数l,x,x”线性无关。4o计算下列函数/(x)关于C 0,l 的I/L,I/1与|/|2：(l)/(x)=(x-l)3,xe 0,1 x)=T，/(x)=(1 -x),m与n为正整数,(4)/(X)=(X+1)5解：(l)/(x)=(x-l)3,xe 0,l ,则27/V)=3(X-D20/(x)=(x-l)3 在(0,1)内单调递增W L=s l/w|=ma x|/(0)|,|/(l)|)=ma x 0,1 =1|儿=赠|/(刈=ma x|/(0)|,|/(l)|)=ma x 0,1 =1|/|2-(l-x)W=U1(1-X7)1127 0=也 若/(x)=贝ljM L=S l/u)|=1l l/l l,=f|/(x)也=2 (x-；)dx2 2-4川 2=(f/2(X)d#V 36(3)若x)=x(l-x),m 与 n 为正整数当xe 0,l 时J(x)2 028fx)=m xm-(1-x)n+xmn(l-x)-1(-1)m当x e（O,-）时，（x）0n +m/（x）在（0,/一）内单调递减 +机当X（-）时，/（X）0n +m：./（x）在（二 一,1）内单调递减。n +mx e(,i)ra)029f(x)=1 0(尤+1/7 +(%+1尸(二)=。+1)9*(9-幻 0/(x)在 0,1 内单调递减。8 8=赠 火 小=ma x|/(0)|,|/(l)|)_ 21 0e1 1/1 =。/(幻山=N+l)”dx=(x+1)；+pO(x+l)9e-xJx=5e川2川(x+a。=7(叶5。证明证明：M l=!(/-g)+g|中 川+国6 o 对/(x),g(x)eCl a,/?,定义(g)=fr(x)g (xMx(2)(/,g)=ff(x)g (xMx+/(a)g(a)问它们是否构成内积。解：令/(x)三。(C为常数，且C w O)则/(x)=030这与当且仅当了三0时，(/)=()矛盾.不能构成 C,句上的内积。(2)若(/,g)=f r(x)g (x W x +/g(a)，则(g J)=f g(x)f(x)d x +g(a)f(a)=(g),V a e K(a f,g)=a f(x)g(x)d x +a f(a)g(a)=a f/(x)g (x W x +/(a)g(a)=a(f g)V/iG C t a,句，则(/+g,)=(x)+g(x)p/(x)Jx +(a)g(a)(a)=f(x)hXx)d x +f(a)h(a)+f(x)h(x)d x +g(a)h(a)=(f,h)+(h,g)(/J)=f r(x)2Jx +/2(a)0若(f,f)=O,则，广(切2公=0,且/2 3)=。./。)三0,/(。)=0.-./W =0即当且仅当/=0时，(/J)=0.故可以构成C t。,。上的内积。70 令T,；(x)=Tn(2x-l),x e O,l,试证 窘 是在 0,1上带权p(x)=-的正y j x-x2交多项式,并求*(x)/*a)w*(x)工*a)。解：若窘(X)=7；(2X-1),X 0 ,则31k：(x R；(x)P(x M x=Tn(2x-l)Tm(2x-1)-j=dx令f=(2x l),则且x=上*，故2/(x)7；：(x)-x=3西 下 FQ),7+k()V 2=巾，如)/又.切比雪夫多项式m*(x)在区间 0,1上带权p(x)=-=正交，且yjl-X2fM(x)北(xMXJ1-产0,几。机71 八 一J1=加 W ()27r,n=m=0.7 是在0,1上带权P(x)的正交多项式。yjx-X1又Z(X)=1,X 1,1/.7；*(x)=7；(2x-l)=l,xe0,lv7；(x)=x,xe-l,l：.M*(x)=7；(2x-1)=2x-1,x e 0,1,/T2(X)-2x2-1,X G-1,1./(x)=/(2 x-l)=2(2 1)2-=8x2-8 x-l,x e 0,1,/Tx)-4X3-3X,X G-1,1.Z(x)=7；(2x-1)=4(2 1)3-3(2 1)=3 2/48x2+18x-l,xe0,l8。对权函数夕(x)=l-f,区间H,i,试求首项系数为1的正交多项式32%(x),=0,l,2,3.解：若夕(x)=l-d,则区间-1,1上内积为(/，g)=，J(x)g(x)p(x W x定义8o(x)=l,则(%)=(X 一%)%(X)-/3(Pn_(X)其中 =(X%(x),(pn(x)/(%(x),%(x)A=(x)，(x)/Q i (x)，(pn-x(x).,.a0=(x,1)/(1,1)/x(l +x2)JxfJ I+Y MX=0(P(x)=X%=(x2,x)/(x,x)1/(1+工2心 产2(1+2)公=0用=(x,x)/(l,l)1/(l +M d x1(1+2世16=11=283.9 2(,、，2X)=X332 2 2、2 2 2 2、X,x )/(%,x )5 5 5 5+x2)Jx+x2)d x2?A=(-9X2-)/(X,X)f J/1)(工2 -1)(1+/世,(1+12世13 6525=1716-7015.一 二2x=3 5 70 149 o试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族%(x)是 0,1上带权/?(%)=V l-x2的正交多项式。证明：若 U.(x)s in (+l)ar cco s x Vi7令x=co s。，可得r s in (m +1)ar cco sx s in (n +1)ar cco sx,=-1-d x(o s in (/n +l)s in (H +l)I Z 1=-/-d e“V l-co s2=s in (/n +l)s in (+)0 d 0当初=”时，s in2(/n +)6d e=l-co s 2(f f l +l)(n +l)=r(L l)2 Sin (n +1)例 s in(机 +1)例如力n +=0.