高考数学难点突破_难点05__求解函数解析式.pdf

难点5求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.难点磁场()已知人2 c o s x)=c o s 2 r+c o s x,求/(x 1).案例探究 例1 已知函数人X)满足-3 (其中求/W的表达a-1 x式.(2)已知二次函数/(x)=ax 2+b x+c满足网1)1=氏一1)1=式0)1=1,求 兀0的表达式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“广 的 理 解，用好等价转化，注意定义域.错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.解：(1)令 t=l o&x(a l J O;O 4 1 J 1 .0;0 z(1 r )的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(一 1,1)的一段抛物线，试写出函数式x)的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属题目.知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法：合理进行分类，井运用待定系数法求函数表达式.解：当 x W-l时,设/x)=x+b:射线过点(一2,0).：.0=2+b BP b=2,：.j(x)=x+2.(2)当一 1 r 1 时，设 f(x)=ax2+2.抛物线过点(-1,1),1=(-1 尸+2,即“=一1*./(x)=X2+2.(3)当 x e l 时，f(x)=x+2x+l,x -1综上可知：/(x)=,2-X2,_1X 1锦 囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数/g(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解大x);另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.歼灭难点训练一、选择题1()若函数/(x)=配一(xW)在定义域内恒有f /(x)=x，则 m 等于()4 x-3 433A.3 B.-C.-D.-32 22.”*娟 设函数产式x)的图象关于直线x=l对称，在 x W l时，/(x)=(x+l)2 1,则X1时大X)等于()A.f(x)=(x+3)2-1 B./(X)=(X-3)2-1C./(x)=(x3)2+1 D，Ax)=(xI)2 1二、填空题3.(*r)已知/(x)+4(1)=3x,求式x)的解析式为.x4.()已知 f(x)=ax2+bx+c,40)=0 且 f(x+l)=f(x)+x+1,则 J(x)=.三、解答题5.(*初 设二次函数段)满足於-2)寸(一x2),且其图象在y 轴上的截距为1,在 x轴上截得的线段长为V2,求大x)的解析式.&()设式x)是在(-8,+8)上以4 为周期的函数，且/U)是偶函数，在区间2,3 上时，段)=一2。一3y+4,求当xG 1,2 时/)的解析式.若矩形ABCO的两个顶点A、8 在 x 轴上，C、D 在 yMx)(0WxW2)的图象匕 求这个矩形面积的最大值.7 .(*)动 点P从边长为1的正方形A 8CD的顶点A 1)出发顺次经过8、C、。再回到A,设x表示P点的行程，/U)表示 附 的 长，g(x)表示 A8 P的面积，求人x)和g(x),并作出g(x)的简图.8 .(*)已知函数旷=式)是定义在R上的周期函数，周期7=5,函数)，4W(I W x W l)是奇函数，又知产/W在 0,1 J上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.(1)证明：川)忧4)=0;(2)试求yHW/d 1,4 的解析式；(3)试求)，=次%)在 4,9 上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法)c o s x)=c o s 2 x_c o s x=2 c o s x-c o s x 1令 =2 c o s x(lW 3),贝ll c o s x=2 M/(2 c o s x)=/(w )=2(2“)2(2 i t)1=2M27+5(lA/(x-l)=2(x-1)2-7(X-l)+5=2 r2-1 b+4(2 W x W 4)解法二：(配凑法)f(2 c o s x)=2 c o s2r _c o s x -1 =2(2 c o s x)27(2 c o s x )+5.,.人 工)=2 2 7 x 5(1 W x W 3),即/(x 1)=2(%I)27(x l)+5=2 x2 1 l x+1 4(2x W 4).歼灭难点训练一、1.解析：X.4 x-3./小门=土尸7=、,整理比较系数得i答案：A2.解析：利用数形结合，xWl时，/0)=(+1产一1的对称轴为x=-l,最小值为-1,又产次外关于x=l对 称,故 在x l h Ax)的对称轴为x=3且最小值为-1.答案：B二、3.