数值分析第四版课后习题答案.pdf

第一章1、设x 0,x的相对误差为3,求I nx的误差。解 设x*0为x的近似值，则有相对误差为；(x)=6,绝对误差为*(x)=廉”,从而 I nx 的误差为 (I nx)=|(l nx*“(x)=二 加=S,相对误差为；(I n x)=皿*=-AI nx I nx2、设x的相对误差为2除 求x 的相对误差。解 设x*为x的近似值,则有相对误差为；(%)=2%,绝对误差为*(x)=2%卜,从而 x 的误差为 *(l nx)=,(x*)=2 ，相对误差为 ；(l nx)=；：|；j)=2。3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是儿位有效数字：x；=1.1 0 21 ,x；=0.0 31,x；=38 5.6,x；=5 6.430,x；=7 x 1.0。解x；=1.1 0 21有5位有效数字；x；=0.0 0 31有2位有效数字；x；=38 5.6有4位有效数字；x；=5 6.430有5位有效数字；x；=7 x 1.0有2位有效数字。4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限，其中x：,x；,无;,x；均为第3题所给的数。/1 *辛 辛(1 )匹 +%+%；e*(x：+X；+*；)=萼 卜(X；)=()+(X；)+(X；)解 .=-x l 0-4+-X 1 0-3 4-l x l O _3=1.0 5 x l 0-32 2 2(2)x；x；x；*/*、d f/*、/*、/*、/*、/*、/*、,*、e(七4 乙)二Z 丁 (%)=(X2X3)(演)+(x/3)(Z)+(x/2)()k=7 (0.031x385.6)-xl0-4+(1.1O21X385.6)-X1O-3+(1.1O21XO.O31)-X1O-3；2 2 2=0.59768 X10-3+21 2.48488 xl0-3+0.01708255 x 10-3=213.09964255 xlO-J=0.21309964255(3)%；/x；。e*(%；/%；)=k=(x：)=r (芯)+?)(%；)乙(乙)解 八,x L l k+O 3 l,xLl。56.430 2(56.430)2 2*4 6 1 x_LxI。、=0 88654x107(56.430)2 25、计算球体积要使相对误差限为现，问度量半径R允许的相对误差是多少？4*(1%(/?*)3)解 由 1%=；(兀(R*)3)=-可知，3 加*)3*(g(R*)3)=l%x g%(R*)3=:%(R*)3 *(/?*)=4乃(R*)2X*(R*),从而 (R)=1%X-R,故 ；(R*)=*f)=1%X =-o3 R 3 3006、设 公=2 8,按递推公式匕=匕1-高(=1,2,-一)计算到匕0 0,若取V783 27.982(五位有效数字，)试问计算匕皿将有多大误差？解 令匕表示，的近似值，e*(%)=匕一匕，则e*(y0)=0,并且由匕=匕 一 看 X27.982,/=一 击*历 可 知，Yn-Yn=；_I_yn_1_-l_x(27.982-V 783),即e*(y)=e*(%T)-焉 X(27.982-7783)=e*(Yn_2)一 高 x(27.982-A/783)=，从W/(yiOo)=*()-(27.982-7783)=7783-27.982,而-27.9 8 2 “)=工-打，则由卜。=及 与J”=1。-Tv =14 1 1 可知，*(%)=彳 Xi。-工-%=1 0(-h1)，即口=10九-1-1 2*(%)=10*(y,T)=10*(y。),从而*(乃0)=101*(汽)=10隈3 1 0-2=91 0 8,因此计算过程不稳定。12、计算/=(&-1)6,取0=1.4,利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？(V2 +1)6(3-2扬 3-L,9 9-7 07 2 o(3+2 V2)3解因为 *(/)=；x l()T ,所以对于 =(V2 +1)6e*(/；)=M|e*(L4)=x,xl OT=6.5 4X1(T 1*1()-2,有一位有效数字I 1 I (1.4 +1)7 2 2对于=G-2/儿(/2)=|/2y(1.4)=6(3-2 x 1.4)2x 1 x 10-1=0.12 x 10-1 1 x l 0-1,没有有效数字；对于八=(3+2扬 3e*()=L|e*(L4)=-Tx-x l O-l=2.6 5 X10-3 -x l0-2,有一位有效数3 T I (3+2 x 14)4 2 2字；对于=99 7 0匹，e*()=e(L4)=7 0 x g x l()T =35X1()T g x l()i ,没有有效数字。