数学分析1期末考试试卷(B卷).pdf

数 学 分 析 1 期 末 考 试 试 卷（B卷）一、填 空 题（本 题 共 5 个 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 0分）八 设 则!吧 2、（归 结 原 则）设/（尤）在。（与）内 有 定 义，l i m/（x）存 在 的 充 要 条 件 是:I%3、设 y=ln（x+则 d y=o4、当=时，函 数”x）=x 2 取 得 极 小 值。5、已 知 了 的 一 个 原 函 数 是 贝 o二、单 项 选 择 题（本 题 共 5 个 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 0分）1、设/。）=2+3-2,则 当 X 7 0 时（）。（A）/（x）与 x是 等 价 无 穷 小。（B）/（x）与 x是 同 阶 但 非 等 价 无 穷 小。（C）/（x）为 x 的 高 阶 无 穷 小 量。（D）/（x）为 x 的 低 阶 无 穷 小 量。2、设 函 数/（%）在 点 处 可 导，则 函 数|/（切 在 X=Q处 不 可 导 的 充 分 条 件 是（）o(A)/=0月/(“)=0.(B)/(a)0月/0.(C)f=0 1/3)。0.(D)/(。)0 5/(。)0.3、若/(r)=。)(一 o o x+8),在(-o o,0)内/()0 J(%)0,则/(X)在(0,+oo)内 有()0(A)/()0,/(%)0。（B）/（工）0,尸（次）0。(C)/(x)0 J(x)0。(D)/,(x)0 o4、设/(x)的 导 数 在 x=a 处 连 续，又 l i m 4 2=-l,则()。e a x-a(A)x=a 是/(x)的 极 小 值。(B)x=a 是/(x)的 极 大 值。(C)(a j(a)是 曲 线 y=/(x)的 拐 点。(D)%=a 不 是“幻 的 极 值 点，(a,7(a)也 不 是 曲 线 y=/(x)的 拐 点。5、下 述 命 题 正 确 的 是()(A)设/(x)和 g(x)在 小 处 不 连 续，则/(x)g(x)在/处 也 不 连 续；(B)设 g(x)在/处 连 续，y(xo)=O,则 lim/(x)g(x)=O；X T%(C)设 存 在 S 0,使 当 xe(Xo-b,Xo)时，f(x)g(x),并 设 lim/(x)=a,lim g(x)=b,则 必 有 ab；X T石(D)设 lim f(x)=a,lim g(x)=b,a 0，使 当 x(%-氏/)时，X T X X-Xf(x)g(x)。三、计 算 题(本 题 共 6 个 小 题，每 小 题 5 分，满 分 3 0分)(sinxi-cosx1、求 hm-x o(x Jr.e*-s i n x-l2、求 hm-,-o 1-7 1 7?3,给 定 P 个 正 数,。2,，.4、设 丁=a rc s in%sinx+/?（其 中 a b 0）,求 y。5、求 不 定 积 分6、求 不 定 积 分 2半 比。COS-X四、证 明 下 列 各 题（本 题 共 3 个 小 题，每 小 题 6 分，满 分 18分）1、试 用 语 言 证 明 极 限 lim%2=4；2、证 明 方 程/+x+4=0（为 正 整 数，p、q为 实 数），当 为 奇 数 时 最 多 有 三 个 实 根。3、试 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 证 明：当 x N O 时 0-1ln(l+x)x五、(本 题 8 分)设/(X)在(-8,+8)上 二 阶 导 数 连 续，/(0)=0(X)g(x)=Xa 0 x=0(1)确 定 a,使 g(x)在(-8,+8)上 连 续；(2)证 明 对 以 上 确 定 的 a,g(x)在(-8,+oo)上 有 连 续 的 一 阶 导 函 数。六、(本 题 4 分)设/(X)在 a,+00)上 连 续，且 lim/(无)=4 存 在,证 明 f(x)在 a,+8)上 有 界。答 案 一、填 空 题(本 题 共 5 个 小 题，每 小 题 4 分，满 分 20分)1、设=1，/+1=4，则 01+xn-0 22、(归 结 原 则)设/(x)在/(/)内 有 定 义，lim/(x)存 在 的 充 要 条 件 是:对 任 何 含 于 且 以 x0为 极 限 的 数 列 x,极 限！吧/(x)都 存 在 且 相 等。3、设 y=ln(x+Jl+12),则 dy=/。A/1+X24、当=时，函 数/(x)=x2,取 得 极 小 值。5、已 知/(光)的 一 个 原 函 数 是 竺 产，则-5由%-2笠 土+C 0二、单 项 选 择 题(本 题 共 5 个 小 题，每 小 题 4 分，满 分 20分)1、设/(幻=2、+3、一 2,则 当 x f 0 时(B)0(A)/(x)与 x是 等 价 无 穷 小。(B)/(x)与 x是 同 阶 但 非 等 价 无 穷 小。(C)/(x)为 x 的 高 阶 无 穷 小 量。(D)/(x)为 x 的 低 阶 无 穷 小 量。2、设 函 数/(尤)在 点 x=a 处 可 导，则 函 数|/(x)|在=。处 不 可 导 的 充 分 条 件 是(C)o(A)/(a)=0 0田(。)0.(C)/(a)=(lg/(a)w0.(D)/(a)0且/(a)0.3、若/(r)=/(x)(一 8%+oo),在(一 oo,0)内 0 J(x)0,则/(x)在(0,+oo)内 有(C)0(A)/，(x)0,/U)0o(B)/(x)OJ(x)O。