高考数学真题汇编6-立体几何-(解析版).pdf

立体几何一、选择题1.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积【答案】B【解析】选8由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3,所以几何体的体积为 V=XX6X3X3=9 B.3 22 .平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为 明，则此球的体积为(A)6 (B)(C)4乖 n (D)64 n【答案】B【解析】球半径=J 1 +(、历 =耳,所以球的体积为*(6 =4后，选B.3 .已知正四棱柱A B C O A g CQ中,A B =2,C C =2 及,为CQ的中点，则直线4 G与平面BED的距离为(A)2 (B)6 (C)6 (D)1【答案】D【解 析】连 结AC,8。交 于 点。，连 结。E,因 为O,E是 中 点，所 以 比 A G，且。=；A G，所以4G H B D E,即直线A C,与平面B E D的距离等于点C到平面B E D的距离，过C做CVL O E于 尸，则CE即为所求距离.因为底面边长为2,高为2女，所以A C =2后，O C =J I C E =后，O E =2 ,所 以 利 用 等 积 法 得 6 =1 ,选D.4.将正方形（如 图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）(C)IUA(D)【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图A R 是实线5 c 是虚线，故选B.5.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为【答案】D【解 析】由 三 视 图 可 知 这 是 一 个 高 为 1 的 直 六 棱 柱。底 面 为 六 边 形 的 面 积 为支 且 x lx 2 =4,所以直六棱柱的体积为4x1=4,选 D.2易错提示：本题容易把底面六边形看成是边长为1的正六边形，其实只有上下两个边长是1.6.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C,都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.7 .某几何体的三视图如图1所示，它的体积为正视图 侧视图俯视图图1A.7 2万 B.4 8 C.3 0 D.2 4%【答案】C【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积1 ,1 4 ,厂二腺锥+%球体=万+=3 0万，8.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球 B 三棱锥 C 正方体 D圆柱【答案】D.【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除AB C,故选D.9 .设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,及 和 4且长为。的棱与长为正的棱异面，则”的取值范围是(A)(0,V 2)(B)(0,7 3)(C)(1,V 2)(D)(1,拘【答案】A【解析】因为B E;孝则AB=2BF ffFlftj P AB 内过点 X 什 TG J _ P B.C 为乖足.因 为一为f(J A-PR-C为90。，所以平面 2.48 JL平面P BC.乂 平 面-8 n 平面P BC：P B.嘏A G L平面P BC.A G 1 B C .8 C。平 面PA B内 两 条 相 交 直 线P A.A G都垂直，故 8CJL平 面P AB.于是BC L A B，所以底面.18CQ 为正 形.4。=2.P D =!P A+A D2=2 上.8 分设。到平面尸8C 的距离为止因 为.4O1BC.JL4 0 a 平面 P BC.8C u 平面 PB C.故 4 0 平面 P BC./、D两点到平面PB C的距离相等.即4=A G=72.设PD与平面P B C所成的角为a,则sin a=卫-=.P D 2所以PD与平面P B C所成的角为30。.12分解法二：(I)以.4为坐标原点，射线.4C为 x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系幺-xyz.设 C(2 及.0.0),D(V2,h.0),其中 0.则2(0,0,2),R 41,-h,0).2 分于 是 正=(2拉,0,-2),砺=(近.A 2).从 而 无 星=0,3 3 3 3PC DE=0,故 P C 工 BE、P C I DE.又B EC D E =E,所以P C I平面4。