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北师大版高中数学必修五全册同步分层练习数列的概念数列的函数特性等差数列等差数列的性质及应用等差数列的前n项和a”与S”的关系及裂项求和法等比数列的定义和通项公式等比数列的性质及应用等比数列的前项和数列在日常经济生活中的应用正弦定理余弦定理三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例不等关系一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基本不等式基本不等式与最大（小）值二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用数列的概念A组1.将正整数的前5个数作如下排列:1,2,3,4,5;5,4,3,2,1;2,1,5,3,4;0,1,5,3,2.则可以称为数列的是（）A.B.C.（DD.解析：4个都构成数列.答案:D2.已知数列 斯 的通项公式为知=以 要，则该数列的前4项依次为（）A.l,0 J,0 B.0,1,0,1C.遥,0 D.2,0,2,0解析:把=1,2,3,4分 别 代 入 斯=号 上 中，依次得到0,1,0,1.答案:B3.数列1盘 送,3,的一个通项公式是（）A_ N2 D _（n l）2.an r=B.a“=i=J 2 n-1 J 2n-1c-an_=inm2 Dc-an_=7九2r-2an解析:1=尸,4=259=3 2,1 6=4 5 I=2 x l-l,3=2 x 2-l,5=2 x 3-l,7=2x 4,故 斯=储答案:A4.已知数列 斯 的通项公式 =总j，若以=表，则 侬=（）1 1A.而 B.9 9 C.D.1 4 3解析:由 二表得d彳=募 于 是=6（&=-6舍去）.因此。2=02=$=击,1 Z -1答案:C5.已知数列吴，急，则三个数0.9 8,0.9 6,0.9 4中属于该数列中的数只有（）A.1个 B.2个C.3个 D.以上都不对解析:由已知可得该数列的一个通项公式斯=3.令斯=0.9 8,解得n=49,飙=0.9 6,解得=2 4,令%=0.9 4,解得=C N+.故只有0.9 8和0.9 6是该数列中的项.答案:B6.已知曲线y=f +1，点(,)(e N+)位于该曲线上，则010=.解析:由题意知。”=2+1,因此t Z 1 0=1 02+l=1 0 1.答案：1 0 17.数列遮,3,后,同,3 8,的一个通项公式是.解析:数列可化为旧,啊 7 1 5,V H,旧,，即VKI,V 3 x3,V 3 x 5,V 3 5 T 7,V 5 G 欧，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因式为常数3,后一个因式为2“-1,故原数列的通项公式为a=J 3(2n-1)=J 6n-3,n G N+.答案：。=，6磔38.已知数列 斯 的通项公式小=舄 帝，则V I U-3是此数列的第 项.解析:令=V 1 0-3,V n +1 -V n =V 1 U-3,解得 n=9.V n+V n+1答案：99.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,1 0,3 7 1 5 3 1I 巧 4 8 1 6 3 2/,、2 1 1 0 1 7 2 6 3 7 打1，斤，-豆，五，-百，(4)3,3 3,3 3 3,3 3 3 3,解(1)各项是从4开始的偶数，所以，产2九+2.(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成2 1,2 2,2 1 2 4 0,2”,故所求数列的通项公式可七外 2七与为 an-r.(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1严|这个因式，忽略负号，将第二项1写成最则分母可化为3,5,7,9,1 1,1 3,，均为正奇数，分子可化为4+1,2 2+1,3 2+1,4 2+1,5 2+1,6?+1,，故其通项公 式 可 写 为 如 需.(4)将数列各项写为 寿，等,等,，分母都是3,而分子分别是1 0-1,1 0 2一1,1()3 _ ,0 4 _ .,所以10.已知数列 斯 的通项公式为如=3 2一2 8 .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问-4 9是不是该数列的一项?如果是，应是哪一项?6 8是不是该数列的一项呢？