2023年中考数学压轴题培优教案01共顶点模型（含答案解析）.pdf

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题1共顶点模型解题策略模型1：等腰三角形共顶点已知在等腰ACB 与等腰DCE 中，CA=CB,CD=CE,且NACB=/D CE.如 图，连 接BQ，A E,交 于 点F,则:(l)ABCDAACE；(2)AE=BD；(3)ZAFB=ZACB；(4)FC 平分NBFE.模型2：等腰直角三角形共顶点已知在等腰 RtAACB 与等腰 RtZDCE 中，NAC3=NDCE=90.如 图1，连 接BD.AE,交 于 点F连 接FC.AD.3E.则:(DABCDAACE；(2)AE=BD；(3)AEBD；(4)FC 平分NBFE；(5)AB2+DE2=AD2+BE2；BF=AF+C,EF=DF+72FC；模型3：等边三角形共顶点已知等边ABC与等边DCE,B,C,E三点共线.如 图，连 接BD.AE,交 于 点F,B D与A C交 于 点G,A E与DC交 于 点H.连 接CF.GH.则:(l)ABCDAA CE；(2)AE=BD；(3)ZAFB=ZDFE=6O；(4)尸。平 分/臼 法；(5)B F=A F+FC,EF=D F+FC；(6)ACGH为等边三角形.模型4：相似三角形共顶点AC已知在AC/3 和ECD 中，/=段,NACB=NECD.EC DC如图，连 接BD,AE,交于点F.则：(D(1)BCDs/MCE；(2)ZAFB=ZACB.E经典例题【例 1】(2022全国九年级专题练习)如图,A A B C 为等边三角形，。为A C 边上一点，连接为B。的中点，连接AM.图3(1)如 图 1,若 4 8=2 百+2,工4 8。=4 5。,求4 4 M。的面积；(2)如图2,过点M作MN 1 与 AC交于点E,与B C的延长线交于点N,求证：A D=C N；(3)如图3,在(2)的条件下，将 A B M 沿 AM翻折得力 B M,连接8 W,当 8N取得最小值时，直接写出与子的MN值.【例 2】(2 02 2 江苏八年级专题练习)(1)问题发现：如 图 14 8和4 DC E均为等腰直角三角形，乙4 cB=乙 DC E=9 0。,连接A D,BE,点4、。、E 在同一条直线上,则乙4 EB的度数为，线段A D、BE 之间的数量关系；(2)拓展探究：如图2 二 4(?湃 必 DC E均为等腰直角三角形=Z.DC E=9 0。,连接A D,BE,点4、D、E 不在一条直线上,请判断线段4。、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由.(3)解决问题：如图3,A 4 cB和 DC E均为等腰三角形/4 C B =乙 DC E=a,则直线A D 和B E 的夹角为.(请用含a 的式子表示)【例 3】.(2 02 2 江苏八年级课时练习)如图1,在 A BC 中,A E L B C 于 E,A E=B E Q 是 AE 上的一点，且。E=C E,连接 BD,C D.(1)试判断B D 与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;（2）如图2,若将OCE绕点E旋转一定的角度后,试判断B力与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由；（3）如图3,若 将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变.试 猜 想 与AC的数量关系,并说明理由；你能求出BD与4 c的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能,请说明理由.【例4】（2021福建 闽江学院附中九年级期中）正方形ABCO和正方形AEFG的边长分别为3和1,将正方形A E F G绕点A逆时针旋转.（1）当旋转至图1位置时，连接8EQG,则线段B E和D G的关系为（2）在 图1中，连 接 求 在 旋 转 过 程 中8。尸的面积最大值；（3）在旋转过程中，当点G E Q在同一直线上时,求线段B E的长._培_优_训_练_ _一、解答题1.（2022四川自贡九年级专题练习）问题：如 图1,在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3,4,5,求/A P B的度数？探究：由于南、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将ABP绕点4逆时针旋转60。