(II)万=(0,0,2),A=(丘,-b,0).设/w=(x,y,z)为平面P A B的法向盘，则m AP=0.m AB=0,即 2z=0 且 yfl x-by=0,令x=b,则m=(瓦五,0).设/i=(p,q,r)为平面P8C,的法向砒，则a 京=0,n BE =0.即 22p 2r 0 且$bq+5 厂=。，6 分令 p=1 ,则，=6,q-1 n=(I,y/2).h n因为面尺48J.面 F 8(.M/n 0.即 b-二0,根b=6 ,广是b/J=(I,-1,V 2).丽=(-卮-Ji.2),cos n,DPn DPIWI。户 II-2 丽)=60.因 为PD与平面P 8 c 所成角和 儿 应 因 互 余,故PD与平面P8 C所成的角为30。.12分27.如图，长方体A S C O-4 用G Q 中，底面4 8 1 G o 是正方形，。是 8。的中点，E 是棱AA1上任意一点。(I )证明：B D-L E Q；(I I)如果 A B=2,A E=4 2,O E L E C.,求 A 4 1 的长。【答案】【解析】(I)证明:连接封；.1,：,.由底的足正方形知.冈 为I 1.干血IBCD,H D Q 血所以II,LHI)Z ill l】C M；二 I.所式T而 1 1：,仁PMll AC,Q f面 4 1 J.C M.A 工 E C,.(U)解：i殳U,的长为九连接G.6 K iA O IE IA=7 I.IO=v T.故 必=(v T)(VT)=4.fE R iA A l.C,!1.l,=/i-7 I.I J：t=2v?.牧在 右:(6 )：.(2g)16 IhAO CC,!,.,(：(：t=/i.，：)IN 为E -E C,.所 V X OE KC;=cj.即4.(hQ)(2疗二3区所。I I,的K为3、2.2 8.如图，在三棱锥PABC中，ZA P S =9 0 ,P,Z P A B =60,A B =B C =C4,点 P在平面ABC内的射影。在A3上。(I )求直线PC与平面A B C所成的角的大小；(I I)求二面角6A P C的大小。命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.【答案】【解析】(I)翼玷G由此.为 壮 戈 此 尸|佰 1“所汉曲角.设，的中心为.I；i7；IK r 1(：-C h h；(：7 CD.H因 为/API!=90 X./MK 60。.所以八为即加T 加形.不幼谀 P.2.则 -I.(!,-fy.AH-.li-lTZ Cl)=.2.3.(X：./尸+(：l):-I r 12-,13.fl Ki/.OC7.|.i.i.；x t：f .-以在斑，：所成的角的人小为M F“：；.t(II H I)H：lib：.w J K.M 结 .|j|iLW 4W.C/1;依 据 定理知.un/.(：l：n ；.-2：；-2.故 illi/lj n-A”-(衲大小为 ur lan 2.12 分ftf 法：:(I)汶 J 闿 15,为,这 沾，:.内为 f”；I.i 为 4 W 而.的期影.所以 1,0 1 1;6|.!/.所I fO (.!).il；t/-H l：.iU 为 K.l.ii.W AO H c.从向 OK X/，.-n.，切 机 IZ”为坐标灰所作I俄 分 别为*.：轴让 mm用坐标泵 4：不&女”1 2.|；|.).!：!j J.1，I.n/所崇.3kWfUC/：(.2.7.n.iftjO/1 ().3)力T/l “：拘 f；/.,)；!：.段“为 汽 汶 此 执；讥衣泊ft!.川 1 ；)|0+3|.3划 sin e .-J =1 I C”(/I.1 6-3故 I空戈“：川 血卜.听成的角的人小为:，r.If：=(2.2,3.0).一 一 而 的 个一向心为”=(.V,.V,则1 .V：,1-V；-0.(2.2力 0 _ 0从向”1羽 4 2./3 V,-n.JU.r -3.则、.-i.=I.所n -(-./T J.I).没.向力 W-A 的平面角为6.易知.4为说角.而冏川中泊 个 法 向 泣 为 W=(。/6)*j.I.m.I J3 1+1故.血 向 -,1 -的大小为W 5*分229.已知直三棱柱ABC-AB|G中，A6=4,AC=BC=3,。为A8的中点。（I）求异面直线CG和4 8的距离；（I I）若_ L A C,求二面角A-8一四的平面角的余弦值。【答案】（I ）（I I）-3【解析】（I ）如答（2 0）图 1,因 A C=B C,D为 A B 的中点，故 C D L A B。又直三棱柱中，C Q J.面A B C，故CG CD ,所以异面直线CG和 A B 的距离为C D=JB C2 _ 3 Z）2=右（I I ）：由 C D J _ A8,CD，881,故 C D_L 面,从而 CD，%,C D J.故Z A D 5,为所求的二面角4 C O-用的平面角。因4。