解(1)4=3X1 6-28X4=-64,%=3 x 3 6-2 8 x 6=-6 0.7(2)设3 2-2 8=-4 9,解得=7或 =(舍去),：=7,即-4 9是该数列的第7项.设 3 2一2 8=6 8,解 得 号 或 n=-2.34：ygN+,-2?N+,.：6 8不是该数列的项.B组1.数列2,g,4,系的通项公式是()A.%=2 (eN+)B.a =(n G N+)271TC 如=I：(eN+)D.=-(HGN+)I Lv 1 ZZl-12 o3 o4 o5 z解析:将数 列 各 项 改 写 为 一,，观察数列的变化规律，可得a“=4-(GN+).答案:c2.已知数列 斯 的 通 项 公 式 小 则。”5+1 +2等于()A n B N C n+l D In+2 n+3 n+2 n+3名 士 匚.n n+1 n+2解析.an=an+x=,an+2=,_ n an Cln+V an+2 n+T-3Z.答案:B3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有（）个点.C.n2D.2n-1解析:观察图中5个图形点的个数分别为I,lx2+l,2x3+l,3x4+1,4x5+1,故第个图形中点的个数为(/?-1)/?+1=n2-/i+l.答案:A4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数斯与所搭三角形的个数之间的关系式可以是解析：&=3,42=3+2=5,6=3+2+2=7,44=3+2+2+2=9,，：。“=2+1.答案a=2+15.在数列亭,粤,中，有序数对（力）可以是.解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:lx3,2x4,3x5,4x6,，分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,所以 I K/解 得 号 分?a-b=26,2 2答案 停 制6.己知数列%的通项公式an=a-2n+b,5.0=-1,的=-31,则 的=解析:由已知得MM】解得a=-1,b=1,即斯=-2+1,于是 a3=-23+l=-7.答案：-77.如图，有?（m，2）行（m+D列的士兵队列.(1)写出一个数列，用它表示当m分别为2,3,4,5,6,时队列中的士兵人数;(2)写出(1)中数列的第5,6项，用。5,6表示；(3)若把(1)中的数列记为 如,求该数列的通项公式为；(4)求mo,并说明mo所表示的实际意义.解当m=2时，表示2行3列,人数为6;当m=3时，表示3行4列,人数为1 2,依此类推,故所求数列为6,1 2,20,30,42,.(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故“5=42,46=56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式.前 4 项分别为 6=2x3,1 2=3x4,20=4x5,30=5x6.因此斯=(+1)(+2).(4)由(3)知0 o=l 1 x1 2=1 32,mo表 示1 1行1 2列的士兵队列中士兵的人数.8.在数列 如 中,0=2,0 7=66,通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列 “的通项公式；求0 2 0 1 7；(3)是否存在?,kGN+,满足4+4小+1=必?若存在，求出加,左的值，若不存在，说明理由.解设%=&”+6(原0),则由0=2,0 7=66得，族66卡 瑞所以。”=4止2.(2)20 1 7=4x2 0 1 7-2=8 0 66.(3)由 ,”+a?+i=四,得 4/2+4(?+1 )-2=4攵-2,整理后可得4m=2匕1,因为加#WN+,所 以 是 偶 数,2 h l是奇数，故不存在机,ZGN+,使等式4m=2k-l成立，即不存在 m,k cN+,使 amam+=a k-数列的函数特性A组L数歹（层 一4+3的图像是（）A.一条直线B.一条直线上的孤立的点C.一条抛物线D.一条抛物线上的孤立的点解析%=芯4+3是关于的二次函数，故其图像是抛物线y=f-4 x+3上一群孤立的点.答案:D2.已知数列 四 的通项公式是,尸 事,则这个数列是（）A.递增数列C.摆动数列B.递减数列D.常数列解析=瑞 台2n3n+l=-0 3（n+l）+l （3n+l），n+1数列 ”是递增数列.答案:A3.若数列 小 的通项公式a,尸 普，则在数列%的前2 0项中，最大项和最小项分别是（）3n-1 4A.I,20 c.5,4 D.4,5解析:由于“产，；：=3；J J：=1 因此当1 时,是递减的，且0 0。