圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）.pdf

【2022版】典 型 高 考 数 学 试 题 解 读 与 变 式 考 点 4 2 圆 锥 曲 线 中 的 范 围 与 最 值 问 题【考 纲 要 求】应 从 数 与 形 两 个 方 面 把 握 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系.会 判 断 已 知 直 线 与 曲 线 的 位 置 关 系(或 交 点 个 数)，会 求 直 线 与 曲 线 相 交 的 弦 长、中 点、最 值.【命 题 规 律】圆 锥 曲 线 中 的 范 围 与 最 值 问 题 在 选 择 题、填 空 题 以 及 解 答 题 中 都 会 考 查，在 解 答 题 中 出 现 时 难 度 较 大.【典 型 高 考 试 题 变 式】(-)离 心 率 的 范 围 2 2例 1.12021高 考 全 国 乙 卷 理 11)设 8 为 椭 圆 C:,+=l(a80)的 上 顶 点，若 C 上 任 意 一 点 都 满 足|尸 3区 2力，则。的 离 心 率 的 取 值 范 围 是()【答 案】C【分 析】设 P(%,%),由 8(0口)，根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 表 示 出 归 耳，分 类 讨 论 求 出 1PBi的 最 大 值，再 构 建 齐 次 不 等 式，解 出 即 可.【解 析】解 法-：(代 数 消 元，区 间 上 二 次 函 数 最 值)2 2设 尸(%,%),由 3(0,。)，.耳+乌=1,a2=b2+c2,a b二|尸 8=片+(0/?)2=2 1 J o+p-j+-+a2+b2(-b y(,c2,a2-c2 c2,:.0e 故 选 C.c2 2解 法 二：(三 角 代 换，区 间 上 二 次 函 数 最 值)设 P(acosO,bsin 0)0 0,J U i J|PB|2 b a2 cos2 6+(bsin6-by 4Z?2(、2,4-f(0=-c2sin20-2b2 sin0+a2+b2=-c2 sin+a2+b2+-z-.c c由 已 知 当 且 仅 当 sin8=-l 时,/取 最 大 值 4万,b2c2,：.a2-c2 c2,：.0e C 2解 法 三：（三 角 代 换，因 式 分 解）设 尸（acos 6,Z?sin 6）（0 W 6 W 2兀）,则|尸 回 2 b o a2 cos2 6+仅 sin。一 8 4/（Z?2-a2）sin2 0-2h2 sinO+a?-3必=（sin0+l）（/?2-a2sin0+a2-3Z?2 J,只 需 9-a）sin。+a-3-0 即 可,即（6 一（一 1）+/-3b2 0,:.a2 2b2,a2 2（a?-c?）,0 L 则 双 曲 线 y2=i的 离 心 率 的 ar取 值 范 围 是（）A.（V2,+oo）B.（V2,2）C.（1,72）D.（1,2）【答 案】C2 2 1 i i【解 析】由 题 意 e2=；=S 二=i+3，：a l,，ll+r 2,则 l e V L矿 a a a故 选 C.2 2【变 式 2】【改 编 条 件 和 结 论】设 耳，鸟 是 双 曲 线 2-3=1（。乃（）的 两 个 焦 点，P 在 双 曲 线 上，若 丽 质=0,|7月 卜|第 1=2勿:（，为 半 焦 距），则 双 曲 线 的 离 心 率 为（）V3-1 A/3+1 V5+1A.-B.-C.2 D.-2 2 2【答 案】D【解 析】由 题 意 得，大 瑞 是 直 角 三 角 形，由 勾 股 定 理 得（2c）2=|P F+PF2 F=|PF,P g 2 1 耳|PF21=4-4ac,c-uc-a 0,e?e 1 0,e 1,e=-.故 选 D.2(二)参 数 的 范 围 x2 v2例 2.(1)2017课 标 卷】设 A、B 是 椭 圆 C：工+21=1长 轴 的 两 个 端 点，若 C 上 3 m存 在 点 M 满 足 N4MB=120。，则 根 的 取 值 范 围 是()A.(0,lJUL9,+co)B.(0,V3Uf9,+oo)C.(0,llU4,+a)D.(),当 U4,+oo)【答 案】A【解 析】当 0 机 3,焦 点 在 x 轴 上，要 使 C 上 存 在 点 M 满 足 N A M B=120,则-tan60=V 3,即；得()加 1；当 相 3,焦 点 在 y 轴 上，要 使 C 上 存 b yjm在 点 M 满 足 NA 8=120,则 gNtan60=百，即 垂 之 6,得 加 2 9,故 切 的 取 值 b V3范 围 为(0,1。