2015年—2019年北京高考理科数学五年真题合集.pdf

2015年一2019年北京高考理科数学五年真题2019北京高考理科数学真题和答案2018北京高考理科数学真题和答案2017北京高考理科数学真题和答案2016北京高考理科数学真题和答案2015北京高考理科数学真题和答案2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)第一部分(选 择 题 共4 0分)一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。已知复数z=2+i,贝I”=(A)G(B)石(C)3(D)5(2)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)1(B)2(C)3(D)4(3)已知直线/的参数方程为卜=1 +3/(t 为参数)，则 点(1,0)y =2 +4 到直线/的距离是(A)15(B)25(C)452，j(4)已知椭圆工+匕=(a b 0)的离心率为一，则2 z?2a b(A)a2=2 b2(B)3 a2=4 b2(C)a=2 b(D)3 a=4 b(5)若X j满足|x区 l-y,且1,则 标+y的最大值为(A)-7 (B)1(C)5(D)7(6)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足%一 叫=|lg,其中星等为外的星的亮度为4(%=1,2)。己知太阳的星等为-2 6.7,天狼星的星等为-1.4 5,则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)I O1 0-1(B)1 0.1(C)1 g 1 0.1 (D)1 0-1。(7)设 点 不 共 线，则“而 与 灰 的 夹 角 是 锐 角”是通+恁前卜的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线。：/+歹2=1+上 就是其中之一(如图)。给出下列三个结论：曲 线。恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲 线C上任意一点到原点的距离都不超过y/2；曲 线。所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是(A)(B)(C)(D)第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。函数/(x)=s i n 2 2 x的最小正周期是。(1 0)设等差数列 a0 的 前 n项和为S n,若 a?=-3,S s=-1 0,则 a3=.Sn的最小值为_ O(1 1)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 o(1 2)已知/、根是平面。外的两条不同直线.给出下列三个论断：mUa-,(3)l a以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写 出 一 个 正 确 的 命 题:o(13)设函数/(x)=e*+a e-*(a 为常数)，若 f(x)为奇函数，则 a=；若 f(x)是 R上的增函数，则 a的取值范围是 o(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。价格依次为6 0 元/盒、6 5 元/盒、80 元/盒、9 0 元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到12 0 元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%。当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元：在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大值为 o三、解答题共6 小题，共 80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(1 5)(本小题13 分)在:中，。=3，b-c =2，c o s B =一；.(I )求 b,c 的值；(I I )求s i n(B-C)的值。(1 6)(本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA 平面ABCD,AD CD,PF I,4。|BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E 为 PD 中点，点 F在PC 上，目 一=一PC 3(I )求证：,平面PAD.(I I )求二面角F-A E-P 的余弦值；pr O(I I I)设点G在 P B 上，且=.判断直线AG是否在平面A E F 内，说明理由.PB 3(1 7)(本小题13 分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 10 0 人，发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：付金额(元)支 益、(0,10 0 0(10 0 0,2 0 0 0 大于2 0 0 0仅使用A18人9人3人仅使用B10人14 人1 人(I )从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A,B 两个支付方式都使用的概率；(I I)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于10 0 0 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；(I l l)己知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2 0 0 0 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 0 0 0 元的人数有变化？说明理由。(1 8)(本小题1 4 分)已知抛物线C ：*=一 2 外 经过点(2,-1)。(I)求抛物线C的方程及其准线方程；(II)设 O 为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N,直线 y=-l 分别交直线OM,O N于点A和 点 B,求证：以 AB为直径的圆经过y 轴上的两上定点。