数学（新高考Ⅰ卷B卷）-学易金卷：2023年高考第—次模拟考试卷附解析.pdf

2023年 高 考 数 学 第 一 次 模 拟 考 试 卷（新 高 考 I 卷）数 学-全 解 全 析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12B A D D B B B A BC ABD AC BCD一、单 项 选 择 题：本 题 共 8小 题，每 小 题 5分，共 40分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.【答 案】B【详 解】V P=x|log2x l=x|0 x 2,Q=X|Y-4 X+3 0=X 1 X 3,P _ Q=X|O X M 1.故 选：B.2.【答 案】A【详 解】；3cos2or+sin a=1,2/.3（l-2 s in2）+sin a=l,即 6sin?a _ s in a _ 2=0,，sin a 二 1 或 sina=-（舍 去），J N,cosa=#，sin（7 t-a）=sin a=-|,cos（兀 一 a）=-c o s a=-乎，sin（1+c=cosa=c o s+“=_ sin a=|.故 选：A.3.【答 案】D【详 解】6人 分 组 有 2种 情 况：2211,3111,所 以 不 同 安 排 方 案 的 总 数 为 卡+烧 A：=1560.故 选：D.I A?J4.【答 案】D7 T 7 T 27r【详 解】由 于 NB=m，故 当?C是 等 腰 三 角 形 时，4 4=占 或 乙 4=弓 或 NA=:；6 6 12 3当=3 时;W 3 C是 等 腰 三 角 形，所 以“止 C 是 等 腰 三 角 形 是 乙 4=丁 的 必 要 不 充 分 条 件，所 以 选 项 A不 正 6 6确；23 2.yfi D当 48=26 时，丹;=2，B P C=T T-所 以 N C美 或“=:，则 4 4=1 或 4=9smC sinB sin 3 3 2 66当 4=时，NC=,根 据 正 弦 定 理 可 得 A8=2 6,所 以 AB=2 6 是 N4=的 必 要 不 充 分 条 件，所 以 选 项 6 3 6B不 正 确;当 8 c=4时，且？=空，即 餐/=-解 得 sinA=l,4 4=5,所 以 BC=4不 是 NA=冷 的 充 分 条 件，sinA smB sin 2 6o所 以 选 项 C不 正 确；当 NA=弓 时，SJBC=&；当 L s c=g 时，即;8 4=4 G,根 据 余 弦 定 理 BC-+BA2-2 B C B A-COSB=4,MW BC1+BA2=16,EC B A,BC=2,BA=273,则 NA=J,所 以 65.=百，0,C v所 以 f(x)在(e,o)上 单 调 递 减，在(0,田)上 单 调 递 增，因 为 s i n l#,ta n 2-l c o s 3 1-cos3 sinl 0,又 a=/(s i n l),Z?=/(ta n 2)=/(-t a n 2),c=f(cos3)=f(-c o s 3),所 以。c a.故 选:B.7.【答 案】B【详 解】如 图，由|丽|2=亚 丽，有 丽?+方.丽=0,可 得 丽.(即+方)=0,可 得 丽.丽=0，有 B D J.A B.12在 RtzXABZ)中，由 t a n/f；4B=M，不 妨 设 忸 耳|=12巩%0),则|AB|=5?，由 勾 股 定 理 得|A用=13加，又 由 双 曲 线 的 定 义 可 得|然|=13加-2”，忸 局=12?-2”，根 据 忸+忸 闻=|明 可 得(3m一 2)+(12助 一 2)=5 1,解 得 a=5 z,所 以 忸 用=2m,在 中，2c=|百 后 卜 J144 2+4/%2=2历 可 得 c=G%n,故 双 曲 线 E 的 离 心 率 为 e=息 竺=亘.故 选：B.【详 解】不 妨 设%尤 2,由)国)2可 得 出/(大)一)2 4 一 2叫,X X2即 xJ-2X1/(X2)-2 X2,令 g(x)=/(x)2尤=-e Inx Inx Z JC 2 H+1,其 中 x0.