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第二十六章 反比例函数26.1反比例函数26.1.1 反比例函数基础题知识点1 在实际问题中建立反比例函数模型1 .如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是0A.两条直角边成正比例B.两条直角边成反比例C.一条直角边与斜边成正比例D.一条直角边与斜边成反比例2 .用电器的输出功率P与通过的电流I、,用电器的电阻R之间的关系是P=R,下面说法正确的是()A.P为定值，I与R成反比例B.P为定值，产与R成反比例C.P为定值，1与R成正比例D.P为定值，产与R成正比例3.小 华以每分钟x个字的速度书写，y分钟写了 30 0个字，则y与x的函数关系式为()XA，y=30030 0-xC.y=30 0 xD.y=4 .当某三角形一条边的长度为3时，这条边上的高为4,若这个三角形的面积不变，则这条边的长度y关于这条边上的高x的 函 数 关 系 式 为.知识点2反比例函数的定义5 .在函数y=(中，自变量x的取值范围是0A.xW O B.x0C.x 0 D.一切实数6 .下列函数表达式中，y不是x的反比例函数的是03 xA.y=-B.y=3C.y=*D.xy=：7 .若函数y=x2 m+i为反比例函数，则m的值是0AoB.12cD8 .反比例函数y=-本 中常数k为。A.-3 B.2 C.z D.-y5Q 1 a9.下列函数：y=2 x1；y=-；y=x?+8 x2；y=3；y=5 7；y=中，yX X N X X是 X的 反 比 例 函 数 的 有.(填 序 号)知识点3 确定反比例函数的解析式1 0 .(崇左中考)若反比例函数y=的图象经过点(2,-6),则 k的值为()A.-1 2 B.1 2 C.-3 .D.31 1 .近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知4 0 0 度近视眼镜镜片的焦距为0.2 5m,则 y 与 x 的函数关系式为04 0 0 1A.丫=丁 B.y=C.y=1 0 0X1 2.(梧州中考)已知反比例函数y=3 过点(1，5),D,y=4 0 0 x则 k的值是.1 3 .计划修建铁路1 2 0 0 k m,试写出铺轨天数y(d)与每天铺轨量x(k m/d)之间的函数关系式,并判断该函数是否是反比例函数.中档题1 4 .己知y 与 x-l 成反比例，那么它的解析式为0kA.y=l(k 7 0)B.y=k(xl)(k 0)kx 1c.y=T(k O).D.y=-Y-(k W 0)1 5 .下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是0A.正方形的面积S与边长a 的关系B.正方形的周长L与边长a 的关系C.长方形的长为a,宽为2 0,其面积S与 a的关系D.长方形的面积为4 0,长为a,宽为b,a 与 b 的关系1 6 .(株洲中考)已知反比例函数.y=的图象过点(2,3),那么下列四个点中，也在.这个函数上的是0A.(-6,1)B.(1,6)C.(2,-3)D.(3,-2)1 7 .列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数.(1)某农场的粮食总产量为1 5 0 0 t,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数关系式；(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数关系式；(3)小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式.1 8.(汕尾中考)已知反比例函数y=5的图象经过点M(2,1).(1)求该函数的表达式；(2)当2V x+(n+m).(1)当m,n为何值时，为一次函数？(2)当m,n为何值时，为正比例函数？(3)当m,n为何值时，为反比例函数？综合题2 0.(丽水中考)如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 1峭 的矩形科技园A B C D,其中一边A B靠墙，墙长为12 m.设A D的长为xm,D C的长为ym.(1)求y与x之间的函数关系式；D_ IC(2)若围成矩形科技园ABCD的三一边材料总长不超过26 m,材料A D和D C的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.参考答案1?I.B2.B3.B4.y=75.A6.B7.D8.D9.10.AH.C12.513.V铺轨天数=铁路长+每天铺轨量，.1 200y.