9,+8),选 A.【名 师 点 睛】本 题 设 置 的 是 道 以 椭 圆 的 知 识 为 背 景 的 求 参 数 范 围 的 问 题.解 答 问 题 的 关 键 是 利 用 条 件 确 定 a,b的 关 系，求 解 时 充 分 借 助 题 设 条 件 N A M B=120转 化 为 tan60 这 是 简 化 本 题 求 解 过 程 的 一 个-重 要 措 施，同 时 本 题 需 要 对 方 程 中 的 焦 b点 位 置 进 行 逐 一 讨 论.(2)2021年 高 考 浙 江 卷 21】如 图，已 知 产 是 抛 物 线 V=2px(p 0)的 焦 点，知 是 抛 物 线 的 准 线 与 x 轴 的 交 点，且 MF=2.(1)求 抛 物 线 的 方 程；(2)设 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 于 A,8 两 点，斜 率 为 2 的 直 线/与 直 线 A M,M B,45,x轴 依 次 交 于 点 P,Q,R,N,且|RN=|PNHQN|,求 直 线/在 x 轴 上 截 距 的 取 值 范 围.(-00,-7-4 行 U-7+4 百,l)U(l,y).【分 析】（1）求 出。的 值 后 可 求 抛 物 线 的 方 程.设 48:x=（y+l,4（4,凶）,3（%2，%），N（,0）,联 立 直 线 A 6 的 方 程 和 抛 物 线 的 方 程 后 可 得 X%=-4，%+%=中，求 出 囹 线 M A M S 的 方 程，联 立 各 直 线 方 程 可 求（+1丫 3+4产 出 外，坨，以，根 据 题 设 条 件 可 得-=-了，从 而 可 求 的 范 围.【解 析】（1）./目=2,故=2,故 抛 物 线 的 方 程 为：y2=4x.（2）解 析 一（常 战 设 线 转 化”设/.如:x=ky+,lMA=:*=自 1,/廿 x=+m,/日,y.从 近，力 联 立 A B 与 抛 物 线 得：7=ky+,则/_ 软 j _ 4=0,则（4 八 4）|/=4x力+%=4%，%=7又?十|宁+1,所 以 匕=h=必 为*2 4比.氏+止+或+i 疗 於+(凶+%乂+14 4 4 4=J 4 4-2=_ f乂 力 必 力 江+1 也+1*2+*3=-4+J M 丫 2竽+%+手+“（此 处 是 对 称 韦 达 结 构 运 用，难 点 在 于 敢 第 而 且 算 对）-二 u.1 力 则 联 立 A 与。0:则 4L：x=3-1廿 一 y y则 联 立 48与 P0:则&r：x=A l _1,；.x=ly+m,得 y f-p 因 为 网 2=1叫 阿，则,=-%”（坐 标 转 化 非 常 重 要）*2-2所 以 m+1 y/3 2&T=皿,-7-4向 式-7+4在 2)11(1,+C C)m-2#0解 析 二（平 移 齐 次+同 构+转 化 坐 标 比）:以 M为 原 点，则 抛 物 线 方 程 为/=4（x-l）,5：X=ky+2,/M 4:X=k2y,lMa:x=巾 k：x=ly+m联 立 4 8 与 抛 物 线 得：，“：x=*+2 o 2=1,且/一 4AM七 4（上 四）=0 o（l+*i!）y2-x2=0,即（I+）-闫=o 则 与+与=o也&=-（1+无：a 2 r 冉=1+好，4：x=3则 联 立 M 4与 P 0:则.1,得 力=上 同 理 lA B:x=kty+2则 联 立 4 8 与 P 0:则，1%：x=3 y+m得 因 为 pw|2 T p M l?N|.则 4=-外 子,即 k-2所 以 J 5 V m/可 式-7+4 6 1）5 1*）解 法 三：设 A8:x=/y+l,4 6,弘）,3（%2，）2），N（,0）,.直 线/:%=，由 题 设 可 得 H LFU W.由，2x-t y+.2;可 得 y2-49-4=0,故 y%=-4，乂+必=4/，y=4x；|砌 2=|P N|.|Q N(故 又 M A:y=5|(%+1)y=(x+1)z x X|+l 可 得 丫 2(+1)%口 J 付 y p-.”2xt+2-ytx=-n2同 理 2(+1)必 2%2+2%由 2+必)+4 3+由 n+1?_ 3+4/J=(2 1)2s=2 t-l3+4产-s2+2 s+4,2 41+-+s s且 s wOs+14T?+1N0 L r即，解 得 一 7 4 g 或 一 7+4 g 4 v l 或 邛 w l令 故 n 1,故 直 线/在 X轴 上 的 截 距 的 范 围 为 4 一 7 4石 或 一 7+4 6 1.