到4ACP处，连结P尸,这样就将三条线段转化到一个三角形中,从而利用全等的知识，求出N A P B的度数.请你写出解答过程：应用：请你利用上面的方法解答：如图2,A48C中,NC4B=90F8=AC,E、尸为8 c上的点，且NE4F=45。,求证：B E2+FC2=EF2B圉1圉2.（2 02 2全国九年级专题练习）【探究发现】（1）如 图1,在四边形A BC D中,对角线A C 1BD,垂足是O,求证：AB2+CD2=AD2+BC2.【拓展迁移】（2）如图2.以三角形A BC的边4 8、A C为边向外作正方形4 BDE和正方形4 C FG,求证：C E 1BG.（3）如图3,在（2）小题条件不变的情况下，连接G E,若“G Z =9 0。,G E=6,4 G =8,则BC的长.（直接填写答案）3.（2 02 2全国八年级课时练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图 形.如 图1,在“手拉手 图形中4 B=A C 4 =A E,/B A C=N Z M E,连结 B D C E,则AAB。丝A C E.（1）请证明图1的结论成立;（2）如图2,A A 8C和A A E O是等边三角形，连接B 2 E C交于点O,求N B O C的度数;(3)如图3工8=8(7,/4 8。=/瓦 可;=60。,试探究/4 与/(7 的数量关系.4.(2022.重庆开州.八年级期末)在正方形ABCO中，连接对角线AC,在 4 c 上截取4E=BC,连接BE,过点A作4 尸1 BE于点尸，延长A F交B C于点M.如 图 1,连接ME并延长交A D的延长线于点。，若BC=5,求4 4QM的面积；(2)如图2,过点A 作4P 1 4M于点A,交CD的延长线于点尸,求证：AP-2 F M=BE.5.(2022福建省福州延安中学模拟预测)如图，在用 S C 中/力CB=90 C=BC,D为斜边AB上一动点(不与端点4 8 重 合)，以 C 为旋转中心，将 C。逆时针旋转90。得到CE,连接尸为AE的中点.求证：BE LA B；(2)用等式表示线段CD8E,C/三者之间数量关系，并说明理由；(3)若 仃=|。=疗 求 13叱 8 的值.6.(2022浙江湖州中考真题)已知在RfA48C中,N4CB=90。/力 分 别 表 示 的 对 边,a b.记 ABC的面积为S.图3 如 图 1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形B G F C.记正方形ACDE的面积为S1,正方形8GFC的面积为52.若S=9$2=16,求 S 的值；延长E 4交 GB的延长线于点N,连结FN,交 BC于点M 交 AB于点若 F H _L AB（如图2 所示），求证：S2 S1=2 S.（2）如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形AC。和等边三角形C8E,记等边三角形4C。的面积为S1,等边三角形CB的面积为S 2.以AB为边向上作等边三角形AB尸（点 C 在aAB尸内），连结Ef b.若 EF_LCF,试探索S2-Si与 S 之间的等量关系,并说明理由.7.（2022 贵州遵义 三模）某校数学兴趣学习小组在一次活动中,对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：A(1)发现问题：如 图1,在等腰AABC中,4B=4C,点M是边BC上任意一点，连接AM,以4M为腰作等腰AAMN,使AM=AN,/M4N=/8AC,连接C N.求证：ACN=AABM.(2)类比探究：如图2,在等腰 ABC中=30。,48=BC,AC=4,点M是边BC上任意一点，以4M为腰作等腰 AMN,使AM=M N/AM N=乙B.在点M运动过程中,4N是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在,请说明理由.(3)拓展应用：如图3,在正方形4BCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG,H是正方形DEFG的中心，连接C H.若正方形DEFG的边长为6,CH=2近，求 CDH的面积.8.(2022重 庆一中七年级期中)如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE,其中A8=AQW=AE.如 图1,若NBAC=90。,当C、D、E共线时,A D的延长线A fL B C交BC于点尸，则NACE=；(2)如图2,连接C、3E,延长E)交3 c于点F,若点尸是8 c的中点,NBAC=/D4E,证明：ADLCD-,(3)如图3,延长0 c到点M连 接 使 得 乙48加+乙4皿=180。