数学模型第三版)课后习题答案.pdf

数学模型作业解答）1 .学校共1 0 0 0 名学生，2 3 5 人住在A宿舍，3 3 3 人住在B宿舍，4 3 2 人住在C宿舍.学生们要组织一个1 0 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）.按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者；（2）.1 中的Q 值方法；（3）.d H o n d t 方法：将 A、B、C各宿舍的人数用正整数n=l,2,3,相除,其商数如下表：12345A2 3 51 1 7.57 8.35 8.7 5 B3 3 31 6 6.51 1 18 3.2 5 C4 3 22 1 61 4 41 0 88 6.4将所得商数从大到小取前1 0 个（1 0 为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从1 0 个人增至1 5 人，用以上3 种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=1 0 的分配方案，3Pi 2 3 5,p2 3 3 3,/7 3 =4 3 2,=1 0 0 0.;=1方 法 一（按比例分配）/平=2.3 5,0=笆=3.33,私 1=4.3 2EA EA EA/=1 i=l/=!分配结果为：=3,n2=3,%=4方 法 二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n=2,n2=3,=4第1 0个席位：计算Q值为2 3 52 3 3 32 4 3 22Q.1 =-2-x-3-=9 2 0 4.1 7,0修,=3 x 4 =9 2 4 0.7 5,Q.3 =-4-x-5-=9 3 3 1.2。3最大，第1 0个席位应给C.分配结果为 =2,%=3,“3=5方 法 三（d H o n d t方法）此方法的分配结果为：勺=2,%=3,%=5此方法的道理是：记p,和“，为各宿舍的人数和席位。=1,2,3代表人、B、C宿舍）.心 是4每席位代表的人数，取，=1,2,，从而得到的中选较大者，可使对所有的，区尽量接凡 凡近.再考虑N =1 5的分配方案,类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：宿舍(1)(2)(3)(1)(2)(3)A322443B333555C455667总计1010101515152.试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑，到7 +X时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得v d t=（r +w k n k d n,两边积分，得 此力=2兀k (r +w kn)d n/.v t -2u:k(r 4 +川 左 )2兀 r k 兀 w k2 2-n A-n .v v第二章(2)(2008 年 10 月 9 0)1 5.速度为u的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是夕，用量纲分析方法确定风车获得的功率P与u、S p的关系.解：设尸、v、S、p的关系为/（P,v,s,p）=O,其量纲表达式为:m=们=乙厂1 S=/?,Q=该-3,这 里 是 基 本 量 纲.量纲矩阵为:A=2 11 0-3 -12 -3 0 1 (M)0 0 J (7)(P)(v)(s)(2)齐次线性方程组为:2必+为 +2%-3居=0，弘+”=01 3为 一%=0它的基本解为歹=（一1,3,1,1）由 量 纲 片 定 理 得7VP-V3SP,.-.P=A v3s p ,其中2是无量纲常数.1 6.雨滴的速度v与空气密度/、粘滞系数/和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度u的表达式.解：设也夕g的关系为/（v,p,，g）=0.其量纲表达式为 v =L M ，a =L M T,I X/=M L T-2(L T L1)L M L L V L M T g =L M T；其中 L,M,T 是基本量纲.量纲矩阵为-1 -3 -1 1 1 (A)0 1 1 0 (M)A二|_-1 0 -1 -2 j (7)(v)(p)()(g)齐次线性方程组A y=0 ,即%-3 y2-丫3 +丫4=0 y2+y3=o,-y1 -y3-2Y 4 =o的基本解为y=(-3 ,-l ,1 ,1)由量纲E定 理 得7T=V-3p-/2g.I 愕其中2是无量纲常数.1 6*.雨滴的速度v与空气密度夕、粘滞系数、特征尺寸/和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度V的表达式.解：设g的关系为了“，7，2，4,8)=0.其量纲表达式为/?=L M T0,/=M L T2(L T Ll)L M L L T L M T Z =L M T ,g =L M r2其中L,M,T是基本量纲.量纲矩阵为 1 1 -3 -1 1 -(I)0 0 110(M)A=-100-1-2(T)(v)(/)(p)()(g)齐次线性方程组A y=O 即乂+%-3 为-/+%=r.在每个生产周期T 内，开始的一段时间(0/7；)一边生产一边销售，后来的一段时间(T0t和k N r 的情况.解：由题意可得贮存量g(7)的图形如下：贮存费为 c2 lim g(,)A/,.