是X的反比例函数.14.C15.D16.B17.(1)丫=等，是反比例函数.(2)y=4.75x,不是反比例函数.(3)t=,是反比例函数.18.反比例涵数 y=的图像经过点 M(2,1),.k=2,B|J y=|.(2)|y0)的图象和性质1.已知反比例函数y=5的图象过点P(l,3),则该反比例函数图象位于()A.第一、二 象 限 B.第一、三象限C.第二、四 象 限 D.第三、四象限2.(邵阳中考)己知点(1,1)在反比例函数y=3 k 为常数，k70)的图象上，则这个反比例函3.(来宾中考)已知矩形的面积为1 0,长和宽分别为x 和 y,则 y 关于x 的函数图象大概是()是0A.0 B.1 C.2 D.345.(钦州中考)对于函数y=,下列说法错误的是()A.这个函数的图象位于第一、三象限B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当 x0时，y 随 x 的增大而增大D.当 x 0时，函数y=一：的图象在()A.第 四 象 限B.第三象限C.第 二 象 限D.第一象限9.(遵义中考)已知点A(2,y i),B(3,y 2)是反比例函数y=3 k 0)图象上的两点，则有()A.y i 0 y 2 B.y 2 0 y iC.y i y 2 0 D.y 2 y i 01 0 .(衢州中考)若函数y=产的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量X的增大而增大，则m的取值范围是()A.m 2 B.m 2 D.m 0Q1 1 .己知点A(也，m)是反比例函数y=-q图象上的一点，则m的值为.中档题1 2.(天津中考)已知反比例函数y=，当l x 2时，y的取值范围是()A.0 y 5 B.l y 2C.5 y 1 0k1 3 .已知两点P i(x i,y。、P 2(X 2，y 2)在反比例函数y=1的图象上，当x i X 2 0时，y 2 y i 0 B.k 0时，两个函数的函数值都随自变量的增大而增大1 5.(安顺中考)如果点A(2,y i),B(-l,y2),C(2,y 3)都在反比例函数丫=0)的图象上，那么y i，y.2,丫3的大小关系是()A.y i y 3 y 2 B.y2 y i y 3C.y i y2 y 3 D.y 3 y 2 0,那么y i 和 y 2 有怎样的大小关系？参考答案1.B2.C3.C4.A5.C6.m17.C8.A9.B10.A11.4V212.C13.B14.D15.B1 6.(1).反比例函数y=的图象经过点A(2,3),k6.3 咤k=6.故所求函数的表达式为y=.点 B(l,6)在这个反比例函数的图象上，理由：把 x=l 代入y=*得 y=6,所以点B(l,6)在反比例函数y=$的图象上.1 61 7 .y=(2)y i Vy 2.理，由：；k=-1 6 V 0,在每一象限内，函数值y随 x的增大而增大，而点(2,y i),(4,y 2)都在第四象限，且 24,*y i 0,解得m X20,E,F 两点都在第一象限，即 y 随 x 的增大而减小,*yi0）的图象上，过 B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.42.（黔西南中考）如图，点 A 是反比例函数y=图象上的一个动点，过点A 作 ABJ_x轴,A C Ly轴，垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为4,则 k=.3.如图，已知点A 在反比例函数图象上，AMJ_x轴于点M,且AAO M 的面积为1,则反,比,例 函 数 的.解 析 式 为.4.（北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2,写出一个函，数y=5（kW0）,使它的图象与正方形有公共点，这 个 函 数 的 表 达 式 为.5.（滨州中考）如图，菱形OABC的顶点O 是原点，顶 点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6 和 4,反比例函数y=g x y 2时，x的取值范围是.中档题41 2.（湘潭中考）如图，A、B两点在双曲线y=:上，分别过A、B两点向坐标轴作垂线段,已知S 阴 影=1,则 Si+S2=（）A.3 B.4 C.5 D.6ki1 3.（贺州中考）已知k 0 5C，2 D，2k11 5.（玉林中考）如图，反比例函数y=7 的图象经过二次函数y=a x?+bx 图象的顶点（一,m）（m 0）,则有0C.k b 0 D.a k 01 6 .