是A C在 面4A 6瓦 上 的 射 影，又 己 知A g A C,由三垂线定理的逆定理得A片_L 4 D,从 而NAAg,ZA,DA都 与ZB.AB互 余，因此 幺 AZA.DA,所以A A A BR t A D R t B A,因此一=8A.D AA从而 A,D=AA+A D2=2A/3,BD=%D =2出所以在 A中，由余弦定理得cos ADB.=Q+04 44=-1 1 2A04 3TT如图，在三棱锥尸ABC中，B4_L底 面A B C,。是PC的中点，已 知/区4。=一，2A B =2,AC =2 7 3,9=2,求：（1）三棱锥PABC的体积（2）异面直线BC与 所 成 的 角 的 大 小（结果用反三角函数值表示）p答案1 9.（解）%做=；x 2 x 2、3=2、行，2分二棱惟P-d 8 c的体根为E x尸H=g x 2、3*2 =:、：3.6分3 3”3 3（2）取P B的g点 ,连 接D E .AE,用 D；BC.所以N 力DE（或其分韵）是异忑声城8c巧H。所成的角 分在 H D E 中,D E =2.4 =V 2.AD =2.2?+2：-r 3 3c o s CAD E =-=-,所以/AD E=a r c c o s-.2 x 2 x 2 4 4因此，异面真线8。与.4。所成的角的人小是a r c c o s士.1 2分4【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于 必 修2立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题.30.D如图,在四棱锥 P-AB C D 中,底面 AB C D 是矩形,ADP D,B C=1,P C=2 6,P D=C D=2.(I)求异面直线P A与 B C 所成角的正切值；(II)证明平面P DC _ L 平面AB C D；(III)求直线P B 与平面AB C D所成角的正弦值。【答案】I 耨：如图,在四核怖P-X 8 c。中.囚为底面X 8 C O 是始形.所以.4。改乂闪为 飞、所以.片面在线P A j D C 所成f l!的正切值为2 .(I I )证明：由 F 底面4 次 是 矩 形.故 X O J.C 0.一 .曾、乂由(7 5 n/7)=.囚此X 01.平面P DC.)而4 0 U 平面X 灰7).所以f而P Z X 1 F面A B C D.(Il l)1 H:在平面D D C 内.过此产 作 由,。交i f t 纹。点H K E B.由丁平曲P D C 1 K l f i l A B C D,而fl ti CD/平 面=平 面 面A B C D的2饯.故P 1平面ABCD.由 此将4 P B E为H 我尸 8。乎面ABCD ffi成的角.在A ra,中.由 r=C=45。,所以 ZCZX?,=90.即。C；J.0C.又ZX7DSC-C.所以D C 1平面8 0 c.又ZX；u平面EX；,故平面8 g JL平面ROC.(H)设棱推8-D4CC,的体积为匕，AC=.由题意物匕”=-1 1+2,1X-X I X I a .3 2 2又三梭柱4 8 C-/4 c的体积 =1,所以。，-匕):匕=1:1.故平面BDCt分此棱柱所得两部分体枳的比为1:1.32 如图6,在四棱锥P-AB C D中，P A_ L 平面AB C D,底面AB C D是等腰梯形，ADB C,AC B D.(I )证明：B DP C；(1 1 )若 AD=4,B C=2,直线P D与平面P AC 所成的角为30 ,求四棱锥P-AB C D的体积.p飞上一 7A二X/B C图6【答案】【解析】(I )因为P 4 _ L平面AB C。,8。u平面A8 C D,所以PA LBD又A C _ L 8 D,P A A C是平面P AC内的两条相较直线，所以B DL平面P AC,而PCu平面P AC,所以3 D，P C.(I I )设AC和B D相交于点0,连接P 0,由(1 )知，B D_ L平面P AC,所以ZD PO是直线P D和平面P AC所成的角，从而Z D P O=30.由B D_ L平面P AC,POu平面P AC,知 比)_ L P O.在 R t Z i P O。中，由 N O P O =30,得 P D=2 0D.因为四边形AB C D为等腰梯形，A C B D,所 以 均 为 等 腰 直 角 三 角 形,从而梯形A B C D的高为4A。+,=1 x(4 +2)=3,于是梯形A B C D面积2 2 2S=g x(4 +2)x 3 =9.在等腰三角形A O D中，O D =A D =2五,2所以=2 O D=4五,P A =PDT-ADT=4.故四棱锥 PA 3 C Z)的体积为丫=：x S x P A =；x 9 x 4 =12.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明B D _ L 平 面 P A C 即可，第二问由(I )知，B D，平面P A C,所以ZDPO是直线P D 和平面P A C 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由V =l xS xPA算得体积.33 3 .