=c21 g(t)dt=c?乎，/=1,又 (k r)T=r(T To)于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用(单位时间内)为c 2+空 m二豆+世二工T 2kT T 2 2kd C=_ c+dT T2 2k令=0,得 T*=2%kc2r(k r)易得函数C(T)在T*处取得最小值，即最优周期为：r =当后 尸时，T*相当于不考虑生产的情况.当左=油寸，T T g此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2 （2 0 0 8 年 1 0 月 1 6 日）3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度4与开始救火时的火势6有关,试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度4与火势6有关，可知火势A越大，灭火速度4将减小，我们作如下假设：岫）=kb +l分母6 +1中的1是防止力T 0时;I 7 8而加的.总费用函数C（上孚+黑靠%含鬻+q x最优解为 X=cxkb+2c2b(b+1)/?(/?4-1)+(b+1)02c 3k25.在考虑最优价格问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成 本q随时间增长，设q（t）=%+，/为 增 长 率.又设单位时间的销售量为x =。-加（p为价格）.今将销售期分为0/%和%，7两段，每段的价格固定，记作四，0 2求0，P 2的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内 的 总 售 量 为,再求P l,p2的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为x=。一 加,0 ，/Q-加2,t T又:7）=%+，于是总利润为=（“一 奶）（等_#_噂）+（b她）（年言一哈）辿一（巫-叱-丝）+工（叫 加）加 2 2 8 2 au =.p,T-q-o-t-3-/3-T2.）+T-（a.-h.p.2）dp 2 2 2 8 2令 毅=0,n旦=0,得到最优价格为：明 加2 岫。+用%=*+幽。+彳）在销售期T内的总销量为Qo=g（a-加）龙+（a-bp2）dt=a T-H（P+p2）22于是得到如下极值问题：1111（2”22）=3 _加）（竽_耳_综）+（4 _她）（与 一 岑 一 号）Z Z o Z Z obTs.t aT-（pl+p2）Q0利用拉格朗日乘数法，解得：-=巴 _ _,1 b hT 8-=q_0+2%bT 8即为0,0 2的最优值.第三章3 （2 0 0 8年 1 0 月2 1 日）6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量匚100（吨）;每次订货费 =2500（元）；每天每吨角钢的贮存费。2=0.18（元）.又现在的订货周期T。=30（天）根据不允许缺货的贮存模型：C（T）=?+j c2rT+kr得：c（r）=d C d T生%97+100左T2500 八T2令也=0 ,解得：T*=d T2500 _ 50-T由实际意义知：当T（即订货周期为灵）时，总费用将最小.33p 3x2500 _ 50,又。(T)=-+9x +1004=30 0+100k50 3C(4)=看”+9x30+10(=353.3 3+100k*2C（T。）一 C（T）=（353.33+100k）一（300+100k）-=53.33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为 1*=留，能节约费用约53.33元.3 数学模型作业解答第四章（2 0 0 8年 1 0 月2 8 日）1.某厂生产甲、乙两种产品，一件甲产品用力原料1 千克，8 原料5 千克；一件乙产品用A原料2 千克，B原料4千克.现有A原料20千克，B原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：max S=20 x+30yx +2y 2 05x 4-4y 0,x,y e Z这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线/：x+2y=20,/2:5x+4y=70以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.直线/：2 0 x+3 0 y=c在可行域内平行移动.易知：当/过，与，的交点时，S取最大值.x +2y -205 x +4 y =7 0解得x =1 0 V =5此时 Sm a x =2 0 x 1 0 +3 0 x 5 =3 5 0 （元）2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表:货物体积（立方米/箱）重量（百斤/箱）利润（百元/箱）甲522 0乙451 0已知这两种货物托运所受限制是体积不超过2 4立方米，重量不超过1 3百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所状利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为X”所获利润为z .则问题的数学模型可表示为m a x z =2 0.