则 g()g(W)，所 以，函 数 g(x)在(。，+8)上 为 增 函 数，r,，/2x lnx+l,(.，lx lnx+l(c 1则 g(x)=e2-1 2+-l0,则 ke2x-I 2+-人 2*lnx+1 I.,1)廿 士 八-2x Inx 2x2e2+Inx令(x)=e-I 2+-J,其 中*0,h(x)=2e-x+=-令 p(x)=2x2e2+lnx,其 中 x 0,所 以,p(x)=4x(x+l)e2jr+0,所 以，函 数 P(x)在(0,+8)上 单 调 递 增，因 为!卜/-卜。，p(l)=2e2 0,所 以，存 在/使 得(%)=2x；e、+Inx()=0,则 2/2%=-lnx0=In,令 G)=W，其 中 x o,则 r(x)=(x+l)e0,故 函 数 r(x)在(O,+8)上 为 增 函 数,因 为 Xo/Ll,1 e,所 以，0In-!-l,e)X。“0由 2x0e2%=lnL可 得 f(2%)=/ln-L,所 以，2x0=-lnx0,可 得 e2”=，%X()xo J 玉)且 当 0 x玉 时,(x)x0时，(x)0,此 时 函 数(x)单 调 递 增，所 以，人(x)mM n/MxoLe”-玉+1 _卜+1)=1(1 2%)_卜+=,所 以，&故 选：A.X Q ey e e二、多 项 选 择 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求，全 部 选 对 的 得 5分，部 分 选 对 的 得 2分，有 选 错 的 得 0分.9.【答 案】BC【详 解】Z,b对 于 A,团=(一 2/=(a)”0,同 理 区|=(夜)”0,故 A错 误;对 于 B,2仔 2|=卜 忆|=(血)(&)=(&)=(&)=4&,故 B正 确;b对 于 C,(夜)，由 a+/?=2,则 a=2 6,2b-2 1,1I=2 T,因 b 0,则 2T：,故 c正 确;对 于 D,由 囿=2%|,则 k=(0 厂=2,即=1,a-b=2,故 D错 误.故 选：BC10.【答 案】ABD【详 解】对 于 A,因 为 A8/.C,又 因 为 面 A/P,RCZ面 ABP,所 以 RC 面 A B P,所 以 直 线 CR到 平 面 ABP 的 距 离 相 等，又 AA B P的 面 积 为 定 值，故 A正 确;ClCl Z 15c对 于 B,取。2,D C的 中 点 分 别 为 M,N,连 接 AM,MN,AN,则 易 证 明：AM UPC,AM U 面 A B P,P C a 面 A B P，所 以 AM 面 A 8 P,又 因 为 A 8/M N,A/N u 面 A B P,AB J AD2+DN2-2A D-DNcos 120=4+l-2 x 2 x l x(-l j=-Jl,所 以 Q,M 重 合,所 以 则 AQ的 最 小 值 为 AM=石，故 B正 确；对 于 C,若 AB。的 外 心 为 M，过 M 作 于 点”，屣 卜 切+2、=2 0则 还 丽=g 4 律=4.故 C错 误；在。,。6 上 取 点 4,4，使 得 A A=G，A A=I,则 A A=44=近，0 4,=%=7=2所 以 若 4。=近，则。在 以。为 圆 心，2为 半 径 的 圆 弧 4 4 上 运 动，又 因 为 4。=1,0 4=6,所 以 4 3。4=与，则 圆 弧 4 4 等 于 故 D正 确.故 选：ABD.I I.【答 案】AC【详 解】由 分 步 乘 法 计 数 原 理 可 知：洋=1,2,选 0或 1,均 有 2种 选 择，故（q g，,Q）共 有 2个,A正 确;因 为 数 列。“是 等 差 数 列，所 以 4,-=3 为 定 值,当%=0,贝！Ie：=。(i=l,2,贝!=+a2c2+q,q=0,当 c“=1,贝 ljc,=1(i=1,2,，则/“=4+a,t-卜”“=1+2+3+”=B错 误;若 数 列 仍“是 等 差 数 列，则 b h-i=4c”=(q+c?+.