【方 法 点 睛】直 线 与 抛 物 线 中 的 位 置 关 系 中 的 最 值 问 题，往 往 需 要 根 据 问 题 的 特 征 合 理 假 设 直 线 方 程 的 形 式，从 而 便 于 代 数 量 的 计 算，对 于 构 建 出 的 函 数 关 系 式，注 意 利 用 换 元 法 等 把 复 杂 函 数 的 范 围 问 题 转 化 为 常 见 函 数 的 范 围 问 题.【变 式 1【改 变 条 件】在 平 面 直 角 坐 标 系 xO），中，A（-12,0）,B（0,6）,点 P 在 圆 O：X?+丁=50 上，若 PA PB W 20,则 点 P 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 是.【答 案】-50,1【解 析】设 P（x,y），由 丽 两，20，易 得 2x-y+5,O,2x-y+5 o0,可 得 上 x=-5u或 B：y=-5由 0m+n 3m-n 八 7-m2 n 3nr,由 双 曲 线 性 质 知：c?=（/+”）+（3 1-）=4帚，其 中 c 是 半 焦 距 焦 距 2c=2-2帆=4,解 得 帆=1,1 b0)过 点 A(0,-2),以 四 个 顶 点 围 成 的 四 边 形 面 积 为 4布.（I）求 椭 圆 E 的 标 准 方 程;（II）过 点 夕（0,-3）的 直 线/斜 率 为 上,交 椭 圆 E 于 不 同 的 两 点 3,C,直 线 A 8,A C交 了=-3 于 点 M,N,若 归 根+归 义|1 5,求 人 的 取 值 范 围.2 2【答 案】（案 二+匕=1；（2）3,-1）51,3.5 4【分 析】（1）根 据 椭 圆 所 过 的 点 及 四 个 顶 点 围 成 的 四 边 形 的 面 积 可 求。力，从 而 可 求 椭 圆 的 标 准 方 程；设 3 G,乂）,。（,必），求 出 直 线 A B,A C 的 方 程 后 可 得 M,N 的 横 坐标，从 而 可 得 1PMi+|PN|,联 立 直 线 5 C 的 方 程 和 椭 圆 的 方 程，结 合 韦 达 定 理 化 简 PM+PN,从 而 可 求 攵 的 范 围，注 意 判 别 式 的 要 求.【解 析】（1）椭 圆 过 A（0,2）,故 h=2,.四 个 顶 点 围 成 的 四 边 形 的 面 积 为 4逐，1 2 2故 Lx2ax2/7=4石，即 a=6,故 椭 圆 的 标 准 方 程 为：+-=1.2 5 4（2）设 3（不 凹）,。（工 2，%），：直 线 B C 的 斜 率 存 在，故 不 力 0，故 直 线 y+2 A x,x9A 6：y=-1-x-2,令 y=3,则/=-4-同 理-S；-玉 X+2%+2直 线 BC:y=-3,由 0,xMxN 0,又 P M+P N=XM+XN=+-必 十 4，2十,%，2%一（玉+）-I-7 kxy-1 kx2-1 k XfX2-Z:（X1+x2）+l50k 30k4+542-4+54225左 2 30上 2 34+5/-4+5/小 故 51Msi5 即 闷 4 3.综 上，一 3“1 或 1AW3.（三）最 值 2例 3.（1）12021高 考 全 国 乙 卷 文 11 设 B 是 椭 圆 C:1-+y2=l的 上 顶 点，点 在 C 上，则 的 最 大 值 为()A.-B.A/6 C.6 D.22【答 案】A2【分 析】设 点 尸(X。，%)，由 依 题 意 可 知，5(0,1),+y：=l,再 根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 得 到 然 后 消 元，即 可 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 大 值.2【解 析】设 点 P(/,%)，B(0,l),9+尤=1,PBf=片+(%-if=5(1%)+(%-以=-4y：2%+6=4 1 g)+等.而 一.当%=；时，|啊 的 最 大 值 为 故 选 A.【名 师 点 睛】本 题 解 题 关 键 是 熟 悉 椭 圆 的 简 单 儿 何 性 质，由 两 点 间 的 距 离 公 式，并 利 用 消 元 思 想 以 及 二 次 函 数 的 性 质 即 可 解 出.2 2(2)【2021新 高 考 I卷 5】已 知 后，鸟 是 椭 圆 C：2+二=1的 两 个 焦 点，点 M 在 C 上，9 4则|M用 国 的 最 大 值 为()A.13 B.12 C.9 D.6【答 案】C【分 析】本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 至 制+|*|=2。