+1 0 x25x+4X2 2 42xl+5X2 0,x9y G Z这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线1:5%j +4X2=2 4l2:2 xl+5X2=1 3 及 再=0,x2=0组 成 直 线1:2 0 x,+1 0 x2=c在此凸四边形区域内平 仲 动.2项由 易知：当/过/与/2的交点时，Z取最大值X 1=4J2=15X2x,+4X2=24+5x,=13解得zmax=20 x4+10 x1=90.3.某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数，使获利润最大.并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x件，乙型微波炉y件,相应的利润为S.则此问题的数学模型为：max S=3x+2y2x+3100s.t.4x+2y 6,y 12,x,ye Z这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线/：2x+3y=100,/2:4x+2y=120及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线/：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动.易知：当/过乙与乙的交点时,S取最大值.2x+3y=1001 4x+2y=120解得x =2 07=205m a x=3 x 2 0 +2 x 2 0 =1 0 0.数学模型作业解答第五章1 (2 0 0 8 年 n 月 1 2 日)1 .对于5.1节传染病的S?模型，证明：(1)若则/先增 加，在$=!处 最 大，然后减少并趋于零；s(/)单调减少至S g.(2)若s 则/单 调 减 少 并 趋 于 零，s(/)单 调 减 少 至%.(7解：传染病的S/R模 型(1 4)可写成d i./一=/Z(T 5-l)d td s .二-A s id t.d s c.小 d s 八由=-4 s z,火 口 Y 0.d t d ts(/)单调减少.而s(t)2 0.r.lim s(/)=s;存 在too故s单调减少至(1)若SoL.由s(t)单 调 减 少./.s(t)s0.当 L Y S Y S。时,CT S-1 A 0.8当s=_ L 时,且=o.Q)达到最大值乙a dt(2)若So Y 则S(/)YL 从 而(7 S-1 YO.Y 0.(5 o dti“)单调减少且 lim z(/)=0.即 t =0.4.在 5.3 节正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为0=4.h初始兵力演)与K,相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用x(“y(7)表示甲、乙交战双方时刻I 的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为：如力力了M=-ay=-bx,.(1)=Xo)(O)=凡现求(1)的解：(1)的系数矩阵为2 =-b 0AE j|=A2 6 r Z?=0.4 2 =b x i4,4对应的特征向量分别为Q 的 通 解 为 卜 夕=G 2 产+JO I i J 1工再由初始条件，得削=仔 一凡 产,I Z/+仔，+为）1又由（1）可 得 包=史d x a y其解为 a y2-b x2=k,而左=a y 1-b x 1.（3）（1）当 地）=0 时，M，J=产即乙方取胜时的剩余兵力数为V 3又 令 也）=0,由（2）得 怎 一 为+住+为-呵=0.注意到x 0=y,得 0 2 炳=%+2凡.-2 网=3,/./,=-2九-（2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则Z一流办一力=+/=-b x.（4）x（O）=X o/（0）=乂）由（4府 史=一即b x d x =a y d y -r d y.相轨线为少？一 2号一人/=k,d y -b xk=a y l-2r yn-b x c y-一加 一 二=左.此 相 轨 线 比 书 图 1 1 中的轨线上移了V a l a一.乙方取胜的条件为左A 0,亦即（凡 一立XQ+.a a）a a第五章2（2008年11月1 4日）6.模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴 注（持续时间为了）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲排除速率为常数阮则/(/)+fcc(0 =%(/),3)=VCf快速静脉注射：设给药量为。0,则/）（/）=（）,c（o）=*,解 得c（/）=*e*.恒速静脉滴注（持续时间为了）：设滴注速率为热，则/，。（。，解得C(/)=TT-A/（0.08-0.02）x20必=e J 5 -=0.9 7 6 2 8 5 7 1(2)对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为。3 =空 对a ha b l、1-e v7只吸到人处就扔掉的情况下的毒物量为。4a b4 M、e 7blITa b l、?vhlahi0.02x1000.3x0.02x1004=L7_ ev-e v _e 5 0-e 500.04 _ 夕0。12e0.032 _e0.0096-1.256531719.4如e vITIabl?Vy一 处e v-a b h e v0.02x80e so _0.3x0.02x80 e 500 3 =295.84,Q 4=235.444.