,延长ED、BM交于点N,连接AN,若NBAC=2NNA,请写出NADW、N D 4E它们之间的数量关系，并写出证明过程.9.(2022 重庆巴蜀中学一模)在等边A2BC中，点。在AB上，点E在BC上,将线段O E绕点。逆时针旋转60。得到线段OF,连 接CF.A图图(3)。(1)如 图(1)，点。是 AB的中点，点 E与点C重合，连接4 F.若A B =6,求 AF的长；(2)如 图(2)，点 G在 AC上且乙4G D =60。+4只78,求证：C 尸=C G；(3)如 图(3),48=6,8。=2。后,连接4 过点F作 AF的垂线交AC于点P,连接B P、D P.将 B 0 P 沿着B P 翻折得到 B Q P,连接QC.当 A D P 的周长最小时，直接写出 C P Q 的面积.10.(2022 江苏八年级课时练习)A C8 和口:是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形.问题发现：如 图 1,若点A,D E 在同一直线上，连接A E.8 E.求证：A C。丝 8 CE；求/A E B 的度数.(2)类比探究：如图2,点 8、E在同一直线上，连接A J4 ,8 E,CM为 “中。E边上的高，请求/4 O B的度数及线段。氏A。,O W 之间的数量关系,并说明理由.(3)拓展延伸：如图3,若设A O (或其延长线)与8 E 的所夹锐角为a,则你认为a为多少度，并证明.1 1 .(2 0 2 2 浙江诸暨市浣江初级中学一模)【问题探究】(1)如 图 1,锐角aABC 中,分别以A B、AC 为边向外作等腰直角 回 和等腰直角A CZ),使 A E=A 8,A O=A C,N B A E=/C4 =9 0 ,连接BD,C E,试猜想8。与 C E的大小关系,不需要证明.E图I【深入探究】（2）如图2,四边形A B C。中,4 8=5,8 C=2,N A B C=N A C =N A OC=4 5 ,求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和 4 B D全等的三角形,将进行转化再计算,请你准确的叙述辅助线的作法,再计算；E.工B C图2【变式思考】（3）如图3,四边形A 3 C Q中,4 8=8 C,/A B C=6 0 4B-C图31 2.（2 0 2 2.河南周口.九年级期末）观察猜想工B，7 TS/c 5 C M B M图1 图2 图3（1）如 图1,在等边A A B C中，点M是边B C上任意一点（不含端点8、接CN,则N A B C与乙4 CN的数量关系是_ _ _ _ _ _.,/A O C=3 0 ,AD=6,BD=10,则 CDTcC），连接A M,以A M为边作等边4 MN,连类比探究如图2,在等边ABC中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C）,（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由.（3）拓展延伸如图3,在等腰2BC中,B4=BC,点例是边8C上任意一点（不含端点B、C）,连接AM,以 力M为边作等腰4MN,使顶角MN=N 4B C.连按C N.试探究乙1BC与乙4CN的数量关系,并说明理由.13.（2021 辽宁东港市第七中学一模）如图，在4BC、ADEV AB=AC,AD=A E,B A C =DAE=a.连接BD,以BC、BD为邻边作团BDFC,连接EF.若a=60。,当4D、AE分别与AB、AC重 合 时（图1）,易得EF=C F.当 ADE绕点4顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段EF、CF的数量关系；（2）若a=90。,当力DE绕点4顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段EF、C尸的数量关系，并证明你的结论；（3）若a为任意角度,4B=6,BC=4,40=3,4DE绕点4顺时针旋转一周（图4）,当4、E、F三点共线时，请直接写出4尸的长度.14.（2022江苏苏州高新区实验初级中学三模）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.【理解运用】如 图1,对余四边形中,A8=5,BC=6,CO=4,连接AC,若AC=AB,则cos乙48C=,sinZC AD=_图1(2)如图2,凸四边形中4。=8力 4，8。