角析：由於)+浜-)=3 x知犬-)+2/()=3 L由上面两式联立消去人工)可得以)=22答案：f(x)=xX4.解析：./(工)=。/+法+。:/(0)=0,可知 c、=0.又/(x+1 )=f(x)+x+1,:.(X+1)24-/?(X+1 )+0=a x2+b x+x+1,BP (2a+b )x+a+b=b x+x+1.故 2。+=匕+1 且a+b=l,解得。=1 力=，,，人0=!*2+,乂2 2 2 2答案：-x2+-x2 2三、5.解：利用待定系数法，设 Ax)=af+法+c,然后找关于*b、c的方程组求解，2 Q犬工)=-X 4-X+1.7 76.解：设工 1,2,则 4 f 2,3 ,/)是偶函数，.,/)于(一现又因为4 是段)的周期，x)=/(4x)=2(x l)2+4.(2)设0,1 ,贝 12工+2 31/(外=l=-2*+4,S/形=2/(25+4)=4/(2),令 S 矩=S,/.=2r2(2-/2),(2(竺二工_ _ )3=,8 3 27当且仅当2=2一，即 仁 逅 时取等号.S W 竺 出 即 SW峋 反，.5厘=峋 尼.3 27 9 97.解：(1)如原题图，当 P 在 AB上运动时，当 P 点在BC上运动时，由 RtzAB。可得PA=Jl+(x-l)2;当尸点在C D上运动时，由Rt/ADP易得PA=Jl+(3-x-;当P点在D 4 上运动时，朋=4x,故 的 表 达 式 为:yw=(0 4 x 4 1)(l x 2)(2 x 3)(3 x 4)(2)由于尸点在折线A8CO上不同位置时，ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.如原题图，当 P 在线段4 B 上时，A 8P的面积5=0；当 P 在 BC上时，即 l x 上时，即 2VxW3 时，S&AB P=-1 1 =-：2 2 2 2当 尸 在 上 时，即 3cxW 4 时，S&AB P=-(4-x).20故 g(x)=,；(x T)2；(4-x)(0 xl)(l x 2)(2 x 3)(3 x 4)8.(1)证明：)，力)是以5为周期的周期函数，,八4)或4 5)5 1),又 产/(x)(I W xW 1)是奇函数，川)二 一 式 一 1)二 一4 4),川)短4)=0.(2)解：当 1,4 时，由题意，可设人外=。-2)2 5 3彳0),由犬1)短4)=0得(1一2)2 5+(4 2 9一5二0,解得。=2,/(冗)=2(3一2)2 5(1 W xW 4).(3)解：印 )(1 W x W l)是奇函数，0),戒0)=0,又)可(O W xW l)是一次函数，可设兀)二(04工4 1),；/(1)=2(1 2)2 5=-3,又川)二4 1二 女,匕 一3.，当O W x(1 时,段)二 一3乂当一I W x V O 时，兀0二 3 5当 4 W _ v W 6 时，-1WX5W1,7/U)于1一5)=-3(X-5)=-3X+1 5,当 6 xW 9 时，1 Vx 5 W 4t/(元)江%-5)=2 。-5)2 2-5=2(%-7)25.：.f(x)=-3x+l52a-7。-5(4 J 6)(6 x b 0)的左右焦点分别为F”F 2,点P为椭圆上任意一点“PF，,则椭圆的焦点角形的面积为5然*=b2 ta n|.椭圆三 +5=1 (a b 0)的焦半径公式:MF=a+exQ,MF2=a-exQ(Fx-c,Qi),/(c,0)A/(x0,y0).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连 结A P和A Q分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFJ_NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A|、A2为椭圆长轴上的顶点，A F和A?Q交于点M,A2P和A Q交于点N,则M F，NF.2 211.A B是 椭 圆 三+4=1的不平行于对称轴的弦，乂。,，。)为A B的 中点，则b2x012.若 兄(%,光)在 椭 圆 宁+%=1内，则 被P o所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2 2%/上先X。,-十-十-/h2 a2 h2-2 21 3.若4(%,打)在 椭 圆 二+2 =1内，则 过P。的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是a b2 2.y=/儿a2 b a2 b2双曲线1.点P处的切线PT平分P F R在点P处的内角.2.P T平分PFF2在点P处的内角，则焦点在直线P T上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF|为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)5.若玲(%,先)在双曲线.3 =1(a 0,b 0),则过4的双曲线的切线方a b 誓 誓=a2 h22 26.若用(x。,右)在 双 曲 线 二 一 与=1(a 0,b 0)外，贝做P o 作双曲线的两条切a b“线切点为P l、p2,则切点弦P F 2 的直线方程是笄-绰=1.a-b2 27.