=6,借 助 基 本 不 等 式 函+|“闾 即 可 得 到 答 案.I 2)【解 析】由 题，片=9,=4,则|加 耳|+|明|=2。=6,：.M F-M F2 0,60)的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于。，E 两 点，若 O D E 的 面 积 为 8,则 C 的 焦 距 的 最 小 值 为)A.4 B.8 C.16 D.32【答 案】Br2 v2 力【思 路 导 引】C：与 一 方=1（。o,匕 o），可 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 y=-x.与 直 线 x=a 联 立 方 程 求 得。，E 两 点 坐 标，即 可 求 得|。,根 据 A Q D E 的 面 积 为 8,可 得 a。值，根 据 2c=2值 7，结 合 均 值 不 等 式，即 可 求 得 答 案.r2、,2 A【解 析】；C：之-4=130,b0）,.双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 是 y=x,a b a2 2.直 线 x=a 与 双 曲 线 C:5-4=1（“0,。0）的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于。，两 点，a-bx=ax c i不 妨 设。为 在 第 一 象 限，E 在 第 四 象 限，联 立 b，解 得，故。（。/），y=x y=t ax=ab，解 得,y=xa联 立 x a,故 E(a,b),|瓦)|=助，y=-bA O D E 面 积 为：SA L-i ODF=ax2b=ab=S.2 2双 曲 线 C:=-=l(a0,60)a-b其 焦 距 为 2c=2必 7 2 2月=2 灰=8,当 且 仅 当 a=8=2&取 等 号，C 的 焦 距 的 最 小 值：8,故 选 B.【专 家 解 读】本 题 的 特 点 是 注 重 双 曲 线 的 基 本 应 用，本 题 考 查 了 双 曲 线 的 定 义、标 准 方 程 及 其 几 何 性 质，考 查 数 学 运 算、直 观 想 象 等 学 科 素 养.解 题 关 键 是 解 题 关 键 是 掌 握 双 曲 线 渐 近 线 的 定 义 和 均 值 不 等 式 求 最 值 方 法,在 使 用 均 值 不 等 式 求 最 值 时，要 检 验 等 号 是 否 成 立.【变 式 1】【改 变 条 件】已 知 F 为 抛 物 线 C：）2%的 焦 点，过?作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 h，h，直 线/i与 C 交 于 A、8 两 点，直 线/2与 C 交 于。、E两 点,则|AB|+|DE 的 最 小 值 为（）A.16 B.14 C.12 D.10【答 案】A【解 析】设 4?倾 斜 角 为。.作 A（垂 直 准 线，垂 直 x 轴,易 知，|AF|-cos0+|GF|=|A,|（几 何 关 系）|A&|=|AF|（抛 物 线 特 性）|GP|=p_p/.|AF|-cos6+P=|AF|,同 理|AF|=-,|BF|=-,1-COS0 1+COS 02P-cos2 02Psin2 0Tt DE=彳-r-=又。与 A B 垂 直，即。石 的 倾 斜 角 为 万+夕，1副 2 0+夕）c o s 6-而 V=4x,B|J P=2.：.AB+=2P+-1 1 1 1 sin2 0 cos取 sin24-cos20 _ 4=-sin2 E|最 小 值 为 16.故 选 A.sin-20 4【名 师 点 睛】对 于 抛 物 线 弦 长 问 题，要 重 点 抓 住 抛 物 线 定 义，到 定 点 的 距 离 要 想 到 转 化 到 准 线 上，另 外，直 线 与 抛 物 线 联 立，求 判 别 式、书 达 定 理 是 通 法，需 要 重 点 掌 握.考 查 到 最 值 问 题 时 要 能 想 到 用 函 数 方 法 进 行 解 决 和 基 本 不 等 式.【变 式 2】【改 编 条 件 和 结 论】设。为 坐 标 原 点，P 是 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 2=2px（p 0）上 任 意 一 点，M 是 线 段 P F 上 的 点，且 则 直 线 0 M 的 斜 率 的 最 大 值 为（）6 2 V2A.B.