,当2 0+c=C 42时，判断四边形A B C。是否为对余四边形，证明你的结论.图2【拓展提升】(3)在平面直角坐标中4 (-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形A B C。是对余四边形，点 E 在对余线8。上，且位于AM C 内部,/A E C =90。+ZA B C.设 祭=，点。的纵坐标为f,请在下方横线上直接写出与f 的函数表达,并注明 的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .15.(2022陕西咸阳八年级期末)A B C 和 A D E如图所示，其中/A B C =/.AC B,/.ADE=AED,.BAC =DAE.图 图(1)如图，连接B E、C D,求证：BE=C D；(2)如图，连接B E、C D、BD,若乙BAC =Z.DAE=6 0,C D 1 AE,AD=3,C D=5,求B D 的长.16.(2022 河北保定八年级期末)如图1/A C D =90。,4c =D C,M N 是过点4 的直线，过点。作D B 1 M N 于点仇连接C B；过点C作C E 1 C B,与M N交于点E.图I图2图3N.连接A D A D是AC的 倍；(2)直线MN在 图1所示位置时,可以得到线段8。和AE的 数 量 关 系 是,B C-B 4与8 c之间的数量关系是，请证明你的结论：(3)直线M N绕点、A旋转到图2的位置，若BO=2,BC=&,则4 3的长为(直接写结果)；(4)直线M N绕点、A旋转到图3的 位 置 时,直 接 写 出 线 段 之 间 的 数 量 关 系.17.(2021江苏苏州八年级期中)【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中有一个三角形是等腰直角三角形,则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”,把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形,则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”.E(1)【巩固新知】如图，若AD=34 =。8=。(7,8。=3或,则四边形48。(填“是”或“否”)真等腰直角四边形.【深度理解】在图中，如果四边形A8CD是真等腰直角四边形，且N8Z)C=90。,对 角 线 是 这 个 四 边 形的真等腰直角线，当AD=4AB=3时，则边8 c的长是.如图,四边形ABCO与四边形ABCE都是等腰直角四边形，且/8。=90。,/4。=90。,8。4。4比对角线B。、A。分别是这两个四边形的等腰直角线.求证：AC=BE.(4)【拓展提高】在图3中,己知：四边形ABC。是等腰直角四边形,对角线BD是这个四边形的等腰直角线.若BO正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AO=34B=4,/B 4 4 5。,求AC的长.18.(2022江苏八年级课时练习)如图,在等腰4A B C与等腰中4B=ACAD=AE,NBAC=/D4E=a，连接B D和C E相交于点P,交AC于点M交A D于点N.求 证:BD=CE.(2)求证：A P 平分NBPE.若a=6 0。,试探寻线段P E、A P、之间的数量关系,并说明理由.19.(2022全国八年级课时练习)在A A B C中/B =90。,。为8 C延长线上一点，点E为线段4C,C C的垂直平分线的交点，连接EA,EC,ED.图1图2图3(1)如图 1,当484c =5 0。时，则U E D=；(2)当Z _ B 4C =6 0。时，如图2,连接A。,判断 A ED的形状，并证明；如图3,直线C F与E D交于点F,满足Z C F D =4 E.尸为直线C F上一动点.当P E-P D的值最大时，用等式表示尸 尸。与 之 间 的 数 量 关 系 为，并证明.20.(2021 安徽合肥八年级阶段练习)如图，在AABC和AAOE中,48=A C 1)=A E,NB A C=ND 4E,连接BD,CE,BD与C E交于点O,BD与A C交于点F.(1)求证：BD=CE.(2)若NB A C=48。,求N C O。的度数.(3)若 G为 C E上一点,G E=O 2A G=O C,且 A G B Z),求证：BDAC.BAC21.(2021福建省福州延安中学九年级期中)如图,AABC为等边三角形，点。为线段B C 上一点，将线段A O以点4 为旋转中心顺时针旋转6 0。