弹性力学简明教程-第四版-课后习题详解.pdf

弹性力学简明教程(第四版)习 题 解 答第一章1-1试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性 体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均 匀 性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？廨答】(1)连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空1隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于l o这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性2的微分方程。1-4应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。3弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。1-6试举例说明正的应力对应于正的形变。【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。O(z)正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。1-7试 画 出 图1-4中 矩 形 薄 板 的 正 的 体 力、面 力 和 应 力的 方 向。【解 答】正的体力、面力1-8试 画 出 图1-5中 三 角 形 薄 板 的 正 的 面 力 和 体 力 的 方向。【解 答】XyOz1-9在 图1-3的 六 面 体 上，y面 上 切 应 力 气 的 合 力 与z面 上 切 应 力 的 合 力 是 否 相 等？【解 答】切应力为单位面上的力，量纲为LmL,单位为N/m2 o因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxX dyX dz,则y面上切应力%的合力为：5r -dx -dz(a)z 面上切应力.的合力为：rz y-dx -dy(b)由 式(a)(b)可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性。6第二章平面问题的基本理论2-1试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中（图2-14）其应力状态接近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有4=%=%=。，只存在平面应力分量4。,，%,且它们不沿Z方向变化，仅为x,y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。2-2试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,当板边上只受x,y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时也=。，且不受切向面力作用，则乙=及=。（相应1=6=。）板边上只受x,y向的面力或约束，所以仅存在,，3,，且不沿厚度变化，仅为x,y的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。2-3在 图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件ZMc=。改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件7ZMc =o,改为分别对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便,在Z方向的尺寸取为单位1。I X =0o dx-+(cr+dx)dy-1 -(r+Tx dx)dy l dx-a dy-1-T-L&2 可 IT 2de.dx 3r.v dy dj-(er 4-dy)dx-+(r+dy)dx-dy+fdxdy-1 -fdxdy-X-y 1y-2 A 行 J T x 7=0(a)I X=。(cr+C(y Xdx)dy-1-+(r+Tyxdy)dx-1 -tfy+(er+Tydy)dx-1 .*dx 2 yx dy v dy 2,ME=oe。、，dx dy dx-(7+dy)dx-+7 dy-_+r dx-1 -dy+(7 dx _ ,，2 x 万 冲 ，T沌 dy QT dy dx(cr+dx)dy-l-_-(r+_ _dx)dy-dx-fdxdy-1 -_+f dxdy-1 -_=0 x dx 彳冲，x T y 2(c)(d)略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量(亦即令/M y,温2 y都趋于0),并将各式都除以如f y后合并同类项，分别得 到%=%,。【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。2-4在图2-3和微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形式的平衡微分方程？8【解答】微分单元体A B C D 的边长代力都是微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a 所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如 图（b）所示。为计算方便，单元体在z 方向的尺寸取为一个单位。0工 0 x各点正应力：9)=%;(.k5rrv dr(r)=T+dx+dy-xy C x y o aox dy（G）二 Gdr(r)=r+_ dyA A y*a,(r)=r+Tyx dxyx D yx dT(/r)、5ry=T 4-dx+dyyx C yx-Q.ox dy9由微分单元体的平衡条件2 =0，。