第五章扭转轴的强度设计与刚度设计优秀课件.ppt

第五章扭转轴的强度设计与刚度设计1 1第1 页，本讲稿共43 页将任一截面上点将任一截面上点C C处的应力处的应力pp分解成垂直于截 分解成垂直于截面的分量 面的分量 和切于截面的分量和切于截面的分量。DATOt05.1 切应力与切应变切应力切应力：切向分量 切向分量称切应力 称切应力。第2 页，本讲稿共43 页 T Tdx T Ttt dxcAdy t t t tt t t t 研究两横截面相距研究两横截面相距d dxx的任一的任一AA处单位厚度微元，左右二处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。AA A 的平衡？的平衡？SSM MCC(F F)=)=ttd dx xddyy-t tddyyddxx=0=0 tt=t t 切应力互等定理：切应力互等定理：物体内任一点处二相互垂直的截面上，切应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。第3 页，本讲稿共43 页切切应变与应变与tt的作的作用相对应用相对应。切应变：过A 点直角形状的改变。ACC yxDBBDAdydx在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：GG是是tt-gg曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为切变模量。称为切变模量。-(2)剪切胡克定律（材料的切应力与切应变之间有与材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系）拉压类似的关系）纯剪应力状态纯剪应力状态:微元各面只有切应力作用。微元各面只有切应力作用。1GOtg1Gts第4 页，本讲稿共43 页变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件静力平衡条件变形几何条件变形几何条件材料物理关系材料物理关系+(1)变形几何条件刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。变形前 变形前 变形后 变形后1 1 圆轴扭转的应力公式圆轴扭转的应力公式5.2 圆轴的扭转切应力第5 页，本讲稿共43 页取长为取长为ddxx 的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角 的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角ddff，原来的矩形，原来的矩形ABCDABCD变成为菱形变成为菱形ABCABCDD。(1)变形几何条件gg是微元的直角改变量，即半是微元的直角改变量，即半径径rr各处的切应变。因为各处的切应变。因为CCCC=ggddx x=rrddf f,故有：故有：ddf f/ddxx,称为单位扭转角。称为单位扭转角。对半径为对半径为r r的其它各处，可作的其它各处，可作类似的分析。类似的分析。dxOCDA AB Brr rCDdfdfgTTg第6 页，本讲稿共43 页(1)变形几何条件变形几何条件对半径为对半径为rr的其它各处，作的其它各处，作类似的分析。类似的分析。切应变切应变gg的大小与半径的大小与半径rr成正比。与单位扭转成正比。与单位扭转角角ddf f/d/dxx成正比。成正比。即得变形几何条件为：即得变形几何条件为：-(1)同样有：同样有：CC CC=g gddxx=rrddffdxOCDA AB Brr rCDdfTTg gr rg gr r第7 页，本讲稿共43 页(2)物理关系 材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：GG是是tt-gg曲线的斜率，如图，曲线的斜率，如图，称为切变模量。称为切变模量。-(2)半径为半径为rr处的切应力则为：处的切应力则为：圆轴扭转时圆轴扭转时无正应力无正应力1GOtg1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。第8 页，本讲稿共43 页讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布圆轴截面给定，圆轴截面给定，ddf f/d/dxx为常数；为常数；GG是材料常数。是材料常数。-(3)dxOCDA AB Brr rCDdfTTg gr rg gr rt tr rTTottr rrrtmax max最大切应力在圆轴表面处。截面上任一点的切应力与该点到轴 截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离 心的距离rr成正比；成正比；切应变在切应变在ABCDABCD 面内，故切应力与 面内，故切应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确 半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。定。