得到线段A E,连接BE点D关于直线B E的对称点为F,BE与。尸交于点G,连接 DE,EF.(1)求证：30(2)若/EF )=45 o,A C=VI+l,求 8。的长；(3)如图2,在(2)条件下，以点。为顶点作等腰直角 O MN,其中。N=M N=e，连接F M,点。为 FM 的中点，当绕点。旋转时,求证：E O的最大值等于BC.O M22.(2021河南许昌九年级期中)如图，在等腰直角三角形A 8 C 和 4 O E 中4 C=A 8 K O=A E,连接皮)，点M、N分别是8 ,B C 的中点，连接MN.(1)如 图 1,当顶点。在边AC上时，请直接写出线段8 E 与线段M N的数量关系是，位置关系是.(2)当 A O E 绕点4旋转时，连接8 E,上述结论是否依然成立，若成立,请就图2 情况给出证明：若不成立，请说明理由.（3）当 AC=8时，在绕点A旋转过程中，以 D,E,M,N 为顶点可以组成平行四边形，请 直 接 写 出 的长.23.（20 21 福建莆田九年级期中）如 图 1,在等边A A B C 中/4 =6 0。,4 8 =4 7,点。,分别在边4 8,4 7上S D =4 E,连接。C,点 M,P,N 分别为D E,D C,B C 的中点.（I）观察猜想：图 1 中，线段PM 与P N 的数量关系是/M P N =；（2）探究证明：把A A D E 绕点4逆时针方向旋转到图2 的位置，连接MN,8 D,C E,则上面题（1）中的两个结论是否依然成立,并说明理由；（3）拓展延伸：把A A D E 绕点4在平面内自由旋转，若力D =4,A B =1 0,请直接写出APM N周长的最大值24.（20 21 四川成都七中八年级期中）已知，在aABC中,A B=A C,（1）如 图 1,乙4 8。=2%4 3 4 =%若。=3 0。,且点 在。的延长线上时,求证：。屏 二 口 下+力 以；（2）如图2,乙4 B C =2 a,BDA=a,若a =3 0。,试判断A O,8 0,CD之间的等量关系，并说明理由（3）如图 3,若乙BDA=/.ABC =4 5。,4。=6 e,8。=5,求 C D 的长.25.（20 21河南南阳八年级期中）在A B C中,N B 4 C=9 0 o,A B=A C,。为B C的中点.（1）如 图1尸分别是A 8、A C上的点，且8 E=A F、求证：。所 是等腰直角三角形经过分析已知条件4 B=A C Q为B C的中点.容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图.请帮助该同学补充完整流程图.补全流程图：-=,N E D F=（2）如果瓜 尸 分别为A 3、C A延长线上的点，仍有8 E=4 F,其他条件不变，试猜想O E F是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明.26.（20 21四川成都嘉祥外国语学校九年级期中）正方形A B C Z）中，点E、F 在 B C、C O上，且B E=C RA E与 B F 交于点G.（1）如 图1,求证（2）如图2,在G尸上截取G M=G B,/M A D的平分线交C D于点H,交 B F 于点N,连 接C N,求证：A N+C N=丘 B N；（3）在（2）的条件下，若1 21 I/4 8=3,5 4 2=，,求4 8的长经典例题【例1】(2022全国九年级专题练习)如图,AABC为等边三角形Q 为AC边上一点，连接BZXM为8。的中点，连接AM.(1)如 图1,若48=2 b+2,/4 8。=45。,求4 AMD的面积；(2)如图2,过点M作MN 1力M与AC交于点E,与BC的延长线交于点N,求证：A D=C N；(3)如图3,在(2)的条件下，将力BM沿AM翻折得A ABM,连接BN,当B N取得最小值时，直接写出喙售的MN值.【答案】(1)3+V3:(2)证明见解析；返14【分析】(1)过点。作根据/4 3。=45。,/54。=60。解 三 角 形 求 出=7 4 =2百，可得SAABD=6+26再结合三角形中学性质即可解得；(2)过点A作AGJ_8C,垂足为G,连接MG,又中位线性质和NACB=60。,得44GM=30。,再通过四点共圆证明4ANM=乙4GM=30。,进而可得NM4N=60。,从而可证明 APN为等边三角形，延长AM到P,使MP=AM,连接/M构造 P M B=4MD,得继而证明4 BAP=C AN (S AS)，从而可得BP=CN,由此即可得出结论；(3)取AC的中点Q,连接8Q,取8。的中点K,连接KM,通过构造A/IMQ 4NB,得出即。