（桂林中考）如图，以 ABCO的顶点0为原点，边 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶 点A、C的坐标分别是(2,4)、(3,0).过 点A的反比例函数y=5的图象交BCF D,连接AD,则四边形AOCD的面积是.综合题31 7.(四川中考)如图，一次函数丫=1+1)(吐0)的图象过点P(一/0),且与反比例函数丫=R(mW0)的图象相交于点A(2,1)和点B.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，.一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？参考答案2 41.B2.-43.y=-4.y=-5-66.17.D8.C9.B10.Bll.-l x 212.D13.C14.A15.D16.9217.反比例函数的解析式为y=-jy=-2 x-3,c _ _9（_1（2）解 2 得 刈,或 广-4）.片 底 Mi L=-4.由图象可知，当一2 x：时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.2 6.1.3 反比例函数的图象和性质基础训练知识点1 反比例函数图象的性质1.对于反比例函数y E 下列说法正确的是（）XA.图象经过点（1,-3）B.图象在第二、四象限C.x 0 时,y 随 x的增大而增大D.x 0）的图象上，且 x i=-x2,X则（）A.yi y2 D.yi=-y24.已知A(-l,yJ,B(2,y2)两点在双曲线y3+2 m,且 yi y2,则 m 的取X值 范 围 是()A.m O C.m-D.m-2 25.已知点A(l,yj,B(2,y2),C(-3,y3)都在反比例函数的X图象上,则yi,丫2,丫3的大小关系是()A.y3 yi y2 B.yi y2 y3C.y2 yi y3 D.y3 y2 0)的图象上，则Xw y 2(填“”或 J).知识点3反比例函数的比例系数k的几何意义7.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形A BCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a).如图，若曲线y=x 0)与此正方X形的边有交点，则 a 的取值范围是.8 .如图，点 B 在反比例函数yX=-(x 0)的图象上,横坐标为1,过 B 分别向X 轴,y 轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形O A BC的面积为()9.下列图形中，阴影部分面积最大的是()A B C D1 0反比例函数丫金的图象上有A(2,yJ,B(l,y2),C(l,y3)三点，则XY b 丫2,丫3的大小关系为.提升训练考查角度1利用反比例函数的性质求出函数解析式1 1.反比例函数y=(3 m-1)%/一2的图象在所在的每一个象限内，y随*的增大而增大.求该反比例函数的解析式.考查角度2利用反比例函数图象的性质判断比例系数的符号1 2.设 点A(xby)和B(X 2,丫2)是反比例函数y=图象上的两个点，当Xx,x2 0时，yi y2,则一次函数y=-2 x+k的图象不经过第儿象限？考查角度3利用反比例函数的图象说明反比例函数的变化规律1 3 .在同一直角坐标系中画出反比例函数y=二和 的 图 象，回答下X X面的问题：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大,y 如何变化？对于反比例函数丫上和y=5(k O),考虑问题(1)(2),你能得出同X X样的结论吗？考查角度4利用反比例函数图象和性质求比例系数和比较自变量的大小1 4 .已知反比例函数y=H(k 为常数,k Wl).X(1)其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是 2,求 k的值；(2)若在其图象的每一支上,y 随x的增大而减小,求k的取值范围；若 其 图 象 的 一 支 位 于 第 二 象 限，在 这 一 支 上 任 取 两 点A(xb yi),B(x2,y2),当 力 丫 2 时，试比较X i 与 X 2 的大小.1 5 .如图,M 为反比例函数y q 的图象上的一点,M A 垂直于y 轴,垂足为XA,M A O 的面积为2,则 k的值为.1 6.如图，点A是反比例函数y=：的图象上一点,过点A作 A Bx 轴,垂足为B,线段A B交反比例函数y=：的图象于点C,则A O A C的面积为1 7.如图，在平面直角坐标系x O y中，一次函数y=k x+b 的图象与反比例函数y=巴的图象交于A(2,3),B(-3,n)两点.X求一次函数和反比例函数的解析式；若 P 是 y 轴上一点,且满足4 P A B的面积是5,直接写出0 P 的长.