2。3。4；当3n-1 4 3n-1 4n.15 0,且 斯 也是递减的，即5。6 2 0 0,因此最大的是。5,最小的是答案:C4.己知 四 的通项公式斯=2+3%,且m是递增数歹1,则实数上的取值范围是（）B.Q q C.k 制 D.k-解析:因为 小 是递增数列，所以“+|斯对 6 N+恒成立.即(+l)2+3k(+l)2+3&”,整理得当,2=1时，-幺 手取最大值-1,故Q-1.答案:D5.给定函数y=/(x)的图像，对任意即(0,1),由关系式斯+=/(%)得到的数列 斯 满足斯+i 斯(N+),则该函数的图像是()解 析 油。“+|斯可知数列 飙 为递增数列,又由斯+|=式外)如可知，当 (0,1)时,)，三 七：)的图像在直线y=x的上方.答案:A6.已知数列 如 的通项公式是小=焉，其中。力均为正常数，则知+|与小的大小关系是解析:a，1+i-%=(n+1)anh(n+l)+l bn+1=-0b(n+l)+l(b n+l)答案：%+1 an7.已知数列 知 的通项公式为斯=2/-5+2,则数列 斯 的最小值是.解析：丁斯=2庐5几+2=2(九1),:当n=l时，为最小,最小为答案:1(2an(0 an A8.已知数列 斯 满足知+=/、若。1=弓,贝IJ。2 0 1 7=.(2 an-l(-anl),解析必=鼻2 =2 1 -1 =初3=2侑-1 =初4=2 3喙，所以 斯 是周期为3的周期数列，于是。260 1 7=6 7 2 x 3+1 =6 2 1=-.答案39.己知数列 斯 的通项公式为小=芥2 i+2 0.(1)-60是否是该数列中的项，若是，求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?(2)为何值时,4“有最小值?并求出最小值.解令“2 21+20=-60,得 n=5 或=16.所以数列的第5项，第16项都为-60.由2一21+20 1),构 造 数 列)(e N+).(1)求证:如-2;(2)数列 “是递增数列还是递减数列?为什么？证 明 由 题 意 可 知 小=筌=号 沪=言23 3:%G N+,.：云0,.：an=-2-2.(2)角星递减数列.理由如下:由(1)知，斯 二二二2.3 3(n+l)+l n+1_3n+3-3n-6 _-3 0-(n+l)(n+2)-(n4-l)(n+2)U,即斯+1 ：数列 斯 是递减数列.B组1.若函数/)满足yu)=1危+1)=)+3(1 N+),则 电)是()A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.不能确定解析：7(n+lW=3(n e N+),:加+1)/),.小)是递增数列.答案:A2.设函数/(x)=1(3-?x-3.x 7.范围是()A.(l,3)答案:BB.(2,3)C.g,3)D.(l,2)3.若数列 斯 的通项公式为斯=71|广：3|）二则数列 小 的（）A.最大项为“5,最小项为。6B.最大项为46,最小项为。7C.最大项为41,最小项为。6D.最大项为47,最小项为6-.2解析:令r=（|）,eN+,则r e（o,i,且停）=（|）=户.从而小=7尸-3r=7（t-劫一专又函数 财=7尸-3/在（0,司上是减少的，在 信,1 上是增力口的，所以“1是最大项,“6是最小项.故选C.答案:C4.若数列 为 的通项公式为a“=-22+i3,关于该数列，有以下四种说法：该数列有无限多个正数项;该数列有无限多个负数项；该数列的最大值就是函数x）=-2?+1 3x的最大值;070是该数列中的一项.其中正确的说法有.（填序号）解析:令-22+1 30,得0 1 0,k2-2k-9 白.2 n+l 2 n+2所以所以数列 斯 是递增数列.(2)证明由(I)知数列%是递增数列,所以数列的最小项为0=去所以斯为昌即小巧对一切正整数恒成立.7.已知数歹i j 斯 的通项公式为”=/-3 0.求数列的前三项,6 0 是此数列的第几项？(2)为何值时该数列前项和S是否存在最值?说明理由.解由斯=/-八-3 0,得 =1 -1 -3 0=-3 0,2=22-2-3 0=-2 8,a 3=32-3-3 0=-2 4.i 殳。“二 6 0,贝 2-3 0=6 0.解得n=1 0 或=9(舍去)，即 6 0 是此数列的第1 0 项.(2)令 A？-3 0=0,解得 n=6 或=5(舍去).:当 n=6 时,。=0.令 2-3 0 0,解得/?6 或”-5(舍去).:当 心 6(N+)时，0.令 2 _-3 0 0,解得-5”6.