在 5.3节正规战争模型(3)中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为 =4.b初始兵力/与为相同.(1)问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定.(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率，增援，重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用x(/),y(/)表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为：一龙办了M二一=-bx,%,乂0)=为现求(1)的解：(1)的系数矩阵为/=0-a-h 0AE-A4 ah 2=尤-=0.4 2=土&4,4对应的特征向量分别为一 22、1).(1 谢 通 解 为I、=G心 2 2-yfabt蠢+c2V再由初始条件，得x(，)=fabl+AT，-4ab又由(1)可 得 由=如d x a y其 解 为a y2-b x2=k,而左=即：一b x 1当x(/1)=0 时，y(/J=J：=即乙方取胜时的剩余兵力数为走加2 又 令 也)=0,由 得 与一汽产+3 卜 呵=0.注意到/=为，得e2=%+2%.e2 =3,2 为一/(2)若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则=-a y +r=-b xI n 3 4b,(4)x(0)=X o/(0)=M)由(4 得二，即b x&=什 力 一 d y,相轨线为a y 2 -2 号-6/=k,d y -h xk=a y l-2/0-bxa(y-b x2-=k.此相轨线比书图1 1 中的轨线上移了C.乙方取胜的条件为k A 0,亦即 为 一二 A+=.a a)a a 数学模型作业解答第六章(2 0 0 8 年 1 1 月2 0 日)1.在 6.1 节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从L o g i s t i c 规律，而单位时间捕捞量为常数h.(1)分别就/7 LN/4,h r N/4,A 0,(1)无实根，此时无平衡点;_N当h=rN/4,A =0,(1)有两个相等的实根，平衡点为演)=5.F(x)=v(l 一鼻)一飞=丫一符,F (xo)=O 不能断定其稳定性.X rN dx但 Vx Mx。及x Yx。均有尸(x)=rx(l-)-Y0,即7Y 0.1.X o不稳定;当hvrN/4,()时，得到两个平衡点：N-x尸 一4 1-N小T4 6N+、1-NV rN4=-2易知：,F(Xj)0 ,F(x2)此 时。=史，2 4但 第*=N这个平衡点不稳定.这是与6.1节的产量模型不同之处.要获得最大持续产量，应 使 渔 场 鱼 量N且 尽 量 接 近 三N，但不能等于三N.2222.与 L o g i st i c模型不同的另一种描述种群增长规律的是Go m pert z 模型：x(/)=rrl n .其x中 r 和 N的意义与L o g i st i c模型相同.设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为二瓜.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量%及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x；.解：变化规律的数学模型为姓L rxl n 史-ExdtxN记 F(x)=rxn-ExxN 令 F(x)=0 ,得 rx In-Ex=Q x0=Ne；七=0 .x.，平衡点为o X 1.又/(x)=l n -尸一*,F (x0)=-r ()时，得到两个平衡点：x产4。N N、1 V rN24 AN+N、1 -V rNX-y 一2-N易知 X.-2Nx2-/(x 0，/(KO.,平衡点再不稳定，平衡点稳定2.最大持续产量的数学模型为：5.Z./(X)=OV *N rN.N即m ax =rr(l-),易 得x()=此 时=，但x()=这个平衡点不稳定.N 0 2 4 0 2N N N要获得最大持续产量，应 使 渔 场 鱼 量 ，且尽量接近，但不能等于.2 2 2 数学模型第七章作业(2008年12月4日)1 .对 于7.1节 蛛 网 模 型 讨 论 下 列 问 题：(1)因 为 一 个 时 段 上 市 的 商 品 不 能 立 即 售 完，其数量也会影响到下一时段的价 格，所 以 第4+1时 段的价格为+1由第左+1和第左时段的数量小和 乙 决 定，如果 仍 设 仍 只 取 决 于 外，给 出 稳 定 平 衡 的 条 件，并 与7.1节的结果进行比较.2 .已知 某 商 品 在 左 时 段 的 数 量 和 价 格 分 别 为/和 刈，其 中1个时段相当于商品的 一 个 生 产 周 期.设 该 商 品 的 需 求 函 数 和 供 应 函 数 分 别 为 以=/(4)和乙+l=g（二产）试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3.已知某商品在左时段的数量和价格分别为5和匕，其 中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为以T =./.