探究培优拔尖角度1 反比例函数与一次函数、一元二次方程、一元一次不等式、几何的综合应用1 8 .如图所示,在平面直角坐标系中，一次函数y=k x+l 的图象与反比例函数y，的图象在第一象限相交于点A,过点A分别作x 轴、y 轴的X垂线,垂足为点B,C,如果四边形O B A C 是正方形,试求：一次函数的关系式；直 接 写 出：一元二次 方 程 k x2+x-9=0 的 正 根；不等式k x+l 0）的解集.X拔尖角度2几种函数与新定义问题的综合探究1 9 .在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点（T,T）,（0,0）,（鱼,鱼），都 是“梦之点”.显然,这样的“梦之点”有无数个.若点P m）是反比例函数y=-（n 为常数,n/0）的图象上的“梦之X点”，求这个反比例函数的解析式；函 数 y=3 k x+s-l（k,s是常数）的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由；参考答案1 .【答案】D解：.”=3 0,.反比例函数y二的图象位于第一、三象限,且在每个象X限内y 都随x的增大而减小.故选D.2 .【答案】B解：由题图知，函数图象在第二、四象限,则m。b b,故错误；点 P(x,y)在图象上，则 x y=m,又因为(-x)(-y)=x y=m,所 以 点 P i(-x,-y)也在图象上，故正确.综上所述,正确，故选B.3 .【答案】D4.【答案】D 解：当 x=T 时，yi=-3-2 m;当 x=2 时，.由 y y2得-3-2 m 尹:狙,解得m-|,故选D.5 .【答案】D解：解法一(求值法)：把 x=l,x=2,x=-3 分别代入y=&得X解法二(图象法)：作出函数y S的简图，并在图象上确定A,B,C的位置,X如图,观察图象，易知y3y20,.函数图象在第一、三象限，V A(l,y i),B(2,y2),C(-3,y3),/.A,B 在第一象限,C 在第三象限，二.最小，又 在每个象限中，y随x的增大而减小,且1y2,.,.y3y2解：.反比例函数y当的图象在第一、三象限.T0,.,点A在X第一象限，V0.,点B在第三象限,M O.y z.7.【答案】遮W aW g+18.【答案】B解:解法一：,:点B的横坐标为1,A点B的纵坐标为2,则有OA=1,AB=2,可得矩形OABC的面积=2.解法二：利用双曲线上的点的横坐标与纵坐标的积等于k,得k=xy=2,.矩形 OABC 的面积=|k|=2.故选 B.9.【答案】C解：由k的几何意义，得SA=2X|=3,SB=2X|=3,SX1X6=3.对于选项C,过M向y轴作垂线段,再分别过M,N向x轴作垂线段,可求出Sc=3+1x(1+3)X(3-1)-3=4.故选 C.10.错解:yy2y3诊断:反比例函数的增减性要依据不同象限进行区分,再比较大小，本题忽略了 A,B,C三点不在同一象限内而直接比较.正解:y3 yy21 1 .解：反比例函数y=(3 m T)%/-2的图象在所在的每一个象限内，丫随x的增大而增大，解 得 仁 廿(3m-l 0,小.该反比例函数的解析式为y=-上X1 2 .解:对于反比例函数v上,因为当x,x2 0时,yi y2,所以在同一个象X限内，y随x的增大而增大，所以k 0,解得 kl.(3).反比例函数y=的图象的一支位于第二象限，X，在该函数图象的每一支上y随x 的增大而增大.点A 3,%)与点B(X2,y,在该函数的图象的第二象限上,且y.y2,所以 Xi X2.1 5 .【答案】4解:.,MA O 的面积为2,，|k|=4,，k=4.又.,反比例函数的图象的一支在第一象限，.)(),，k=4.1 6 .【答案】21 7 .解：.反比例函数y的图象经过点A (2,3),Xm=6.反比例函数的解析式是y=-.X .点B (-3,n)在反比例函数y S 的图象上，Xn=-2.*.B(-3,-2).一次函数y=kx+b 的图象经过A(2,3),B (-3,-2)两点,曾 言解瞰一次函数的解析式是y=x+l.(2)O P 的长为3 或 1.1 8.解:设点A的坐标为(m,n).),点A 在第一象限,n 0.V 四边形 O B A C 是正方形，.O B=A B,即 m=n.又V n=,.*.m=n=3,即 点 A的坐标为3).把 点 A(3,3)的坐标代入my=kx+l,得 3=3 k+l,.,.k=|,.一次函数的关系式为y=|x+L(2)x=3;0 x0)的图象上一点,A B _ L xX轴于B,且A B O 的面积为5,则 k 的值为.2 .