(1 9)(本小题1 3 分)已知函数/(X)=-X3-X2+X.4(I)求曲线y =F(x)的斜率为1 的切线方程；(1 1)当2,4 时，求证：-6 A x)x(i l l)设 F(x)=|f(x)-(x +a)|(a e /?),记夕(x)在区间口，4 上的最大值为M(a).当 M(a)最小时，求 a 的值。(2 0)(本小题1 3 分)已 知 数 列 an ,从 中 选 取 第 i i 项、第 i 2 项、第 i m 项(i i i 2 V i m)，若a.a.a.,则称新数列a.,a,，a,为 aj的长度为m 的递增子列。规J1%J2 ，定：数列 an 的任意一项都是 an 的长度为1 的递增子列。(I)写出数列1,8,3,7 5 6,9的一个长度为4的递增子列；(II)已知数列 a。的长度为P 的递增子列的末项的最小值为Q m,长度为q 的递增子列的末项的最小值为a,若 Pr q,求证：a m 4,x-ay4 2 ,则(A)对任意实数a,(2,1)e A (8)对 任 意 实 数,(2,1)e43(C)当且仅当a 0时，(2,1)任A (D)当且仅当。*时，(2 ,1)任A第 二 部 分(非 选 择 题 共1 1 0分)二、填空题共6小 题，每小题5分，共30分。(9)设 4是等差数列，且a=3 ,方+力=3 6 ,则 q 的通项公式为.(1 0 )在极坐标系中，直线0 c o s6 +。$出 0)与圆夕=2 8$，相 切,贝1J7T7 T(1 1 )设函数式X)=0 0 8(-)(0),若/(X)4/(7)对任意的实数X都成立，则 3o 4的最小值为.(1 2 )若x,y满 足x+ly 0 )对任意的%(0,2 都成立，则 x)在 0,2 上是增函数”为假命题的一个函数是_ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2 2 2(1 4)已知椭圆M；+3=l(ab 0)，双曲线M%-当=1 .若双曲线/V的两条渐近线与椭圆例的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆例的离心率为；双曲线/V的离心率为.三、解答题共6小 题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学 科网(1 5)(本小题1 3分)在中，a=7,6=8,cos8=-；.(I)求；(口)求 力0边上的高.(1 6)(本小题14分)如 图，在三棱柱Z 6 O A 8 C中，CC,，平面Z8C,D,E,F,G分 别 为 ,AC,AC,BB、的中点,A B=B C=石,AC=M =2.(I)求 证：2 d平 面BE F(H)求二面角6-S G的余弦值；(m)证 明：直线尸G与平面6。相 交.(1 7)(本小题12分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14 050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1假设所有电影是否获得好评相互独立.(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(n)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(m)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用 抵=i 表示第 类电影得到人们喜欢，短=。表示第攵类电影没有得到人们喜欢(z=i,2,3,4,5,6).写出方差力。，呢，气,。，心，。女的大小关系.(1 8)(本小题1 3 分)设函数.f(x)=以,-(4 a+l)x +4 a+3 e*.(I)若曲线=f(X)在 点(1 ,/(D )处的切线与x 轴平行，求a；(H )若 f(x)在X=2 处取得极小值，求 曲 取 值 范 围.(1 9)(本小题1 4 分)已知抛物线C -.y2=2 p x 经过点P(1 ,2 ).过 点 Q (0 ,1)的直线/与抛物线C有两个不 同 的 交 点B,且 直 线 外 交 y 轴 于 例，直 线 0 8 交 y 轴 于/V.(I)求直线/的斜率的取值范围；(口)设。为原点，。用=A Q O ,Q N =加 0,求 证：；+一为定值.(2 0)(本小题1 4 分)设“为正整数，集合/=a|a=Q M，山),“0,1#=1,2,.对于集合力中的任意元素a=a，/,，怎)和=(%,%，%)，记M a,B、=-(x,+1%,-I)+(x2+y2-x2-y21)+U,+y,1 x-x,1)1 .(I)当=3 时，若 =(l,l,0),3=(0,1,1),求 M(a,a)和 M a，B)的 值;(口)当=4时，设 8 是，的子集，且 满 足：对 于 8 中的任意元素氏夕，当 a，相同时，例(a,尸)是奇数；当 a,夕不同时,M a,。)是 偶 数.求集合6中元素个数的最大 值；(m)给定不小于2的，设8是/的 子 集,且满足：对 于8中的任意两个不同的元素a,4,例(a,)=0 .写出一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.学科&网绝密启用前2 0 1 8年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.A2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.D二、填空题9.an=6n-310.1 +/2U-t12.313 片 sinx（答案不唯一）14.G-1 ；2三、解答题(1 5)(共 13 分)解：(I)在A/48。中，,.,cosBu-；,:.BEL(5，IT),.sin Vl-cos2B=.7 2 7由 正 弦 定 理 得 六8bsin 3.siri/4.2=兀 兀 兀.B e(-,n),.-./G(0,-),.-.z/l=-.(II)在中,.sinC=sin(A+B)=sin/cos8+sin8cos/=3GI T -如图所示，在“比 中，二 皿 仁 与，.=8 C s in C =7 x =，BC 14 2/边 上 的 高 为 挛.2B(1 6)(共 1 4 分)解：(I)在三棱柱2 8 G 4 6 1 G中，平 面 ABC,二 四 边 形/为矩形.又巳尸分别为4 T,4 G的中点，J.ACA.EF.：AB=BC.：.ACJ.BE,.2 d平 面 BEF.(II)由(I)知 ACA.EF,ACA.BE,EF CCi.又“1 _ L平面Z 6 C,.日 平面2 8c.BEW ABC,：.EFA.BE.如图建立空间直角坐称系E-xyz.