如图，几何体E-是四棱锥，回)为正三角形，CB=CD,ECA.BD.(I)求证：BE=DE-.(H)若/8笫=12 0。，M为线段熊的中点,求证：平面B E C.【答案】(19)(1)设 班 中点为0,连 接 3,0 E,则由3 C =CD知，C O Y B D,又已知C _ L 3 r,所以如！,平 面 磔：所以8 _ L O E,即施是切的垂直平分线,所以B E=D E.(I I)取 四 中 点N,连接M N,D N ,；M 是 AE 的中点，M N /BE,；四。是等边三角形，DV_ L A 8.由 2 8 勿=12 0 知，Z6 9=3 0,所以a 1=6 0+3 0 =9 0,即 B C _ L A B,用以ND BC,所以平面楸。平面旗G 故 平 面 旗 C3 4 .某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A B C D-A B C D,上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2OA.证明：直线B D _ L 平面A C C 2 A 2；B.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知A B=10,A iB i=2 0,A A2=3 0,A A H 3 (单位：厘米),每平方厘米的加工处理费为0.2 0元，需加工处理费多少元？【答案】19 tv：7）囚力四楼4次7）-,D对仍因兄个T的M 以 44 1 4 8 ,44,-.4.乂因为.4。二 4.所映 f lffl 4次 7j i UffD.国力 R D T而 所以.一 A.14为面A f i t 7坟U：力出,所以AC./).技f；的定义可短.B D 1;1八5 乂限乂12如用血AHCb/中面 A k 而 儆A D A中血R BCD 平白 ABP DC i d u.i u r -g 历以 H 5 8。.让由4%1 HD ,AC.BD .B D|BU.,所以 MDJ.A4。因为A B _ L 平面B 4 O,所以 _ L A 6。因为 A4n A8=A,所以MD_L平面Q 钻，所以E F _ L 平面248。3 6.如图1,在 RtaA B C 中，Z C=9 0 ,I),E分别为A C,A B 的中点，点 F为线段C D 上的一点,将4 A D E 沿 D E 折起到A A D E 的位置，使 A F _ L C D,如图2。求 证:D E 平面A C B；(H)求证：A iF I B E；(I I I)线段AB上是否存在点Q,使 A C,平面D E Q?说明理由。【答案】6)!平面,心而4 F U平面4 X 所以。又因为W F 1C。，所以4 F J平面8CDE.所以4尸，8 (H D线段48上 存 在 点 使 !平面。理由如卜：如图,分别取山0d 8的中点凡0，9APQ/BC.乂因为 D E 8 r.所以 D E H P Q.A所以平面。即为平面C E P.由(I!知,D E，平面 AtD C ,-/所以 J.X C./X X乂 因 为 尸 是 第 腰 三 角 形 底 边4C的中点 C H所以4 C J.O尸.所以4c l平面)/1.从而.C _ L平向QE Q.故线段48上存在点Q,使得，1c 1平面D E Q .3 7.如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥A B C D-A iB iC D 中,A D/7 B C,A D A B,AB=0。A D=2,B C=4,A A =2,E 是 D A 的中点,F 是平面BCE与直线A A i的交点。(1)证明：(i)E F A D；(ii)B A 平面 B C E F；(2)求 B G 与平面B C E F 所成的角的正弦值。【答案】【解析】(1)(i)因为C4/AR,C,又 G A 0 A B：=A，:.胆：_ 平面小8 1.故C a !B A“(|)A B =A 4：=2,收：=乃由(I )知.AC _ L 平面AHA,.Vq.如 X 2 X I .3 9.如图，直三棱柱 ABC A 8 C，A B A C =90,A B =A C =yf2,A AZ=1,点 M N分别为A B和B,C，的中点。(I)证明：MN 平面 A,AC C，;(I I)求三棱锥4 MNC的体积。C,gN（椎体体积公式V=2 S h,其中S为地面面积，h 为高）3【答 案】（1 8）（1）（证注一）连结八V,A C,由如/HAC=9 0 ,AB=A C,二棱注A B C -H B C 为育二棱杵,际以M为A E 中点.乂因为N为B C 的中点.所以 M N/1 C .乂 MNg 平面A/1 C C ,A C uF 面 A A C C ,因此M N/；平而4 A C。.