如图,菱形O A B C 的顶点0是原点,顶点B在 y轴上,菱形的两条对角线的长分别是6和4,反比例函数y)(xO)的图象经过点C,则k的X值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 .如图，点B在反比例函数y=：(x0)的图象上,过B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形O A B C的面积为()A.1 B.2C.3 D.44 .如图，菱形O A B C的顶点C的坐标为4),顶点A在x轴的正半轴上反比例函数y,(x0)的图象经过顶点B,则k的值为()XA.1 2 B.2 0C.2 4 D.3 25.如图,A,B两点在双曲线y=-,分别经过A,B两点向坐标轴作垂线X段，已知S 阴 影=,则 S l +$2=()A.3 B.4C.5 D.6知识点2反比例函数图象和性质的综合应用6 .下列关于反比例函数y=的三个结论:它的图象经过点(7,3):它的图象在每一个象限内，y随 x 的增大而减小;它的图象在第二、四 象 限 内.其 中 正 确 的 是.7 .如图，一次函数y i=k,x+b 的图象和反比例函数丫2=的图象交于XA(1,2),B(-2,-1)两点,若y iy2,则 x 的取值范围是()A.xl B.x-2C.-2 xl D.x-2 或 0 x0)与双曲线y 上交于A,B 两点，若A,B 两点的坐标分别X为 A (xi,y j,B 3,y2),则 xw+xz y i 的值为()A.-8 B.4 C.-4 D.01 0 .若反比例函数y与一次函数y=x+3 的图象有交点,则m 的值不可X以是()A.-3 B.-1C.1 D.21 1 .如图，已知点A在反比例函数图象上,A M，x 轴于点M,且A 0 M的面积为1,则反比例函数的解析式为.提升训练考查角度1利用点的坐标与解析式的关系求坐标与解析式1 2 .已知反比例函数y=和 一 次 函 数 y=m x-l 的图象交于点A(-X1,1),B(n,-2),且一次函数图象交x 轴于点C,如图所示.求：(1)这两个函数的解析式；这两个函数图象的另一个交点B的坐标;A A O B 的面积.考查角度2利用反比例函数的图象求面积(数形结合思想、方程思想)1 3.如图,在平面直角坐标系xO y 中，直线y=2 x+n 与x 轴、y 轴分别交于点A,B,与双曲线y=在第一象限内交于点C(l,m).X(1)求 m和 n的值;过 x 轴上的点D(3,0)作平行于y 轴的直线1,分别与直线A B 和双曲线y，交于点P,Q,求A A P O 的面积.X考查角度3 利用反比例函数的图象和性质解与几何相关的问题(数形结合思想)1 4 .如图，在平面直角坐标系中，点 A是反比例函数十的图象上一X点,A B _ L x轴的正半轴于点B,点 C是 0 B 的中点;一次函数y2=a x+b 的图象经过A,C 两点,并交y 轴于点D(0,-2),若SAAOD=4.求反比例函数和一次函数的解析式；(2)观察图象,请指出在y 轴的右侧，当月液时,x的取值范围.1 5 .如图，一次函数y=-x+4 的图象与反比例函数y J(k 为常数,且k W O)X的图象交于A(l,a),B 两点.(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；在 x轴上找一点P,使 P A+P B 的值最小,求满足条件的点P的坐标及4 P A B 的面积.1 6 .如图，直线y=m x与双曲线y，相交于A,B两点,A点的坐标为(1,2).X求反比例函数的解析式；根据图象直接写出当m x叱时,x的取值范围；X计算线段A B的长.1 7.如图，一次函数y=k x+5(k为常数，且k W O)的图象与反比例函数y=-2的图象交于A (-2,b),B两点.X求一次函数的解析式；(2)若将直线AB向下平移m(m0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.参考答案1.【答案】10 2.【答案】-6 3【答案】C4.【答案】D 5.【答案】D6.【答案】7.【答案】D 8,【答案】A9.【答案】C 10.【答案】A1 L【答案】y-J X解：函数图象往往蕴涵若干重要条件，这一点容易被忽略.本题由给出的图象可知反比例函数的比例系数k小于0.12.解:把点A(-Ll)的坐标分别代入反比例函数尸”和一次函数y=mx-l 中，得 1二 一,1二-m-1,解得 k=-2,m=-2.所以这两个函数的解析式分别为尸和y=-2x-l.将点B(n,-2)的坐标代入y=-得-2=-：，所以廿提所以另一个交点B的坐标为C，-2)由一次函数y=-2x-l的图象交x 轴于点C 得点C 的坐标为(-o1-2所以 SAAOB=SAAOC+SABOC1-23-4一一一一X4一3r1-2+1-21-213.