第9 页，本讲稿共43 页(3)力的平衡关系应力是内力 应力是内力(扭矩 扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：取微面积如图，有：-(3)利用利用(3)(3)式，得到：式，得到：t tr rTTottr rrrtmax maxdA第10 页，本讲稿共43 页(3)力的平衡关系力的平衡关系 令：最后得到：最后得到：-(4)IIr r 称为截面对圆心的极惯性称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。矩，只与截面几何相关。t tr rTTottr rr rttmamaxxttmaxmax在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且 W W=I I/rr，称为称为扭转截面系数。扭转截面系数。p p r r求Ir，Wp?第11 页，本讲稿共43 页 2 圆截面的极惯性矩和扭转截面系数扭转截面系数扭转截面系数 W W=II/rr r rd dD Do o讨论内径 讨论内径dd，外径，外径DD的空心圆截的空心圆截面，取微面积面，取微面积 d dAA=2=2 rrddrr,则有：则有：极惯性矩极惯性矩:=AdAI2rrr rd dr rd dA A极惯极惯性矩性矩)1(32 32)(244 4 42/2/3ap pr r pr-=-=D d DdIDdaa=dd/D D抗扭截面模量：抗扭截面模量：1616/)11()22/(/(4 43 3ppr r-=DD DDIIWWp p第12 页，本讲稿共43 页圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量d dD Do o空空心心圆圆轴轴实实心心圆圆轴轴D Do o极惯极惯性矩性矩r=)1(3244ap-DI抗扭截抗扭截面模量面模量)1(1643p-=DWTa=d/D=0324DIpr=16163 3DDWWT Tpp=第13 页，本讲稿共43 页 功率常常用千瓦(kW)或马力表示，注意到：1kW=1000Nm/s,1 马力=736Nm/s,则功率、转速与传递的扭矩之关系为：M(kN.m)=9.55Np(千瓦)/n(转/分)M(kN.m)=7.02Np(马力)/n(转/分)设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟nn转，则每秒转过的角度为转，则每秒转过的角度为2 2nn/60,/60,即有：即有：N NPP=M/t t=M2 2n n/60/60 或 或 M=60=60NNPP/2/2 nn力矩的功A 可表示为力矩M 与其转过的角度 之积，功率NP是单位时间所做的功，故有：NP=A/t=M/t/t 是每秒转过的角度（弧度）。功率、转速与传递的扭矩之关系：第14 页，本讲稿共43 页单位扭转角为：相对扭转角相对扭转角：BB截面相对于截面相对于AA截面的扭转角。若截面的扭转角。若AB=AB=LL，则，则AB AB GI GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r r若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDA AB BrCDddg T Tg T T AB ABLBAgdxGI TdL LAB AB=0 0r r 若若ABAB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则 T T/GIGIrr=const.,=const.,故有：故有：rGI L TAB/=5.3 圆轴的扭转变形第15 页，本讲稿共43 页dxOCDA AB Brr rCDdfTTg gr rg gr r实实心心圆圆轴轴D Do o T Tt tr rt tmax maxd dD Do o空空心心圆圆轴轴t tr rt tmax max T T第16 页，本讲稿共43 页研究思路：变形几何条件变形几何条件dx-(1)d/r g=+材料物理关系材料物理关系dxdG Gr g trr=-(2)静力平衡关系静力平衡关系+AT dAdxdG=2r-(3)圆轴扭转切应力公式：圆轴扭转切应力公式：r rr rrrttIITT=相对扭转角公式相对扭转角公式：第17 页，本讲稿共43 页结论：1 1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。向确定。22）截面任一处截面任一处 截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面）tr=T r/Ir tmax=T/WWT d dD Do o空空心心圆圆轴轴实实心心圆圆轴轴D Do o T Tt tr rt tmax max T Tt tr rt tmax max第18 页，本讲稿共43 页讨论：2 2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?11）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？各段应力是否相同？变形是否相同？变形是否相同？相同相同不同o o T Too T Too T Too T T第19 页，本讲稿共43 页例:圆轴的直径d=100mm,长度为2l,l=500mm.B.C 两处承受外力偶分别 为Me1=7000Nm,Me2=5000Nm.