（产）和招+1 =g（以）.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件 数学模型作业解答第七章（2008年12月4日）2.对于7.1 节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 A +1 时段的价格以+1 由第A +1 和第上时段的数量x,+l和Xk决定，如果仍设匕小仍只取决 于 外，给出稳定平衡的条件，并与7.1 节的结果进行比较.（2）若除了以+|由X2和X.决定之外，与 十 1 也 由 前 两 个 时 段 的 价 格 外 和 确 定.试 分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：_ f（Xk+it J y k+-J（2）./+i=（v*）在兄。0 J o）点附近用直线来近似曲线f,h，得到.yk+i-y0=a.*；/）,a o 4+1 一%。=夕（以 一 九），/。由(2)得 x*+2 -/=伙 力+1-凡)（1）代 入（3）得 xk+2-x0=-a j 3（X-X-x0）2九2 +aPxk+羽 4=2 x0+2a B xo对应齐次方程的特征方程为 2k+物+物=0特征根为4 2 =昆遍三逊当 口 2 8时，则有特征根在单位圆外，设 班 8,则1 4 2 H争+飞遢书4 j i 侬2即平衡稳定的条件为 的 0 （4）上 用 一10=以匹0九），夕0-（5）由（5）得，2 8t+3 -x（J =夕仇+2-九+必+1 一y。）将（4）代 入（6）,得2（乙+3 一%）=a（%:+i-x0）-x0）4 4+3 +a pXk+2+2的 八 +a/3xk=4 x0+4 羽 x。对 应 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 为+a/3 +2a/3Z+a/3=0 代 数 方 程（7）无正实根，且-3,-型，-型 不 是（7）的 根.设（7）的三个非零根分2 4别为4，小，4,则4+4+4=_g=型444=-W对(7)作变换：入=4咀,则12+”+q=0,舟“1 zo o M仍、1 8 a3/?3 a1 p-、其中 p=_ Q a -),q=-(-y-+a/3)4 12 4 123 6=K+樗 尸+章+卜 一樗尸+（步旧+旧）、号 +量-檄+（5其中卬=-l +iy/32求出四,2，3,从而得到4,4,4,于是得到所有特征根树1 的条件.2.已知某商品在左时段的数量和价格分别为4 和其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为以=/（*）和 5+|=g（&J产）.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为%=/（4）和可+1=8（%；1）.设曲线）和g相交于点片（八,为），在点鸟附近可以用直线来近似表示曲线/和g:%一 为=-ocxk _/),a a 0-（1）/+1 /二/(/0-(2)从上述两式中消去也可得2X*+2+aP/+1 +xk=2(l +c )x0,k-1,2,，(3)上 述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求乙点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：2 A2+a B 2+班=0容易算出其特征根为侬 土 J（班:_8丽 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4,2 4 （4）当 8时，显然有-邱 一 弧 时-8 aB 邱 小/L-）-0-（2）由（2）得 x*+2 -X。=（”+1 一打）-（3）（1）代 入（3）,可得x +2 =_（4打 J.-X o）/.2 x*+2+明x*1 +明4=2 x（）+2 6 X（）,%=1,2,，-（4）上 述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求乙点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：2矛+切入+a/3=Q容易算出其特征根为一 侬 J（明/一8邱当 班2 8时，显然有一郎一/印-8印 a/3从而py A2,4在单位圆外.下面设口 Y8,4=44要使特征根均在单位圆内，即&|Y1,必须 朝Y2.故勺点稳定平衡条件为 丽Y2.数学模型作业解答第八章（2 0 0 8 年 1 2 月9日）1 .证 明8.1节层次分析模型中定义的阶一致阵力有下列性质：（1）/的秩为1,唯非零特征根为；（2）A的任一列向量都是对应于的特征向量.证明：（1）由一致阵的定义知：N满足%aJk=ai k,i,j,k=1,2,，于是对于任意两列i,/,有 空=%,（&=1,2,即z列与7列对应分量成比例.从而对力作初等行变换可得:11 1 2 K力 初等行变换）0 ,一 0 B 0 0 0这里8 H o.秩（8）=1 ，从而秩（4）=1再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵尸，使 P4=B,于是cnCI2,cl/P A p T =B P-=00 0Ac00 0 _易知C的特征根为c”,（）,（）（只有个非零特征根）.又/C,.4 与 C有相同的特征根，从而A的非零特征根为c”，又.对于任意矩阵有 4+4 H-4,=+a22-an n=1 +1 -1-F 1 =.