，得_ 1 （dax Y I 1 1%呢、（加 d（yx Y f|一/产+旧+小 胪M2a+京 叼t1外、七遍dy）fd y-1 F（5 r 3dyyx（况 3%W2 Tyx+TyxJr-dxd x J Hx+j 2 i!Tyx+dyd y H Tyx+dx FN FN2艮=Q Fs+琪 +ql=0=/=-ql-FsV*1 2 1 _ cj lhT由于X=1为正面，应力分量与面力分量同号，故1.%/2()dy=F=q l-F-f t/2 I N N 2|h/2,q lh qrI|h-/2,/2/、)dy,=_FF,=_-ql?-FF 2I ,孙 x=l S SJ-h/2)22-10试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力被2/77A-边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _效?|%（院）图 2-19【解答】由于/?/，0A为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：Y 上端面0A面上面力=o/=U由 于0A面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,15dx=-xdx=-dx-0bx,qbhf_dx=-/.qdx=一0，J o 万 T rb.bx（b qb-一“公=7T（对OA中点取矩）(b )应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则I 7 ,r dx=-F =_qbJo y y=0 N -2-综上所述，在小边界0 A上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。2-11检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】(1)在区域内用位移表示的平衡微分方程式(2-1 8)；(2)在s,上用位移表示的应力边界条件式(2-1 9)；(3)在s“上的位移边界条件式(2-1 4)；对于平面应变问题，需 将E、口作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分量必须满足的条件。2-12检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？16【赌】（1）在区域A内的平衡微分方程式（2-2）；2 在区域A内用应力表示的相容方程式（2-2 1）或（2-2 2）；9 在边界上的应力边界条件式（2-1 5）,其中假设只求解全部为应力边界条件的问题；4 对于多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】用应变表示的相容方程式（2-2 0）2-13检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？【解答】（1）在区域A内用应力函数表示的相容方程式（2-2 5）；2 在边界S上的应力边界条件式（2-1 5）,假设全部为应力边界条件；9 若为多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。2-14检验下列应力分量是否是图示问题的解答：17图 2-2 0 图 2-2 12（a）图 2-20,ax/%=%=。b【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-2 1）；9 应力边界条件（2-1 5）。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且 =九=。%汽=0 初、+”肛 显然满足-1-3九 办 dy dx 将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-2 1）,有等式左二国“心）右应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。（b）图2-21,由材料力学公式，%+*=空（取梁的厚度7blb=l）,得出所示问题的解答:。=-。%/（与-4 y 又根据，2 启 彳 讲3q xy x y3 q x平衡微分方程和边界条件得出：b 万万一2q=5 7。试导出上述公加式，并检验解答的正确性。【修】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1,高为 h的矩形，其对中性轴（Z轴）的惯性矩/），应用截面法可求出1 2任意截面的弯矩方程和剪力方程M（x）=-，3 F（x）=-正。6/V 7 2/18所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:M(X)d yq=i2/厂_ 35就）r始）期/2 2r 一-1 1-六 一-一（h-4 y 。）根据平衡微分方程第二式（体力不计）。*纹=。Qy得2 lh lh根据边界条件9）=o y=h/2得A=_ q-31故2x y3 q x7 7将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式:x2y x2y左二一6/至+6 面=o =右满 足第二式自然满足将应力分量代入相容方程（2-2 3）（今 孙 孙左=左+犷%）=一1 2/12环 产。=右应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。2-15试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。19【解答】(1)确定最大最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为T,=加(/-3),用关系式广+疗=1消 去m,得Tn=l J l-P =土也2-广(72-c r,)=1/4-(1/2-Z2)2(7,-0-1)由上式可见当/2=0时，即1=&时，J为最大或最小，为(r.U _a-o因此，切应力的最大，最小值发生在与x轴及y轴(即min2应力主向)成4 5 的斜面上。