若材料的剪切弹性模量G=82GPa。求（1）试做轴的扭矩图；（2）求轴的最大切应力，并指出所在位置；（3）求C 截面对A 截面的相对扭转角。解解:(1)(1)画扭矩图画扭矩图（22）确定最大切应力）确定最大切应力BCBC段各截面的边缘上段各截面的边缘上（33）计算相对扭转角）计算相对扭转角第20 页，本讲稿共43 页例例:空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MMB=50N.m=50N.m，MMC=100N.m，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大切应力；（2）CC 截面相对A 截面的扭转角。解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。2)2)计算各段应力计算各段应力:AB AB 段：段：N-mm-Mpa 单位制 f22 f18 f241000 1000ABCM MB B M MC CM MA AA A B BC C150100T T/N.m/N.m第21 页，本讲稿共43 页2)2)计算各段应力计算各段应力:BC BC 段：段：故故 ttmaxmax=86.7Mpa=86.7Mpa f22 f18 f241000 1000ABCM MB B M MC CM MA AA A B BC C150100T T/N.m/N.m3)3)计算扭转角计算扭转角ACACradGIl TGIl TBCBCBCABAB ABAC183.0=+=rrN-mm-Mpa N-mm-Mpa 单位制 单位制第22 页，本讲稿共43 页例：钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC 段受均匀分布的扭矩的作用。已知使其转动的外力偶矩Me=120N.m,材料的切变模量G=80GPa,试求钻杆两端的相对扭转角。解:1)地层对钻杆的阻力沿杆长方向均匀分布，列平衡方程，求me第23 页，本讲稿共43 页2)求相对扭转角AB 段任一截面上的扭矩 T=-Me BC 段任一截面的扭矩则得第24 页，本讲稿共43 页拉压 s/n(塑塑)=b/n(脆脆)max ts/n(塑塑)t t=tb/n(脆脆)扭转强度条件max tt=0.50.6=0.50.6(钢材，塑性钢材，塑性)tt与与之关系：之关系：tt=0.81.0=0.81.0(铸铁，脆性铸铁，脆性)1.强度条件/maxs s=A FN/maxt t=TW T5.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件返回主目录 返回主目录 第25 页，本讲稿共43 页轴AB 间的相对扭转角为：AB=TLTL/GIrr扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GIr扭转刚度条件则为：扭转刚度条件则为：qqmamaxxq q-许用扭转角许用扭转角机械设计手册建议：机械设计手册建议：q q=0.250.5=0.250.5/m;/m;精度高的轴；精度高的轴；q q=0.51.0=0.51.0/m;/m;一般传动轴。一般传动轴。2.刚度条件单位统一为单位统一为/m/m，则有：则有：（弧度转换为角度）（弧度转换为角度）180maxqpqr=oGIT第26 页，本讲稿共43 页3.扭转圆轴的设计二者均须满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。设计轴的几何尺寸。强度条件：/maxt t=TW T刚度条件：180maxqpqr=oGIT极惯极惯性矩性矩324DIpr=抗扭截抗扭截面模量面模量 163DWTp=第27 页，本讲稿共43 页例：卡车的传动轴AB 由无缝钢管制成，如图。钢管外径D,壁厚，材料为45钢，许用切应力=60MPa。若传动轴最大的工作扭矩T=1.8KN.m,试校核轴AB 的扭转强度。解：1）计算截面几何量。传动轴内外径之比为扭转截面系数为2）校核强度。转动轴最大切应力为满足强度条件。第28 页，本讲稿共43 页例：将上例中传动轴设计成实心轴，其强度与空心轴相同，试计算实轴直径，并比较空心轴与实心轴的重量。解：解：若两轴强度相同，则T1=T211）求许可扭矩）求许可扭矩第29 页，本讲稿共43 页22）计算实轴直径）计算实轴直径在载荷相同的情况下，空心轴的重量只有实心轴的三分之一，可以大大节约材料，减轻重量。33）求重量之比）求重量之比重量之比=横截面面积之比第30 页，本讲稿共43 页解解:1):1)画扭矩图。画扭矩图。例:实心圆轴如图，已知MBB=MC=1.64kN.m，MD=2.18kN.m=2.18kN.m 材料材料G=80GPa，t=40MPa，qq=1=1/m，试设计轴的直径。，试设计轴的直径。