(C)/r(x)0,/,z(x)0 o(D)/,(x)0 o4、设/(x)的 导 数 在 x=。处 连 续，又 1加 山=-1,则(B)。2a x-a(A)x=a 是/(x)的 极 小 值。(B)x=a 是/(x)的 极 大 值。(C)(aj(a)是 曲 线 y=/(x)的 拐 点。(D)%=a 不 是/(x)的 极 值 点,(a,7(a)也 不 是 曲 线 y=/(x)的 拐 点。5、下 述 命 题 正 确 的 是(D)(A)设/(x)和 g(x)在 处 不 连 续，则/(x)g(x)在 5 处 也 不 连 续；(B)设 g(x)在/处 连 续，/(xo)=O,则 lim/(x)g(x)=O；(C)设 存 在 5 0,使 当 xe(x(,-b,Xo)时，f(x)g(x),并 设 lim/(x)=a,XT石 lim g(x)=b,则 必 有 ab XT厢(D)设 lim f(x)=a,lim g(x)=h,a 0，使 当 x(x0-3,与)时，斯 KT石/(x)1-cosx x 2。xsin x。3x 32、解：二 sgJ=linr 二 一(，COSX=lim(ev+sinx)=1(5 分)x f O x-0 x 1 03、给 定 P 个 正 数，p，求 1个(4；-,解：设%=max(q,出)，则 由 迫 敛 性 可 知：4=(4(+；+夕 尸=pcij(4 分)J lim(Q；+g+Q；)=m ax,Q 2，Q 1(5 分)rt-0C 1 l j/?。)，求 了。yja2-b2 a+b sin x j解:1yla2-b21 a cos x(a+b sin x)-(a sin x+b)b cos xasinx+ba+bs,inx(+/?sin x)2cosxa+bsin x|cos（5分）rl f+2,只 求 不 定 积 分 塌 三 公 解：令 七 栏，则 有 户 普=-d t,(2分)4/-rdt=In(1+?)(1-?21+7(X+2)/(X-2)l_ J(%+2)/(%-2)-2 arctan J X+C x-2（5分）c 八 rxsinx.6、求 不 TE积 分 J-dx ocos Xrxsinx,rxd(-COS X)r,ZCOS_2 Xx 1.2 r 2,x：J-c-o-s3；x ax-J-c-os；-3-x-=Jx a(-2-)=2(x sec x-Jsec-xax)=(xsec2 尤 一 tanx)+C.(5分)四、证 明 下 列 各 题（本 题 共 3 个 小 题，每 小 题 6分，满 分 18分）1、试 用-3 语 言 证 明 极 限 l i m f=4；x-2证 明：考 察,2 _ 4卜 k+2肛 一 2,不 妨 设|x-2|0,取 5=当 0|x-2 5时，则 有*-4，所 以 lim%2=4o.（6分）22、证 明 方 程 x+px+q=0（为 正 整 数，p、q为 实 数），当 为 奇 数 时 最 多 有 三 个 实 根。证 明：设/（X）=x+px+q,若 方 程 有 四 个 根，即 存 在 尤|,尤 2，%3，%4使 得/（阳）=/（%2）=。（巧）=/（%4）=因 函 数/（X）在 区 l gxi,X2,x2,x3,x3,x4.都 满 足 罗 尔 微 分 中 值 定 理 条 件，故 必 存 在 三 点。（阳，龙 2），（/，鼻），（尤 3，与）且。么 当，使 得 了（4）=/（多）=，（么）=。.（3分）即 有+P-T+P-+p=0 n T=第 1=-,n由 勇 另 知 上 式 是 不 能 成 立 的，所 以 假 设 原 方 程 有 四 个 根 是 错 误 的。.（6分）3、试 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 证 明：当 x N O 时ln(l+x)x证 明：令/(x)=ln(l+f),则 函 数 在 0,x 上 连 续，在(0,x)内 可 导。由 拉 氏 定 理 知，皿 1+-皿 1+0)=L，8(o,x).(3分)x 1+J1 1.1 ln(l+x)x 1/1 x*/-I,.-.-1 n-ln(l+x)x1+x 1+J 1+x X 1+x.-.01-1.(6 分)ln(l+x)x五、(本 题 8 分)设/(X)在(-8,+8)上 二 阶 导 数 连 续，/(0)=0g(x)=j Xa x=0(3)确 定 a,使 g(x)在(-8,+8)上 连 续；(4)证 明 对 以 上 确 定 的 a,g(x)在(-8,+8)上 有 连 续 的 一 阶 导 函 数。(1)v limg(x)=lim-=hm-=/(0)解：10 1 X xW)%a=/z(0).(3 分)(2)当 xwO 时，g，(.=二*/于(X)当 X=0时，g，(0)=lim g(x)_-S()=lim-lim，一 犷 10 X2=limA-0尸(x)7()=9，(o)2xlim g(x)=XT。)/(x)=U m/(x)+J(x)-/(x)x2 z o 2x.(龙 丰 0).g(x)=+00证：f(x)在 a,+8 上 连 续，且 lim/(x)=A,即 给 定=1,0,当 xM 时,X T+00|f(x)KlAl+l,以 因 f 在 a,M 上 连 续。故 存 在 最 大 值 M 与 最 小 值 m.现 取 M=maxl AI+1JM 1,1 向。则 有|f(x)|W A/.故 f(x)在 a,+8 上 有 界。.(4分)