由 题 意 得 6(0,2,0),C(-l ,0,0),P(1,0,1),f(0,0 ,2),6 7(0 ,2 ,1).ClLWl UL11/.C D=(2,0,l),C B=(l,2,0),设平面BCD的法向量为=(a,b,c),U la nwCD=Ouurn C B =OJ 2 +c=0a+2b=0令 a=2,则 b=-l,c=-4 ,平 面B C D的法向量 =(2,-1,-4),U lfl又.平面。G的法向量为E8=(0,2,0),UU1-盥 n-E B V21.cos=-=-|E8|21由 图 可 得 二 面 角G为钝角,所以二面角比。G的 余 弦 值 为-粤(田)平 面 比。的法向量为“=(2,-1,一4),1 6(0,2,1),A(0,0,2),U U I1 L1UIU ULUU _GF=(0,-2.1),n-G F =-2,.n 与 GF 不垂直,.G尸与平面8。不平行且不在平面8。内，,GF与平面8。相 交.(1 7)(共 12 分)解：(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,第四类电影中获得好评的电影部数是200 x0.25=50.故 所 求 概 率 为 旦 =0.025.2000(n)设事件/为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事 件8为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P AB +AB)=P(AB)+。(初)=P(4)(1-P(8)+(1-P(/)P(8).由题意知：P(/)估计为0.25，2(6)估计为0.2.故所求概率估计为0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.(ID)书%。&2 =%版(1 8)(共 13 分)解：（I）因为/（x）=or2_（4a+l）x+4a+3e1所 以（x）=2 a v（4 a+l）e+注（4 a+l）x+4a+3 e*（x/?）=ax1 （2 a+l）x+2 ex./=（l-a）e.由题设知尸（1）=0,即Q-a）e=0,解 得a=l.此时”l）=3er0.所 以a的值为1.（口）由（I）得1（x）=a/-（2 a+l）x+2 e*=（ax-1）（丘2）e*.若 a :，则当 x e（L 2）时，r（Mo.所 以 M0在x=2处取得极小值.若 as；,则当%G（0,2）时，六20,ax-lx-l0.所 以2不是尸（M的极小值点.综上可知，a的取值范围是（!，+8）.2（19）（共 14 分）解：（I）因为抛物线尸=2外 经 过 点（1,2）,所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为=4 x.由题意可知直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=kx+l（后0）.由 卜=以 得公/+（2 4）犬+1 =0.y=京+1依题意4=(22-4 f-4x%2 xl0,解得 k0 或 0k,-3 )U (-3 ,0 )U (0 ,1).(口)设/(所，以)，B(X 2,yz).由(I)知西+.=2)2 4,不9=卷 .直线外的方程为尸2=y 2 =AZ(x _i).%-1令x=0,得点例的纵坐标为端=可+2 =为孚+2 .X 1 X,-1同理得点/V的纵坐标为“=土d+2 .x2-1U U ll UlUU UllW HUU由 QM=4。，QN=。得;1二1一 为，j L i =-yN.所以2 2左 一4-1-J_+_L=+=%T +=_ L _ 一(再 +占)=_J_ F =24 -yM l-yw(k-l)xt U -l)x2 k-x,x,k-1 1k2所以g+,为定值.z (2 0)(共 1 4 分)解：(I)因为 g (1 ,1 ,0)/=(0,1 ,1),所以M a,(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2 ,M a,3)=；(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)=1 .(II)设 O=(A I,X2,灼，M)Q B,则 M a,a)=吊+加+船+园.由题意知xi,X i,Xi,MW 0,1 ,且M a,勿为奇数，所 以 尺，X2 ,与，的 中1的个数为1或3 .所 以 房(1 ,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1 ,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1 ,0,1 ,1),(1,1,0,1),(1,1 ,1,0).将上述集合中的元素分成如下四组：(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).经验证，对于每组中两个元素a,夕，均 有M a,夕)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合8的元素.所以集合6中元素的个数不超过4.又集合 (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)满足条件，所以集合8中元素个数的最大值为4.(HI)设 Sk=(Xl,X2,Xn)(Xl,X2,Xn)E.A,Xk=1,Xl=X2=.=Xk-l=0)(Xr=l,2,.,n),5n+l=(Xl,X2 ,An)|Al=A 2=.=An=0,则 Zl=5iU5iU.U5n+i.对 于(攵 =1,2，n-1)中的不同元素a，B 经验证，M a,解所以(4=1,2，n-1)中的两个元素不可能同时是集合8的元素.所 以8中元素的个数不超过/7+1.取 e=(Xl,X2,Xn)W&且 Xk+l=.=Xn=Q(Xr=l,2,n-1).令8=(e i,e2，e i)USU另+1,则集合8的元素个数为n+1,且满足条件.故6是一个满足条件且元素个数最多的集合.(IV)2017年北京市高考数学试卷(理科)一、选择题.（每小题5 分）)1（5 分猎集合人=仅I-2 *1 力=伙 伙 3,贝”0 8=（A .x|-2x-1 B.x|-2x3 C.x|-l x lD ,xl x2,则 x+2y的最大值为（）yCxA .1 B,3 C.5 D.95 .（5 分）已知函数 f（x）=3 x-仁）x,则 f（x）（）A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数6 .（5 分）设7,7 为非零向量，则 存在负数入，使得7=。？是0的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.