为AC的中点时,BN取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解.(1)解：如解图1,过点D作DH 1AB,：乙480=45,：.BH =H D,.,在 A B C 为等边三角形中,/8 A C=6 0。，A tan z B/lC =V3,-H D=V 3AH,A B =B H +A H =V 3AH +AH,又；4 B=2 8+2,.V 3AH +AH=2 V3 +2.：.AH=2,-H D=V 3 A H=2 7 3,：-Sh A B D=AB-H D=i(2 V3 +2)x 2 V3 =6 +2 6,.何为BO的中点，S =/.“6 +2 V3)=3 +V3；如解图2,过点A作4 G 1 8 C,垂足为G,连接MG.A 8 C 为等边三角形，：.BG=G C,:BM=DM,J.MG/AC,.B G M =乙 AC B=6 0 ,J.Z.AG M=Z J G B-乙B G M=9 0 -6 0 =3 0 ,又A M 1 MN.AG 1 BC,.A M N =Z.AG N=9 0 ,*、M、G、N 四点共圆,:乙ANM=Z.AGM=30,M A N =90 一 乙ANM=60,又MP二 AM3M 1 MN,：.AN=PN,又,：(MAN=60,4PN为等边三角形,4P=AN,9：Z.BAC=乙 PAN=60,：.Z-BAP+乙 PAC=Z.PAC+乙 CAN,乙BAP=4 CAN,如解图2,延长AM至 lj P,使 M尸 二 AM,连接PN,；BM=DM/AMD=乙 PMB,：.AMD WPMB(SAS)；AD=BP,在 84尸和CAN中，AB=AC乙BAP=乙CAN,、AP=AN：.BAP 三CAN(SAS)：.BP=CN,：,AD=CN；(3)取 AC的中点Q,连接BQ,取BQ的中点K,连接KM.将ABM沿 AM翻折得.B A M =/.MAB,AB=AB=AC,又=乙 CAN,J.Z.MAB=乙 CAN,.M A N -“AN=/-MAN-NM48,即：/.MAC=乙NAB,又 Z N M =30。,他=AC=AB,.AM_ _ AQ_ _ 19 AN ABf 2/.AMQ ANB、：.BfN=2MQ,又；BM=MD,BK=KQ,：.KM/QD,又,：AB=BC,：.BQ 1AC9：.BQ 1 KM,:.KQ =/8CE,证明ACO丝BCE(SA S)，即可求得 4O=8E；NBEC=NCDA=135。；(2)延长力。交BE于点F,同理可得AC乡8CE,设N 硼8=a,则/CA=NCBE=45a,根 据/ABE=45+45-a=90-a,进而根据 ZAFB=1800-Z FAB-ZABE=l 80-a-(900-a)=90o,即可求解；(3)延长3E 交 4。于点G,方 法 同(2)证明AC。丝8CE,进而根据三角形的内角和定理即可求得直线4D和BE的夹角.【详解】(1)：AACB和ADCE均为等腰直角三角形，乙4cB=NDCE=90。，：.AC=BC,CD=CE,ZCDE=45：.ZCDA=135NACB-NDCB=NDCE-NDCB,：./A C D=ZBCE.在ACO和BCE中，AC=BC,Z-ACD=Z-BCE,、CD=CE：.AACDABCE(SA S),ZBEC=ZADC=350AD=BE/.ZAEB=90故答案为：90AD=BE(2)AHB&4O_1_3E,理由如下，同理可得ACOgaBCE,则 AD=BE,延长4。交BE于点F,设 Z M8=a,则 ZCAD=Z CBE=45-a.ZAB=45+45-a=90-a,ZAFB=180-Z FAB-ZABE=180-a-(90-a)=90cE图2：.ADLBE(3)如图，延长BE交 于 点G,图3,4。8和4 DCE均为等腰三角形,:,AC=BC,CD=CE,V ZACB=ZDCE=af：ZACB+ZACE=/DCE+NACE,：.NACD=NBCE.在ACO和BCE中，(AC=BCFO=180-90=90,：.BD1,AC；(3)./3 E 4 =ND；C=90。，:.ZBEA-ZAED=/DEC+/AED,:/B E D=/A E C,在BE。和AEC中，A/XBED/AEC(S A S),:BD=AC,能.设4 7 与BD交于点F,如下图:理由：:/WE和 口:是等边三角形,BE=AE乙 BED=Z.AECDE=ECBE=AE乙 BED=Z.AECDE=EC:AE=BE,DE=EC,/EDC=/OC=60,N3EA=NEC=60。,NBEA+NAED=NDEC+NAED,:/BED=/AEC,在BE。和4EC中，BE=AE(BED=Z-AEC,DE=EC:ABED4/XAEC(SAS),:.NBDE=ZACE.BD=AC.D F C =180 一 (乙BDE+乙EDC 4-乙DCF)=180。