(2)求最大，最小切应力作用面上，正应力，的值任一斜面上的正应力为狂=尸(7 -q)+最大、最小切应力作用面上/=f，带入上式，得 7=7-/5 0;(Z?)crv=2 0 0,TV=0,Tx y-4 0 0;(c)5 =-2 0 0 0,%=1 0 0 0,%=T O O;(d)q =-1 0 0 0,%=-1 5 0 0,%=5 0 0.【解答】由公式(2-6)(T T+a1 .X V .(yj 22 .(a)-J O +S O土4 J 21 5 0-1 0 0a-arct an _ _ _ _ _ _ _ _=1 10 回,2。巴。1一4+吸及 t a n a i-r 得 Q i-a r c l a n“人 xy 土 x y5(由常。=35。20 勺叫a -a r c t a n200+0=+2512 200200-OY/、2 _I+(-4 0 0)-512-312%-400-2000+1000+a r c t a n (-0.78)=-3757 a=a r c t a n21052+2000-2000+1000?/、2-2-+(-40。)-1052-2052-400-1000-1500=a r c t a n (-7.38)=-8 232“J 2-69 1+1000a -a r c t a n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 500-1000+1500 Y 2-+5002-2a r c t a n 0.618 =3143-69 1-18 092-17设有任意形状的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力q。试证0、=6 =-q及=。能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。O解答】（1）将应力分量o =%,=-4，%、,=0,和体力分量=力=0分别带入平衡微分方程、相容方程d(Jx dr“+)+/=0-By-xd a dt+旦+/=0_ dy dx y 2(b,+b,)=0 (b)显 然 满 足(a)(b)(a)（2）对于微小的三角板A,d x,dy都为正值，斜边上的方向余弦I=c o s(n,x),m =c o s(n,y),将o=bv=-g,%=0,代入平面问题的应力边界条件的表达式(2-1 5),且 =-g c o s(,x)，=q c o s(,y),则有21crA cos(n,x)=-q cos(n,x),ocos(n,y)=-q cos(n,y)所以bt=_q,by=_q o对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。(3)对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力情况，首先，将应力分量代入物理方程(2 T 2),得形变分量，(-4 一 )(-1)n,=q，y=F 4,八v=o(d)LL,匕将(d)式中形变分量代入几何方程(2-8),得?=匕/0=匕/上+上=0(e)dx E dy E dx dy前两式积分得到(1)(/-I)=-qx+/(y)，v=-qy+f,(x)(f )E E其中工()工(X)分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将 式(f)代入式(e)的第三式，得dfy)_ df2(x)dy clx等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数。，于是有dy dx积分后得工(y)=Tyy+o (x)=J办=一尸=与满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。2-19试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即24体力分量可以表示为f=-J =-生，其 中V是 势 函 数，则应力分量dx-dy籽 厂+匕？3?亦 可 用 应 力 函 数 表 示 成 为+昵，试导出相应dxdy的相容方程。【解答】（1）将/带入平衡微分方程（2-2）一d a dr旦+4+/=0dy dx da STU y .L k ydy型=。dxdV-=0西(a)将（a）式变换为a%f (b 1 V)+二0dxdI-V)+R=ody y dy(b)为了满足式（b）,可以取a -V =XA?dy2dxdy即 叱 不+V,a=+V.7 =#dx2dxdy（2）对体力、应力分量/,外,4,求偏导数,得现一产dxd2a S4 中dy dy2d2V 52 T r _ 54 ,dVX=_,_ _ _ _二 _ _ _ 十Ox2d)r+S x2 dy1 dy4 8yd4 dV 而 d2V(c)迎 Q ,V =y外T行苏 二 8 2 V5x2 dy2y dx2dy2 dy2将（c）式代入公式（2-2 1）得平面应力情况下应力函数表示的相容方程25V2(c r+b)=-(l+)+%(2-2 1).x yI 一 钞.a4 炭 52V a 合2 V )“2+d f+OY4+拗；+dx计 dx2dv2+d?(i+川 色 卜+a f 整理得:a40 a4o+2 3汗2 3y2+_ g y j _ =-(-山5 M(d)即平面应力问题中的相容方程为V4O =-(1-Z/)V2V将（c）式 代 入 公 式（2-2 2）或 将（d）式中的替换为 j的平1 一 面应变情况下的相容方程：夕 於，1 2vA-J VV，+J2，八 -|-Q v 4 1/I，尸 I xZ V I TCTd2Vy+田(6)即 *（!）=上功力丫。1一 证毕。26弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详平面问题的直角坐标解答3-1为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15）,而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15）,就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分 方程和其它的应力边界条件都已满足，试 证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的，因而可以不必校核。