解把(l,m)代入y q 中 得 m q.解得m=4.点 C 的坐标为(L4).把(1,4)代入 y=2x+n得 4=2xl+n,解得 n=2.对于 y=2x+2令 x=3厕 y=2x3+2=8,点P 的坐标为(3,8).令 y=0厕 2x+2=0,即 x=-l,.点 A 的坐标为(-1,0).对于尸令 x=3,则 y=点 Q 的坐标为(3,乡.AAPQ 的面积=抑冲(5=汉 3+1)*(8-*.分析：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，解答这类题通常运用方程思想.14.解:过A 点 作 A E ly 轴于点E.SAAO D=4,OD=2,10D.AE=4.AE=4.AB，OB,点 C 为 O B的中点，乙 DOC=乙 ABC=90,OC=BC.又,:ZOCD=ZBCA,RtADOCRtAABC.AB=OD=2,.A(4,2).将 A(4,2)的坐标代入y g 中 得 k=8.8将 A(4,2)和 D(0,-2)的坐标分别代入y2=ax+b中，得=2,解得：匕-y2=x-2.观察图象可得，在V轴的右侧，当 y i 时,0 x4.技巧解：这是一道数形结合问题，是几何图形结合反比例函数、一次函数图象性质的综合题，解决此类题目的关键是抓住数与形之间的转化,特别是点的坐标与线段长度间的转化.15.解:(1)由已知可得,a=-l+4=3,k=lxa=lx3=3,反比例函数的解析式为y二|.联立:I f +4,解得3 3 或；二:所以B(3，l)如图所示作B点关于x 轴的对称点得到B1(3,-l),连接AB交 x 轴于点P,连接PB则有PA+PB=PA+PBNAB,当 P 点和P点重合时取等号易得直线AB，的解析式为y=-2x+5.令尸0,得 x V，P(|,O)即满足条件的点P 的坐标为6 0)设函数y=-x+4的图象交x 轴于点C,则 C(4,0),*SzPAB=S a A P C-S a B P C二；X PCX(yA-yB),即 SA P A B=：-X(4-J X(3-l)=：-.16.分析将A(l,2)的坐标代入y当即可求得反比例函数的解析式由直线y二 m x与 双 曲 线 的 特 点 可 知 点 A,B关于原点O 对称，从而可知从而x 的取值范围可得.由点A 的坐标求出线段OA的长，利用AB=2OA可求线段AB的长，或利用点A.B的坐标直接求线段 AB的长.解:把AQ,2)的 坐 标 代 入 中 得 k=2.反比例函数的解析式为y二:(2)-1X1.过点A作 AC_Lx轴，垂足为点C.A(1,2),.AC=2QC=LOA=V22+12=V5.AB=2OA=2 遥.17解 将 A(-2,b)的坐标分别代入丫=1+5丫=-月可得b=-2k+5,b=-.X-Zb=4,k=1.一次函数的解析式为yx+5.将直线A B向下平移m 个单位长度后直线为yx+5-m.联立1Q y=-x+5-m,1y=-x+5-m 与 y=-得J 2 8 整理得5X?+(5-m)x+8=0.V-一 二 ,直线y=|x+5-m与反比例函数y二一的图象有且只有一 公共点，.=(5-m)2-4x1x8=0,解得 m=l 或 m=9,即 m 的值为1 或 9.26.2.1建立反比例函数解实际问题基础训练知识点1 在实际问题中建立反比例函数模型1.完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之 间 的 函 数 关 系 式:.2.某单位要建一个矩形草坪，已知它的长是y 米，宽是x 米，且 y 与 x之间的函数关系式为y=变,当它的长为25米时,它的宽为.X3.小华以每分钟x 字的速度书写,v分钟写了 300个字,则y 与x 的函数关系式为()A 300A.y=-XB.y=3 0 0 x300-xC.x+y=3 0 0 D.y=二X4.一定质量的干松木，当它的体积V=2 时，它的密度P=0.5 X 1 03k g/m 则P与V的函数关系式是（A.P=1 0 0 0 V B.P=V+1 0 0 0c 500C.P =-vn 1 000D.P =-v5.用规格为5 0 cm X 5 0 c m的地板砖密铺客厅恰好需要6 0块.如果改用规格为a cm X a c m的地板砖y块也恰好能密铺该客厅,那么y与a之间的关系式为（）A 150 000A-n 150 000B.y=-aC.y=15 0 0 0 0 a2 D.y=15 0 0 0 0 a知识点2实际问题中的函数的图象6.拖拉机的油箱中有油4 0 L,工作时间y（h）与工作时每小时的耗油量x （L）之间的关系用图象大致可表示为（）7.已知甲、乙两地的路程s（单位:km）是定值，汽车行驶的平均速度v （单位:km/h）和行完全程所用的时间t （单位:h）的函数图象大致是8 .