13、/(x)=ln(x-A/X2-1).求/(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式i m x-T 7=Tx-ina+TT%)计算，求对数时误差有多大？解 因为,3()2 一 1=次 旃=2 9.9 8 33(六位有效数字)，f*(x)=-X10-4,所以2e*(/i)=(/：)*e*(x)=-1t-x-x l O(3 0-V302-1)2-1-x-x l O-4=0.2 9 9 4 x 10-230-2 9.9 8 33 2e*(32)=|(/2 )e*(x)=-x +x-x l O-42-1-x 1x l()T =0.8 336 x l()F30+2 9.9 8 33 214、试用消元法解方程组X+i n10 r =i n10 2，假定只有三位数计算，问结果是否X1+工2 =2可靠?解 精 确 解 为X =1 A1 0 1 A10 _ 7T ，2=二。当 使 用 三 位 数 运 算 时，得到10-1 2 10,-1xx=l,x2=1 ,结果可靠。15、已知三角形面积，=,出!1。，其中c为弧度，0 c s i n c|A a|dXk 21 a2+s i n c c o s c|A c|,；b s i n c +1一 s i n e2+-abcosc2所以1 absincA c+Nbb+A ct a n c n(x-Xj)证明 由 =：.j=可得求证。n-l=V,T(Xo，X D X,L i n(x-X j)j=o2、当x =l,-l,2时，/(x)=0-3,4,求/(x)的二次插值多项式。(x-x)(x-x2)(x-x0)(x-x,)(X-Xo)(X-X|)L,(x)=y0-!-=-+y,-=-+y,-(x0-x,)(x0-X2)(X|Xo)(X|一/)(x2-x0)(x2-X1)r*-i (x+l)(x 2)(x l)(x 2)(x l)(x +1)解=0 x -+(-3)x -+4 x -(1+1)(1-2)(-1-1)(-1-2)(2-1)(2 +1)=-(%2-3x +2)+(x2-1)-x +x 2 3 6 2 33、给出f M=In x的数值表用线性插值及二次插值计算In 0.5 4的近似值。X0.40.50.60.70.8In x-0.9 16 2 9 1-0.6 9 314 7-0.5 108 2 6-0.35 7 7 6 5-0.2 2 314 4 解 若取 为=05,%,=0.6 ,则%=/(/)=/(。5)=-0.6 9 314 7,y,=/(%,)=/(0.6)=-0.5 108 2 6,则L*.(/x)、=yx x.x xn,x 0.6 /s ee/x _ 0.50-+y.-=-0.6 9 314 7 x-0.5 108 2 6 x-1 Xo-/-1 x,-x0 0.5-0.6 0.6-0.5 ,=6.9 314 7(x-0.6)-5.108 2 6(x -0.5)=1.8 2 32 lx -1.6 04 7 5 2从而 L,(0.5 4)=1.8 2 32 lx 0.5 4-1.6 04 7 5 2 =0.9 8 4 5 334-1.6 04 7 5 2 =-0.6 2 02 18 6。若取3 =0.4 ,x,=0.5 ,x2=0.6 ,则 氏=f(x0)=/(0.4)=-0.9 16 2 9 1,%=/(/)=/(0.5)=-0.6 9 314 7,y2=/(x2)=/(0.6)=-0.5 108 2 6 ,则,、(j-x.X x-x J (x-x0)(x-x2)(%-%0)(%-%)L,(x)=y()+y2(x0-X)(x0-x2)(x,-%0)(%,-x2)(x2-x0)(x2-x j=-0.9 16 2 9 lx (x-5Xx-6)+(-0,6 9 314 7)x(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)+(-0,5 108 2 6)x *一 04)(x-0-5)(0.6-0.4)(0.6-0.5)=-4 5.8 14 5 5 x(x2-1.lx +0.3)+6 9.314 7 x (x2-x +0.2 4)-2 5.5 4 13(r -0.9 x +0.2)=-2.04 115 x 2 +4.06 8 4 7 5 x -2.2 17 09 7从而&(0-5 4)=-2.04 115 x 0.5 4 2 +4.06 8 4 7 5 x 0.5 4 -2.2 17 09 7=-0.5 9 5 19 9 34 +2.19 6 9 7 6 5-2.2 17 09 7 =-0.6 15 319 8 44、给出c o s x,0 Wx 9 0的函数表，步长力=1 =(1/6 0),若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求c o s x近似值时的总误差界。