3-3如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问27弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题t在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在 m个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公 式(2 T 5),共 2 m 个；在 n个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则 有 2 n 个；如果不能满足公式(2-1 5)的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共 3 n 个。【3-4】试考察应力函数中在图3-8。所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不 L 计)?|【解答】相容条件：图 3 用不论系数a取何值，应力函数中=总能满足应力函数表示的相容方程,式(2-2 5).求应力分量当体力不计时，将应力函数中代入公式(2-2 4),得b r =6 a y,c y=0,z*讣，=c 枕=0考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.左右边界上；当 a 0 时，考 察 分 布 情 况，注意到金,=0,故 y 向无面力左端：=(7)=0 =6 冲(0 y h)=(%=()右端：)i =6 a y(0 y=bxy2,（3）0=c x）P,试分量（不计体力），画出图3-9所边界上的面力分布，并在小边界上力的主矢量和主矩。【解答】（1）由应力函数中=加了，得应力分量表达式(J x=0,c rv=2ay,T=T YX=-2ax考察边界条件，由公式(2-1 5)(/M,+/%),=%(5)主要边界，上边界产-力上，面力为h h (y=-)=2 a x _(y=-)=ahX n y G29主要边界，下边界 =/，面力为2hT(y=-)=-2ax,r (y=.)=ah*2,2次要边界，左边界X=0上，面力的主矢，主矩为X 向主矢：Fx=-J：(b)=ody=0y 向主矢：工=-：(%)*=o 6=o主矩：M=-J：a ),=0 ydy=0*-h/2次要边界，右边界x=L上，面力的主矢,主 矩为,.,h/2x 向主矢：F；=l/o D i d y n。y 向 主 矢炉,%/2/,-aldy=-alh=小主矩：M=3)=/由=0弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示(2)0=bxy2将应力函数代入公式(2-2 4),得应力分量表达式er i=2bx,cr y=0,T T yX=-2by考察应力边界条件，主要边界，由公式(2-1 5)得在 尸4主要边界，上边界上，面力为彳尸-)=如彳尸一。=0在y=，下边界上，面力为力 y=)=-仍,/“=()2 2)-2)在次要边界上，分布面力可按(2-1 5)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求窿：30弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详在左边界x=o,面力分布为(x =O)=O/(x =O)=2力面力的主矢、主矩为X 向主矢：F尸(b，L d y =O2h hy 向主矢：Fy=_ J V 力=力(-2。)z dy =0主矩；M =-h2(ax)x=0y dy =0在右边界X=1上，面力分布为(X =/)=2bl,fy(x =l)=-2by面力的主矢、主矩为X向主矢:y向主矢:f/2 2bl dy 2hl hi-h/2 二dy=pI/2(2 b y)d y=h/2 h/2主矩：M =。式,)日 y dy =_h/22bl y dy =0弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示(3 )c x y3将应力函数代入公式(2-2 4),得应力分量表达式Q=6c x y,q=0,6=&=-3c y2考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式(2-1 5)上边界=-1上，面力为2I f 4 I 2)31弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详 下边界y J上，面力为2/蛤 3 ,2=4 c hy=a=o次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得:左边界x=0上，面力分布为工(x =0)=0,(x =0)=3 c y2面力的主矢、主矩为x 向主矢：F,y向主矢：F主矩：A/=-/2(),V=O=O右边界片/上，面力分布为(%=/)=6 c 仅,f (x =/)=-3 c y2面力的主矢、主矩为X向主矢尸V向主矢：,主矩：M=弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示 3-6 试 考 察 应 力 函 数=，)(3 层-4 丁)，能满足相容方程，并求弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-2 5）需+2 焉+新。，显然满足（2）将中代入式（2-2 4）,得应力分量表达式2Fxyq=，4 =0，品=%（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：在主要边界上（上下边界）上，y=h,应精确满足应力边界条件式2（2-1 5）,应力（er）=0,（r）=0 /y=/i/2 y=h/2因此，在主要边界y=力上，无任何面力，即|。