故 A 的唯一非零特征根为n.（2）对于A的任一列向量（为，*，（攵=1,2,H）有QQz;=lZJ=1“a14，。2，7=1Ea，j k7=1/.A的任一列向量（a ,a2 k,-,an ky都是对应于的特征向量.7.右下图是5 位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5 位选手的名次.解：这个5 阶竞赛图是一个5 阶有向H a m i l t o n 图.其一个有向 H a m i l t o n 圈为3 7 1 -4 5 T 2 T 3 .所以此竞赛图是双向连通的.5447 5 11 27 327 47 5 7 37 15 37 17 27 45-2等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为 0 10 1 0 0 0 110/=10 0 0 00 0 10 11 1 1 0 0令e =（1,1,1,1,1厂,各 级得分向量为S。)=/e =(2,2,1,2,3)T,S(3)=(7,6,4,7,9厂，由此得名次为5,1 (4),2,35出=N S。）=（4,3,2,4,5）T,S=Z S。）=（1 3,1 1,7,1 3,1 7），（选 手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根X和对应特征向量S得到:2 =1.83 9 3 ,S=(0.2 1 3 7,0.1 79 4,0.1 1 62,0.2 1 3 7,0.2 769)r数学模型作业（12月1 6日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层2 .简述层次分析法的基本步骤.问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）.建立层次结构模型；（2）.构造成对比较阵；（3）.计算权向量并做一致性检验；（4）.计算组合权向量并做组合一致性检验.对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3 个层次.目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3 等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3 .用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次；2 n致性指标的定义为：C I=.n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根 一 1A-n.第九章（2 0 0 8 年 12 月 18 日）1.在9.1节传送带效率模型中，设工人数固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数相，比如增加一倍，其它条件不变.另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法样.试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第种办法好.解：两种情况的钩子数均为2a.第一种办法是2 僧个位置，单钩放置2%个钩子；第二种办法是加个位置，成对放置2 机个钩子.由 9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为当 一 较 小，时，有2 m 2wP f i (-1川,w-iD=-1-1-+_/=1-n|_ I 2m 8/7?)4/M_nD=-E ,E=4m下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于加个位置,每个位置放置的两只钩子称为一个钩对,考虑一个周期内通过的机个钩对.任一只钩对被一名工人接触到的概率是工；m任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1；m记p=L,q=l-由工人生产的独立性及事件的互不相容性.得，任一钩对为空m m的概率为外,其空钩的数为2加；任一钩对上只挂上1件产品的概率为秋/I,其空钩数为加.所以一个周期内通过的2加个钩子中，空钩的平均数为2m-qn+m-npqn-=m（2qn+npql）于是带走产品的平均数是2加-加（2q+秋q i）,未带走产品的平均数是 （2加一加（2q+/1）.此时传送带效率公式为_ 2m-m(2q+npq)_ wD-=n n近似效率公式:由于1 )n 1 (/?一1)(一2)11-1-1-2-7m)m 2 m 6 mm)m 2 inD l-(1)(-2)6 m2当 A A 1 时，并令=1一。，则=工6m两种办法的比较:2由上知：E ,4M 7 6m2 2E /E =，当根时，,Y 1,.EYE.3m所以第二种办法比第种办法好.3m 数学模型作业解答第九章(2 0 0 8 年 12 月2 3 日)一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如卜一表：售出报纸数尸(百份)012345概率尸6)0.050.10.250.350.150.1试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)?