解 设插值节点为/X X =/+/?,对应的C O S X值为先,必，函数表值为了0，不 则由题意可知，瓦焉|()一 歹0)+(y i 2!x0.X x-x0C O S J/、/、/_ x x-x./_ x X-XG 7 X=一 一-(x-x0)(x-x,)+(y0-y0)-+(%一%)-,穴(x()，x J2%一七%,-x0,从而|R(X)K 1 c o s J(X-x0)(x -X|)|+瓦一 y0|A _A +一 y jx -x0 (X-Xg)(x_ X)+x l O XX-X,1 5 x-x。-+-X 1 0 x-人 一 匹 21 h2-2 4+-X 1 0-52=-x+-X10-5=-x 6.9 4 x l 0-5+-X 1 0-5=3.4 7x 1 O-52 14 4 00 2225、设占=%()+劭，k=1,2,3,求 m a x，2(x)|x0-x-x2m a x|/2(x)|.VQA*(X-Xo)(X-X|)(X-X3)m a x-!-:%(x2-x0)(x2-Xj)(x2-/)解=m a x(x x0)(x x0 h)(x x0 3 h)(2/2)A(-/2)=y m a x (x-x0)(x-x0-=(x -x0-3/i)|f(x)=(x-x0X x-xQ-h)(x-xQ-3A)令，则=x (3XQ+4/?)x +(3x j +8/?+3 h )x (x(：+4/z x j +3 h )fx)=3x*2-2(3X(,+4h)x+(3x；+8xoh+3 h2),从而极值点可能为6,又因为_(3x0+4/i)V 7/?_ 4 V 7-=X(fl3 34 -y l 4 V 7 1 -1 5 V 7 1 /z-3/(x0 H-h)=-h x-h x-h=(14 V 7 20)/i,3 3 3 3 274 +V 7,、4 +7 7,1 +7 7,7 7 5,1 一 不，3f(xn H-h)=-h x-h x-h=-(20+14 J7)/7，3 3 3 3 27显然/G o +4,h)=(y-x)*，则左侧是/()=(y-x)k的n阶拉格朗日多项式,令 y =x ,即得求证。7 设/(x)e目 且/=/(b)=0,求证 m a x|/(x)|(。一a)2 ma x|/(x)|。_ 2(3x0+4/)74(3x0+4/?)2-12(3x +8xoh+3 h2)解 见补充题3,其中取/（幻=/3）=0即得。8、在-4W x4上给出/(x)=的等距节点函数表，若用二次插值求e 的近似值，要使截断误差不超过1C T6，问使用函数表的步长h应取多少？解 由题意可知，设x使用节点x 0=x/z,再，/=玉+力进行二次插值，则此(x)=(%-X|)(x -x2)插值余项为/,e s=-x-(xt-72)(X-X)X(X +/),Jw (x0,x2)6令 f M =(-1 _ h)(x-x)x-(x1+h)=x3-3 xx2+(3x；-h2)x +x1-h2),则/V)=3x2-6 X X+(3x：-/z2),从而 f(x)的极值点为 x =xi h,故I /.z J V 3,n V 3 V 3.,2V 3 3 而m a x /(x)=-/?.(14-)h-(1-)/2=-A，而e0 3 3 3 9|/?2(x)|m a x|/(x)|/z3=h3,要使其不超过 10,则有6 “0文 秘2 6 9 27,+2+(T“(J4、x+i+(T)(a4、+(T(口4、小 +(T4、)。=2n+2-4 x 2n+1+6 x 2-4x 2-+2-2=16 x 2-32x 2T +24X2T 一 8x 2一+2 证明：Z x=4 v 一八打。j=OJ LI.?一!证明 X x=Z(加一划)=-)()。j=o j=o14、若 f(x)=a0+a,x +-+an_,xn +%x 有 n 个不同实根x”/，怎，证明 x：JO,0 k n-2马 广(乙)=后,k=n-证明 由题意可设 f(x)=an(x-)(x-x2)(x-xn)=a“什(x-x j ,故(=if，(xj)-anY(xj-%,),再由差商的性质1和 3 可知:/=1沏=3=，工 区,，招=富?