=?=0,%=/?=022 y 2在x=0,x=l 的次要边界上，面力分别为:=羽 嗔）3 F fx=I:t _ 2Fly 于=一=-一r 7 7 7、h y 2/711 4 J、h2因此，各边界上的面力分布如图所示:-4BZ在x=0,x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式:x=0 上 x=l 上33弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题谙解h/2响主矢：我=L八 的=o,y向主矢：F=/一dy=F,s J-h/2 yh/2 _主矩：M尸h wy=，h/2 _Q =稗=。F 2 tdy=-F&=L”2 M2=h fxydy=-Fl因 此，可 以 画 出 主 要 边 界 上 的 面 力，和 次 要 边 界 上 面 力 的 主矢与主矩,如图:(a)(b)因 此，该 应 力 函 数 可 解 决 悬 臂 梁 在 自 由 端 受 集 中 力F作 用 的 问 题。34弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详【3-7】试证=尸+y)/y能满足相容方程，并考察它【解答】(1)将应力函数中代入式(2-2 5)34 a4 2 4 分 3,-12qy -24qy-=0 ,_ _ _ _=_ _ _ _ _,2-=2 x-=-dx4 dy4 川 dx2dy2 川 川代 入(2-2 5),可知应力函数满足相容方程。(2)将代入公式(2-2 4),求应力分量表达式:6*+44_3。下-I?5ha20 q 4 y3 3y广 一=1)2,/h DT=r _ _ _ 6qx h2_ 2町 炉-(一y)dx dy h3 4.(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：在主要边界y=-9 (上面)，应精确满足应力边界条件(2-1 5)2%=一=一(？)=0,工)=qr 2 yxy=-h/2 S =-h12在主要边界y=：(下面)，也应该满足(2-1 5)口产=(%)尸,“2=，冗。=6 2)=(%)2=在次要边界x =0上，分布面力为3 4 y 4 qy 先 0=。)=-3*=有一./(x=o)=-(%),j 3 5弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件：F-f，尸 丛,_N J _A/2/一 L/2 1 部 IJ y=0h f 2 -FS=f _A/2 f y dy =0J,n hl 2(3qy 4 qyD力附=。由 一 )的=在次要边界X=/上，分布面力为峨-熠/、一 6ql(*2、&f x =/)=d=K y r 7应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件：,A/2 h/2(6q/y 4qy3 3 qy)FN=L J a=L/2 R：下 一方四二,h/2，2 6ql(h2 2 M =L“2 力(EMLMK了-y 甲h/2/2(6ql2y Aqy 3qy y 1 2M，=L/(x)+/(x)(b)其中/(x)J(x)都是X的待定函数。(3)由相容方程求解应力函数。将(b)式代入相容方程(2-2 5),得C(x)4/(x)=0 (c)在区域内应力函数必须满足相容方程，(C)式 为 y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根(全竖柱内的y值都应满足它)，可见其系数与自由项都必须为零，即37弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详二(x)=O,d(x)=0dx4 dx两个方程要求/(x)=Ax3+BJC+Cx,f (x)=D x3+E x2(d)/(x)中的常数项，工(%)中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将(d)式代入(b)式，得应力函数0)=乂4+&2+&)+3 +&2)(e)(4)由应力函数求应力分量=520 =(f)，丁-八 b=a?=+一夕(g)6Axy 2By 6D x 2E s ya2 中.=_-3Ax2-2Bx-C(h)dx dy(5)考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。主要边界x =0上(左)：(X)=。,(%)x=0 =。将(f),(h)代入9、=o，自然满足(%.).=-。=。(i)主要边界X =b上，(5)9=0,自然满足38弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题谙解、（%）收=4，将（h）式代入，得(%.=-3AF-2Bb-C=q（J）在次要边界y =0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:fib0(%，),旬 公=J o (6 0 X+2 E g =3D b2+2E b=0(k)J：(b).=o x公=j(6D x +2E)x dx =2D b3+E b2=0(1)J：(J*).、wdx=J；(3 A?2 8x C,=-Ab3-Bb2-Cb 0(m)由 式(i),(j),(k),(1),(m)联立求得A =-q BR =_q,c=D =E =Oh2 b代 入 公 式(g),(h)得应力分量a _ 2qx(J、-上 g y,石=7,f 3 Ah七 x-339弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详3-9图3-11所示的墙，高度为h,宽 j J度 为b,人在两侧面上受到均布剪力q的作用，试 小 国 丝q；应用应力函数=3+求解应力分量。【解答】按半逆解法求解。.f图 3-11将应力函数代入相容方程(2-2 5)显然满足。