双曲线三 一 二=1 (a 0,b o)的左右焦点分别为F r F 2，点 P为双曲线上任a b意一煎N F F F 2=y,则 双 曲 线 的 焦 点 角 形 的 面 积 为=b2c ot.14，0,b o)的焦半径公式：(耳(c,0),F2(C,0)a b 当用(工0,0)在右支上时，I M F 11=e x。+Q,I M F2 1=ex0-a.当网(%0,%)在左支上时，I M G l=-e X o+a,I M B 1=-ex0-a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和 AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则 M F LN F.1 0 .过双曲线一个焦点F的直线叮双曲线交于两点P、Q,A I、A 2 为双曲线实轴上的顶点,A P 和 A?Q 交于点M,A 2 P 和 AQ交于点N,则 M F _ LN E1 1.2 2AB是双曲线鼻一2r=1 (a 0,b 0)的不平行于对称釉的弦，M,九)为a b-1 2.1 3.b2xAB的中点，则KM,KA8=1a y0 x2 y 2若 鸟（玉）,）在 双 曲 线/一 乒=12 2方汨月为x%了=3%-T AC 2 .?2 1 2 ,a b a b2 2若 玲（x（），%）在双曲线/_=(a 0,b 0)内，则被P o 所平分的中点弦的(a 0,b 0)内，则过P o 的弦中点的轨迹方X2程是一7ay2a2 b2,椭圆与双曲线的对偶性质一(会推导的经典结论)高三数学备课组椭 圆2 21 .椭圆5+与=1 (a b o)的两个顶点为4(4,0)，43,0)，与y轴平行的a h2 2直线交椭圆于P|.P 2时A|P 1与A 2 P 2交点的轨迹方程是5-二=1.a b2 22.过 椭 圆 二+A=1(a 0,b 0)上 任 一 点 任 意 作 两 条 倾 斜 角 互 补 的 直a b“h X线交椭圆于B,C两点，则直线B C有定向且凝。=空(常 数).Q%2 23.若P为 椭 圆 三+斗=1 (a b 0)上异于长轴端点的任一点,F i,F 2是焦点,a b/P F E =a,Z PF.F,-B,则 -=ta n c ot.12 2 1 Q+c 2 22 24.设 椭 圆 二+与=1 (a b 0)的两个焦点为B、F2,P (异于长轴端点)为椭圆a b“上任意一点，在P F F 2中，记/片尸鸟=a,Z P FlF2=f i,Z FlF2P =y,则有s i na c-=e.s i n 6 +s i n y a2 25 .若 椭 圆 二+与=1 (a b 0)的左、右焦点分别为B、F2,左准线为L,则当a b 0 b 0)上任一点,FI,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，a h则2a-AF21 1 P A I+1 P F,l(Ax0+By0+C)2.8.2已知椭圆+ay21 (a b 0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且O P _ L 0。.(1)-7 -7 0P I2 0Q I21 14a2b2二 +二；(2)I O P I2+I O Q I2 的最大值为;a a119.(3)SAOPQ的最小值是2过 椭 圆 二+ay2a2b2a2+b21 (a b 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦I P F I eMN的垂直平分线交x轴 于P,则-二 MN 21 0.x2已知椭圆+ay21 (a b 0),A、B、是椭圆上的两点，线 段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(%,0),则 a1 h2 xa2 h20 b 0)上异于长轴端点的任一点,F i、F 2为其焦Q I 2点 记/耳 尸 工=。，则 1尸的1 1 2尺1=-.(2)SA PF F=ta n2.1 +C O S 0 1 2 21 2.2 2设A、B是椭圆，+%=1 (a b 0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，Z P A B =a,N P B A =0,N B P A =y,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有1 3.1 2 4 1=2/I c os a l222-c cos y.(2)ta na ta n =l-e2.(3)S.=二“c ot/.b-ax2已知椭圆一 +a=1 (a b 0)的右准线/与x轴相交于点E,过椭圆右焦点铲Q的直线与椭圆相交于A、B两点，点。在右准线/上，且BCL x轴，则直线AC经过线段EF的中点.1 4.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必叮切线垂直.1 5.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.1 6 .