（5分）某四棱推的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）I*2-|侧（左）视图俯视图A .372 B.2A/3 C.272 D.28.（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为336 1,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为108。，则下列各数中与4最接近的是（）（参考数据：lg3=0.48）A .1033 B.1053 C.1073 D.1093二、填空题（每小题5分）2_9.（5分）若双曲线x 2-J=l的离心率为F ,则实数m=.m10.（5分）若等差数歹Man和等比数歹MbnE茜足ai=bi=-1,a4=b4=8,贝U兽b211.（5分）在极坐标系中，点A在圆p2-2pcose-4psine+4=0上，点P的坐标为（1,0）,贝（J IA PI的最小值为12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，角a与角0均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin a=l，则cos（a邛）=.13.（5分）能够说明 设a,b,c是任意实数.若abc,则a+bc是假命题的一组整数a,b,c的 值 依 次 为.14.（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点R的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i,Q2,Q3中最大的是（2）记Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则Pl,P2,P3中最大的是.T零件数（件）Al*B*l 喈3Al 51A3 工作时间（小时）三、解答题15.（13 分）在aABC 中，ZA=60,c=1a.（l s i n C的值;（2）若a=7,求4ABC的面积.16.（14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD，平面 ABCD,点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC,PA=PD=&,AB=4.(1)求 证：M 为 PB的中点；(2)求二面角B-P D-A 的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.17.(13分)为了研究一种新药的疗效，选 100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其 中 *表示服药者，+表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标V的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人，记士为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求&的分布列和数学期望E ();(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标V数据的方差的大小.(只需写出结论)归旨标F01 7指展18.(14分)已知抛物线C:y2=2 px过点P(1,1).过点(0,*)作直线I与抛物线C 交于不同的两点M,N,过点M 作 x 轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中。为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求 证：A为线段BM的中点.19.(13 分)已知函数 f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(o,f(o)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间 0,上的最大值和最小值.20(13 分)设 an 和 bn 是两个等差数列，记 Cn=max bl-am,bz-a2n,bn-ann (n=l,2,3,.),其中 max x i,X 2,.,x$表示 x i,X 2,.,x$这s 个数中最大的数.(1)若 an=n,bn=2n-1,求 q ,C 2,C3的值，并证明 cn 是等差数列；(2)证 明：或者对任意正数M,存在正整数m,当 n 2 m 时，1 M ;或者n存在正整数m，使得C m ,Cm*l，Cm 一 2，是等差数列.2017年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题.(每小题5分)1(5分错集合庆=仅|-2VXV1,B=xx 3,则 A A B=()A .x|-2x-1 B .x|-2x3 C.x|-l x lD .x|lx3【分析】根据已知中集合A和B,结合集合交集的定义，可得答案.【解答】解：集合 A=x|-2 xl,B=xx 3,.A nB=x|-2x0【解答】解：复数(1-i)(a+i)=a+l+(l-a)i在复平面内对应的点在第二象限，a+l0解得a v-1.则实数a的取值范围是(-8 ,-1).故 选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.（5分）执行如图所示的程序框图，输 出 的S值 为（）A.2 B.2 C.A D.12 3 5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可 得 答 案.【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=l,S=2,当k=l时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2,S=1,2当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3,S=|,当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：|,故 选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.x 4 34 .