又 N+,：0/7 6,:当 0 n6(e N+)H t,aH 0 B.47+49 0C.Q7 +。9=0 D.W 9 =0解析:在直线3 x-y-2 4=0,：斯=3 止2 4.：47=3X7-2 4=-3,9=3X9-2 4=3,：。7+。9=0.答案:c6.在等差数列 斯 中，若 0=7,47 =1,则 3 1,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的首项为0,公差为4由已知得产:普 工*3 1 +l i d 3 1,。得 7 d 2 1,所以d 3.答案:d 38.在数列%中M=3,且对任意大于1 的正整数，点(如,区)在 直 线 x-y-b二。上,则数列 斯 的通项公式为an-.解析油题 意 知-J an_=V5(2 2),:阮 是以病为首项，以百为公差的等差数列，=yfa+(n-)d=y/3 4-V3(H-1)=V3/7.：知=3 层.答案:3 层9.已知数列 斯,儿 满足b占 是等差数列，旦瓦产2/2=5,48=8,贝 I。9=.解析:由 题 意 得 康=g,含17 29因为 石 为 是等差数列，所以可得该等差数列的公差仁晟,所以C :力=告=所以。9 =-5 13.。9+比 7 2 7 2 x6 4 3 2答案：-5 1310.如果在等差数列 3”-1 的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列，那么新数列的第2 9 项是原数列的第 项.解析:设%=3-1,公差为4,新数列为/?”,公差为2,。1=2,6|=2,4=斯-如 一|=3,必=?=*则 bn-2+(n-Q C1）二尸+:力2 9=2 3,令 如=2 3,即 3-1=2 3.故 /?=8.4 4答案：81L若一个数列 斯 满足。+斯.产 ，其中为常数簿22且 WN+,则称数列 斯 为等和数列，为公和.已知等和数列。中=1,/l=-3,则敢0 16 =.解析:易知斯=广(1,兀7 1为：奇笠数2 .2 3 6 =41-4,n为偶数,答案：-412.已知a,瓦c成等差数列,且它们的和为3 3,又l g(a-l),l g(b-5),l g(c-6)也构成等差数列，求a,b,c的值.(2 b =Q+c,a +b +c =3 3,2 1g(h-5)=I g(a-l)+l g(c-6),(b=11,.：a +c =2 2,(3-5)2 =Q I)(C-6),解得 a=4,Z?=l l,c=18 或 a=13,f e=l l,c=9.13.已知无穷等差数列 斯，首项。尸3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列 儿.(1)求 仇 和Z?2；(2)求仍 的通项公式；(3)小 中的第110项是 斯 的第几项?解 ：Z i =3,d=-5,：斯=3+(-1)(-5)=8-5几丁数列 中项的序号被4除余3的项依次是第3项，第7项，第11项，:的 首 项 d=。3=-7,岳=7=-2 7.(2)设 如 中的第相项是 九 的第n项,即bn=an h则 /2 7=3+4(n-l)=4/i-l,/b n-am=a n-=8-5(4/?-1)=13-2 0 n(n e N+).:6的通项公式为 bn=l3-2 0双 E N+).(3)f ti i o=13-2 Oxl 10=-2 18 7,设它是 斯 中的第加项，则 8-5 m=-2 18 7,则加=4 3 9.1C L 1 2a、1 +1-I14.已知数列 斯 满 足 且 当 1,N+时，有 一=-，设瓦尸一,N+.5an l-2an an求证:数列 九 为等差数列.(2)试问0志是否是数列 小 中的项?如果是，是第几项?如果不是,请说明理由.a 1 2d i+l 1 2a i+l 1 1 11证明当”l,G N+时，上=1 o 上 也=一1=-2=2+-=40历，也.1=4,且厮 l-2an an_i an an_i an.jg=5.：与 是等差数列，且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知 bn=b+(n-l)d=5+4(-1 )=4+1.：%=(=焉,CN+-.1 1 1：41=gM2=,。以2=布.令 斯=焉=:=1 1，即的做=研是数列 斯 中的项，是 第 1 1项.等差数列的性质及应用A组1.已知等差数列 斯 中,。7+。9=16,4=1,则 0 2 的值是（）A.15 B.3 0 C.3 1 D.6 4解析：“是等差数列，,：。7+。9=4+02,.12=16-1=15.答案:A2 .已知 斯 为等差数列M+a3+a5=105,a2+4+6=9 9,则 须）等于（）A.