，证法二）取4*中点P.注结M P.N P,6分而M,N 分别为4/T jB C 的中点,所以 MP-AA.P N/AC,所以 M P/平面/I /I C C .P N f 平面 A M C C .又 M P C NP =P,因此Y面M PM?平面4 A C C 1 t MN u平向MPN.囚此MN平附八/1 .6分（n）（解法一）连结8N,由题意“N 一 8 C ,平直4 8 L n F的8 8 C C =C.正以AN 1 K iftlA /iC.又/我=6 =1,放乙,111匕-M、C =%-,”“；=丁 与，A-UC=l/,4 ；,!（.1 2 寸：解法二；,_ 1 z 1 八.V-M V.-；l,r,-N K C I M，A M：=k N d-,2：=7.I 2 八）【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。4 0.如图，在直三棱柱A B C 4线G 中，4耳=AG，。，E分别是棱B C,CG上的点(点。不同于点C),且 A D J _ O E,尸为UG的中点.求证：(1)平面A D E J _ 平面3 C G 8 1；(2)直线 尸 平面A D E.【答案】证明：(1)：A B C AAG是直三棱柱，C G _ L 平面ABC。又：4?u 平面 M C,e g，A。又：A O L O E,CG，OEu平面3CG4，C G f l O E =E,二40,平面BCCB.又：A T u 平面 A D E ,；.平面 A D E J _ 平面 B C C.fi,(2).A g=4 G，F为 AG 的中点，4尸，8。又;c c,i平面A耳e ,且A尸u平面4 B,C,，e g，4尸。又.c q,4Gu平面B C G4，CGn g=C|,尸，平面AMG。由(1)知，4)_ 1 _ 平面8。蜴，4/4)。又ADu平面ADE,A/任 平面A D E，直线 F/平面A D E【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】(1)要 证 平 面 平 面 BCCg,只要证平面 MIE上的A D J 平面BCCg即可。它可由已知A B C-A5G是直三棱柱和相，坦证得。(2)要证直线为尸平面ADE,只要证AF 平面A0E上的AQ即可。4 1.如图,在长方体A B C D-A B C D 中，A B=A D=1,A A.=2,M为棱D D i 上的一点。D、(1)求三棱锥A-M C G 的体积;(2)当 A M+M C 取得最小值时，求证：B M _ L 平面M A C。H A.4-f ,piT ,-，一，PD ，-*、，-，1 9.本小题主要考查立税与有线、直线与平-面的位置关系及几何体的体积等基训知识，考查空间想彖能力、推理论证能力、运算求解能力，考在数形结合思想、化归与转化思 _ _ _ _ _ _ _ J_ _ _ _ _ _ _ 遨(I )由长方体ABCD-AM&知，AD 1 平面 3 0,C i，点 A到平面或“G 的距离等于 1。=1,又 SAMW=yC C,x C D =y x 2 x 1 =1 ,()将儡面绕。3 逆时计转9 0。展开，与侧面八。得小共面 B C(如圉)，当Ai,M,C,共线时，4M+M C取得最小值.f|AD=CD=1,AAt=2,得 M 为 D D中点.连接 GM,在(；(:中，MG=7 2 ,M C=7 2,CCX=2,CC=MC+M C1 2,得上C M G =9 0,即 C M 1 MC,又由长方体 4-AlBiCiDl 知，；C,J L 平面 C D D ,B,C,J.CM.乂 4G C CPW =G.CM 平面 8 1 G ,得 C M 1 B p V;(1)求证：平面D E G _ L 平面C F G；(2)求多面体C D E F G 的体积。【答案】同理可证，BrW AM,又 A M n M C =M,/.层 M 平面 MAC.4 2.如图，在梯形A B C D 中，A B/C D,E,F是线段A B 上的两点，且 D E L A B,C F A B,A B=1 2,A D=5,BC=4A/2,D E=4.现将4 A D E,a C F B 分别沿D E,C F 折起，使 A,B两点重合与点G,得到多面体C D E F G.19.(本小题满分12分)(1)证明：因为0E 1 EF,CF EF,所以四边形COEF为矩族，由 CD=5,DE=4,得 CE=JG0-0=3,由 GC=aG.CF=4,得 FG=J 3 -C P=4,所以 EF=5,在AEFC中，有尸=C炉+FG1.所以EG 1 GF,又因为 CF 1 EF.CF 1 FC,得 CF 1 平面 EFC,所以CF 1 EC,所以EG 1平面CFC,即平面DEC 1平面CFG；解:在平面ECF中,过点G作GH J.EF于点H.则CH=线产=竽因为平面CDEF 1平面EFC,得GH 1平面CDEF,丫9=GH=16.J