（5分）若x ,y满足、x+y 2 ,则x+2 y的最大值为（）rC xA .1 B ,3 C .5 D .9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可.x 4 3【解答】解：X ,y满足卜+y 2的可行域如图：X由可行域可知目标函数z=x+2 y经过可行域的A时，取得最大值,由，x=3,可I x=y得A(3,3),目标函数的最大值为：3+2 X 3=9 .【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.5.(5 分)已知函数 f(x)=3 x-(2)x,则 f(x)()A .是奇函数，且在R上是增函数B .是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D .是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=(a)x为减函数，结合 增-减 =增 可得答案.【解答】解：f(x)=3 x-(去)X=3X-3-X,Af(-x)=3X-3X=-f(x),即函数f(x)为奇函数,又由函数y=3x为增函数，y=(当)x为减函数，故函数f(x)=3x-尸为增函数，故 选：A.【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题.6.(5分)设，若为非零向量，则 存在负数A,使得装人7,是的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】K，3为非零向量，存在负数入，使得7=入1,则向量、，若共线且方向相反，可得/Wvo .反之不成立，非零向量7 的夹角为钝角，满足7 W不成立.即可判断出结论.【解答】解：，后为非零向量，存在负数入，使得7=入，则向量7,W共线且方向相反，可得7若0.反之不成立，非零向量IT ,n的夹角为钝角，满足ir n0）的离心率为止,ID可 得：甲X,解得m=2.故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力.10.（5 分）若等差数列 an 和等比数列 bn 满足ai=b尸-1,a4=b4=8,则3b2=1.【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果.【解答】解：等差数列囱 和等比数列也 满足ai=bi=-1,a4=b4=8,设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.可 得:8=-l+3d,d=3,a2=2;8=-q3,解得 q=-2,.b2=2.可得g=1.b2故答案为：1.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力.1 1 .（5分）在极坐标系中，点A在圆p 2 -2 p c o se -4 p si n 9+4=0上，点P的坐标为（1 ,0 ）,则I A P 1的 最 小 值 为1 .【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值.【解答】解：设圆P2-2 p c o s6 -4 p si n 9+4=0为圆C ,将圆C的极坐标方程化为：x2+y2-2 x -4 y+4=0 ,再化为标准方程：（x -1）2+（y -2 ）2=1 ；如 图，当A在C P与。C的交点Q处时，|A P|最小为：|A P mi n=C P -rc =2 -1 =1 ,故答案为：1.【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值,难度不大.1 2 .（5分）在平面直角坐标系x O y中，角a与角0均以O x为始边，它们的终边关于V轴对称，若si n a=，则c o s（a邛）=.【分析】方法一：根据教的对称得到si n a=si n p=l,c o sa=-c o s 5,以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分 a 在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角 a 与角B均以O x为始边，它们的终边关于y 轴对称，/.sina=sinP=A-,cosa=-cos0,/.cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=cos2a+sin2a=2sin2a-1=-1=-1.9 9方法二:V s in a=l,3当 a 在第一象限时，cosa=2,a,B角的终边关于y 轴对称,.,.0 在第二象限时，sin3=sina=,cos0=-cosa=2 二,3 3/.cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=2V2y 272.1%1.3 3 3 379:Vsina=,3_当 a 在第二象限时，cosa=-岁,a,B角的终边关于y 轴对称,，B 在第一象限时，sin3=sina=-,cos3=-co sa=-,3 3/.cos(a 邛)=cosacos3+sinasinp=-22_x_2y2_+2_x3 3 3 379综上所述cos(a-p)=-1,故答案为：J【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨 论，属于基础题1 3 .（5分）能够说明 设a ,b,c是任意实数.若a bc ,则a+bc 是假命题的一组整数a ,b,c的 值 依 次 为2-3.【分析】设a ,b,c是任意实数.若a bc,则a+bc 是假命题，则若abc,则a+bWc 是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a ,b,c是任意实数.若a bc ,则a+bc 是假命题，则若a bc ,贝！a+bWc 是真命题，可设a,b,c的值依次-1,-2,-3,（答案不唯一），故答案为：-1,-2 ,-3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题.1 4.（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l ,2 ,3 .（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi,Q2,Q3中最大的是 Qi （2 ）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i ,P2 ,P3中最 大 的 是P2 .T零件数（件）AlBi,B 3Al 51工作时间（小时）【分析】(1)若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案.