-l B.l C.3 D.7解析：3+。3+。5=105,：3 3=105,解得 6=3 5,同理由 2+。4+。6=9 9,得 4 4=3 3.d=a 4-c i 3=3 3-3 5 =-2,：。2 0=。4+（2 0-4）1=3 3 +16 x（-2）=1.答案:B3.若 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有（）%+3 忌 册+i s 2an 2 期+A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析:根据等差数列的定义判断，若 斯 是等差数列，则 斯+3 ,%+恁,2 诙,2&+均为等差数列,而 成 不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列 满足&1+4 2+俏+101=0,则有（）A.a i+a i o i 。B.a 2+Ql 0 0 0C.3+0 o o W O D.g=o解析:由题设。1+。2+3+。101=10 1。51=0,得 151=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-l/+l,2 x+3,则其通项公式为（）A.a=2-5 B.a,t=2n-3 C,an=2n-D.a=2+1解析：x-l,x+l,2x+3是等差数列的前三项，：2(x+l)=xl+2x+3,解得 x=0.：4=X-1 =-l,2=l,3=3,：d=2.:斯=1+2(-1)=2-3,故选 B.答案:B6.在等差数列。中 M +w+s=39,。2 +5+。8=3 3,则。3 +。6+。9=.解析油等差数列的性质，得(41+。4+。7)+(。3 +。6+。9)=2(2+。5 +8),即 39+33+。6+。9)=2乂33,故的+。6+。9=66-39=27.答案：277.若1 g 2,联2工1),坨(2+3)成等差数列，则x的值是.解析:由题意，知 21 g(2v-l)=lg 2+lg(2v+3),则(2F )2=2(2+3),即(2、)24 2工5=0,：(2-5)(2+1)=0,.：2A=5,.：x=lo g25.答案：lo g258.已知一个等差数列由三个数构成，这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5 或 5,3,19.在等差数列 小 中,ai+火+s=1 5,42 4 a6=45,求数列 的通项公式.解：Z i+a7=24=2+6,：。1+4+7=3。4=1 5,：4=5,：。2+。6=1 0,。2。6=9.是方程P1 0 x+9=0的两根.妈2=1,或解2=9,%=9 y。6=1.若。2=1,46=9,则7=2,.：斯=2-3.6-2若。2=9,6=1,则等二2,二 =1 3-2几6-2：数列 斯 的通项公式为斯=2-3或an=l3-2n.10.己知外尸f-2x-3,等差数列 中,防寸1-1),念=-?,3 y x),求：(1)无的值；(2)通项an.解由兀1)=/-21-3,得 a =J(x-1)=(x-1 )2-2(X-1 )-3 =X2-4X,1 3 =r-2x-3,又因为 斯 为等差数列，所以2a 2=a +3,即-3二12-4 3+/-2x-3,解得x=0或x=3.2(2)当 x=0 时,=0,=2-。1=-2，此时 an-a +(/i-1 )d=-(n-1);3当 x=3 时,。=-3,4=。2-。尸亍此时斯=4 1+(-1 )=2(-3).B组1.在数列 知 中，若放=2您=0,且数列 六 是等差数列，则如等于()1-4C1-2A.1-3B.1-6D.解析:令儿=:7,则 /?2=7 7 =:力6=7 7=7=1,an+l 。2+1 3 。6+1由题意知 d 是等差数列，2 1 :b 6-b 2=(f i-2)d=4 d=Q,：d=2.3 o1 1 7 Z?4=2+2J=-+2X-=3 b 3_ 1,_1“4=冏 崂答案:A2.已知数列 斯 为等差数列，且+7+。13=4兀,则12113 2+。12)的 值 为()A.V3 B.V3 C.-y D.-V3解析：斯 为等差数列，,：。I+。7 +。13 =3。7 =4兀.：7二 写,t an(2+。12)=t an 2a 7=t a n =-V3.答案:D3.九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A.1升 B.冬升 C.今升 D升OO 44 DD解析:设所构成的等差数列 斯 的首项为0,公差为4由题意得+。2+。3+04 =3,。