-C.D.13 3 2【答 案】c【解 析】设 尸（2p*,2p/）,M（x,y）（不 妨 设/（）,贝 IJ方=2 0 2-券，22/）=%+与 3 3y 3 由 已 知 得 丽 而，.，3，(k()M)max=y-故 选 C【变 式 3】【改 编 条 件 和 结 论】已 知 E 为 抛 物 线 y2=x 的 焦 点，点 A,B 在 该 抛 物 线 上 且 位 于 X轴 的 两 侧，0A 0B=2（其 中 0 为 坐 标 原 点），则 AFO与 a B F O 面 积 之 和 的 最 小 值 是（）A.B.史 C.也 D.a8 4 2【答 案】B【解 析】由 题 意，设 4 a 2,。），（ab ab=2,-1 1 1又.尸 为 抛 物 线 y2=x 的 焦 点，工 尸（一,0）,.S MFO+SM F O=-X x M a|,4 2 4V h-a|2=a2+b2-2ah-2ah-2ah-4ab-8,当 且 仅 当 a=时，等 号 成 立,I 8a lmin=2/5，；（5必-0+ABFO）min 例 4.2021高 考 全 国 乙 卷 文 20】己 知 抛 物 线。：尸=2*（0）的 焦 点 为 尸 到 准 线 的 距 离 为 2.（1）求。的 方 程；（2）己 知。为 坐 标 原 点，点 P 在 C 上，点。满 足 所=9所，求 直 线 O Q 斜 率 的 最 大 值.,1【答 案】（1）y2=4x；（2）最 大 值 为 二.3【分 析】（1）由 抛 物 线 焦 点 与 准 线 的 距 离 即 可 得 解；（2）设。（玉）,%）,由 平 面 向 量 的 知 识 可 得（10/-9,10%）,进 而 可 得=25也 士 9,再 由 斜 率 公 式 及 基 本 不 等 式 即 可 得 解.10【解 析】（1）抛 物 线 C:y2=2px（p 0）的 焦 点 准 线 方 程 为 尤=一,/2由 题 意，该 抛 物 线 焦 点 到 准 线 的 距 离 为-J=p=2,，该 抛 物 线 的 方 程 为 y2=4 x.设。(毛,%),则=9炉=(9 9%,9%),尸(10/-9,10%)，由 P 在 抛 物 线 上 可 得(10%)2=4(10%9),即/=25；;9,k)。.1)。.直 线。斜 率、x0 25y；+9 25y：+9，10卜 10当 先=时，殳=；当 No H 0 时，。25y+,%9当 先。时，250+2%=30,此 时,当 且 仅 当 9 325%=一,即%=时，等 号 成 立；当 为。时，无 0.综 上，直 线 O Q 的 斜 率 的 最 为 5大 值 为.3【点 睛 关 键 点 点 睛：解 决 本 题 的 关 键 是 利 用 平 面 向 量 的 知 识 求 得 点 Q 坐 标 的 大 系，在 转 化 斜 率 时 要 注 意 对 先 取 值 范 围 的 讨 论.2 2【变 式 1X改 编 条 件 和 结 论】在 平 面 直 角 坐 标 系 xOv中，已 知 椭 圆 C：j+2=13*0)a b的 离 心 率 为-,2椭 圆 C 截 直 线 y=l所 得 线 段 的 长 度 为 2夜.(1)求 椭 圆。的 方 程；(2)动 直 线/：尸 质+见,*0)交 椭 圆 C 于 A,B 两 点,交 y 轴 于 点 M.点 N 是 M 关 于 O的 对 称 点，O N 的 半 径 为|NO|,设。为 A B 的 中 点，DE,Ob 与。N 分 别 相 切 于 点 E,F,求/E Q 尸 的 最 小 值.【解 析】（1）由 椭 圆 的 离 心 率 为 X,得=2（一），22 2又 当 y=l 时，x2=a2-,得/一 与=2,.=41 2=2,因 此 椭 圆 方 程 为 三+汇=1.4 2（2）设 A（和 y）,如 2,%）,联 立 方 程 厂 dx+2y=4得（2人 2+1）X2+Akirvc+2m2-4=0,由/0得/4公+2.（*）4km 2m且“寸 赤 r 因 此 y+%=E 芈 2 公+1 2k2+又 N（0,，.|ND=（一 当 f+整 理 得 1 1 2k2+2k2+i陷 2=病（1+3匕 忙）1 1（2公+1）2.2 黑 二 普 等 令”8攵 2+3,2 3,故 兼 2+1=二,4阿（1+。+2t人 y t 1,.y,=1 1.当 23时，y 0,从 而 丁=1+；在 3,+8）上 单 调 递 增，因 此 等 号 当 且 仅 当 t=3 时 成 立，此 时 左=0,t 3.段 L41+3=4,由（*）得-0 1）上 两 点 A,B 满 足 而=2万，则 当 机=时，点 8 横 坐 标 的 绝 对 值 最 大 为.