+c.)c为 定 值，只 有 q=0(i=l,2,能 满 足 要 求,故 a,=0,C正 确；若 数 列 是 等 比 数 列，则 3 二-4 为 定 值,且 q#0，因 为 勿 w O,所 以 C“H。，a,cl+a2c2+-+ancn=(a,c,+a2c2+.-+,所 以 a”c,=(g-l)(q q+a2c,+-+a.lc.,),若 q=l，则 a=(C i+C2+“+q,)Q=0,所 以 c.=0,舍 去；若 q*l,q 4=(4-1)4 4,(c,+c2)c2=(-l)c,2,其 中 q=C 2=l,解 得：q=3,a3c3=(q-l)(aIc,+a2c2),其 中 q=c?=C 3=1，解 得:4=2,故 g 不 是 定 值，数 列 不 可 能 是 等 比 数 列，D错 误.故 选：AC12.【答 案】BCDu u uuu|U叫|UU*|I|I i I|【详 解】若 满 足 Q4=3AB，设 网=r,0 t 2,则 有 画=3 f,邮=4 r,|。卜 2,M=Y 2.如 下 图:在 4 0 0 8 中，由 余 弦 定 理 得:cos“OB-1 时+1。*幽,22+(旬 2-1vV o Z-：；：一 2OQ-QB 2x2x4f3+16/在 AOQA中，由 余 弦 定 理 得:cos/。3 叫 驾 芈 忆 女=小 土 峋 工 应 2|OQHQA|2x2x3r 4/16z 4r解 得 f=；,，点。(2,0)是 圆。的“3倍 分 点”，故 A 错 误；过。作 弦 A 8 的 垂 线 垂 足 为。，当 尸 在 直 线/：)=-2上 时，如 下 图：若 P 是 圆。的 4 倍 分 点 唧 序=；而，设 网 斗，|西=%则 有 陶=2 r,网=3f.在 AOR4中,由 余 弦 定 理 得:cosNOPA=|OP|2+|AP|2-|OA|22OP-AP 2at在 OP8中，由 余 弦 定 理 得:cos Z.OPB=|OP|2+|fiP|2-|Og|2 g2+(3f)2-l2OP-BP-2a-3ta2+9t2-iGat+e-=a2+9t2-l 解 得 产 又.|福 卜 2f 422at 6at 3即 产 解 得 laW2,3又：y=x-2与 坐 标 轴 得 交 点 为 M(2,0)与 N(0,-2),则 在 直 线/：y=x-2 上，圆。的 倍 分 点”的 轨 迹 长 度 为|MN|=2后，故 B 正 确;在 圆 O:(x-6y+y2=l上 取 一 点 尸，若 点 P 是 圆。的“2倍 分 点”,则 有 尸 文=2 4 8，设,B1=f,0t2,|。耳=a,5 a 7,则 有 网=2r,|PB|=3z,如 下 图:2+(3炉-1 _/+9/一|2a x 3r 6al在 OPB中,由 余 弦 定 理 得：cosNOPB/:己 一|同 在 OR1中,由 余 弦 定 理 得:cosNOPA=|OP|2+|PA|2-|OA|22|。斗 附 Y+)2-1 Y+4/一 2ax2t 4。16+9产-16at 7-L 4/1-，角 毕 得 片=6产+1 25,BP0:(x-6y+y2=i上，恰 有 1个 点 是 圆。的“2倍 分 点”，故 C 正 确;设 网=r(XY2,|西=。.如 下 图：若 点 P 是 圆。的“1倍 分 点”则 有 网=，网=2r,在 OPB中，由 余 弦 定 理 得:cosZOPB=|。叶+归 砰-画 2 O P-P B/+(2 f)2-l2ax2t+4/一 14at在 AOP4中，由 余 弦 定 理 得：cos NOPA=W:T I=a2-kt2-1 _ a2+4t22at 4at，解 得 p=2*+l,2 G(0,9,由 上 面 的 结 论 可 知，若 点 尸 是 圆。的“2倍 分 点”，解 得 标=6产+i,.2 5,若 切：点 P 是 圆。的“1倍 分 点，：点 尸 是 圆。的“2倍 分 点”,则 机 是 的 充 分 不 必 要 条 件，故 D 正 确.故 选：BCD.三、填 空 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分.13.【答 案】2【详 解】言 嗝 方 向 上 的 投 影 向 量 的 模 为 篙(a+b)(a-b)a-b a-2 a-b+=2.