，从而得证。“(为7，)明 明(i=M j15、证明n 阶均差有下列性质：1)若 F(x)=t/(x),则“XtpXi，,x“=c/Xo，X,七；2)若 F(x)=/(x)+g(x)，则 Fx(),X1,x,=/xo，x”,x,+gxo，x n x,。e F(x)cf(x：)尸 0，芯，x,=-=-网 x f j(X j-巧)f=o/=0 证明 1),由V f(Xj)=CL-=cfx(),xl,-,xn川口-七)i=0Hi(尸(Xj)0 与)2*4+|)2/4!,(4,4+1),并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。Q 解 见 P30与P 33,误差限为。)+hmax园。27 118、X X X X X X X X X X.19、求一个次数不 高 于 4 次的多项式P(x),使它满足P(O)=P(O)=O ,F(l)=PQ)=1,P=1 角 星 设 P(x)=24%4+aix+的/+/，贝U P (x)=4 tz4x3+3a3x2+2a2x +at,再由尸(0)=(0)=0,p(l)=p/(l)=l,P(2)=l可得:0=P(0)=劭0=a八00=/(0)=%0=%1 =尸=a4+a3+a2+a1+0 解得 8 时，e.(x)在以上一致收敛到/(x)。sup/(x)+i n f /(x)解 令处(x)=3当 产巴一，i =l,2,3,*2 1、设/*)=1/(1 +/)，在 5Wx 5上取”=1 0,按等距节点求分段线性插值函数(x)，计算各节点中点处的，(x)与/(x)的值，并估计误差。解 由题意可知，h=,从而当xw x*,x*+J时，/，%(/x)、=fr,1 X X,.+|1 X-Xkklk+fk+L+l =-7-L+-r-l +k-xk-xk+l l +(k+l)-xk+l-xko11=-(X -4+1)*-(x-)h(+k2)/i(i+a+i)22 2、求x)=/在 上 的 分 段 线 性 插 值 函 数/%(x),并估计误差。解 设 将 a,划 分 为 长 度 为h的小区间a =x 0 W X|W W x.=8 ,则当x e x，4+J,%=0,1,2,一1 时,，/一，2 元-4+1 2 XXkIh(%)=f Jk+fk+Jk+=Xk+Xk+XXk+i KfXk+(X 4)一 Xk(X Xk+)_ X(X；+1-年)+4+1 X；Xk+Xk _/.r r Y一8 4+十 4 J 4+1 43-4从而误差为此(X)=萼(f )(x-)=(f-力2故艮（幻|二|（%一九）。一匕+）K彳。2 3、求/。）=/在 鼠”上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解 设 将 划 分 为 长 度 为h的小区间。=与 玉工工%=。，则当xe 民,Z+J，k=0,1,2,，-1 时,/力(x)=fk%+fk+l%+fkBk+fk+lBk+1(X)可Ud（f）+4认二:卜一心r(4)(Q从而误差为 R2(x)=-(x-xA.)2(x-xk+)2=(x-xk)2(x-xk+)2,故网=|（X7*）2（X-X*+1）2归 而。2 4、给定数据表如下：Xj0.2 50.300.390.4 50.5 3yj0.5 0000.5 4 7 7 0.6 2 4 5 0.6 7 08 0.7 2 8 0试求三次样条函数S（x）,并满足条件:1)5/(0.2 5)=1.0000,5z(0.5 3)=0.6 8 6 8 ；2)S(0.2 5)=S (0.5 3)=0。解 由%=0.30-0.2 5 =0.05 ,4=0.3 9 0.30=0.09,h2=0.4 5-0.39 =0.06,h./?3=0.53-0.45=0.0 8,及(8.1 0)式儿=2 7 hJ,T,+/?,J.hhM,(J=1,-1)可知，40.090.05+0.09 4 =0.062/?1 +h 0.09+0.06 54=0.084h2+h3 0.06+0.08 74=%30.0560+h 0.05+0.095-，214 20.094+0.09+0.06 5力2出=0.063h2+/z3 0.06+0.08 7由(8.1 1)式勺+(j=l,一1)可知,g,=3(A1/X0,XI+/1/X1,X2)=39/(x j-/(x )5/(4)-/(花)14%1-%014 x2-Xjc/9 0.5477-0.5000=3x(x-14 