椭圆焦三角形中，内点到焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e （离心率）.（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）1 7 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.1 8.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线2 21.双曲线三一2r=1 （a 0,b 0）的两个顶点为4（4,0）,4（4,0）,与 y 轴a b2 2平行的直线交双曲线于P 1.P 2 时 A|P 1 与 A 2 P 2 交点的轨迹方程是+=1.a b2 22 .过双曲线之一斗=1（a 0,b o）上任一点A（Xo，%）任意作两条倾斜角互a 夕补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC 有定向且心（常数）.a%2 23 .若 P为双曲线三一2=1（a O,b O）右（或左）支上除顶点外的任一点,F i,a trF 2 是焦点，=a ,/PF?=0 ,则-=ta nc p t（或c +a 2 2c-a B a、-=ta n co t-.c +a 2 22 24.设 双 曲 线 9=1 （a 0,b 0）的两个焦点为F 1、F2,P （异于长轴端点）为 双 曲 线 上 任 意 一 点，在 a P F,F2中，记 Z FPF2=a ,叫=/3 F=丫,则有si n a(s i n/-s i n/7)5 .若双曲线 斗=1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为E、F2,左准线为矿 bL,则 当 l 0,b 0)上任一点,F|,F 2 为二焦点，A为双曲线a h内一定点，则I A F2 -2a 4 1 P A i +1 I,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A，K 在 y 轴同侧时，等号成立.7 .双曲线 一二=1 (a 0,b 0)与直线A x +B)+C =O有公共点的充要c T b“条件是A2 a 一 炉 从 I C?X2 y2 一8.已知双曲线一z-z-=1 (b a 0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动a b点，且(1)1 1 OP I2 IO QI2 一 ；(2)IO P I2+IO Q I2 的最小值为 f 一 7 ；(3)SWP 0a2 b2 b -a 0的最小值是a 2b29.过双曲线1 3 =1 (a 0,b 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于a b|P F I eM,N 两点，弦 MN的垂直平分线交x 轴于P,则-=一.MN 22 21 0.已知双曲线二一二=1 (a 0,b 0),A、B 是双曲线上的两点，线 段 A Ba b 的垂直平分线与x 轴相交于点尸(立,0),则%土土2 或 与 W -土土匕.a a2 21 1.设 P点是双曲线 j 一 二=1 (a 0,b 0)上异于实轴端点的任点,F i、F2a h为 其 焦 点 记 NF PF,=e,则(1)IP F J I P E I=.(2)1-c o s 05 6 尸 2 =c o t g2 21 2.设 A、B是双曲线二一二=1 (a 0.b 0)的长轴两端点，P是双曲线上的a b一点，N P A B =a,4 P B A =0 2 BP A =y ,c、e 分别是双曲线的半焦距一.、生,2a b I c o s a I禺心率，则有(1)I P A匕-.I a-c c os y Ic 2 2a 2 b 2(2)ta n a ta n p =1 -e.(3)S&PAB=-r-7c o t/.h+a2 21 3 .已 知 双 曲 线 二 一 与=1 (a 0,b 0)的右准线/与x 轴相交于点E,过双a b曲线右焦点尸的直线与双曲线相交于A、B 两点，点 C 在右准线/上，且8 C J _ x 轴，则直线AC 经过线段E F的中点.1 4 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.1 5 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.1 6 .双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).1 7 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.1 8.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.高中数学函数知识点梳理1.函数的单调性(1)设X 工2 。,8,为w%2那么(xZ)/区)/(x,)0 O，)一 )0 o/(x)在卜,“上是增函数;xx-x2(%)/(占)一/(2)0 =A%)0,则/(x)为增函数；如果f(x)0,则/(x)为减函数.