故 答 案 为:14.【答 案】丫 2=3【详 解】解：当 抛 物 线 开 口 向 右 时，如 图 所 示:因 为 网=3,阿=3石,NABC=90,所 以 阿 卜 J网 之 十 倒 2=机 AB=60,由 抛 物 线 的 定 义 得|4B|=|AF|,所 以 AB尸 是 等 边 三 角 形，所 以=P=1 x 3=所 以 抛 物 线 的 方 程 是 产=3以 乙 I 乙/乙 乙 乙 同 理，当 抛 物 线 开 口 向 左 时，抛 物 线 方 程 为：y2=-3x,综 上：抛 物 线 的 方 程 为：V=3x,故 答 案 为：V=3x15【答 案】2O【详 解】如 图 所 示，根 据 三 角 函 数 图 象 的 对 称 性，可 得 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 矩 形 A8C。和 EFG”的 面 积 之 和，即 S=SoABCD+SoEFGH=aABCD，因 为 函 数/(x)=sin(2x+)的 图 像 向 左 平 移 夕 个 单 位 长 度 得 到 函 数 网 外 的 图 象，所 以 5。枷=6x1=。，又 因 为 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 W，所 以 20=1,解 得。=,2 2 47 7 1 TT 0,JT又 由 图 象 可 得 6=：,可 得 9=5,所 以 7=万，所 以 卬=学=2,所 以/(x)=sin(2x+e),因 为/(-)=sin(2 x+()=1,可 得 乙+。=2+22肛 e Z,即?=+2kjr,k e Z,6 6 3 2 6【详 解】因 为/(力=2 5+2卜 2=(+1)比,+所 以 司=2“2(。+2)-(。+1)j+(三 因 为 e”0,所 以 21/+2)+)=0有 二 个 不 I司 的 专 点 X,工 2，“3 V 1 V令 g(x)=W，则,(力=一，所 以 当 X0,当 xl 时 g(x)。，令,则 2(。+2)-(。+1+/=。e e e l e_必 有 两 个 根 也，不 妨 令 0,。，2,，且 4+芍=。+1，&=2(。+2),ex x即 G=/必 有 一 解 玉 o,弓=旨-有 两 解%,*3,jiox2i%3)(2-孰 2一 裳)=(2-Z1)2(2-r2)2=4-2(/l+/2)+/1/22=4-2(a+l)+2(+2)2=36.故 答 案 为：36.四、解 答 题：本 题 共 6小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.c1 117.【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)$“+【详 解】(1)将“+|+(+1)=(+2”“+(+1)3两 侧 同 除(+1)(+2),可 得 一 3 1+-I(+1)(+2)n(n+2)可 5+1)2(九+1)/?(/+2)4用 _ M _/+2”(n+l)(/?+2)n(n+l)(几+2)(4分)即 数 列 是 首 项 为 1,公 差 为 1的 等 差 数 列.(6分)(2)由(1)可 知,瑞 刀=言+(n-l)x 1=n f 即 an=n2(n+1)，又 因 为 用 印,n(/?+l),n(n+2)贝 U n=2,+l-n2(/i+l)(+1).2向，0 分)n+2 _ 1n(/?+l)2/,+,=T re1 1 1 1 1 13=-1-1-,-“1.21 2 2-22 3 n-T(n+l)-2,+11 1 2(n+-2+,(1 分)18.【答 案】(1)且；(2)不 成 立，理 由 见 解 析 3【详 解】(1)由 8=与，可 得 A+C=?,所 以 8 s(A+C)=cosA cosC-sinA sinC,即 一=cosA c o sC-sin AsinC,22 1又 因 为 cosAcosC=,所 以 sinAsinC=,(3分)3 6a 二 c 二 太 一 一 万 因 为 sin A sin C g，所 以 a=2 0 s in A c=2 0 s in C，T所 以 S RC=2/2sin4*22sinCsinB=4sinA sinB sinC=4x x；(6分)w e 2 6 2 3(2)假 设，+=l 能 成 立，所 以 a+c=a c,由 余 弦 定 理，得=十，2 c o s 3，a c所 以 6=/+。