在 公 式 中，当电压U 一定时，电流I 与电阻R 之间的函数关系可R9 .如 凰 0是一根均匀木杆的中点,定点B处悬挂重物A,动点C处用一个弹簧秤垂直下拉，使杠杆在水平位置平衡.在这个杠杆平衡实验中，弹簧秤的示数y（单位:N）与弹簧秤作用点C离点0的距离x（单位:c m）之间的函数关系的大致图象是（）10 .一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示，设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为2 0,若2 W x W 10,则 y 与 x的函数图象是（）1211.某发电站的额定电压为1 5 0 0 万伏,设该地的电流为x,电阻为y,12.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以5 0 km/h的平均速度从甲地出发，那么经过6 h 可到达乙地.(1)甲、乙两地相距多少千米？如果汽车把速度提高到v km/h,那么从甲地到乙地所用时间t 将怎样变化?写 出 t 与 v 之间的函数解析式.因某种原因,这辆汽车需在5 h 内从甲地到达乙地,则此时汽车的平均速度至少应是多少？(5)已知汽车的平均速度最大可达8 0 km/h,那么它从甲地到乙地最少需要多长时间？考查角度2利用反比例函数解工程问题13 .某机床加工一批机器零件,如果每小时加工3 0 个,那么12 小时可以完成.设每小时加工x 个零件,所需时间为y小时,写出y 与 x 之间的函数解析式，并画出函数图象；若要在一个工作日(8 小时)内完成,每小时要比原来多加工几个？考查角度3利用反比例函数解排水问题14 .如图是某一蓄水池每小时的排水量V(m：/h)与排完蓄水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象.(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量.写出此函数的解析式.(3)如果要6 h 排完蓄水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?（4）如果每小时排水量是5 000 nA那么蓄水池中的水需要多少小时排完？考查角度4 利用反比例函数解利润问题15.某超市出售一批休闲鞋,进价为8 0元/双，在日常销售中发现，该休闲鞋的日销售量y（单位:双）是售价x（单位:元/双）的反比例函数,且当售价为100元/双时，每日售出30双.（1）求y与x之间的函数解析式；（2）若超市计划日销售利润为1400元,则售价应定为多少？16.我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（单位:）随时间x（单位:h）变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=-（k为常数,kWO）X的一部分.请根据图中信息解答下列问题：恒温系统在这天保持大棚内温度为18 的时间有多久?求k的值；（3）当x=16时,大棚内的温度为多少度？17.某地计划用120180天（含 120天与180天）的时间建设一项水利工程,工程需要运送的土石方总量为360万米）写出运输公司完成任务所需时间y（天）关于平均每天的工作量x（万米3）的函数解析式,并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石方比原计划多5 000米,工期比原计划减少了 2 4 天,则原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?探究培优拔尖角度利用分段函数解实际问题（方程思想、数形结合思想）18.保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂 2015年 1月的利润为200万元.设2015年 1月为第1个月，第 x 个月的利润为y 万元.由于排污超标,该厂决定从2015年 1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从 1 月 到 5月，y 与 x 成反比例.到5 月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元,如图.分别求该工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与 x 之间对应的函数解析式.治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2 0 1 5 年 1月的水平？