0.30-0.255 0.6245-0.5477+一x-个，9 477 5 768、=3 x(x-1 x-)=14 500 14 90014192790.39-0.307000=2.7541g2=3(A2/x1,x2+x/2/%2,x3)=32/(X2)-/(X,)3/(X3)-/(X2)-1-5 x2 x.5 x3-x2=c3 x(z 2 x0_.6_2_4_5_-_0_.5_4_7_7_ 3 x _0_.6_7_0_8_ _ _0_.6_2_4_5、)5 0.39-0.30 5 0.45-0.39)1.,2 768 3 463、=3 x(-x-1 x-)5 900 5 6004x256+3x463131000g3=3(A,/X2,X3+/3/X3,X4)=34/（七）-/区）+3/缶）-/5）7 X3-x27 x4-x3c 4 0.6708-0.6245 3 0.7280-0.6708、=3 x(x-+-x-)7 0.45-0.39 7 0.53-0.45o从而4 463 3 472、=3 x(x-1 x-)=7 600 7 8004x463+9x118 1457 汽 八-=-=2.08141400700251401）矩阵形式为:25235m292.7541-x 1.0000142.4132.11122.413，解得0472m332.0814-X0.686871.78710.9078m2二0.8278m30.6570从而 S(x)=Z y(x)+(x)。j=o2)此为自然边界条件，故V-嚅曾=3 嚼口 62；Sn=3/X“T，X,=3XX“_X_13 x 0.7280-0.67080.53-0.45572=3x=2.145,8002 1 0 0 09 c 5 八八 2 0 014 14矩阵形式为：2 30-2-05 5八 八 4 c 30 0-2-7 740 0 0-27mo-2.862-机0m2.7541仍m2=2.413,可以解得m2,从而机32.0814m3机42.145加4S(x)=yJaJ(x)+mj/3i(x)。j=025、若/(x)eC 2a向，SQ)是三次样条函数，证明1)fx d x-Sr(x)2dx=fx)-Sx)2 dx+2 p 7 x)/7 x)-Sx)dx；2)若/(%,.)=S(xJ(i=0,1,)，式中巧为插值节点，且a-x0 xt -xn-b则 f S(x)(x)-Sx)dx=Sb)fb)-5 W-Sa)fX a)-S 。f/7 x)-S x)2dx+2 f S(x)(x)-Sx)dx=fx)-5*(x)2+2 S x)fx)-S*(x)Jx 解1)=fLT(x)-S(x)+2S(x)(x)-S(x)dx o=f(x)+S(x)(x)-S(x)Mx=f (x)2-Syx)2dx=fx d x-S x d x2)由题意可知，S(x)=A,XG a,b,所以fs (x)(x)S (x)m x=S (x)(x)S (x)：-j (x)-S (x)S (x)dx=Sb)fX b)-Sb)-Sa)fX a)一 S (。)-A fx)-Sx)d x=S S)(b)S 3)S (a)一 S (。)一 A f(x)-S()=1，月=y(xj=e T 可知，/、x-x,x-x0右(x)=y。-L+H-xo _ X X x0=l x l0-1+e xx 0=一 (x-1)+e x =1 +(e-1-l)x余 项 为 叫=空(。)()=.一),8(。,1),故|/?|(x)|-xm a x|e-|xm a x|x(xl)|=g x x；=。2、设/(x)=/,试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。解由插值余项定理，有fC)&(X)=-(X -X。)(x-X|)(x-x2)(无 一 /)=(x+l)x(x-l)(x-2)=(x2-2x)(/-1)=x4-2x3-x +2x4!从而 L3(X)=f(x)-&(x)=x4-(x4-2x3-x2+2x)=2x3+x2-2 x03、设在 a,内有二阶连续导数，求证：-i(z,-fl)2S|rw|0m a x/(x)-(a)+a 助 b-a 证 因为/+/二13d)是以a,b为插值节点的/(x)的线性插值多项b-a式，利用插值多项式的余项定理，得到：/(X)-/()+?一(X 。)=:，G)(x-a)(x-b),从而b a 2max/(x)-/()+/()/()(x-a)】max f -max(x-a)(x-b)a x b b C l 2 a*&b a x bo=1 m a x/O -J(b-aY=/?