2+。，所 以(a+c)2-ac=6,故(a c P-a c-6=0,解 得 ac=3 或 砒=一 2(舍)，(9 分)此 时 Q+C=QC=3,不 满 足 Q+所 以 假 设 不 成 立，故+1=1不 成 立;a c综 上，1+1=1不 成 立.(12分)a c3 719.【答 案】（1）（太 o 10【详 解】（1）解：设“该 考 生 报 考 甲 大 学 恰 好 通 过 一 门 笔 试 科 目”为 事 件 A,“该 考 生 报 考 乙 大 学 恰 好 通 过 一 门 笔 试 科 目”为 事 件 B,根 据 题 意 可 得 P（A）=G 既 力|,尸+*中 2$（4分）（2）解：设 该 考 生 报 考 甲 大 学 通 过 的 科 目 数 为 X,报 考 乙 大 学 通 过 的 科 目 数 为 八 根 据 题 意 可 知，X 1 Q,所 以，E(X)=3x-=1,P(y=O)=x g(l-m)=Q-m)，P(y=1)=x-(l-7n)+x(1-A 77)+6 3 6 3 61 11 1x-m=-m3 18 3i 2 11 5 2 1 1产（丫=2）=$3（1-，%）+不 X/7?+X/n=+A77,3 6 3 9 2i?1p(y=3)=-x-/n=-/n.(8)则 随 机 变 量 y 的 分 布 列 为:Y 0 1 2 3P(1/n)18 711 1-tn18 31 1+m9 21m91 2 1 5 m-1-m+2=+根 3 9 3 6中）得 若 该 考 生 更 希 望 通 过 乙 大 学 的 笔 试 时，有 E（y）E（x）,所 以=5+相 3=,又 因 为 0 帆 1,所 以 2:机 1,6 2 3所 以，用 的 取 值 范 围 是 分）20.【答 案】（1）总 有 平 面 平 面 以 G；证 明 见 解 析（2）我（3）存 在；0为 线 段 力 的 中 点.10【详 解】（1）在 翻 折 过 程 中 总 有 平 面 平 面 以 G,证 明 如 下：点 M,N分 别 是 边 BC,8 的 中 点，.3Z）M N,又 因 为 菱 形 A8CZ）中/AB=60。，PM N是 等 边 三 角 形，：G是 的 中 点，:.M N 1 P G,（2分）菱 形 A8CZ）的 对 角 线 互 相 垂 直，8 _LAC,.M V L A C,V ACrPG=G,A C u平 面 雨 G,P G u平 面 BAG,，M N 1.平 面 G,BO _L平 面 B 4 G,:9 匚 平 面 尸 鸟。，,平 面 P8D_L平 面 以 G.（4分）（2）由 题 意 知，四 边 形 MND8为 等 腰 梯 形，且。8=4,MN=2,QG=6，所 以 等 腰 梯 形 MND8的 面 积 S=%也 芭=3 4，（6分）2要 使 得 四 棱 锥 P-MNQB体 积 最 大，只 要 点 P到 平 面 MNDB的 距 离 最 大 即 可，.当 P G，平 面 MNQB时，点 P到 平 面 MNQB的 距 离 的 最 大 值 为 百,此 时 四 棱 锥 P-MNCB体 积 的 最 大 值 为 V 4 3 房 6=3,连 接 B G,则 直 线 PB和 平 面 MM9B所 成 角 的 为/P B G,在 RtZXPBG 中，PG=6，BG=不，由 勾 股 定 理 得：PB=lPG2+BG2=V10 PG V3 V30“八、sin/PBG=-7=-.（8 分）PB M 1。（3）假 设 符 合 题 意 的 点 Q存 在.以 G为 坐 标 原 点，GA,GM,GP所 在 直 线 分 别 为 x轴、y轴、z轴，建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系,则 A（3 G,0,0）,M（0,1,0）,N（0,-l,。）