口 一()2 s in (+1)町 s in(机 +)0 d 6=0又工 ，故 )2 丰 1n +l，j：s in (n +l)es in (?+)0 d 0=0得证。10o证明切比雪夫多项式1(x)满足微分方程(1 X2)7；(X)X7；：(X)+27；(X)=0证明：切比雪夫多项式为Tn(x)-co s(n ar cco s x),|x l 1从而有35T(x)=-sin(narccosx)n(/)V l-x2=/sin(arccos x)v l-x2T：(x)=-y sin(arccos x)cos(arccos x)(1 7)5 I.-.(l-x2)T：(x)-xT；(x)+n2Tn(x)=J_ sin(arccos x)-rr cos(n arccos x)V l-x2一 ,sm(”arccos x)+n cos(arccos x)=0得证。l l o 假设x)在a,句上连续，求x)的零次最佳一致逼近多项式?解：/)在闭区间出向上连续存在玉,超wa,6,使/(x j=min/(x),axb/(x2)=max/(x),ax幼取尸=夕/区)+/(赴)则利是 向上的2 个轮流为“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知P 为/(X)的零次最佳一致逼近多项式。12o选取常数a,使m ax*以|达到极小，又问这个解是否唯一？0 xlI 解：令/(1)=x3-ax则/。)在 上 为 奇 函 数max%3-ax0 xl =max x3-axT V S H I/IL36又 /(X)的最高次项系数为1,且为3次多项式。与0的偏差最小。1 3c o x)7(x)x -x3从而有a =413 o求/(x)=s in x在 0,自上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：,/(x)=s in x.x e 0,y fx)=co s x J(x)=-s in x 0 (a)_ 2a 7-，b-a r e2co s x2=,712x2-ar cco s 0.8806971/(X2)=0.77118_ _ f(a)+f(x2)f(b)-f(a)a +x20。-7 2 b-a 2=0.10526于是得f M的最佳一次逼近多项式为2q(x)=0.10526 H x7T即2 TCs in x 0.10526+x,0 x 0374 =/S)-f=e_Tb-ae-1x2=l n(e-1)/(x2)=eX 2=e-l_ f(a)+f(x2)f(b)-f(a)a+x2%=-=-；-2 b-a 2l +(e-l)2一(e l)I n(e-l)2=；l n(e-l)于是得/(x)的最佳一次逼近多项式为e i7(x)=-+(e-l)r x-l n(e-l)=(e l)x +；e (e-1)l n(e-1)1 5 o求/(%)=/+3/-1在区间 0,1上的三次最佳一致逼近多项式。解：v/(x)=x4+3 x3-l,x e0,l令f =2(x-)，贝 卜 一1,1 2且口 =一1 f+一12 2=j+夕 +3($+g)3 Tq(/+1 0/+2 4/2 2 2 9)令 g (f)=1 6/，则 g =f +1 0尸 +2 4产 +2 2 t 9若g(f)为区间-1,1 上的最佳三次逼近多项式耳应满足m a x|g -P；(z)|=m i n当 g -耳=!?；)=8产 +1)2o时，多项式且-8与零偏差最小，故382 =g(，)-97 3=1 0 r +2 5/+2 2一上8进而，/(x)的三次最佳一致逼近多项式为 耳，则/(x)的三次最佳一致逼近1 6多项式为1 7 3P*=一 1 0(2 x -1)3 +2 5(2 x -1)2 +2 2(2 x -1)1 6 8 5 2 1 1 2 9=5x x+-X-4 4 1 2 81 6 o/(x)=k ,在 上 求 关 于=5。1,了2,一的最佳平方逼近多项式。解：v /(x)=|x|,x e-l,l若(/，g)=j(x)g(x)d x且%=1,%=/,必=X4，贝I帆1；=2，闷；=：，帔|：=1，（九%）=l，（f，0i）=g，（f，02）=g，2 2（夕0，。|）=1，（。0，。2）=1（。1，。2）=,，则法方程组为2 2 25 7 9,解得a0=0.1 1 7 1 8 7 5 0)两边同时取对数，则.bIn y=Indt 取=span,S-In y.x则 S=a+Z/xh X =U，M I；=8062321,(夕o,四)=0.603975,(%J)=-87.674095,Q J)=5.032489,则法方程组为 11-0.6039751(叫 J-87.674095、-0.603975 0.062321 厂(5.032489，从而解得p*=-7.5587812/=7.4961692因此a=ea=5.2151048b=6*=7.49616927.4961692.y=5.2151048c22o给出一张记录 人 =(4,3,2,1,0,1,2,3),用FFT算法求 q 的离散谱。解：川=(4,3,2,1,0,1,2,3),则 =0,1,7,N=86yo=1,a)=co5=e,C D =C DC O =C D45k70123456Xk34321012A-234442404&-2V2840482720g4+2V2164+2V204-2 7 204-2 7 204 丫2 A v2 3,用辗转相除法将R,(x)=，+0工化为连分式。x2 3+6x+62 3X H