7+8+9=4,+6d=3,+21d=4,A=13解 得|的 产 所 以 恁=0+4 =葩，答案:B4.在等差数列4 中，如果。2+5+。8=9,那么关于X的方程X2+(6/4+6；6)x+1 0=0()A.无实根 B.有两个相等实根C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根解析：为4+。6=。2+。8=2。5,即 35=9,：。5=3.又。4+。6=2。5=6,：关于X的方程为x2+6x+1 0 =0,则判别式A=62-4X 1 0 0,.：无实数解.答案:A5.已知lo g油 成 等 差 数 歹U,且a9h为关于x的方程K-cx+d=0的两根，则d-.解析:由已知，得 lo gc#+lo g4=-2M)+需=-2,从而有(lg+lg 力)2=0,可得 lg 6r=-lg b=l g今 即 a h=.故由根与系数的关系得d=a b=1.答案：16.已知方程，为+如22+)=0的四个根组成一个首项为%勺等差数列，则依-川=.解析:由题意设这4个根为:+d,；+2dt+3d3 d+.1/,-,V41-41-2:这4 个根依次为品，密1-27_.16-5-61-1或5-61-1=5-4X3-4=相7一1v6=7-4X1-4=答案之7.两个等差数列5,8,1 1,和3,7,1 1,都 有1 0 0项，那么它们共有多少相同的项?解在数列。中,。1=5,公差d=8-5=3.an-a +(n-l)Ji=3n+2.在数列 d 中力1=3,公差J2=7-3=4,bn-b+(-1)加 二4-1.令。二源则 3n+2=4m-1,Zn=-y-1.N+,：m=3%N+),又；羽0解得。：0 l;在区间(0,3.5)上，尸-+1递减且y vl.x-3.5 x-3.5因此，当=4时,斯取得最大值3;当n=3时，斯取得最小值-1.等差数列的前n项和A组L设S,是等差数列%的前n项和，已知“2=3,4 6=11,则S 7等于（）A.13 B.3 5 C.4 9 D.63解析$=驾也=出普=也等=4 9.答案:C2.设S”是等差数列 斯 的前n项和,S 5=10,则 的的值为（）A.|B.l C,2 D.3解析:：$=5产）=5俏,*a3=155=|x l 0=2.答案:C3.已知数列 斯 的通项公式为4=2-3 7,则S”取最小值时n的值为（）A.17 B.18 C.19 D.20解析：由 凿0,得 俨4 7 W 0,N ，2(7 1+1)-3 7 0,3 5/,3 7:力G N+,.=18.：S i 8 最小，此时=18.答案:B4.等差数列 如 的前八项和为3（=1,2,3,.）,若当首项0和公差 变化时,的+痣+0 1是一个定值,则下列选项中为定值的是（）A.S nB.S 18 C.S 15 D.S 14解析:由5+4 8+11=3。8是定值，可知。8是定值，所以S 5=彗 蛆过=158是定值.答案:C5.若两个等差数列 斯,儿 的前项和分别为4与 且 满 足 老=需（W N+）,则詈的值是（）D/1 4九 十/AA，z4B1琪4解析:因 嘴=a=7(2 九-1)+14(2n-l)+271 4 n-68 九+23 所以 1 1=1 4 x 1 1-6 =空=如 8 x 1 1+23 1 1 1 3,答案:C6.已知 卬 是等差数列S为其前项和,W N+.若内=1 6,20=20则S o的值为.解析:设等差数列 斯 的首项为即公差为d.:+2d=16,520=20。1 +：20 x19-d=20,2.Qi+2d=16,(2%+19d=2,解得 d=-2,ai=20,.：Sio=lOai+等 4=200-90=110.答案:1107.在等差数列 斯 中，前项和为5,若49=3。5,则汐=.解析:S17=179,59=9625,17T答案8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为4则有5d=S.S +=30-15=15,于是d=3.答案：39.若等差数列 斯 的公差d0,且04=12,02+04=8.(1)求数列 为 的首项和公差d;(2)求数列 斯 的前10项 和 的 值.解(1)由题意知(41+)31+34=12,(4|+4)+3+360=8,且 d0,。7=。+61=23+6。/0,解得一71-2,又 dG Z,d=-4.(2)：N0,470,整理得 (25-2)0,.：0 碧，又 G N+,.的最大值为 1 2.B组1 .设数列“”为等差数列，公差”=-2$为其前项和，若S o=S u,则0=()A.1 8 B.20 C.22 D.24解析:因为 5 1 1-5 1 0=。“=。,a u=a i+1 0 d=a i+1 0 x(-2)=0,所以 0=20.