-a)2 max/(x)2 a b 4 8 a x b4、设/(x)=/+5/+l ,求差商2,21,f20,2,22,/2,2】,2 和/2,2,-,28o 解因为(2。)=/=7,/(2)=/(2)=27+5x23+1 =169,/0 2)=/(4)=47+5x43+1=16705,所以/2 ,2=169-7=162,/为=当 匕 殁=坨 吐 1 =8268,4-2 2/2,2,22-/21,22 23 8268-162=2702,偌。,2“小审八2。,2 小审4皿5、给定数据表：i=1,2,3,4,5,X,12467f(x)41011求 4 次牛顿插值多项式，并写出插值余项。解f一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-34025661!2_47-60710-61-121180由差商表可得4 次牛顿插值多项式为:57N,(元)=4-3(x-l)+(x-l)(x-2)(x-l)(x-2)(x-4)o 60+：(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)1 o(J5 7=4-3(x-l)+(x-l)(x-2)-(x-l)(x-2)(尤-4)o 60+o(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)插值余项为RA(X)=(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)(x-7),Je (1,7)。6、如 下 表 给 定 函 数：i =0,1,2,3,4,X,01234/(X,)36111827试 计 算 出 此 列 表 函 数 的 差 分 表，并 利 用 牛 顿 向 前 插 值 公 式 给 出 它 的 插 值 多 项 式。解 构造差分表:巧/,%及人A4力03320016520211723189427 式与+t h)=fo+r颔 +c D-/o +,由 差 分 表可得插值多项式为：_ 2=3+3f+x 2 =3+3f+fQ-l)=f2+2+32第三章函数逼近与计算1、(a)利用区间变换推出区间为 a,的伯恩斯坦多项式；(b)对/(x)=s in x在 0微 上求1 次和3 次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。解(a)令尤=a+(b-a)f,则 从 而 伯 恩 斯 坦 多 项 式 为B”(九x)=于 也 二%Pk(x),其中鼻(x)=rxk(b-a-x)n-k.(b)令x=则 从 而 伯 恩 斯 坦 多 项 式 为B.(f,x)=j母)P V 其 中&(x)=弓 一 X)-.。k=o 2n)2b(八 幻4樽氏(x)=/即A T+，式H2.H.7C 门(兀)+s in xx=O x x +x =x2(2 JB式f,x)=Ef()Pk(x)k=0。=啕 吗5+吗)伊+吗伊后3 +吟伊导OH.71,71、2 .兀 2/.7 T 3+s in x 3x(-x)-+s in x3x(-x)+s in xx6 2 3 2 2 3 X(,-万-X)2 H-3-g-X2,(不 X、)+X3 =3/(2 X -7D C2 +X 3)、H-3-(，-兀 X 2-X 3.)+X32 2 2 2 2 4 2 2=-x-(2-V 3)x2-(3V 3-5)%38 4 22、求证：(a)当用/(x)WA/时，i n Bn(f,x)M；(b)当/(x)=x 时，Bn(f,x)=x o 证明(a)由 B“(/,X)=/(&)h(x)及 m 可知，A=0 Pk(x)E mPk(x)Bn(f,x)M Pk(x)x (l X)-4 =x x +(l-X)T =X3、在次数不超过6的多项式中，求/(x)=s i n4 x在 0,2)的最佳一致逼近多项式。解 由s i n4 x,x e 0,24 可知，-1 s i n4 x 1 ,从而最小偏差为1,交错点为7T,7T,-7 T,7T,7T,7T,此即为P(X)6的切比雪夫交错点组，从而8 8 8 8 8 8 8 8P(x)是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得尸(x)=0 o4、假设/(x)在 a,以上连续，求/(x)的零次最佳一致逼近多项式。解 令m=i nf f(x),M=s u p/(x),则/(x)=在 a,b 上具有最小偏差石幼 a i x i h 2以二名,从而为零次最佳逼近次多项式。