,P（0,0,A/3）,因 为 A G人 平 面 P M M 故 平 面 PMN的 一 个 法 向 量 为）=（1,0,0）,设 通=2丽（0 4/1 4 1）,V AP=（-3x/3,0,x/3）,而=卜 3 6 九 0,回），故-.两=（0,2,0）,Q M=（3A/3（2-1）,1,-73A）,平 面 QMN的 一 个 法 向 量 为 后=（,当，22），则 限 而=0，屐 的=0,即 1：*；-1此+%-6 电=。令 内 所 以%二。2x产-3(A-1)一（4、1即=r（z，3 U i），（10分）J 5（4 I）则 平 面 QMN的 一 个 法 向 量 7=（4 0,3（2-1）,设 二 面 角 Q M N-P的 平 面 角 为。,所 以 向“卜 篇 H”2+9：_ D=噜,解 得：4 故 符 合 题 意 的 点。存 在，且 Q为 线 段 以 的 中 点.（12分）【详 解】(1)由 题 意 得=&,左 焦 点 F(T O)n c=l,4=/-/=1,所 以 椭 圆 C的 标 准 方 程 为：y+/=l.PM,赤=（一 1一%，一%），由 闲=2行 得（X,y _；）=4-1 _ 玉,-），1）,解 得 1+2=/,同 理 1+=瓦.（3分）V 2=联 立，2+）一，得（产+2）丁-2。，-1=0%+%=冒 了%必=百 丁 x=ty-1+）+=；+；=!，）+）2=1=_ 2,从 而 义+=-4（定 值）（6分）（y,fy2 1 y2 1 tS2=gi|M|=g y，Sj=|-l-|y2|-l y2,i.1 1+2 1+必 1+1+u由+力(),解 得 2 0,解 得 故(u)在(1,2)上 单 调 递 减，在(2,3)上 单 调 递 增，则 力(储“=/?(2)=1,4且 刈 1)=2,欠 3)=；,则 则，*el,2.(12 分)22.【答 案】?=2 证 明 见 解 析【详 解】(1)g(x)=了，g(x)在(O,g(。)处 的 切 线 斜 率/=g(O)=F，1-X,直 线/：x-2y=0 与 切 线 垂 直，.=.,.机=2.(4分)2(2)由 题 意 得，/z(x)=/%ln(l x)1+f,由 函 数 有 两 个 极 值 点，则/(x)=2x-4=-2 一=0，在 X1上 有 两 个 不 等 的 实 根，即-2x2+2x-m=0,在 x0,/J 二 正 诟,占=1处 而 1,i 卜+=1 r n/,A.0/w 毛 刈)，即 证 旅 险 口,X2%则 皿-T+m l n a f Z F a+l H Z w l M l f L z x j M E),x2 x2 x2同 理 可 得：=(l+x2)+2x2ln(1 x2),则 M%)-良，2)=(w-xl)+2x1ln(l-)-2x2ln(l-x2),X2 x=2-1+2(1-工 2)1吠-2x2l n(l-,令 p(x)=2x-1+2(1-jt)lnx-2xln(1-x),(9分)则 p，(x)=-21nM1-力+2+，,X 1 X 12，由 尤 则 2+产；0,x(l-x)e(0,；J,则-21nx(l-x)0,则 p(x)0,则 p(x)在 xe(g,l)上 单 调 递 增，办 人(司)巧(*2)成 立.(12分)方 法 二：要 证 与(X)(王)，即 证:A/?(A)-A2/Z(X2)0,又 M(大)一 式 24(毛)=6 始(1一 5)+-A/ir2ln(l-x2)-x23+A2=mxtln(1-)-x2ln(1-x2)+(xj3-x+x2)=m xjln(1-x2ln(1-x2)+(x,-%2)(X+“2 一 工 也 一”，又 X+W=1,工|工 2=y 所 以 2X/z(xJ%2()=m2%2 1+2(19)1n2-2x2ln(l-x2),又 0 M 0,9 eg.l),(9分)令 p(x)=2x-l+2(l-x)lnx-2xln(l-x),xe求 导，pr(x)=-21nx(l-x)J+,X G由 xer1e 2 2x 八，则-0,xX 1-x则 21nx0_x)O,则 p(x)0,则 p（x）在 上 单 调 递 增，P（x）p（；）=o所 以%（玉）-动（w）o,即 百（12分）