答案：B2.记S”为等差数列 斯 的前n项和.若。4+。5=2 4&=4 8则 斯 的 公 差 为()A.l B.2 C.4 D.8解析:设首 项 为 公 差 为d,则4 4+4 5=。1+3 4+4 1+4 d=24,S6=64I+符汨=4 8,联立可得(2a-,+7 d =24,“1 03-得(21-1 5)3=24,即 6 d=24,所以 d=4.1 6 a l +1 5 d =4 8,答案:C3.等差数列 斯 的前项和记为S”,若4 2+3+0 5的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()AS B.S g C.S 1 3 D.S 1 5解析：Z 2+4 4+0 5=3 a i +l 8 d=3(+6 J)=3 7 为常数，.：&3=利 殁 辿=1 3的为常数.答案:C4.若等差数列 “的通项公式是劣=1一2,其前n项和为S”,则 数 列 用 的 前1 1项和为()A.-4 5 B.-5 0 C.-5 5 D.-6 6解析:：$=吗 迦，.也=笔%=-，L n L.：B的前1 I 项和为-(1+2+3+.+1 1)=-6 6.故选 D.答案:D5.已知等差数列 呢 前9项的和等于前4项的和.若0=1,痣+如=0则k=.解析:设等差数列 斯 的公差为4则%=l+(-l)d,*S4 Sg,:。5+。6+。7+。8+。9=0.：7=0,1 +6d=0,d=-.o又 44=1+3x(1)=；,cik=l+(k-l)d,1 1由 人+。4=0,得不+l+&l)d=0,将d=代入，可得 女 二1 0.L6答案:1 06.己知数列%为等差数歹U,其前项和为S”,且1+如 0的 的最大a10值为.解析:因为S”有最大值，所以数列 单调递减，又叫 v-1,所以1 0,且So+di 1 O,S2o=2Ox l=1 OQno+m )0的n的最大值为1 9.答案:1 97.在等差数列 飙 中M=-6O,07=-12,求数列|斯|的前项和.解数列 斯 的公差公 第？=笔 普=3,17-1 17-1.,.an=a+(-1 )d=-60+(”-1 )x3=3n-63.由 a0 得 3-630,解得v21.：数列a”的前2 0项是负数，第20项以后的项都为非负数.设S”,SJ分别表示数列 斯 和|m|)的前“项和,当 20 0+,5,=-52o+(S-52o)=S-252o=-6On+1 x 3-2 x(-6 O x 20 +x 3)=|层-竽+1 260.：数列|斯|的前n项和(3 2 I 123/今 八、*+n(n 20).8.设等差数列 斯 的前 项和为S”,且“5+0 3=34,53=9.(1)求数列 为 的通项公式及前“项和公式；(2)设数列 勿 的通项公式为。“=生,问:是否存在正整数4 使得加力2力,“(论3,?G N)成等差数列?若存在，求出/和机的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列 斯 的公差为，因为4 5+0 3=3 4,5 3=9,所以心1 +4 d +%+12d=3 4,+为+d +%+2d =9,整理得产t%二 解 得 汽 7+d 3,I d 2.所以 an=1 +(n-1)x 2=2n-1,S/t=n x l +n(；1)X2=2.由 知 3 时，所以 历/2=袅力 尸 2 m；：1+t 3+t 2m-l+t若 b i9b 2,bf f l(t?7 3,m N)成等差数列,则 2b 2=b、+b m,所 以 盘=+2m-l即 6(1 +。(2租1 +。=(3+。(2相-1 +1)+(2m-1)(1 +。(3+。,整理得(2-3)户-(m+l)f=0,因为,是正整数，所以(取3)1?+1)=。,3时显然不成立，所以，=鬻=啜=1+京.又因为m3,m e N,所以机=4 或 5 或 7,当 m=4 时 J=5;当 m=5 时 J=3;当 m=7 时,1=2.所以存在正整数。使得 力2,(m N 3 N)成等差数列.an与 Sn的关系及裂项求和法A组i.已知数列 斯 的前 项和s产;，则的的值等于（）AA-20 B -C D -20 3 0 3 0解析:的=5 7=-7-D q z u答案:B2.已知等差数列 小 的前n 项和为5“7 5=5&=1 5,则数列 嬴 匕 的 前 1 0 0 项和为（）AM B”C DM,1 0 1 ,1 0 1 1 0 0 1 1 0 0解析：=叱邈=驾9=1 5,.