最大扭矩在最大扭矩在ACAC段，且段，且B BM MB BM MC CC CM MA AM MD DA AD D3.282.18ACBDT/kN.m1.642)2)按强度设计，有：按强度设计，有：1616/3 3ma max xttpptt=DDTTWW T TT TN-m-pa N-m-pa 单位制 单位制第31 页，本讲稿共43 页2)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者 18032/1804maxqp p pqr=o oD GTGIT则有：42max 180 32q pG MD 42 91 10 80180 3280 32=p N-m-paN-m-pa单位制单位制)(10 9.693m-=mm 70=第32 页，本讲稿共43 页讨论：若取讨论：若取=0.5，试设计空心圆轴尺寸。故：故：=76.4mm34 max)1(16t p-TD36 410 40)5.0 1(3280 16-=p按刚度设计，有：18032/)1(4 4maxqp pq-=oD GT则有：取取 DD=77=77mmmm=71mm44 2 91)1(10 80180 3280 32-pD扭矩图不变，按强度设计，有：扭矩图不变，按强度设计，有：max maxt t=T T16/)1(4 3max p-D WT)5.0(=1/)1()2/()2/()2/(2222p pp-=-=DD D实心轴空心轴重量比：重量减轻重量比：重量减轻25%25%，尺寸略大一点。，尺寸略大一点。第33 页，本讲稿共43 页 功率常常用千瓦(kW)或马力表示，注意到：1kW=1000Nm/s,1 马力=736Nm/s,则功率、转速与传递的扭矩之关系为：M(kN.m)=9.549Np(千瓦)/n(转/分)M(kN.m)=7.02Np(马力)/n(转/分)设轴的转速为每分钟设轴的转速为每分钟nn 转，则每秒转过的角度为 转，则每秒转过的角度为22n n/60,/60,即有：即有：NNPP=M/tt=M22n n/60/60 或或 M=60=60NNPP/2/2 nn力矩的功A 可表示为力矩M 与其转过的角度 之积，功率NP是单位时间所做的功，故有：NP=A/t=M/t/t 是每秒转过的角度（弧度）。功率、转速与传递的扭矩之关系功率、转速与传递的扭矩之关系：第34 页，本讲稿共43 页 例：传转轴的转速n=300r/min,已知主动轮A 的输入功率为50kW，从动轮B、C、D 的输出功率分别为10kW 20kW 20kW。轴材料的=40MPa,=0.5(o)/m,G=80GPa.求（1）合理的布置各轮的位置；（2）设计轴的直径。解:1)求外力偶矩第35 页，本讲稿共43 页3)设计轴的直径由强度条件由刚度条件同时满足强度和刚度的要求，应取D=61mm2）布置各轮的位置并作扭矩图若将主动轮放置于轴的左端（或右端），则最大扭矩为1592N.m；若将主动轮放置于轮B 和C 之间，最大扭矩为1273N.m；而将主动轮放置于轮C 和D 之间，最大扭矩为955N.m。第36 页，本讲稿共43 页例:传动机构中AB 轴的转速n1=120r/min,从B 轮上输入功率P=14kw.此功率的一半通过锥形齿轮传递给垂直轴C，另一半传给水平轴H。若锥形齿轮A 和D 的齿数分别为36和12;各轴的直径分别为d1=70mm,d2=35mm,d3=50mm；轴的许用切应力=30MPa。试对各轴进行强度校核。解解:略略由各轴所传递的功率由各轴所传递的功率,各轴的转速各轴的转速得到各轴承受的扭矩得到各轴承受的扭矩，从而校核各轴的强度，从而校核各轴的强度第37 页，本讲稿共43 页求解变形体静力学问题的基本方程求解变形体静力学问题的基本方程:力的平衡方程力的平衡方程、材料的、材料的物理方程物理方程 和变形 和变形几何方程几何方程。变形体静力学问题研究对象受力图平衡方程求反力？静不定物理方程几何方程静定求内力应力求变形物理求位移几何联立求解反力、内力、应力 变形、位移等5.5 5.5 静不定问题静不定问题第38 页，本讲稿共43 页例：两端固定的阶梯圆轴AB，在截面C 处受外力偶矩Mc 作用，已知d1,d2,l1,l2。材料的切变模量G，许用切应力=，单位长度许用扭转角,试求圆轴两端的约束力偶矩，并进行强度和刚度校核。解 解:11）静力平衡方程）静力平衡方程:MMC C=MMA A+MMB B-(1)-(1)3 3）物理方程）物理方程(力力变形关系变形关系)AC AC=MMAAl1/GI GIr1r1;CBCB=MMB B l2/GIGIr2 r2-(3)(3)22）几何方程）几何方程:ABAB=AC AC+CBCB=0-(2)=0-(2)第39 页，本讲稿共43 页 4)4)校核强度校核强度AC 段最大切应力CB 段最大切应力满足强度要求。(3)(3)代入 代入(2)(2)，再与，再与(1)(1)联立求解，得 联立求解，得:第40 页，本讲稿共43 页5 5）校核刚度AC 段最大单位长度扭转角CB 段最大单位长度扭转角不满足刚度要求第41 页，本讲稿共43 页小结 小结圆轴扭转切应力切应力 tt 在横截面在横截面上线性分布。上线性分布。小结杆的拉压扭矩扭矩 TT(右手法右手法)内力内力 轴力轴力FFNN(拉为正拉为正)应力应力正应力正应力 在横截在横截面上均匀分布。面上均匀分布。最大切最大切应力在应力在表面处表面处oo TtmaxFFNN变形变形EA L F LN N/=Dr rqGI T/=抗扭刚度 抗扭刚度抗拉刚度抗拉刚度第42 页，本讲稿共43 页圆轴扭转小结杆的拉压强度强度设计设计刚度刚度设计设计极惯性矩：极惯性矩：实心轴实心轴空心轴空心轴扭转截面扭转截面系数：系数：实心轴实心轴空心轴空心轴第43 页，本讲稿共43 页