【答 案】5【解 析】试 题 分 析：先 根 据 条 件 得 到 4,8 坐 标 间 的 关 系，代 入 椭 圆 方 程 解 得 8 的 纵 坐 标，即 得 8 的 横 坐 标 关 于，”的 函 数 关 系，最 后 根 据 二 次 函 数 性 质 确 定 最 值 取 法.试 题 解 析：解 法 一：显 然 直 线 的 斜 率 存 在，设 直 线 A B 的 方 程 为：y=kx+l,y=kx+1,联 立 方 程 2 2 可 得（1+4二）/+8 左+4-4根=0 x+4 y=4 m记 A（X|,y）,B（x2,y2）,则.+/=一，=降 1+4 公 当 取 最 大 值 时，公=；，此 时 m=5.解 法 二：令 B(2ym cos 0,Vm sin.丽=2而,则 A(-4Vm cos 0,3-24m sin(-4 cos)/_、2/.-F(3 2lm sin 0j=m，B P2后 sin”，,-.4/=82+|,即 xj=_尤+，吁 2,当 团=5 时，点 8 横 坐 2 2 J 8 4 2 4标 的 绝 对 值 最 大.【名 师 点 睛】解 析 几 何 中 的 最 值 是 高 考 的 热 点，在 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 中 经 常 出 现，求 解 此 类 问 题 的 一 般 思 路 为 在 深 刻 认 识 运 动 变 化 的 过 程 之 中，抓 住 函 数 关 系，将 目 标 量 表 示 为 一 个(或 者 多 个)变 量 的 函 数，然 后 借 助 于 函 数 最 值 的 探 求 来 使 问 题 得 以 解 决.【数 学 思 想】数 形 结 合 思 想.分 类 讨 论 思 想.转 化 与 化 归 思 想.【温 馨 提 示】对 于 参 数 的 取 值 范 围 问 题，要 能 从 几 何 特 征 的 角 度 去 分 析 参 数 变 化 的 原 因，谁 是 自 变 量,定 义 域 是 什 么，这 实 际 是 函 数 问 题，要 学 会 用 函 数 的 观 点 分 析 这 类 问 题.【典 例 试 题 演 练】一、单 选 题 1.(2022河 北 沧 州 高 三 月 考)已 知 点 P 为 抛 物 线 V=4x上 一 动 点，A(l,0),3(3,0),则 ZAPB的 最 大 值 为()A.-B.-C.-D.-6 4 3 2【答 案】B【分 析】先 讨 论 x=l和 x=3两 种 情 况，解 出 N 4 P 3；进 而 讨 论 且 X W 3 时，利 用 直 线 的 到 角 公 式 结 合 基 本 不 等 式 即 可 求 得.【解 析】根 据 抛 物 线 的 对 称 性，不 妨 设 尸(x,y)(y0),若 x=I,则 尸(1,2),PA=2,I AB 1-2,tanN4PB=5=1=NAP8=j；若 x=3,则 P(3,26),|PB|=26,|AB|=2,二 tanNAPB=半=若 X H 1 且 x/3,此 时 尸 2且 二 2百，y_y_：.tan ZAPB=_ 1 1-x-4 x+3+y-x-3 x./=4 x,tan ZAPB=-/+316 2 2i 3 3=i 3 i i r-y H y H-1-1 16 y 6 y y y-2-=i/1 3 1 1 1V16-y y y则。S P B 建，当 且 仅 当 尸 2时 取 f7T而 行 2,：.0 Z A P B-.4综 上：6 8 的 最 大 值 町.故 选 B.2y 2tan/A PR=_【点 睛】本 题 核 心 的 地 方 在“-1V4+3-1V3+316 16 y21:1 i T”这 一 步,16 y y y2y-2首 先 分 式“J_ 4+3 _ _ 1 3+3”的 处 理，上 下 同 除 以 y（一 次）；其 次 在 用 基 本 不 等 式 时，16）-16）y-1“1 3 3*1*1*1”这 一 步 的 拆 分，三 个 式 子 一 定 要 相 同（一），否 则 不 能 取 得 16 y y y）2.（2022广 东 实 验 中 学 高 三 月 考）若 直 线 y=fcv+2与 双 曲 线*2-y=6 的 右 支 交 于 不 同 的 两 点，则 左 的 取 值 范 围 是（）儿（一 半,半）B.（0,平）C.（一 半,0）D（一 半,一 1）【答 案】D【分 析】根 据 双 曲 线 的 方 程 求 得 渐 近 线 方 程，把 直 线 与 双 曲 线 方 程 联 立 消 去 y,利 用 判 别 式 大 于。