注：如果函数/(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=/()和 =g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y =/g(x)是增函数.2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.注：若函数y=/(x)是偶函数，则/(x +a)=/(x a)；若函数y=/(x +a)是偶函数，则 f(x+a)=f(-x+a).注:对于函数y=/(x)(x e R),/(x +a)=/S x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是函数x =q 9；两个函数y=/(x +a)V y =/S x)的图象关于直线 工=区?对称.注，若/(x)=-/(-x +G)，则 函 数y=/(x)的 图 象 关 于 点(p O)对 称；若/(x)=-f(x+a),则函数y=/(x)为周期为2a的周期函数.3 .多项式函数P(x)=anxn+&的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数o P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数o P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.2 3.函数)，=/(x)的图象的对称性(1)函数y=/(x)的图象关于直线x =a对称o f(a+x)=f(a -x)f(2a-x)=f(x).(2)函数y=/(x)的图象关于直线x=型 对 称=/(a +mx)=f(b-mx)=/(a +/?-mx)=f(mx).4 .两个函数图象的对称性(1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x =0(即y轴)对称.(2)函数y=f(mx-a)与函数y=/(。-z x)的图象关于直线x-对称.2m(3)函数y=/(x)和y=/-(x)的图象关于直线y=x对称.2 5.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移b个单位，得到函数y=/(x a)+b的图象；若将曲线/(x,y)=O的图象右移4、上移b个单位，得到曲线/(x a,y 8)=0的图象.5 .互为反函数的两个函数的关系f(a)=b f(b)=a.2 7.若 函 数y=/(履+匕)存在反函数，则 其 反 函 数 为y=L T(x)切，并不是ky =f kx+b),而函数 y=尸(f cc+b)是 y=-f(x)-b 的反函数.k6 .几个常见的函数方程正比例函数/(x)=cx,/(x+y)=/(%)+=(2)指数函数f(x)=ax,f(x+y)=/W(y)，/=w0.对数函数/(x)=lo g x,f(xy)=f(x)+f y),f(a)=l(a O,a 1).(4)幕函数/(x)=N,/(盯)=J )=a .(5)余弦函数/(x)=co sx,正弦函数 g(x)=sin x ,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),/(O)=l,lim =l.2 X7.几个函数方程的周期(约定a 0)(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期 T=a；(2)/(x)=/(x +a)=0,或 f x+a)=(/(x)H 0),/Wf(x+a)=(/(x)#0),/(x)或，+J/(x)/2(x)=/(x +f l),(/(x)e 0,1),则/(x)的周期 T=2 a；/(x)=1-1(/(x)丰 0),则/(%)的周期 T=3 a；f(x+a)(4)/(%)+x2)/(司)+/区)且 f(a)-1(/(%)-/(%2)W 1,0 1 x,-x21 O,m,ns N*,且1).n I i nNa-四 1 a =F(a O,?,e N*,且 1)打9 .根式的性质(1)即)=a.(2)当为奇数时，丘=a；当为偶数时，l an=a =.-a,a 0,r,s e Q).(2)(ar)s=ar s(a 09r9seQ).(3)(a b)r=arbr(a 0,b 0,r G 0.注：若a 0,p是一个无理数，则表示一个确定的实数.上述有理指数基的运算性质，对于无理数指数薛都适用.3 3 .指数式与对数式的互化式lo g。N =b o ab=N(a 0,a w 1,N 0).3 4.对数的换底公式lo g N、Io ga N =-(a 0,且a w 1,m 0,且？w 1,N0).lo g,an推论 lo g 6=lo g“b (a0,且。1,机,0,且2 H 1,/l,TV 0).“m1 1.对数的四则运算法则若 a 0,a关 1,M0,N 0,贝U(1)lo g a(MN)=lo g”M+lo ga N ;lo g“*=lo g“M lo g“N ;(3)lo g.Mn=n lo g”M (几 w R).注：设函数 f(x)=lo gw(a x2+b x +c)(w 0),记 =-4a c.若/(x)的定义域为R,则Q 0,且 0,且A N 0.对于。