25、选择常数a,使得m a x*一数|达到极小，又问这个解是否唯一？OA1 解 因为x3-。工 是奇函数，所以ma x 1/一 乂 =m a x/一。乂 ,再由定理7可知，oxi -ix=Af(a)+f(x2)+a1(x-a nA?)=s i nO +s i n(a r cco s )+(x-)2 2 2 7T 7T 2五24 2 z 1 2、2，万2 一4 1 2=-+(x a r cco s )=x d-a r cco s 24 乃 2 兀 兀 2万 兀7、求/(外=/在 0,1上的最佳一次逼近多项式。解 由 卬 一-fx2)=eX 1-=e-l 可得 =ln(e-l),从而最b-a 1-0佳一次逼近多项式为y=g (a)+/(2)+卬(X -巴;3 +(e-l)(x-*一。)Op I p p =-+(e l)x ln(e-l)=(e -l)x +-I n(e-l)8、如何选取r,使p(x)=/+r在 fl 上与零偏差最小？r是否唯一？解 由 ma x p(x)=ma x*?+r)=1 +r ,mi n p(x)=mi n(x2+r)=r 可知当与零偏差最小时，+r=r,从而=-L2另 解：由 定 理7可 知，在-1,1上 与 零 偏 差 最 小 的 二 次 多 项 式 为 T2X=(2x2 l)=x ,从而 r =09、设/5)=/+3/-1,在 0,1上求三次最佳逼近多项式。解 设所求三次多项式为A(x),则由定理7可知f(x)-P3(x)=T4(X)=(8 x4-8 x2+1)I I I J从1-8X2+-4X1 1 QP3(x)=/(x)-(x4-x2+-)=(x4+3/-l)-(x4-x2+-)=3X3+X2-1i o、4 r(x)=r(2x-i),x o,i ,求/(x)、T；(X)、r f(x)、r,(x)。解 由，(x)=T“(2x l),x 0,1可知，令x =l +5,r e 1,1,则Tn(g +1)=，w -14 ，从而T：(x)=(x),x e-4x +1),X GP11 k试证T；(X)是在 0,1上带权p =7=二的正交多项式。？yjx X212、在-1,1上利用插值极小化求/(x)=a r ct a nx的三次近似最佳逼近多项式。Dk-1 解 由题意可知，插值节点为co s-兀,(k=123),8即 方 =co s；%,九2=c o s，x3=co s-/r,x4=co s),贝l j可求得(%)。13、设/(x)=e*在 上 的 插 值 极 小 化 近 似 最 佳 逼 近 多 项 式 为L“(x),若有界，证明对任何？1，存在常数&,4，使得%(x)|/(x)-L(x)|闻(x)|(-l x l)o心+1)(&证明 由题意可知小=从而取%mi n|/n+1)(x)|ma x|/(;I O _2(”+l)!，P n-2(+l)!则可得求证。14、设在 一1,1上Q(x)=1-Lx-L-g _3-，3一一，皿/，试将夕(X)降低到2 8 24 38 4 38 4 03次多项式并估计误差。解 因为炉=-17；+二3 一&x,X4=-T4+X2-,所以16 5 4 16 8 4 81029 19 9 3 123 2 5 4 5 3-X-X-X1024 4 09 6 1024 307 20(X)=1-X-X23/-X15-(-32 82438 48 38 4 0 4 16误差为|p(x)-0(x)区+-=2-0.005 6 o11 38 4 16 38 4 0 8 4 09 615、在-1,1利用幕级数项数节约求/(x)=s i nx的3次逼近多项式，使误差不超过 O 005o丫3 Y5 C n r2w+1 解 因为s i nx =x-1-1-1-1 ，取刖二项，得到3!5!(2 +1)!r5 1L5(X)=X-+,误差为卜i nx-A(x)区,=0-。0 0 2,又因为X5-TS+-X3-X,所以3次逼近多项式为16 4 16s i n=；(5/3!5!45、383 27 3X)=X+X16 384 32此时误差为-+-x 7.986xl0-4 求a、b使 ax+b-sinx 2dx为最小，并 与1题 及6题的一次逼近多项式误差作比较。n 冗 储 n _3 兀 解 由 Fldx=,xdx=，X1 dx-,=Rsin xdx-1,1)2 J)8 24 小兀 7 C4 =P x sin xdx=(-x cos x)IJ-R-cosxJx=1,可得7T59nT万2T241a=解得，b 二-(4%)=0.6644兀 Q-U-3)=0.11487Tha18、f(x),g(x)eC a,b,定义(a)(7,g)=f/(x)g(x)dx；(b)(九g)=f/(x)g(x)dx+/(a)g(a)。