和/：0 rk T k 0 A=（4k）-4 0（公 一 i）o 3二 一 IwO3.（2022安 徽 省 怀 宁 中 学 高 三 月 考（文）已 知 抛 物 线 C：/=2刀（p 0）的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 2,点”（苍 方），N（w，%）在 抛 物 线 C上，过 点 M,N 作 抛 物 线 C 的 切 线 6，4,其中 4,4，4，4 不 与 坐 标 轴 垂 直，直 线 4，4 交 于 点 L，若 直 线 M N 过 点（0,1）,贝 I 当 ADWN的 面 积 最 小 时，X,+X2=（）B.1 D.-2【答 案】C【分 析】由 已 知 条 件 求 出 P=2,设 直 线 M N 的 方 程 为=履+1,与 4y联 立 可 得 xt+x2=4k,x内=-4,由 导 数 的 几 何 意 义 求 出 两 条 切 线 的 方 程，由 两 切 线 方 程 求 出 点 L 的 坐 标，利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 出 A M N 的 高，由 弦 长 公 式 求 出|MN|,计 算 AL M N 的 面 积 结 合 函 数 的 性 质 求 出 面 积 的 最 小 值 即 可 求 解.【解 析】抛 物 线 C：f=2 刀（p 0）的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 2,，P=2,直 线 M N 过 点（0,1）,设 直 线 M N 的 方 程 为 y=h+1,（y=kx+由 4 2）可 得/一 4 一 4=0,.%+工 2=4 攵，x,x2=-4,x=4y由 x=4y 可 得 y=a r，y=/x，,在 点 处 的 切 线 方 程 为：y-y=g 石（1-西）即）一；工：（工-为），.二 同 理 可 得 在 点 N（N，M）处 的 切 线 方 程 为：y=1x,-x-ix22,.点 L（2k,T）到 直 线 M N：-y+l=0的 距 离 二 笔=:？71?,|MN|=yJk2+|-%2|=2+,里+灯）2-4中 2=2+1,16=+16-4（2+1）,ALMN 的 面 积 为 S=；|MN|-d=；x4伏 2+1）X2/7T=4俨+中,.当 2=0时，1 M N 的 面 积 最 小，此 时 占+=0,故 选 C.2 24.（2022江 西 景 德 镇.模 拟 预 测（理）已 知 椭 圆 C：工+二=1上 有 一 动 点 E（异 于 顶 点）,点 F、G 分 别 在 x、y 轴 上，使 得 E 为 F G 的 中 点，若 x 轴 上 一 点“，满 足 F G _LE，则|G川 的 最 小 值 为（）A.3 B.-/5 C.-V5 D.53 5【答 案】B【分 析】设 G(0,，)/(,0)且 犯 R O,可 得&=),由 点 在 椭 圆 上 有 M=1 6-，进 而 2 2 99-)求 坐 标，由 题 设 易 知 B 阳=!“上|箸|,最 后 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值，注 意 等 号 成 立 条 件.)2此 时 直 线 族 为 y=K(x-1)+:,故 H(匚 也,0),m 2 2 2n2 2由 即 E”是 G 尸 垂 直 平 分 线，则|G|=|HF|=|与 f-L综 上，|G|=E+当，当”0 时，|GW|=-+2./-=,当 且 仅 当=呸 叵 时 1 1 n 18 1 1/7 18 V/7 18 3 5等 号 成 立，当 2.!(-)-(-)=,当 且 仅 当-叵 时 等 号 成 立,1 1 n 18 V n 18 3 5的 最 小 值 为 半.故 选 B.5.(2022全 国 高 三 期 中)已 知 椭 圆 二+卫=1(a b 0)的 离 心 率 为 巫，耳,居 分 别 a2 b2 2为 椭 圆 的 左、右 焦 点，A 为 椭 圆 上 一 个 动 点.直 线/的 方 程 为 法+4-。2-从=0,记 点 A 到直 线/的 距 离 为 d,则 4-|伍|的 最 小 值 为(）A.当 一 2 3B.迪 2。3C.玛 一 3D.正 b+a3【答 案】A【分 析】由 椭 圆 的 定 义 与 椭 圆 的 几 何 性 质 结 合 点 到 直 线 的 距 离 求 解 即 可【解 析】在 椭 圆 上,：.AF+AF2=2at：.d-AF21=d _（2Q_|A6 I）=d+1 AF；|-2 Q；当 A，/时，d+|A 4|取 得 最 小 值，最 小 值 为 月 到 直 线/的 距 离,又 到 直 线/的 距 离 d=-b c-a2-b2-b2-2 b2-b2 4百，_ _ _ _ _b6+护&3(d-I A F2 Dmin=b-2 a，故 选 A.o 26.