(2 )若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为AB i中点与原点连线的斜率；进而得到答案.【解答】解：(1)若Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q i=Ai的纵坐标+B i的纵坐标；Q 2=A2的纵坐标+B 2的纵坐标，Q 3=A3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q i,Q 2,Q 3中最大的是Q i,(2 )若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为AB i中点与原点连线的斜率，故P l ,P 2 ,P 3中最大的是P 2故答案为：Q 1 ,P 2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和P i的几何意义，是解答的关键.三、解答题1 5.(1 3 分)在aAB C 中，ZA=60 ,c=l a.7(1)求s i n C的值;(2 )若a=7 ,求4 A B C的面积.【分析】(1)根据正弦定理即可求出答案，(2 )根据同角的三角函数的关系求出co s C ,再根据两角和正弦公式求出s i n B ,根据面积公式计算即可.【解答】解：(1)ZA=6 0,c=|a ,由正弦定理可得sinC=WsinA=Wx返叵,7 7 2 14(2)a=7,则 c=3,.*.CA ,由(1)可得 cosC=H,14.sinB=sin(A+C)=sinA cosC+cosA sinC=-X-12+J LXZs2 14 2 14 7SAABC=acsinB=X 7 x 3X-/l-=6/3.2 2 7【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16 .(14分)如 图，在四棱锥P-ABCD中，底面A BCD为正方形，平面PA D，平面 A BCD,点 M 在线段 PB 上，PD平面 MA C,PA=PD=&,A B=4.(1)求 证：M 为 PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)设 A C A BD=。，则。为 BD的中点，连接0M,利用线面平行的性质证明OMPD,再由平行线截线段成比例可得M 为 PB的中点；(2 版 AD中点G，可得PGJ LA D再由面面垂直的性质可得PG_L平面A BCD,则 PGAD,连接OG,则 PGOG,再证明OGAD.以 G 为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A 的大小；(3)求出而的坐标，由而与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证 明：如图，设 ACCBD=O,VABCD为正方形，为 BD的中点,连接0M,：PD平面 MAC,PDc 平面 PBD,平面 PBDCi平面 AMC=OM,/.PDOM,则理型，即 M 为 PB的中点；BD BP(2)解：取 A D 中点G,VPA=PD,.-.PGAD,:平 面 PAD,平面ABCD,且平面PAD n 平面ABCD=AD,.PG,平面 ABCD,则 PGAD,连接OG,则 PGOG,由 G是 AD的中点，。是 AC的中点，可得0G DC,则 OGLAD.以 G 为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z 轴距离空间直角坐标 系，由 PA=PD=V6,AB=4，得 D(2,0,0),A(-2,0,0),P(0,0，M),C(2,4,0),B(-2,4,0),M(-1,2,),DP=(-2,0,&)，DB=(-4,4,0)设平面PBD的一个法向量为；pG,y,z)，则由,得 产 x+Mz=0m-DB=0 I-4x+4y=0，取 Z=&，得;F(1,1,V2)取平面PAD的一个法向量为左(0,1,o).c o s w,m,n _ 1 _1一次T W二面角B-P D-A的大小为60;(3 )解:c i=(-3,-2,李),平面BDP的一个法向量为林(1,1,近).直 线M C与平面B D P所成角的正弦值为c osM,；|=1 9 3如 1 r ICMlIml【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档 题.1 7.(1 3分)为了研究一种新药的疗效,选1 00名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其 中 *表示服药者，+表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人，记a为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求a的分布列和数学期望E ();(3 )试判断这1 00名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)【分析】(1)由图求出在50名服药患者中，有 15名患者指标V的值小于60,由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率.(2)由图知：A、C 两人指标x 的值大于1.7,而 B、D 两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2 人中指标x 的值大于1.7的人数的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出&的分布列和E().(3)由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差 大.【解答】解：(1)由图知：在 50名服药患者中，有 15名患者指标y 的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：n_ 15_ 350 10(2)由图知：A、C 两人指标x 的值大于1.7，而 B、D 两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2 人中指标x 的值大于1.7的人数的可能取值为0,1,2,P（=。）=吃 4/4 6.的分布列如下：S012p12 3E ()=OX-+IX4+2X-=1.6 3 6(3 )由图知1 00名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差 大.【点评】本