-ACE+乙EDC+乙DCF)=180。一(60。+60。)=60,即BD与AC所成的角的度数为60。或120.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质.【例4】(2021福建 闽江学院附中九年级期中)正方形A3CQ和正方形AEFG的边长分别为3和1,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转.备用图(1)当旋转至图1位置时，连接BEQG,则线段BE和。G的关系为；(2)在 图1中，连接BRBFQF,求在旋转过程中 8CF的面积最大值；(3)在旋转过程中，当点G,E,D在同一直线上时,求线段BE的长.【答案】(1)BE=DG.BE 1 DG；(2)7.5；(3)图+&或 回 一 企【分析】(1)利用正方形的性质证明ABZE三ZMG即可证得结论;(2)连接尸,4C,设4c交BD于点K.利用勾股定理求出4F.AK,llMF=&推出当点尸A K在同一直线上时，点尸到BD的最大距离=V2+!V2=|V I由此可得结论；(3)分两种情形：如图2 1中,当。,E,G共线时，连接4F交DG于兀 如图2-2中，当D,E,G共线时，连接4尸交DE于T.利用勾股定理求出DT,可得结论.【详解】解：(1)BE=CG,BE J.DG,理由如下:如 图1中，设BE交4。于点。，交DG于点/.图1 四边形ABC。、四边形AEfG都是正方形，4BAD=/.EAG=90,AB=AD,AG=AE,乙 BAD+Z.DAE=Z-EAG+z.DAEy Z.BAE=Z.DAG,在BAE和IMG中，AB=AD乙BAE=Z-DAG,AE=AGBAE=DAG.BE=AG,Z-ABE=Z.ADG,v 乙BOD=Z.ABE+乙BAD=Z.ADG+乙DJO,乙BAO=DJO=90,BE 1 DG,故答案为：BE=DG,BE_LDG；(2)如图1中，连接尸,4F/C,设AC交BD丁点K.G图1 四边形力BC。、四边形AEFG都是正方形，AB=A D =3,/.BAD=90,E4=EF=1,AEF=90,BD=AC=V32+32=3 0,AF=V l2+l2=VI,AK=CK=|V2,v AF=V2,二当点F A K 在同一直线上时,点尸到8。的最大距离=V2+|V 2=|V2,BDF的面积的最大值为:X3V2X|V2=7.5；(3)如图2-1中，当。，瓦G共线时，连接4尸交DG于T.图27:四边形4EFG是正方形,AF 1 EG,AF=EG=y2,AT=FT=TG=TE=鸿,DT=yjAD2-A T2=J 32-(1V2)2=|V 34 DG=GT+DT=-/2+工 闻，2 2 BE=DG,.BE=g&+g 后；如图2 2中，当D,E,G共线时，连接ZF交DE于T.图2-2:四边形4EFG是正方形，AF 1 EG,AF=EG=a,AT=FT=TG=TE=淖，DT=JAD2-A T2=J32-(|V2)2=1V34DG=DT-GT=iV 3 4-1 V 2,BE=DG,：.=|V 3 4-|V 2；综上所述，满足条件的CG的 长 为:舟+|V 2|V 3 4-1 V 2.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.培优训练一、解答题1.（2022四川自贡九年级专题练习）问题：如 图1,在等边三角形A8C内，点尸到顶点A、B、C的距离分别是3,4,5,求NAPB的度数？探究：由于 必、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将AB尸绕点A逆时针旋转60。到4ACP处，连结P P,这样就将三条线段转化到一个三角形中,从而利用全等的知识，求出NAPB的度数.请你写出解答过程：应用：请你利用上面的方法解答：如图2,ZMBC中,NC48=90。4 8=AC,E、尸为8 c上的点，且NEA尸=45。,求证：BE2+FC2=EF2【答案】探究：NAP8=150。,应用：见解析【分析】探究：运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出/刑=60,再利用等边三角形的判定得出4 P P 为等边三角形，即可得出/A P P 的度数，即可得出答案；应用：利用已知首先得出AEGgZXAFE,即可把EF,BE,FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明.【详解】探究：解：将AABP绕顶点A旋转到A C P 处，.8AP丝（?”