(2022浙 江,模 拟 预 测)己 知 椭 圆?+菅=1上 有 一 动 点 M(异 于 顶 点)，点 尸，Q 分 别 在 x,y 轴 上，使 得 M 为 P Q的 中 点.若 x 轴 上 一 点 R 满 足 P Q L M R,则()A.无 最 小 值，无 最 大 值 B.有 最 小 值，有 最 大 值 C.无 最 小 值，有 最 大 值 D.有 最 小 值，无 最 大 值【答 案】A【分 析】设 M(2 co sa,若 s i n a),求 出 H Q,R的 坐 标，计 算|。/=|冏，由 对 称 性 不 妨 设 M在 第 一 象 限，并 设 f=c o s a,这 样 换 元 后 利 用 函 数 的 单 调 性 判 断 最 值 情 况.2 2 2【解 析】M 在 椭 圆 二+二=1,设 M(2 c o s a,V is in g),a(0,2 1)且 a w7 且 a w 且 4 3 2 2a 手 冗、乂 点 R。分 别 在 x,y 轴 匕 使 得 何 为 P Q的 中 点，则 P(4 co sa,0),0(0,4 sin a),k p Q_ 4/3s in a-0O-4cos0=一 6 tan a，设 R（x,。），.W.（_/t a n a）=-l，=2 c o s%-3 s in%2 cos a-x cos a 八 N in z 4 2cos2 a-3 s in2 a 2cos2 a+3sin2 a|2/?|=|?P|=4 cos a-=-3-c o s2 a|cosa|jr由 对 称 性，只 要 讨 论 M 点 在 第 一 象 限 即 可，即 不 妨 设 a e(O 5)，2以|=3*2a,设 f=cos，e(0,l),/)=三/=3-r在(0,1)上 是 减 函 数，因 此/cos a t t在(0,1)上 无 最 大 值 也 无 最 小 值.即|QR|无 最 大 值 也 无 最 小 值.故 选 A.7.(2022浙 江 模 拟 预 测)已 知 椭 圆+/=l(ab0)右 顶 点 为 42,0),上 顶 点 为 B,该 椭 圆 上 一 点 P 与 A 的 连 线 的 斜 率=-；,”的 中 点 为 E,记。E 的 斜 率 为 自 E，且 满 足 坛 E+4勺=0,若 C、。分 别 是 x 轴、y 轴 负 半 轴 上 的 动 点，且 四 边 形 的 面 积 为 2,则 三 角 形 COZ)面 积 的 最 大 值 是()A.3-2夜 B.3+2正【答 案】A【分 析】D 3-2 及 2C.2-V2求 出 直 线 方 程，与 椭 圆 方 程 联 立，表 示 出 点 E 坐 标，即 可 根 据 后 E+4 K=0 求 出 b,根 据 四 边 形 的 面 积 结 合 基 本 不 等 式 可 求.【解 析】由 题 意 知：a=2,直 线 R 4 的 方 程 为 y=-；(x-2),联 立 方 程 0,0,则 由 四 边 形 A8CZ)的 面 积 为 2,有 5 m+2)(+1)=2,即+机+2=2,由 基 本 不 等 式 得/+/+2=2之+24m(2),yfntn/2,从 而 三 角 形 COD的 面 积 S=g，*”(2-/)2=3-2&,等 号 当 机=2五-2,”=夜-1时 取 到.三 角 形 COD面 积 的 最 大 值 为 3-2&-故 选 A.8.（2022新 疆 克 拉 玛 依 市 教 育 研 究 所 模 拟 预 测（理）2021年 是 中 国 传 统 的“牛”年，可 以 在 平 面 坐 标 系 中 用 抛 物 线 与 圆 勾 勒 出 牛 的 形 象.已 知 抛 物 线 Z:/=4 y 的 焦 点 为 F,圆 Y+（y-l）2=4与 抛 物 线 Z 在 第 一 象 限 的 交 点 为 卜 喘 J,直 线=与 抛 物 线 Z 的 交 点 为 A,直 线/与 圆 尸 在 第 一 象 限 的 交 点 为 B,则 AE 4 3周 长 的 取 值 范 围 为（）A.（3,5）B.（4,6）C.（5,7）D.（6,8）【答 案】B【分 析】将 抛 物 线 与 圆 方 程 联 立 可 求 得 尸 点 坐 标，由 此 可 知 力 的 取 值 范 围；利 用 抛 物 线 定 义 和 圆 的 半 径 可 将 AEAB周 长 转 化 为 力+3,由 力 范 围 可 得 所 求 周 长 取 值 范 围.【解 析】由 抛 物 线 d=4 y 得：*0,1）,准 线 为 y=-l；