=0的情形，需要单独检验.1 2.对数换底不等式及其推论若。0,b0,x 0,x ,则函数y=kg“1Sx)a 当 a 6 时，在(0)和(L +8)上 y=log。*(法)为增函数.a a 当 a 1，p 0 a 0 且 a H l，则 log,+0(+P)log,“,7 m+n(2)logm logan 0时/(x)0.(1)求人!)、足);2 4(2)证明大x)是周期函数；记 a=f(n+J)，求 lim(In an).2ft“T O O命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件人用+必)与口|)八 M)找到问题的突破口.错解分析：不会利用/(XI+X2)MX1)。/(刈)进行合理变形.技巧与方法：由 的+M)4 5)府 分 变形为“幻=吗+会=吗)吗),丐)是 解决问题的关键.(1)解：因为对x g e o,；,都 有 曲+必 归 加),所 以/)=吗+/=吗)?0,xG 0,1又因为八1)(；+；)(J)_ ；)=小；)2乙 乙 乙 乙 乙人王八:)=!力 22 4 4 4 4 4又 川)3 01 1 1 1.*.X-)=a M-)=42 4(2)证明：依题意设y=(x)关于直线x=l对称，故/(x)三 八1+1 x),即人)=式2 x)/G R.又由大x)是偶函数知八-x)或x)/e R-x)=f(2x)G R.将上式中一x以x代换得/(x)R(x+2),这表明兀0是 R 上的周期函数，且2是它的一个周期.解：由知於)2 0 K 6 0,1)子+(”-1)1)力1),/(-1)3)2 2n 2n 2n 2n 2nA12n)=a 22 -A 4)=。2 -2n又.a)的一个周期是21 1 f(2.n-)=/(-)，因此(In C l 22n 2n lim(lna)=im(丁1。)=0.“8 n oo 2 例2 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为4固定部分为a元.(1)把全程运输成本)，(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为全程运输成本为VS .2 S 1 、y=a +b v =S(+Z?v)v v v 所求函数及其定义域为y=S(+/?v),v e(O,c .v(2)依题意知，S、a、b、口 均为正数：.S(-+b v)2s4a b V当且仅当-=尻,即v=、口时，式中等号成立.若、口 Wc则当 口 时，有ymi n；v V b V b V h若 J-c，则当(0,c 时,有 S(g+b v)-s(-+b c)V b v c=S ()+(Z?v/?c)=-(c v)(a b c v)v c vc丁 c u 20,且 c b c2,/.a b c v 2。b c2 0：.S(-+b v)S(-+b c),当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，有ymi n；V C综上可知，为使全程运输成本y最I、，当 卑 时,行驶速度应为丫=牛，当 斗 c时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)；函数尸计4 3 0)/6(0,+8),当；(0,荻)时，单调减小，当x d(a,+8)时yXa单调增加，当时y取得最小值，而全程运输成本函数为尸S伙V+也),v W(0,c LV二当Wc时，则当v=J时，y最小，若 聆 c时，则当x时，y最小.结论同上.锦 囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.歼灭难点训练一、选择题1 .()函数产X+。与)，=1 0&X 的图象可能是()淀义在区间(-8,+8)的奇函数段)为增函数，偶函数g(X)在区间 0,+8)的图象与A x)的图象重合，设 3 匕 0,给出下列不等式：fia)g(.a)g(h)/3)/(a)g(h)g(a)-g(a)其中成立的是()A.与 B.与 C.与 D.与二、填空题3.(十 )若关于x 的方程2 Z,+2%+a+1=0 有实根,则实数a 的取值范围是.三、解答题4.()设 a 为实数，函数/(x)=x2+k a l+lxGR.(1)讨论/(x)的奇偶性；(2)求/的最小值.1 1 _ r5.(*)设/(%)=+ig.x+1 1 4-X(1)证明：7 U)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程尸(此=0 有惟一解；(3)解不等式/x(x4)(1,1),都有加)如)不 手 上);当 X d(-1,0)时，有段)0.+xy7 .(*)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形旦面积为2 0 0 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过1 6米，如果池外周壁建造单价为每米4 0 0 元,中间两条隔墙建造单价为每米2 4 8元,池底建造单价为每平方米80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8.