由 公 式(2-2 4)(J-_X 2=0*办2求应力分量表达式，体力为零，有，b=,T=T=-=-,京=6反)，刀A 谢 A2考察边界条件:在主要边界户-3上，精确满足公式(2-1 5)93/2 x=-b/2 q第一式自然满足，第二式为 A Bh2=q(a)4在主要边界x=b/2上，精确满足式(2 T 5)9 工 2=，(北=F第一式自然满足，第二式为 A Bb2=q(b)4在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:满 足满 足h/2 工”2 2 1 3L J，)=。仆L,2(Y -3&)dX-Ab-_ Bb=0(c)40弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详联 立(a)(c)得系数A=I,B=2q2 F代入应力分量表达式，得12a q(2a=O,CT=xy,r=-x i,，g Ri 2 P【3-10设单位厚度的悬臂梁在左端 匕 受到集中力和力矩作用，体力可以不计，/(图M件I。吃 二/3-12),试 Fs-Y用应力函数中二本产次+.求解应 y (l J 力分量。图312【解答】采用半逆解法求解。将应力函数代入相容方程(2-2 5),显然满足0 由应力函数求应力分量，代入公式(2-2 4)、=23+6By+6Dxy (a)(3)考察边界条件主要边界 广站/2上，应精确满足应力边界条件(6 =o,满 足*y=A/2(域 =0,得 A+-Dh2=0(b)V y=h/2 4在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件jl/2)dy-F=(2B+6Cy)dy-F B=-FN1一 力/2(。旬 N J_/J/2 N41弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详G)y d y-M =OL D/2(r)-F nJ-A/2 母.v=0 sh/2 z；2M(2B 4-6Cy)ydy=-M n C =-“2 r z x-|/z l小J (A+3 D y)1办=/n A +Dh=FJ-/J/2 L$4(c)联立方程(b)(C)得3F 2FA=_.D =2h h3最后一个次要边界(x=/)上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。【3-11】t将系数A、B、C、D 代入公式(a),得应力分量I F 12M 1 2 F隆 孙I h 川 川(7=。3-13中的三角形悬臂梁只受作 用，而梁的密度为夕，试用纯三次式的应力求解。【解答】采用半逆解法求解检验应力函数是否满足相容方程(2-2 5)设应力函数=4 3+8 入+0 孙 2+方，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程(2-2 5)(2)由 式(2-2 4)求应力分量由体力分量=0/.=夕 g,将应力函数代入公式(2-2 4)得应力分量：=+(a)，X-一x 2 cx 6Dy42弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详=+-p(b)，守一加 6 A x 2By gy一 口 一 .(C)-鬲 2Bx 269 考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。对于主要边界广0,其应力边界条件为：(,(一)尸。=。(d)将 式(d)代入式(b),(c),可得A=0,B=0(e)对于主要边界y =xt a n a (斜面上)，应力边界条件：在斜面上没有面力作用，即=_/3 0,该斜面外法线方向余弦为，/=-s i n a,机=co s a.由公式(2T 5),得应力边界条件-s i n a-(ar)y =Jttan a+c os a-(ry j t)y=xl a n(z=0 (,)s i n a(%)=,1 a l i +co s a-(crv),=A.t a n a=Oj将 式(a)、(b)、(c)、(e)代入式(f),可解得C=幺co t a,O=-丛co t2a (g)2 3将 式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得应力分量表达式：y-p gx co t a-2P gy co t2 a +M g 炉+6 ),+2K ydy=0I )积分后得H=PP(r-)(1)1 0将(k)、(1)代入式(f),得o =一皿+60 h_ 1 (m)、肝 g不淳考察右边界上切应力分量丁的边界条件：右边界上工=-p g/%,则的主矢为I)x=l可知满足应力边界条件。将 式(g),(h),(m)略加整理，得应力分量的最后解答:46弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题详6P g 2 4夕 g 3 2 I y+6 p g(-)y遥+Ir 10h2 23盯2.处(5)应力分量及应力分布图梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩/一，静矩是5=昨，工12 8 2根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力方程分别为例(x)=pgh-x，(x)=_pghx则 式(n)可写成:os.y”应力分布图【分析】比较弹性力学解答与材料力学解答，可 知，只有切应力公完全相同，正应力q中的第一项与材料力学结果相同，第二项为弹性力学提出的修正项；，表示纵向纤维间的挤压应力，而材料力学假设为零。对 于lh的浅梁，修正项很小，可忽略不计。3-13图3-14所示的悬臂梁，长度为/,高度为，治，在上边界受 均 布 荷 载4,试 检 验 应 力 函 数=Ay$+Bx2y3+Cy3+Dx2+Er2y 能否成为此解？口！1。问题的如 可 以，试求出应力分量。h/2h/2图3-1447弹性力学简明教程-第四章平面问题的极坐标解答习题t【解答】用半逆解法求解。（1）相容条件：将应力函数代入相容方程式（2-2 5）,得1 2 0Ay+2 45y=0要使中满足相容方程，应使A-LB(a)5(2)求应力分量，代入式(2-2 4)q=2 04)；+6Bx2y +6Cy =2O Ay3-30A7 y+6Cy,q=2By3+2D +2E y =-0Ay3+2D +2