当月利润少于1 0 0 万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？参考答案1.【答案】丫心X2.【答案】8 米3.【答案】A 4.【答案】D5.【答案】A 6.【答案】D7.【答案】B 8.【答案】D 9.【答案】A10 .【答案】A11.错解:B诊断:本题错在忽略了自变量的取值范围为x 0,解此类题时,求出函数的解析式后一定要联系实际确定自变量的取值范围.正解:C12.解：(1)5 0 X 6=30 0(k m),即甲、乙两地相距 30 0 k m.(2)t 将减小.(3)t=(v 0).V(4)根据题意，得出W5,所 以 v 26 0.故此时汽车的平均速度至少应是V6 0 k m/h.(5)t=3.7 5(h),即这辆汽车从甲地到乙地最少需要3.7 5 h.方法总结：行程问题中的反比例函数关系：t(时 间):震，当 路 程S一定时,速度V与时间t成反比例函数关系.13.解：(1)需加工的零件数为30 X 12=36 0(个).y与x之间的函数解析式为y=(x 0),函数图象如图.X(2)当 y=8 时，x=36 0 4-8=4 5,4 5-30=15 (个).要在8小时内完成,每小时要比原来多加工15个.方法总结：工程问题中的反比例函数关系：工 作 时 间 鬻,当 工 作总量一定时一，工作时间与工作效率成反比例函数关系.14.解：因为当蓄水量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反 比 例，所 以 根 据 图 象 提 供 的 信 息 可 知 此 蓄 水 池 的 蓄 水 量 为4 0 0 0 X 12=4 8 0 0 0 (m3).(2)因为此函数为反比例函数,所以解析式为V=竺 詈(t 0).如 果 要6h排 完 蓄 水 池 中 的 水，那 么 每 小 时 的 排 水 量 为V=2=8 0 0 0 .如果每小时排水量是5 0 0 0 m3,那么排完蓄水池中的水所需时间为E i.技巧解：应用反比例函数的图象解题时，必须认真观察图象,从中收集并整理相关信息,用以解决所求问题.15 .解：设 y(k WO),X由题意，得 30=之，100解得 k=30 0 0,所以函数解析式为y/心(x 0).X 令(x 8 0)y=14 0 0,即(x-8 0)J 吧=14 0 0,解得 x=15 0,X故售价应定为15 0 元/双.分析：解决反比例函数应用题的关键是确定反比例函数的解析式,再利用方程、不等式的知识,并结合函数的图象和性质解决问题.16 .解：12-2=10(h),即恒温系统在这天保持大棚内温度为18 的时间为10 h.(2)把点B的坐标(12,18)代入y g,得 18 吟,解得k=216.由 得 当 x 21 2 时，y=.把 x=16代入,得 y=13.5,即当x=16 时，大棚内的温度为13.5.17 .解：由题意易得y 理(2Wx W3).X设原计划每天运送土石方m 万米3,则实际每天运送土石方(m+0.5)万米3,根据题意得,-=24.解这个分式方程得,m=-3或 m=2.5.经检验,m=2.5是该分式方程的解且符合题意,m=-3不符合题意,舍去.m+0.5=2.5+0.5=3.原计划每天运送土石方2.5 万米,实际每天运送土石方3 万米I1 8 .解：(1)设该工厂治污期间y与 x 之间对应的函数解析式为卢(1XW x W 5),治污改造工程完工后y与 x之间对应的函数解析式为y=k2x+b (x 5).将(1,2 0 0)代入y=幺中，得 k,=2 0 0.X.该工厂治污期间y 与 x 之间对应的函数解析式为y=(l x 5).X令 X=5,则 y=4 0.治污改造工程顺利完工后，该厂第6 个月的利润为6 0 万元.将(5,4 0),(6,6 0)代入 y=k2x+b 中，得,5七+b =4 0,解 得 依=20,(6/C2+b =6 0,用 牛 用l b =-6 0,即治污改造工程完工后y 与 x 之间对应的函数解析式为y=2 0 x-6 0(x 5).(2)将 y=2 0 0 代入 y=2 0 x-6 0,得 2 0 0=2 0 x-6 0,解得 x=1 3.故改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2 0 1 5年 1月的水平.(3)将 y=1 0 0 代入 y=W(l W x W 5)中，得 1 0 0=,贝！J x=2.将 y=1 0 0 代入 y=2 0 x-6 0 (x 5)中，得 1 0 0=2 0 x-6 0,则 x=8.月利润少于1 0 0 万元的有3 月、4月、5 月、6月、7月，故该厂资金紧张期共有5 个