，：.AB=AC,AP=AP,Z B A P=Z C A P,：.ZBAC ZPAP=60,：./A P P 是等边三角形，A ZAPP=60,因为B P P 不一定在一条直线上，：.P C=P B=4,P P=以=3,P C=PC=5,：.ZPP C=90,：./P P c是直角三角形，A ZAPB=ZAP C=NAPP+NP PC=60+90=150,./BE4=150；应用：证明：把 绕 点 从 顺 时 针 旋 转 90,得到A 8 G.连接EG.贝丝/XABG.AG=ABG=CF,/ABG=NACF=45.:ZBAC=90,ZGAF=90.：.ZGAE=ZEAF=45,在AEG和AFE中，,AG=AFZ.GAE=Z.FAE,AE-AE：./A E G/A F E(SAS).：.EF=EG,又.,NGBE=90,：.BE?+BG2=EG2,即 BE2+CF2E F2.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理,读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键.2.（2022 全国九年级专题练习）【探究发现】（1）如 图 1,在四边形ABCO中,对角线4C_LBD,垂足是。，求证：AB2+CD2=AD2+BC2.【拓展迁移】（2）如图2.以三角形ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,求证：CE 1BG.（3）如图3,在（2）小题条件不变的情况下，连接GE,若“G4=90。,随=6/G =8,则BC的长.（直接填写答案）【答案】(1)见解析；(2)见解析：(3)2V73.【分析】(1)根据4c 利用勾股定理分别求出4炉+。/52和4D2 +BC2即可证明结论：(2)利用正方形的性质证明ACAE丝4GAB(S A S)，可得NCE4=NG84,根据NGB4+/A M 3=90。等量代换求出NEMN=90。即可；(3)利用勾股定理分别求出AE、CG和8E,然后利用(1)中结论求出8 c即可.【详解】解：(1).AC 1 BD,：.ZAOD=ZAOB=ZCOD=ZBOC=90,由勾股定理得：AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2,：.AB2+CD2=AD2+BC2；(2):在正方形4BDE和正方形4CFG中,4C=AG,AE=AB,NCAG=NEAB=90。，ZCAG+ZGAE=ZEAB+NGAE,即 NC4E=ZGAB,.CAE丝 GAB(SAS),/C E 4=NGBA,：ZGBA+ZANB=90,ZANB=ZMNE,，NCEA+NMNE=90。,：.NEMN=90。,：.CE 1 BG；(3)如图3,连接CG,BE,：Z.EGA=90。,GE=6,AG=8,AC=84=V62+82=10,：.AB=0,.CG=V82+82=8V2,B=V102+102=10V2,；C E 1 BG,.由(1)可知：G E2+B C2=C G2+B E2,即3 6 +B C2=1 2 8 +2 0 0,VB O O,BC=2 V 7 3.故答案为：2 后.【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键.3.(2 0 2 2 全国八年级课时练习)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图 形.如 图 1,在“手拉手”图形中工B=A C A 3=A E,/B A C=N Z M E,连结 BD,C E,ABD/AC E.图I图3(1)请证明图1 的结论成立;(2)如图2,AABC和4 区是等边三角形，连接BDE C交于点。，求NBOC的度数;(3 汝口图3 4 8=8。,/4 8。=/8。=6 0。,试探究/4与/C的数量关系.【答案】见解析(2)6 0 Z A+Z B C D=1 8 0。,理由见解析【分析】(1)利用等式的性质得出N 8 4庄/C 4 E,即可得出结论；(2)同(1)的方法判断出A 8 D丝A C E,得出N A D B=N A EC,再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出N B O C=6 0。,即可得出答案;(3)先判断出%尸是等边三角形，得出8 D=B P,/8 P=6 0。,进而判断出4 R D四C B P (S A S),即可得出结论.(1)解：证明：V ZBAC=ZDAE,：.ZBAC+Z CAD=ZDAE+Z CAD,：.ZBAD=ZCAE,在A B O和A C E中，AB=A