(*)已知函数,大外在(一8,0)口(0,+8)上有定义，且在(0,+8)匕是增函数，/(1)=。,又8(，)=s in2 S mc os 0 2m,9 W 0,设 M=mlg()0,m R Jl=m f g()0J X）j X2）=f （%,必）+必X2）+/（X 2）一/UI）=一衣*2-X 1）因为 X 0 时_/U）V0,.AX|）一/2）。在-9,9 上是减函数故式X）的最大值为大-9）,最小值为犬9）.而4 9）与3+3+3）=浜 3）=-1 25A-9）=一九9）=1 2.在 区 间-9,9 上的最大值为1 2,最小值为一 1 2.歼灭难点训练一、1.解析：分类讨论当a l时和当0V ag(l)-g(2)=1-2=l.又4份 F 一 1)2)=1+2=3.g(.a)g(,b)=g(2)g(l)=2l=l,：.f i b)f t,a)=g(a)g(b).即与成立.答案：C:二、3.解析：设 2 =0,则原方程可变为+。什4+1=0A=a2-4(4 +1)2 0方程有两个正实根，则”1+/2=-。0Z j -r2=t z +1 0解得：。(1,2-.答案：(-1,2-2 V2 三、4.解：当 a=0 时,函数式-x)=(一幻2+1 M+1 q(x),此时式x)为偶函数；当时,%)=2+1 抵a)=o2+2 R+j(G 勺人幻羊一大幻此时函数於)既不是奇函数也不是偶函数.1Q1(2)当x W a 时 函数人力储一x+a+l=(x了+a+,若 a W ,则函数危)在(-8,匕2 4 2单调递减，从而，函数r)在(-8,4 上的最小值为11 3 1若 一,则函数Ax)在(一8,“上的最小值为式一)=一+凡且式-)W/(a).2 2 4 21ai当x 3a时，函数/(*)=/+工一a+l=(x+2)2。+7 当 aW万时，则函数/(x)在 a,+1 3 1 10 0)上的最小值为八一一)=。,且_/(一 一)O/(a).若a-,则函数 r)在 a,+8)上单调2 4 2 2递增,从而，函数/(x)在 a,+8上的最小值为/(a)=k+l.I综上，当 aW一士时，函数Ax)的最小值是士3 一兄当一L1 v aWl1 时，函数/U)的最小2 4 2 21 q值是片+1；当时，函数兀r)的最小值是+.1 -X5.(1)证明：由得兀0 的定义域为(一1,1),易判断7 U)在(-1,1)内是减函x+2H0数(2)证明：()=g,./(；)=0,即 x=；是方程f x)=0的一个解.若方程厂6)=0 还有另一个解x()w L 则尸(力,由反函数的定义知人0)=即 ,与已知矛盾，故方程广匕)=022有惟一解.(3)解：f x(x-g,即/x(x；)/(0).-1总 彳)-x 0或一 X 0.V 0,于 是 由知1-xxx21-xx2/I 过)0,从而於1)2)0,即 以 1)(2),故/U)在 X(1,0)上是单调递减函数根据1 -xx2奇函数的图象关于原点对称，知7U)在 犬(0,1)上仍是递减函数，且/u)vo.1.力 号 节);1(+1)5+2)1=/(+1)(+2)(+1)(+2)1 _=y(-i+l-/(-)1 n+l +2n+1 7?+2),.-./4)-一二)!),故原结论成立.2 7 1 +2 27.解:因污水处理水池的长为x米，则 宽 为 剪 米，总造价,v=400(2x+2X )+248X 理xxXX 2+80 x 200=800(1+)+1600,由题设条件x0 16,200 解 得 12.5WxW16,即函数定义域为 12.5,16.0 -16x324(2)先研究函数户/=800(1+)+16000在 12.5,16上的单调性，对于任意的x gxe 12.5,16不妨设占兀 2,则兀一/(3)=800 (必一即)+3 2 4(-)1 =800(必一9)(1一 王324c 324 324-),V 1 2.5 XI X 2 16.0XiX2 161,即 1 二-,；*中2人历)一人3)0,即人必)人为),故函数)y/(幻在12.5,16上是减函数.，当犬=16时，y 取得最324 200 200小值，此时，jmin=800(16+-)+16000=45000(元)，=12.5(X)16x 16综上，当污水处理池的长为16米，宽 为 12.5米时，总造价最低，最低为45000元.8.解：:兀)是奇函数，且在(0,+8)上是增函数，在(一8,0)上也是增函数.又-1)=0,/(一 1)=一川)=0,从 而,当/W V 0 时,有 x V-l 或 OVxVl,则集合 N=m/g(夕)0=m g(0)-或 OVg(夕)V I,.MGN=mlg(。)zn(cos 0 2)+2,0,曰,令 大 二 cos8rx 0,1 得：x2 m(x2)+2G 0,1,令 :y =x2,x 0,1 及乃二皿?2)+2,显然为抛物线一段，是过(2,2)点的直线系，在同一坐标系内由x e 0,1 得 乃 力.m42,故 MAN;源?42 V2.2 0 1 1高考数学易错题解题方法大全(3)选择题【范例 1 集合 A=3,log?a,8=a,/?,若 4 n B =2,则 4 U 8=()A.2,3,4 B.2,4 C.2,3 D.1,2,3,4答案：A【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理