问它们是否构成内积？解(a)因为/(x)=0=(/J)=j (x)2dx=0 Q/(x)=0,但反之不成立,所以不构成内积。(b)构成内积。用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。解=0.1961因为一 x6,x e 0,1,所 以 =f J x 1,贝U=(；ax，-y x2),+(g/-lax3)a I 1 11112,=(a )H-H-+a+=-+a 13 2 6 2 6a2 3 2 3a2 3若12a 0,则jjx ax 2kx =(x -ax?)d x+(ax?_x)d x =(g ；a)(ga g)=1。同理可知，当-l W a 0 时，jx-ax 21d x =1 ,当 a 1 ,从而当时 W 1时，积分取得最小。21、设/=spal,x,%=spa*”，分别在例,心上求一元素，使其为/e C Ql 的最佳平方逼近，并比较其结果。解由，ld x =l，x d x -y ,卜 2 x =；,可知,由1解 得 =一7,即在火上为b =lxi 00-xmd x =yoo201 x2d x =-,103 202(上 叫/公=，可知,b 104f xl0l-xl0lJ x =b 2031201120212021203ab11031104,解得”99x 201x 202.375.2431 0 3 X 1 0 4，即在0上为,-98x 202x 203 皿一”。b=-=-375.148104x 103(375.243-375.148)o22、/(x)=W在-1,1上，求在的=span.x21,x)上的最佳平方逼近。解由|x px =x d x +/x d x=1 ,/=x3d x +x3d x =x5d x=；可知,从而最佳平方逼近多项式为(p(x)=23 M(X)=2325232527252729105128 64 128,4，解得15C I-128,2 1 0b=-128105c -128是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系sin (/?+l)arcco s%2a旦+些/X,川(x)=2x un(x)-_1(x)。iiE明 令犬=co s。，贝U2X M(X)-M_I(x)=2xsin (/?+1)arcco s x sin(/?arcco s x)Jl-x271c 八 sin (n +l)6 sin(n )2 co s sin (z?+1)-sin(n 0)=2 c os 6-=-sin 0sin。sin。sin(n +2)6+sin(n f f)-sin(6)sin(+2)6-=-=usin 6sin 924、将/(x)=sin gx在-1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。YC 8 解 若按照切比雪夫多项式展开sin 2 =&+Z G Z (%)，其中2 2 y=2sin Bl co sA阳&k=0,1,2,-；若按照勒让德多项式展开,山 2sin =(x),其中4 =生 土，sin土生(x)d x ；从而2*=o 2 1 2即=；in；1加=；(一 2cos 抖=。；3 d v 3 v*H-v-3 i v-4 二 一 sin-=(-2xcos)L-2cos=(-4cos)+4sin L,2 L 2 2 2 2 2 2 2=(-4cos-)+8sin =12sin-6cos 2 2 2 2 2a2a3=g sin(3x2-l)dx=0；=g(sin g(5x3-3x)dx7 1 x A=-2x(5x3 3x)008!.1 X 1 C-2cos (15x2-3)dx=4.cos+f cos(15x2-3)dx2 22=-lcos-+2(15x2-3)sinL-1 2sin-30 xJx-4cos-L+48sin-L-60psinJx2 2 2 27 1 1 v-J y=-4cos+48sin+60(2xcos)!_ 1 -2cosJx2 2 2 2 1 2=-4 cos+48sin+60(4 cos-8sin-)2 2 2 2 27 1 1=-(256cos-432sin-)896cos-1512sin-22从而三次最佳逼近多项式为x3sin =Z 4 A(%)=4 片(九)+34(九)2 A=o=(12 sin 6 cos-)x+(896 cos 15