：0 =1,:%=1 +（7 2-l）X l =7 2,.1 二 1，0anan+1-n（n+i y设f 1 1的前项和为T,anan+l则 T i m=+-+-1 0 0 1 x 2 2 x 3 1 0 0 x 1 0 1.1,1 1 ,1 1 .1 1 0 02 2 3 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1,答案:A3.设 （2 N+）是等差数列$是其前n 项和，且S5 Vs 6&二S7 S8,则下列结论错误的是（）A.dvOB.a7=0C.SgSsD&和 S7 均为S,的最大值解析:由 S5 Vs 6 得+。2 +。5 0.又 S6=7,：。1+。2 +。6=。1+。2 +%+。7,：。7=0,故 B 正确；同理由SS8,得恁 0,又 仁7-6 S5,即“6+。7+。8+4 9 0,可得 2(7+8)0.而由。7=0,。8 0不可能成立，故C错误；:5 Vs 6,S6=S7 S8,.：S6与S7均 为S”的最大值，故D正确.故选C.答案:C4.数列%-的前n项 和S.为()l(n+l)-1；AA-九-十-1-*2(n+2)3_ n+1*4 2(n+2)3-4c3-2D.1-3+1-4-1-2+1-3G1-2是于析解1+n2+nI击)=*(系+焉)答案:C5.设函数於）满 足 於+1）=2*+%e N+）,且 川）=2,则犬2 0）为（）A.9 5 B.9 7 C.1 0 5 D.1 9 2解析：9+1）=加）+*.犹 2）贝）=；,源）=（2,彤 0）8 9）考,1+2+19.：X20）-XD=2（1+I?）xl9=95.又 川）=2,.尔2 0）=9 7.答案:B6.已知数列 的前项和S尸2 _ 9,第4项 满 足5 像 8,则k=.解析:斯=5$一二(/-9 )-(-1)2-9(“-1)=2-1 0(佗2),又|=5 1=-8 符合上式，所以 al t=2n-0.令 5 2 hlO 8,解得手 k 项和 Sn=-解析:因为 i+2+3+.+n =小+1)2=；rr2G 扁)，11所 以S=l+1+工花西+-l+2+3+.+z i2(14)+G4)+(鼻)+&-舟=2。岛)=磊.竺 家.2几口 木 3+19.正项数列an满足哈(2 -1 )。-2 =0.求 数 列 斯 的通项公式斯；(2)令 儿=,求 数 列 儿 的 前 项 和Tn.解(1)由 a，-(2 -1 )an-2n=0,得(m-2)(斯+1)=0,即 an=2n 或 a“=-l,由于 斯 是正项数列，故an=2n.由 知 斯=2,所 以 儿=品；=而j=X磊)，故 M(14+r l +-+;-r)=l(1-r)=2 -10.己知等差数列 斯 的前“项和为S”,GN+,且 的+“6=4,S5=-5.求。；若二团|+&1+31+1涮,求 八的值和。的表达式.解设 ”的 首 项 为 公 差 为d,易由3+6=4,S 5=-5得出a i=-5,J=2./an=2n-l.(2)当 H4 时,=2-70;当 n 3 时，斯=2-70,Ts=-(a +。2+。3)+4+。5=13.当 l n 4 时/产-(。+2+。3)+。4+。5+.+斯=2-6+18.综上所述,7尸 也2+6nJ-n-3(n2-6n 4-18,n 4.B组L若等差数列 斯 的通项公式为，尸2+l,则 由 产 妇 法 为 所 确 定 的 数 列 乩 的前项之和是()A.(几+2)B.1/?(n+4)C.%(+5)D.(+6)解析:由题意知4+2+.+4=土；,:1)=(+2),.：/7=?(7 2=+2.于 是 数 歹|力 的前项和n(3+n+2)1Sl t=-2-=”+5)答案:C2.已知一个等差数列共项，且其前四项之和为21,末四项之和为67,前项和为286,则项数n为()A.24 B.26 C.25 D.28解析:设该等差数列为%,由题意，得+。2+的+4=2 1,an+an.+。”-2+。-3=67,又=。3+4-2=。4+。”3，.：4(ai+”)=21+67=88,.：+斯=22.：Sn=八(。1；即)=11/?=286,Z/i=26.答案:B3.已知数列 斯 满 足。1 =1,斯=斯/+2(论2),则。7二 )A.53 B.54 C.55 D.109解 析：&尸。止+2%：“-小1=2”.=4,。3-。2=6,4-。3=8,1=2n(n 2).:斯=1+4+6+2=1 +1%)(；叱 n)=2+1.7=72+7-1=55.答案:C4.已知数列 斯 为+；,；+,+弓,焉+、+,+电.”如 果4尸丁，那么数列 瓦 的 前n项，J 3 4 4 q 1 U 1 U 1 U JL U 。即+1和5“为()B,y C 当 D.笆n+1 n+1 n+1 n+1解析:.1+2+3+.+九 n-=rnn+14n(n+l)=G+)，.：S=4(1-1)+g-i)+.+G焉）卜4I-