解：设每天订购百份纸，则收益函数为7r+(-4)(n-r)r n收益的期望值为 G(n)=(1 1 4)P()+7 p 6)r=0 r=n+l现分别求出 =0,l,2,3,4,5时的收益期望值.G(0)=0；G(l)=-4 X0.05+7X 0.1+7X (0.25+0.35+0.15+0.1)=6.45;G(2)=(-8 x 0.05+3x0.1+14x 0.25)+14x(0.35+0.15+0.1)=11.8;G(3)=(-12x0.05-IxO.l+lOx0.25+21x0.35)+21x(0.15+0.1)=14.4G(4)=(-16x0.05-5x0.1+6x0.25+17x0.35+28x0.15)+28x0.1=13.15G(5)=-20 x0.05-9x0.1+2x0.25+13x0.35+24x0.15+35x0.1=10.25当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章1.原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型，按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.形象模型直观模型物 理模型模型彳 思维模型抽象模型 符号模型数学模型如 玩 具、照片等如某一试验装置如某一操作如 地 图、电路图2.数学模型对某实际问题应用数学语言和方法，通过抽象、简化、假设等对这实际问题近似刻划所得的数学d2x结构,称为此实际问题的一个数学模型.例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式E=加 一 来 描dt2述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口 N”）随时间/自由增长过程的微分方 程 处 =V1）.d t 3.数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题，为了一个特定的目的，运用数学的语言和方法,逋过抽象和简化，建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构（数学模型），运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验，并反复修改和完善.数学建模过程流程图为:4.数学建模的步骤依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用5.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有:人口模型交通模型环境模型(污染模型)a.按模型的应用领域分类 数 学 模 型 生态模型城镇规划模型水资源模型再生资源利用模型b.按建模的数学方法分类.初等数学模型几何模型微分方程模型数 学 模 型 图论模型组合数学模型概率模型规划论模型 描述模型分析模型c.按建模目的来分类 数 学 模 型 预报模型优化模型决策模型.控制模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为nf.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：塞法、和法、根法4.在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形A B C D.A B与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角。表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为/(6);C、D与地面距离之和记为g.并旋转1 8 0.于是，设/(0)M 0,g(0)=0,就得到g A 0,/(%)=0.数 学 模 型：设/(分g 是 0,2和 上。的 非 负 连 续 函 数.若V6e 0,2万,有/e)g =0 ,且 g(0)=0,/(0)A 0,g 3)A 0 j3)=0，则 m%e 0,2扪，使/)=g(%)=0 模型求解:令（。）=/-g（e）.就有6（o）o,（万）=以兀）-g g）=o g yo.再由/,g 的连续性,得到是一个连续函数.从而是 o,柯上的连续函数.由 连 续 函 数 的 介 值 定 理：（0,%），使 （狐）=0.即（0,），使/W）=0.又因为 v e e 0,2布,有/（e）g（e）=0 .故/）=g（%）=0.9.（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一忖刻经过路径中的同地点.为什么？（2）3 7支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是支球队比赛呢？解：（1）方法一：以时间/为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标，第一天的行程x（/）可用曲线（I ）表示第二天的行程X”）可用曲线（I I ）表示，（I）（I I）是连续曲线必有交点PoOoNo）,两天都在时刻经过或地点.方法二：设想有两个人，一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇.方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山卜旅店到山顶的路程函数为/Q）（即 力时刻走的路程为/（/）,同样设从山顶到山下旅店的路函数为g ）,并